Пространство конфигурационных переменных

Пространство конфигурационных переменных [c.27]

Вполне понятно, что переход к пространству конфигурационных переменных означает необходимость усреднения различных [c.28]

Согласно Герцу смысл уравнения (Г) можно выразить очень просто и наглядно, если рассмотреть конфигурационное пространство (пространство переменных q ) с введенной в него с помощью кинетической энергии системы неевклидовой метрикой р ]. Пусть Т — кинетическая энергия, рассматриваемая в отличие от предыдущего случая не как функция импульсов, а как функция скоростей тогда полагаем квадрат линейного элемента ds равным [c.680]

Рассмотрим отображение / 7, х 7 - прямого произведения интервалов 7 и 7 в конфигурационное пространство Это отображение определяется вектор-функцией / двух переменных и т [c.110]

ФОКА ПРЕДСТАВЛЕНИЕ (Фока пространство) — особый метод описания квантовой системы с переменным (или вообще неопределенным) числом частиц, использующий тем не менее конфигурационное пространство применим для описания процессов испускания, поглощения частиц, внутр, структуры частиц (напр,, протона, к-рый может быть с определ. вероятностью обнаружен в диссоциированном па нейтрон и л-мезон состоянии) и т, п. В Ф, и, волновая ф-ция системы Ч выражается через волновые ф-ции, отвечающие подпространствам с определ, числами частиц, [c.325]

Рассмотрим систему координат. . ., в окрестности проекции этой точки на конфигурационное пространство. Пусть Р1,. . ., Рп — соответствующие координаты в слоях кокасательного расслоения. В окрестности нашей особой точки лагранжево многообразие можно рассматривать как график вектор-функции (9и Рг > р ) от переменных (р , д ,. . ., (или вектор-функции аналогичного вида, в которой роль вьщеленной координаты исполняет не первая, а какая-либо из остальных). [c.412]

Пусть (г) —скалярная функция пространственной переменной г в конфигурационном пространстве. Это означает, что в каждой точке г конфигурационного пространства определено (или известно) значение функции г1з. [c.50]

Важно понимать, что из (76.5) можно вывести правило, по которому преобразуются координаты Так как q являются абстрактными динамическими переменными, не имеющими простой связи с обычными физическими смещениями, необходимо установить специальные правила их преобразования при действии оператора Р ф < . Эти правила можно найти, используя трансформационные свойства функций (скалярных, векторных и тензорных) координат в конфигурационном пространстве. Вообще говоря, эти сами по себе не являются функциями координат конфигурационного пространства. Это обстоятельство может быть причиной недоразумений, и важно различать правила преобразований физических величин (например, смещений) от правил преобразования, установленных математическим способом. Мы можем тогда написать [c.201]

Очевидно, (109.5а) и (109.56) применимы для любой операции из группы Таким образом, рассматриваемая как обобщенная функция пространственных переменных, на которые действует в конфигурационном пространстве оператор Р ф , потенциальная энергия Ф преобразуется по единичному представлению, т. е. по представлению, для которого все элементы группы представлены числом - -1. Для удобства обозначим единичное представление как (Г)(1- -). При рассмотрении кубических групп ниже мы увидим, что для единичного представления употребляется символ (Г)(- -1). Как правило, й = Г = (О, О, 0) обозначает нулевой вектор в зоне Бриллюэна, а т = 1 удобный символ для единичного представления группы (Г). Таким образом, (109.5а) и (109.56) можно переписать в виде [c.328]

В динамике твердого тела скобка Ли-Пуассона встречается наиболее часто. Это связано с тем, что конфигурационное пространство системы, как правило, является некоторой комбинацией естественных групп Ли (б О(З), (3),...). Однако при редукции по циклическим переменным могут возникнуть нелинейные скобки Пуассона (см. 1,2 гл. 4). [c.33]

Исторический комментарий. Для уравнений динамики в форме (2.10), (2.11) Н. Г. Четаев [181] также развивал теорию интегрирования, аналогичную методу Гамильтона-Якоби. Однако, если в каноническом случае успех в разделении переменных связан с особо замечательными системами координат на конфигурационном пространстве (типа эллиптических или сфероконических), то для алгебраической формы записи (2.10), (2.11) таким путем удается исследовать только тривиальные симметрии (имеющиеся, например, в случае Лагранжа (см. гл. 2)). [c.36]

