Деформация тела. Вектор перемещения

Деформация тела. Вектор перемещения [c.13]

В прямых решениях задач об упругих телах ищутся тензоры напряжений, деформаций и вектор перемещения, вызываемые действующими на них внешними силами. Для этого следует проинтегрировать дифференциальные уравнения Ляме (5.4), если за основные неизвестные приняты перемещения Uk, и дифференциальные уравнения (5.26) и соотношения Бельтрами — Митчелла (5.33), (5.34), если за основные неизвестные приняты компоненты тензора напряжений при заданных граничных и начальных условиях. В первом случае говорят, что задача решается в перемещениях, во втором — в напряжениях. [c.89]

Показать, что если вращение равно нулю во всем теле (безвихревая деформация), то вектор перемещения является градиентом некоторой скалярной потенциальной функции. [c.244]

Здесь сг г,в,1), е(г, 0, ), и г,в,Ь) с соответствующими индексами — компоненты тензоров напряжений, деформации и вектора перемещений в цилиндрической системе координат, нуликом обозначены их операторные значения, а точкой — скорости, к в — 0 1) — функция Хевисайда, т в) — момент присоединения элемента с координатой 9 к основному телу. [c.205]

Деформацией тела или любой его части называют изменение формы и размеров под действием внешних сил,. Говоря о деформации, следует иметь в виду двойственность этого понятия. Будем в дальнейшем различать деформацию тела в целом и деформацию его бесконечно малой материальной точки (частицы). Если говорить о деформации тела в целом, то ее характеристиками будут линейные перемещения точек тела, характеризуемые вектором перемещений й (см. рис. 1.6). [c.28]

Перемещение точки М при деформации тела определим вектором [c.64]

При изучении течения сплошного тела в переменных Эйлера часто используют тензор бесконечно малых деформаций за время d . В этом случае бесконечно малый вектор перемещения [c.73]

В результате деформации тела его точки получают перемещение, которое определяется вектором (начало его — точка тела до деформации, конец — точка тела после деформации). Как всякий вектор, перемещение может быть определено его проекциями по координатным осям (u,v,w). [c.12]

Положим, что точка М в результате деформации тела переместилась в положение Л11 (рис. 6). Этот вектор перемещения разложим по координатным осям. Полное перемещение есть геометрическая сумма соответствующих проекций вектора ММ. [c.12]

В статических задачах термоупругости температурное поле является стационарным. Задачи, в которых не учитывают эффект связанности температурного поля деформаций, а также силы инерции, обусловленные нестационарным температурным полем, называют квазистатическими. В этих задачах тепловые напряжения в упругом теле в рассматриваемый момент времени определяются при известном температурном поле (время здесь является параметром). При решении задач термоупругости в качестве основных неизвестных принимают компоненты вектора перемещений или тензора напряжений. В соответствии с этим различают постановку задачи термоупругости в перемещениях или в напряжениях. Во всех случаях, если это особо не оговаривается, упругие и термические коэффициенты предполагают постоянными. [c.91]

Если по данным компонентам тензора деформаций найдены перемещения Uh, то, присоединяя к ним произвольное бесконечно малое перемещение тела как жесткого целого, получим новые перемещения, очевидно, также соответствующие данным компонентам тензора деформаций, так как перемещение тела как жесткого целого никакого влияния на чистую деформацию не оказывает. В силу этого для определенности дополнительно можно, например, задаться проекциями вектора перемещения некоторой точки тела и компонентами тензора вращения в этой точке. [c.57]

Область задания компонентов тензора деформаций, при помощи которых в этой же области, занятой до деформации телом, ищутся проекции вектора перемещения, обозначим через т. При этом пока будем полагать, что эта область односвязна. Из (3.26) [c.57]

Деформация тел называется плоской, если вектор перемещения любой точки параллелен некоторой плоскости, называемой плоскостью деформации, и не зависит от расстояния рассматриваемой точки до этой плоскости. [c.99]

Обозначим через u k, е т и til, е г соответственно компоненты тензора напряжений, вектора перемещения и тензора деформаций, которые возникают в упругом теле под действием внешних сил (>F, 7 п и р/ ", Т п". [c.210]

