Решение уравнений движения и начальные условия

Решение уравнений движения и начальные условия [c.41]

Определение произвольных постоянных интегрирования по начальным условиям. Чтобы найти искомый закон движения точки, т. е. частное решение, отвечающее начальным условиям (7), нужно найти постоянные интегрирования и Сг по этим начальным условиям. Это осуществляется при помощи уравнений (14) или (15), а также уравнения (16) и начальных условий (7). При этом искомый закон движения точки будет иметь вид [c.461]

Для получения конкретных решений при интегрировании системы уравнений (22) должны быть использованы граничные, а в случае нестационарного движения и начальные условия. Вспомним, что в идеальной жидкости основное граничное условие на омываемой жидкостью твердой поверхности заключалось в непроницаемости поверхности и в связи с этим в совпадении нормальных к поверхности составляющих скоростей частиц жидкости и точек самой поверхности. В случае вязкой жидкости это граничное условие заменяется условием прилипания частиц жидкости к твердой стенке. Это означает отсутствие как нормальной к твердой поверхности относительной скорости между частицами жидкости и близлежащими точками поверхности, так и касательных составляющих относительной скорости, т. е. отсутствие скорости скольжения жидкости по поверхности. [c.364]

Для частных классов задач о движении вязкой жидкости существуют строгие доказательства теорем о существовании и единственности решений. Эти теоремы, помимо своего общего математического содержания, важны еще потому, что указывают, каковы должны быть присоединенные к дифференциальным уравнениям граничные и начальные условия, а также и другие дополнительные требования, без выполнения которых решение задачи не [c.364]

Задача состоит в том, чтобы привести систему определяю-Ш.ИХ уравнений, граничных и начальных условий к безразмерному виду и выявить те безразмерные параметры или функции, от которых зависит решение (или вообще течение). Очевидно, что если для разных течений эти параметры, или, как их называют, критерии подобия, будут совпадать, то вследствие предполагаемой единственности решения будут одинаковыми и зависимости безразмерных функций (4.2.2) от безразмерных переменных (4.2.3). Такие течения называются подобными. В новых переменных уравнения движения, неразрывности и энергии не изменяют вида (производные в операторах градиента и дивергенции взяты по безразмерным переменным) [c.113]

Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого пела в общем случае позволяет решать две основные задачи гю заданному вращению тела определять вращающий момент внешних сил и по заданному вращательному моменту и начальным условиям находить вращение тела. При решении второй задачи для нахождения угла поворота как функции времени приходится интегрировать дифференциальное уравнение вращательного движения. Методы его интегрирования полностью аналогичны рассмотренным выше методам интегрирования дифференциального уравнения прямолинейного движения точки. [c.315]

С помощью этих уравнений можно решать две основные задачи по заданному плоскому движению твердого тела находить действующие на тело внешние силы н по заданным внешним силам и начальным условиям определять его движение. При решении этих задач должны быть заданы масса тела М и его момент инерции. [c.310]

Зная законы действующих внешних сил, точки их приложения и начальные условия, можно с помощью этих уравнений найти как скорость, так и положение каждой точки твердого тела в любой момент времени, т. е. полностью решить задачу о движении тела. Однако, несмотря на кажущуюся простоту уравнений (5.26), решение их в общем случае представляет собой весьма трудную задачу. И прежде всего это обусловлено тем обстоятельством, что связь между собственным моментом импульса L и скоростями отдельных точек твердого тела в //-системе оказывается слол<ной, за исключением немногих частных случаев. Мы не будем рассматривать эту задачу в общем виде (она решается в общей теории) и ограничимся в дальнейшем только отдельными частными случаями. [c.148]

Решение уравнений движения (4.22) должно удовлетворять начальным условиям — условиям в начале движения, т. е. при / = О перемещения Ui и их производные по времени t (скорости , ) должны иметь заданные значения и ui . [c.76]

В (6.2) и (6.3) точки обозначают дифференцирование по времени t, а индекс после запятой — дифференцирование по соответствующей координате. Здесь и в дальнейшем греческие индексы пробегают значения 1, 2, а латинские — значения 1, 2, 3 (по повторяющемуся греческому индексу производится суммирование). Будем, как обычно, разыскивать решение уравнений движения при отсутствии массовых сил (6.2), удовлетворяющее однородным начальным условиям [c.493]