Рассмотрим твердое тело, вращающееся в потенциальном силовом поле вокруг неподвижной точки О. Для описания его движения используются различные системы переменных. Конфигурационное пространство, представляющее собой множество всех положений твердого тела, является группой Ли 30(3), и в качестве координат, определяющих положение твердого тела, можно взять, например, углы Эйлера в, р, гр [9]. [c.39]

Переменные разделяются, если удается подобрать координаты на конфигурационном пространстве, для которых полный интеграл представляется в виде [c.78]

Задача о разделении переменных, отчетливо сформулированная К. Якоби в его Лекциях по динамике (1842-43 гг.) [183], до сих пор является предметом серьезных исследований. Ж. Лиувилль и П. Штеккель нашли наиболее общие формы гамильтонианов, допускающих разделение переменных. Причем оказалось, что если использовать только преобразования конфигурационного пространства (точечные преобразования), то разделение переменных тесно связано с наличием полного набора интегралов, квадратичных по импульсам. Результаты такого сорта для натуральных систем с двумя степенями свободы были впервые указаны Дарбу, Уиттекером и Биркгофом [167, 13]. С современной точки зрения они обсуждаются в [137]. [c.82]

Отметим, что аналогичный результат для системы с линейными по импульсам интегралами заключается в том, что эти интегралы всегда оказываются связанными с существованием группы симметрий в конфигурационном пространстве и с циклической переменной. В этом случае, хотя бы локально, всегда возможно соответствующее понижение порядка. [c.82]

Случай Ковалевской является исторически первым случаем, в котором разделение переменных не может быть получено методом Гамильтона-Якоби, т.е. разделяющие переменные не находятся на конфигурационном пространстве. В этом случае, однако, имеется нетривиальное преобразование фазовых переменных, включающее как обобщенные координаты, так и импульсы, приводящие к уравнениям Абеля-Якоби и к разделяющимся переменным на плоскости. Возникающая при этом интегрируемая система. [c.307]

Напомним, что в методе Лагранжа независимыми переменными считаются обобщенные координаты и время Производные по времени от обобщенных координат (т. е. обобщенные скорости д )тоже явно входят как в лагранжиан I, так и в уравнения Лагранжа (29.2), однако, несмотря на это, переменные считаются зависимыми. Это обстоятельство в методе Лагранжа находит свое отражение в том, что для описания движения системы вводится понятие о ее траекториях в конфигурационном пространстве. Такой способ описания движения не лишен некоторых недостатков. Действительно, задание какой-нибудь точки в таком пространстве дает только з начальных условий, и, следовательно, для того чтобы полностью определить движение системы, требуется задать еще з [c.187]

Итак, в методе Гамильтона в качестве независимых переменных рассматриваются 5 обобщенных координат системы д , д ,...,д и 8 ее обобщенных импульсов р , р ,. .., р , определяемых равенствами (30.5). Для геометрической интерпретации движения механической системы вводится понятие о так называемом фазовом пространстве. Под фазовым пространством понимается 28-мерное пространство, по осям координат которого откладываются значения 5 обобщенных координат д я обобщенных импульсов р . Каждой точке фазового пространства (ее называют изображающей точкой) соответствует определенное состояние системы. При движении системы изображающая точка описывает в фазовом пространстве кривую, называемую фазовой траекторией механической системы. В отличие от конфигурационного пространства через каждую точку фазового пространства проходит одна-единственная фазовая траектория механической системы. [c.187]

Из системы уравнений (23.3) видно, что уравнения Гамильтона имеют симметричный вид относительно канонических переменных Рк и Як, благодаря чему они находят широкое применение в теории, в частности в статистической физике. Вспомним, что в лагранжевом формализме состояние системы из п материальных точек описывают положением одной изображающей точки в пространстве конфигураций, образованном обобщенными координатами Як ( 19). Аналогично в гамильтоновом формализме состояние системы описывают положением изображающей точки в фазовом пространстве, образованном обобщенными координатами Як и обобщенными импульсами Рк. Конфигурационное пространство имеет , а фазовое 2х измерений. [c.203]