Компоненты вектора перемещения щ (перемещения) и компоненты тензора деформации etj связаны между собой дифференциальными зависимостями Коши (1.44) или, что то же самое, формулой (1.40). Эти зависимости позволяют вычислить компоненты тензора деформации stj непосредственным дифференцированием перемещений мг, которые в соответствии с предположением о сплошности тела являются непрерывными и однозначными функциями координат л ,, произвольной точки тела (1.3). Естественно, что компоненты тензора деформации должны быть также однозначными функциями л ,, и иметь непрерывные производные. [c.22]

Тензор Sij, образованный из тензора по формулам (7.3.7), называется тензором несовместности. Вообще, можно допустить, что в теле реализуется такое деформированное состояние, когда тензор деформации не выражается через вектор перемещений по формулам (7.2.8). Проще всего это можно представить себе следующим образом. Допустим, что из некоторых механических соображений нам нужно разделить тензор деформации на две части, так что eij = e j + e j. Так, нанример, может быть температурной деформацией, тогда как деформации носят механический характер. Условию (7.3.6) удовлетворяет только суммарная деформация, тогда как Зц — 0. [c.218]

Но здесь при вычислении ковариантных производных нужно использовать символы Кристоффеля, вычисленные для деформированного тела, и составляющие вектора Я брать по отношению к базису, связанному с деформированной координатной сеткой. Таким образом, все трудности остаются, не будучи написанными в явном виде. В этом смысле уравнения (7.9.3) и (7.9.4) кажутся проще, они относятся к декартовой системе координат, не деформирующейся с деформацией тела. Компоненты тензора напряжений также сохраняют механический смысл, это — обобщенные силы, соответствующие обобщенным перемещениям е,> [c.235]

Пусть Sii — кинематически возможные малые перемещения Q — вектор объемных сил, отнесенных к объему V, занятому телом Р — вектор внешних поверхностных сил, приложенных к границе S объема V zx — напряжения в теле. Возможным перемещениям бгг = but + W соответствуют деформации [c.189]

Пусть теперь го представляет собой вектор перемещений, которые испытывают точки тела под действием данных поверхностных и массовых внешних сил. Для малых деформаций можно ввести (см. 2) свободную энергию единицы объема Ф = ро так, что [c.347]

За точкой А, т. е. при дальнейшем увеличении внешнего растягивающего усилия, осуществляется участок АВ нелинейной обратимой зависимости р от бц. Деформации на этом участке диаграммы также обычно весьма малы (меньше 1%). Изображающая состояние образца точка на участке АВ (и соответственно на А В как при нагрузке, так и при разгрузке двигается по одной и той же кривой АВ и А В . Следовательно, при рц (И)< Р11 <С Р11 В) образец ведет себя тоже как упругое тело, но с динамически нелинейной зависимостью напряжений от деформаций. Понятие динамической нелинейности в данном случае относится к геометрически малым деформациям, для которых можно еще пользоваться приближенными линейными формулами для компонент тензора деформаций при их вычислении через компоненты вектора перемещений. [c.411]

Пусть (г), 81 (г), г4 (г) — решение граничной задачи для упругого тела, деформации которого сопровождаются большими углами поворота при малых удлинениях и сдвигах, не превосходящих предела пропорциональности. Тогда компоненты тензора деформации e j (г) и напряжений о (г), а также вектора перемещений И (г) будут удовлетворять закону упругости (5.1), нелинейные уравнениям равновесия (5.4), соотношениям (5.5) и граничным условиям (5.6). Прямой подстановкой можно показать, что решение 8 ( , г), t, г), t,r) граничной задачи для такого [c.297]

Таким образом, поставленная задача о восстановлении напряженно-деформированного состояния упругого тела по известному вектору перемещений на части поверхности сводится к решению системы интегральных уравнений Фредгольма первого рода (3.9). Исходная информация, необходимая для однозначного нахождения неизвестного вектора реакций или нагрузки, в общем случае должна включать в себя данные о всех трех компонентах вектора перемещений на поверхности измерений. Но во многих случаях эффективному измерению поддаются лишь отдельные компоненты вектора перемещений. Например, при тензометрических исследованиях натурных конструкций или их моделей находят величины относительных удлинений (деформаций) в точках поверхности, что позволяет после предварительной обработки дискретных данных измерений (интерполирование, сглаживание и т.п.), путем интегрирования эпюр деформаций построить в локальной системе координат поверхности эпюры компонент вектора перемещений, касательных к поверхности измерений. В то же время нормальная к поверхности компонента вектора перемещений не может быть определена тензометрическими методами. В таких случаях определение неизвестного вектора напряжений может быть осуществлено по двум или даже одной компоненте вектора перемещений, при этом искомый вектор напряжений может восстанавливаться не однозначно. Это связано с возможностью появления нетривиальных решений для неполной системы однородных уравнений (3.9). В некоторых случаях характер нетривиальных решений можно предсказать. Выбор того или иного решения может быть осуществлен на основании некоторой дополнительной информации (например, информации о величине искомого вектора в какой-либо одной точке) или исходя- из общих представлений о напряженном состоянии исследуемой конструкции. [c.66]