Для того чтобы охарактеризовать задачи, решение которых может быть получено методами теории размерности, рассмотрим искомые функции и определяющие параметры одномерного движения. Основными искомыми функциями являются скорость V, плотность fj и давление р, а определяющими параметрами — линейная координата / , время 1и константы, входящие в уравнения и краевые и начальные условия задачи. [c.168]

С механической точки зрения существование абсолютно про-долн аемого решения Т=Т (ср) уравнения (7.2) равносильно возможности принципиально неограниченно поддерживать движение машинного агрегата на некотором режиме, определяемом соответствующим выбором начальных условий — начального значения (р = с, о угла поворота и начального значения Т (<ро) = 7 о кинетической энергии. Между тем выполнение только одних условий 7.1 — 7.3, вообще говоря, оказывается недостаточным для того, чтобы абсолютно продолжаемые решения уравнения движения машинного агрегата существовали. С такой постановкой вопроса в условиях, не столь общих, как здесь, мы уже имели дело в 3, гл. I. [c.256]

Величины р = — р и хя, = — Ха определяемые из решения уравнений (5) и (6) на ЭВМ для заданного диапазона изменения угла 0, существенно зависят от значений к и начальных условий движения. Например, ха максимальна при малых значениях к и уменьшается при увеличении этого коэффициента. При увеличении началь- [c.5]

Аналитическое решение задач, возникающих в газодинамике двухфазных сред, очень часто встречает ряд непреодолимых трудностей. Введение в уравнения движения и энергии дополнительных членов, учитывающих механическое и тепловое взаимодействия между фазами, учет сложных граничных и начальных условий приводят к тому, что в настоящее время чисто аналитическое исследование процессов возможно лишь при очень приближенной постановке задачи. Это заставляет идти по пути упрощения уравнений как путем отбрасывания несущественных для данной задачи членов, так и путем замены сложных точных связей между величинами приближенными, но более простыми. [c.58]

При расчете ударно-вибрационных машин приходится 1) определить законы движения X i) всех деталей машины 2) проверить, являются ли выбранные х, (t) достаточно устойчивыми 3) определить, можно ли из реальных начальных условий запустить ударно-вибрационную машину так, чтобы она работала в нужном режиме 4) найти динамические силы. В практике применяют три алгоритма расчета использование известных результатов анализа решений уравнений движения моделирование на 3iM (ABM и ЭЦВМ) использование методов приближенного синтеза. Проследим более подробно за возможностями каждого алгоритма. [c.177]

Автомодельные решения представляют, конечно, лишь некоторые простейшие частные решения поставленной общей задачи, но вместе с тем в большинстве случаев оказываются полезными, так как позволяют судить об основных сторонах рассматриваемого явления. Стоит отметить — в дальнейшем это будет подтверждено многочисленными примерами,— что возможность существования автомодельных решений обусловливается отсутствием в постановке задачи (уравнениях и граничных и начальных условиях) некоторых характерных масштабов времени, длины, массы или др., т. е. некоторой ограниченностью самой постановки задачи, отказом от общности постановки. Так, например, в предыдущей задаче о центрированных волнах разрежения за движущимся поршнем не могло быть речи о произвольном заданном наперед законе движения поршня, а, наоборот, по ходу решения задачи был определен тот частный закон движения поршня, при котором возможно существование центрированных волн. [c.153]

Условимся среди всех чисел подобия (39) особо выделять составленные только из тех масштабов сравниваемых потоков и физических констант среды, которые заключаются в постановке задачи об определении движения, т. е. наперед заданы. Одинаковость таких чисел подобия обусловливает подобие двух сравниваемых течений, и поэтому сами числа могут быть названы критериями подобия. Критериев подобия меньше, чем чисел подобия для соответствующего класса течений, так как не все масштабные величины, введенные при составлении безразмерных уравнений и граничных и начальных условий, на самом деле могут быть заданы наперед. Значения некоторых из них определяются только после того, как будет получено единственное решение данной конкретной задачи. Отсюда следует, что число достаточных условий, представленных системой равенств вида (40), будет меньше общего числа необходимых условий. [c.369]

Для вычисления орбиты космического аппарата требуется решить уравнения движения, чтобы можно было табулировать положение г и скорость г как функции" шести констант движения (например, начальных условий и Vq) и времени. Для искусственных спутников Земли приближенные аналитические решения уравнений движения были получены методами общих возмущений [1—4]. Частично имеются аналогичные решения для искусственных спутников Луны [5, 6]. [c.104]