НИИ известны все компоненты тензора деформаций. В случае свободной поверхности в локальной системе координат, связанной с точкой поверхности тела, в которой одна ось ( з) совпадает с нормалью к поверхности, а две другие (sj и ij) — с касательными к линиям кривизны поверхности, три компоненты тензора деформаций получаются непосредственно из изме-рений(ец, 22, е 12), одна ( 33) - из закона Гука, а две остальные (ei з, баз) равны нулю. Для соответствующего тензора напряжений отличными от нуля компонентами являются i, ffa 2. 2 В этих случаях естественно и целесообразно установить связь искомого вектора напряжений на Z, не с компонентами вектора перемещений, а с тензором напряжений на S. Для этого определим тензор функций напряжений Грина s, х), соответствующий тензору перемещений (j, х) [c.67]

Постановка задачи. В контактной задаче поверхность тела состоит из грех участков Г = Г + Гд +, где — участок возможного контакта тела с жестким основанием или другим телом. Считается, что начальный зазор Др на соизмерим с перемешениями и мало меняется по координатам, а кривизна Гк относительно невелика. Определяются вектор перемещений и и тензоры деформаций е и напряжений а, связанные известными соотношениями [c.142]

Каждая точка упругого тела, отнесенного к прямоугольной декартовой системе координат, характеризуется вектором перемещения и с компонентами Ui, и , и, в направлении осей координат В каждой точке определены компоненты тензоров напряжений и деформаций [c.137]

Здесь интегрирование распространено по всему объему рассматриваемого тела) р — плотность материала и — вектор перемещения К — интенсивность массовом силы X — тензор напряжений би — вектор возможных перемещений, бе — соответствующая ему деформация. В специальном учете поверхностной нагрузки в (36) нет необходимости, так как она может быть включена в массовую путем введения обобщенных функций. [c.158]

Понятие о деформациях. При действии внешних сил происходит изменение объема тела и его формы, т.е. тело деформируется. Различают начальное (недеформированное) и конечное (деформированное) состояния тела (рис. 9.6). Фиксированное положение произвольной точки М переходит в новое —Л/ . Проекции вектора перемещений [c.402]

Шесть компонентов деформации вд выражаются через производные трех компонентов вектора перемещений (1.1.9). Следовательно, задача определения перемещений ы,-(/=1, 2, 3) не может быть решена, если вд будут произвольными функциями координат точек тела. [c.23]

Рассмотрим два близких состояния в теле, которые характеризуются векторами перемещений и м (2)> деформациями и [c.232]

Итак, при движении и деформации тела каждая его бесконечно малая частица в общем случае поступательно перемещается (вектор перемещения и), растягивается (сжимается) по трем взаимно ортогональным осям и поворачивается в пространстве как абсолютно твердое тело. Все эти преобразования частиц происходят одновременно. [c.68]

Рассмотрим в теле две бесконечно близкие материальные точки М (л ) и N Xi dXi), которые переходят в новые положения М (х ) и JV (х + dxi), причем dx = dxi + dui (рис. 1.2). Первоначальное расстояние ds = dx между материальными точками изменяется и становится ds = dx . Относительное удлинение (деформацию) отрезка MN = (ds —ds)/ds можно выразить через компоненты , вектора перемещения. Действительно, [c.8]

Для сплошного твердого тела шесть независимых компонентов тензора деформации можно выразить через три компонента вектора перемещения и. Установление однозначной обратной зависимости возможно при выполнении условий совместности деформаций [c.11]

Понятие особенностей, определяемых силовым тензором, было использовано Лауричелла (1895) для представления компонент тензора деформации упругого тела через внешние силы. Вывод формул Лауричелла основан на применении теоремы взаимности Бетти к двум состояниям 1) первое состояние создается поверхностными силами F (при отсутствии объемных), причем через и, Т обозначаются вектор перемещения и тензор напряжения в этом состоянии 2) второе состояние и, Т задается а) действием в точке Q силового тензора, определяющего вектор перемещения и тензор напряжения Т и и б) наложением на это действие напряженного состояния Нг, Та снимающего нагружение поверхности О тела. Вектор перемещения в этом состоянии и тензор напряжения равны [c.212]

В прямых задачах теории упругости определяются тензоры напряжений, деформаций и вектор перемещения, вызываемые действующими на твердое деформируемое тело впешпими усилиями. [c.63]

При ударе двух тел в месте их соприкосновения возникают деформации и, следовательно, перемещения точек тел, обусловленные деформациями. Вследствие малости деформаций по сравнению с перемещениями точек тел за конечный промежуток времени перемещения точек тел за время удара являются величинами малыми. В общем случае, если Пср — средняя скорость за время удара какой-либо точки системы, испытывающей удар, то перемещение этой точки имеет порядок величины т, так как средняя скорость есть величина конечная. Поэтому перемещениями точек за время удара можно пренебрегать. Считают, что за время удара точки системы не успевают изменить свое положение, а следовательно, не нзменяротся радиус-векторы точек и их координаты. Если, например, тело падает на спиральную пружину, то за время удара величина перемещения тела равна сжатию пружины за это время. Этим перемещением можно пренебречь по сравнению, например, с перемещением тела от начала удара тела до момента наибольшей деформации пружины. При ударе пружину можно считать твердым телом в приближенных расчетах при рассмотрении перемещения тела за время удара. [c.506]

Переход тела недёформированного в конечное деформированное состояние (рис. 1.8) можно представить себе сначала как поступательное перемещение, характеризуемое вектором 5, поворот как жесткого целого, характеризуемый вектором вращения м, и деформация тела в пространственной системе координат Х[. Положение пространственных координат Xi относительно x i можно определить тремя углами Эйлера углом прецессии il)= [c.29]

Пусть тело обладает плоскостью упругой симметрии, с которой совместим координатную плоскость х х . Это означает, что если направление оси Ха изменить на противоположное, т. е. сделать замену координат ж = Xi, д = Xj, х з = —Хз, то упругий потенциал W (ец), не изменится. Поскольку при данной замене координат компоненты Ml и 2 вектора перемещения не меняются, а компонента з изменяет знак, т. е. u[ = ui, = и = —и , то в этом случае у компонент 8f/тензора деформации, для которых индекс 3 фигурйрует один раз, изменится знак, а остальные компоненты тензора деформации останутся неизменными [c.58]

Шесть компонент тензора деформации выражаются но формулам (7.2.3) или (7.2.8) через три компоненты вектора перемещения. Поэтому следует ожидать, что любые шесть функций координат вц нельзя принять за компоненты деформации, они должны для этого удовлетворять некоторым соотношениям. С другой стороны, если деформации заданы как функции координат и действительно возможны в сплошном теле, нужно ожидать, что перемещения точек тела могут быть определены, конечно — с точностью до перемещения как жесткого целого. В этом параграфе мы выведем формулы Чезаро, решающие именно вторую задачу, т. е. задачу определения перемещений по данной деформации. При этом попутно мы установим те условия совместности, которым должны удовлетворять заданные компоненты деформации. [c.216]

В восемнадцати предшествующих главах были изложены различные разделы механики деформируемого твердого тела, при этом практическая направленность каждого из них не очень акцентировалась. Но основная область приложения механики твердого тела — это оценка прочности реальных элементов конструкций в реальных условиях эксплуатации. С этой точки зре-нпя различные главы приближают нас к решению этого основного вопроса в разной степени. Классическая линейная теория упругости формулирует свою задачу следуюш им образом дано пекоторое тело, на это тело действуют заданные нагрузки, точки границы тела претерпевают заданные перемещения. Требуется определить поле вектора перемещений и тензора напряжений во всех точках тела. После того как эта задача решена, возникает естественный и основной вопрос — что это, хорошо или плохо Разрушится сооружение или не разрушится Теория упругости сама по себе ответа на этот вопрос не дает. Правда, зная величину напряжений, мы можем потребовать, чтобы в каждой точке тела выполнялось условие прочности, т. е. некоторая функция от компонент о.-,- не превосходила допускаемого значения. В частности, можно потребовать, чтобы нигде не достигалось условие пластичности, более того, чтобы по отношению к этому локальному условию сохранялся некоторый запас прочности, понятие о котором было сообщено в гл. 2 и 3. Мы знаем, что для пластичных материалов выполнение условия пластичности в одной точке еще не означает потери несущей способности, что было детально разъяснено на простом примере в 3.5. Поэтому расчет по допустимым напряжениям для пластичного материала безусловно гарантирует прочность изделия. Для хрупких материалов условие локального разрушения отлично от условия наступления текучести и локальное разрушение может послужить началом разрушения тела в целом. Поэтому расчет по допускаемым напряжениям для хрупких материалов более оправдан. Аналогичная ситуация возникает при переменных нагрузках и при действии высоких температур. В этих условиях даже пластические материалы разрушаются без заметной пластической деформации и микротрещина, возникшая в точке, где 42 [c.651]