Теперь пусть ЭВМ запрограммирована на решение уравнений движения при заданной энергии и данных начальных условиях и на вычерчивание точек пересечения траектории с плоскостью Уа, Рг- Кроме того, пусть для дальнейшего упрощения рассмотре- [c.365]

В принципе, эволюция сложной системы с большим числом степеней свободы описывается некоторым решением уравнений движения (1.1.1). Существует, однако, несколько причин, в силу которых поведение таких систем невозможно изучать в рамках чисто динамического подхода. Во-первых, мы не можем точно определить начальное динамическое состояние системы. С другой стороны, любая сколь угодно малая неточность в начальных условиях приводит с течением времени к сколь угодно большой неопределенности динамического состояния. Во-вторых, реальные системы не являются полностью изолированными, поэтому некоторые степени свободы и внешние воздействия не включены в уравнения движения (1.1.1). Короче говоря, мы никогда не можем точно определить микроскопическое состояние реальной макроскопической системы. Таким образом, эволюция макроскопической системы не может быть точно представлена как непрерывное преобразование одной точки фазового пространства Г в другую. Поэтому мы должны предполагать, что система может быть обнаружена в любом динамическом состоянии, совместимом с внешними (макроскопическими) условиями. Роль этих условий играют, например, значения интегралов движения или внешние поля, которые ограничивают доступную область в фазовом пространстве. Любое конкретное динамическое состояние может быть приписано системе лишь с некоторой вероятностью. [c.13]

В уравнении (7.1) размерные время t и длина х отнесены соответственно к характерному времени течения в и характерной длине течения L. Эти характерные масштабы определяются граничными и начальными условиями задачи. Ни уравнение (7.1), ни граничные условия не содержат других характерных масштабов, кроме 0 и Z, и параметра б. Поэтому ) из соображений размерности ясно, что решение уравнения (7.1) может зависеть лишь от следующих переменных x=x jL, t = xji, i le, xe, ti и т. п. Ниже мы не будем интересоваться движениями в больших масштабах Lji, Tj( и т. д. Поэтому функцию распределения можно представить в виде [c.133]

Пространственная задача о движении несжимаемой жидкости с потенциалом скоростей исследовалась параллельно с плоской. Отсутствие возможности пользоваться в пространстве методами теории функций комплексного переменного привело к необходимости непосредственного решения уравнения Лапласа при заданных граничных, а в случае нестационарного движения — и начальных условиях. Пространственная задача гидродинамики развивалась в тесном контакте с близкими ей электростатическими и гравитационными задачами теории потенциала. Первая задача о пространственном безвихревом обтекании тела была разрешена Пуассоном в 1828 г, и затем обобщена и уточнена Стоксом в 1843 г. и Лежен-Дирихле в 1852 г. Безвихревое течение несжимаемой жидкости в эллипсоидальном сосуде и обтекание эллипсоида при посту- [c.24]

Допускают, что данным начальным условиям при заданной массе m и силе F соответствует только одно движение. В справедливости этого положения убедимся на всех примерах, которые будем рассматривать, хотя это положение имеет и математическое доказательство. Поэтому, если мы нашли какое-либо движение точки М, удо-влетворяюш,ее уравнениям (140) и начальным данным, то, следовательно, мы определили именно то движение, которое искали. Например, камень, брошенный с некоторой начальной скоростью под углом к горизонту, описывает параболу под действием силы тяжести. Однако движения камня зависят не только от действующих на него сил, но и от начальных данных. Если бы начальная скорость, сообщенная камню, или начальные координаты были бы иными, то иным было бы движение камня. Оно по-прежнему было бы равномерным по горизонтали и равнопеременным по вертикали, траекторией камня оставалась бы парабола, но она была бы иной и иначе расположенной, иной была бы и точка падения камня на землю. Значения постоянных j, j, Сз, С4, С5, g должны быть даны в условиях задачи. Эти постоянные величины вовсе не являются произвольными. Постоянные интегрирования, являясь первоначальными значениями переменных, придают решению каждой задачи механики всю ту общность, какую она способна иметь. [c.187]

Рассмотрим решение уравнений движения, начальные условия которого при < = О изображаются некоторой точкой М фазового пространства. Для момента I будем иметь преобразование в силу уравнений движения, переводящее точку М в точку М 1). Пусть уравнения движения автономны, т. е. ускорение не зависит явно от времени, и пусть любое их решение продолжается на всю ось вpevteни. Преобразование (7 , обеспечивающее переход М —> М 1), взаимно однозначно и дифференцируемо по фазовым координатам диффеоморфизм). Все такие преобразования С образуют группу [c.189]