Тогда компоненты тензоров деформаций, напряжений и вектора перемещений (г, ) в упругоползучем теле в рассматриваемом случае геометрической нелинейности должны удовлетворять уравнениям равновесия (для простоты записи в уравнениях аргументы г и t опущены), которые при отсутствии массовых сил и пренебрежении инерционными членами имеют вид [290, 349] [c.297]

Напряженно-деформированное состояние объема У вызывается реакцией отброщенной части тела, выраженной в виде вектора напряжений Pf (x) (х G Z,), действующего по поверхности разреза i, и усилиями P/i(s) на S. Сам объем будем считать свободным от действия массовых сил и начальных напряжений, вызываемых источниками типа несовместных деформаций. Суммарный вектор напряжений на I + 5 должен удовлетворять условиям самоуравновешенности. Поставленная задача характеризуется переопределенностью граничных условий на 5 и сводится к определению неизвестных граничных условий на L (в перемещениях или усилиях), что дает возможность поставить обычную краевую задачу и определить напряженное состояние в объеме У. [c.63]

ДИСТОРСИЯ м е X а и и ч е с к а я—изменевне взан.ч-ного расположения материал 1.ных точек среды (тела), вызванное внеш. воздействием или внутр. силами и включающее деформацию. Если и,-Х2, — координаты вектора перемещения нок-рой точки М(-г ,, гз) в прямоугольной нрямолипей[1011 системе координат Oxix- хз, то количественной мерой Д. являе-1ся тензор Д. d,y =- dui/ dxj. При djj < 1 Д. наз. малой. Симметричная часть тензора малой Д. dy,-)/2 = е/у [c.656]

Матем. задача У. т. при равновесии состоит в том, чюбы, зная действующие внеш, силы (нагрузки) и т. н. граничные условия, определить в любой точке тела значения компонентов тензоров напряжений и деформаций, а также ко.мпоненты и , и , и вектора перемещения частицы тела, т. е. определить эти 15 величин в виде ф-ций от координат X, у, z точек тела. Исходными для решения этой задачи являются дифференц. ур-ния равновесия [c.234]

Для получения уравнений, описывающих температурные поля и напряжения в деформируемом теле, в дальнейшем рассматриваются малые перемещения и градиенты перемещений. В этом случае вектор перемещения и с компонентами Н рассматривается как некоторое векторное поле, тензор деформаций с компонентами Еу - как тензорное поле, определенные в действительном векторном пространстве [75]. Компоненты тензора деформаций выражаются через компоненты вектора перемещений соотношениями Коши .у=(ди1/дХу+диудх,)/1 (здесь и далее /, / = 1, 2, 3, а также везде в формулах подразумевается суммирование по повторяющимся латинским индексам). Тогда из уравнения неразрывности (закона сохранения массы) [19] [c.182]

С точки зрения кинематики конечных деформаций отличие наращивания тела от тел постоянного состава состоит в том, что для него невозможно зафиксировать какую-либо единую отсчетную конфигурацию частиц, по отношению к которой имело бы смысл говорить об изменении полевых величин (перемещений, деформаций и др.), определяющих состояние наращиваемого тела. Действительно, поскольку тело в процессе наращивания непрерывно пополняется новыми элементами, то произвольно выбранный элемеггт его не имеет прообраза ни в одной из конфигураций тела в моменты времени, предшествующие моменту присоединения рассматриваемого элемеггга. Кроме того, так как различные частицы могут присоединяться к телу в одной и той же точке пространства (имеется в виду случай конечных деформаций), для наращиваемого тела невозможно ввести корректное определение вектора перемещения. [c.191]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...