Она представляет собой систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Для нее можно указать три очевидных первых интеграла, которые не дают полного решения задачи. Однако их можно учесть с целью упрощения вычислений (см. стр. 176). Пусть материальная точка начинает падение без относительной начс1Льной скорости, в начальный момент времени i = О расположена на оси Z и имеет высоту Я. Тогда, проинтегрировав один раз уравнения движения и приняв во внимание начальные условия, найдем [c.283]

Это условие может оказаться в противоречии с полученными нами значениями движения системы от исходного состояния 9 = 9о> 1 = 0 к границе первого этапа. Значения qt, и — Iq должны служить начальными условиями для движения во время второго этапа. Однако здесь получается одно лишнее начальное условие, так как для определения исходного движения записанное нами идеализированное уравнение первого порядка требует только одного начального условия. Этот конфликт между идеализированным законом движения системы и начальными условиями требует введения дополнительных условий, если мы хотим остаться в рамках сделанной идеализации (Ф = onst при 1 >г д) и не хотим исследовать решений уравнения (2.4.13), т. е. уравнения второго порядка [c.64]

Определение динамического отклика конструкций. Моделирование разнообразных динамических процессов, протекающих в элементах конструкций АЭУ при переходных экспл атационных аварийных и сейсмических воздействиях, заключается в решении уравнений движения (3.54) с соответствующими краевыми и начальными условиями [c.113]

Для однофазной среды свободная конвекция в общем случае описывается системой уравнений, выражающих законы сохранения массы, количества движения и энергии в жидкости. Величина массовой силы пропорциональна ускорению свободного падения (Р g), а для летательных аппаратов сумме ускорения свободного падения и ускорения летательного аппарата (f g + а). В общем случае вличина массовой силы определяется суммой ускорения свободного падения g и ускорения, соответствующего дополнительно действующей массовой силе (центробежной, электромагнитной и т. д. ). Уравнения движения, неразрывности и энергии с граничными и начальными условиями позволяют получить численное решение для ряда конкретных задач [c.144]

Решение системы уравнений (3-3) на ЭВМ, выполненное для случая обтекания пластины О. PI. Назаровым в МЭИ, дало возможность оценить влияние на долю соприкасающихся с поверхностью пластин капель некоторых безразмерных параметров и начальных условий движения потока влаги. На рис. 3-2 показаны схема обтекания пластин влажным паром и влияние некоторых параметров на коэффициент сепарации канелек жидкой фазы. Р1з размерных параметров наиболее сильное влияние на коэффициент F оказывают давление пара, размер капель л начальные условия рассогласования скоростей фаз. [c.53]

Для нахождения моментов перехода от одного режима движения к другому используют трансцендентные уравнения, которые определяют выбор требуемого уравнения и начальных условий для его решения, так как решение и аналитически, и на электронных моделируюш их устройствах производится методом припасовывания. [c.93]

В немалых областях изменения начальных условии общее решение уравнений движения интегрируемой консервативной системы с п степенями свободы при некоторых 01 рапичениях на вид кинетической и потенциальной энергий представимо в виде следующего /г-кратного (/г п) ряда Фурье [c.147]

Уравнения движения (3) — (6) представляют собой совместную систему обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных. Решения этой системы уравнений будут содержать произвольные функции и произвольные постоянные, которые определяются из граничных и начальных условий. Начальные условия состоят обычно в том, что задаются положение, скорости v , (о твердого тела, форма свободной поверхности S и поле скоростей ягндкостн v(r) в начальный момент (= [c.282]

В основу имитационного метода определения эксплуатационных нагрузок заложен системный подход, рассматривающий человека, машину, среду как единое целое 10.13, 601. Действия человека-оператор а моделируют с помощью специальной программы, управляющей электронной моделью крана [0.13, 141. Электронной моделью может управлять оператор со специаЛьногЬ пульта [0.13, 60]. Кран или отдельный его механизм Представлен в виде набранных на ЭВМ уравнений движения и зависимостей для определения усилий в расчетных сечениях элементов. Воздействия окружающей среды имитируются с помощью системы ограничений, начальных условий, внешних нагрузок (ветровая нагрузка, вес груза и т. п.). Для имитационного моделирования работы крана и процессов нагружения его элементов выполнйкл многократное решение на ЭВМ дифференциальных уравнений движения при случайных начальных условиях и параметрах системы. [c.101]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...