Перейдем теперь от переменных д, к переменным д, р, т. е. от пространства состояний к фазовому пространству ). Условно изобразим расширенное фазовое пространство (рис. 5.3). Траектория изображающей точки в расширенном конфигурационном [c.300]

Задачи динамики могут быть формулированы языком высшей геометрии, если связать каждую динамическую проблему с соответствующей формой метрической геометрии. В общем случае — это нериманова геометрия, причем конфигурационное пространство включает время в качестве координаты, равноправной с другими переменными. Тогда траектории механического движения тел будут представлены кратчайшими или геодезическими линиями такого метрического многообразия, в то время как волновые поверхности (или поверхности действия) становятся параллельными поверхностями. Геодезические же линии могут быть построены как ортогональные траектории к этим поверхностям. Тогда динамические процессы движения корпускулярных систем совпадают с задачей распространения света в оптически неоднородной среде. [c.869]

Глава начинается с традиционного рассмотрения симметрии обращения времени в 88—94, основанного на отождествлении оператора обращения времени с комплексным сопряжением. При этом оператор обращения времени действует на иные переменные, чем пространственные преобразования. Комплексное сопряжение состоит в преобразовании (отображении) комплексного поля (в котором заданы собственные векторы) на само себя, тогда как пространственные преобразования отображают точки конфигурационного пространства на само себя. Так как основными переменными динамики решетки являются вещественные смещения, физические неприводимые представления также должны быть вещественными. Критерий Херринга вещественности неприводимых представлений пространственных групп обсуждается в 93 [69]. В 94 дано обобщение более полезного критерия вещественности, данное Фреи [70]. Используя этот последний критерий, можно определить не только, является ли данное представление вещественным, комплексным или псевдо-вещественным, но в случае комплексного представления установить симметрию комплексно сопряженного представления. [c.233]

В качестве примеров рассмотрим классические задачу Якоби о геодезических на трехосном эллипсоиде и задачу Неймана о движении точки на сфере в квадратичном потенциале. Они связаны с двумя различными, но взаимными друг другу, интегрируемыми случаями Клебша в уравнениях Кирхгофа (см. 1 гл. 3) и их интегрирование, а также возникающие в процессе эллиптические и сфероконические координаты имеют универсальный характер в теории интегрируемых систем. Все известные задачи, допускающие разделение переменных (на конфигурационном пространстве), решаются с использованием этих координат или их вырождений. [c.78]

Скобка Пуассона в переменных (М, 7) определяется алгеброй е(3) (см. 1 гл. 2). Симплектический лист алгебры е(3) 7 = 1, (М, 7) = с диффео-морфен кокасательному расслоению к двумерной сфере S = 7 = Эта сфера, являющаяся конфигурационным пространством приведенной (по ф) системы, называется сферой Пуассона. [c.223]

Дано фазовое пространство и определена с помощью уравнений состояния типа (2.15), (2.77). (2.81) энергия системы. Если в качестве независимых переменных заданы координаты ду в конфигурационном пространстве и импульсы ру, то существуют сопряженные переменные в виде их производных по времени ду- и ру. Уравнения Гамильтона выражают связь между ними. Поэтому уравнения Галпшьтона определены как для частиц , так и для всех видов полей. Уравнения состояшш вводят конечный элемент площади в фазовом пространстве dqJdpy = К . Это позволяет разбить фазовое пространство на ячейки. Поскольку уравнения состояния (2.15), (2.77), (2.81) вводят, в частности, конечные элементы энергии, то, как и в методе Больцмана, можно ввести числа заполнения ячеек фазового пространства, не зависящие от природы частиц или полей, описываемых уравнениями Гамильтона. Так как адиабатический инвариант системы Кк конкретно свой для каждого класса систем, то числа заполнения ячеек велики, как и необходимо для подсчёта числа возможных состояний системы методом Больцмана. Числа возможных [c.139]

Подчеркну ещё раз. Функция 1у есть аргумент действия-энтро-тт-1и1формации (3.27) как переменной уравнения Гамильтона-Якоби. Подстановка в (3.27) у/ (как решения, отвечающего конкретной задаче для уравнения Шрёдингера) даст нормированное выражение для действия как энтропии системы, которое есть переменная в (3.28). Нормировка энтропии с помощью уравнения Шрёдингера определяет распределение, отвечающее максимуму действия-энтропии-информации (при правиле знаков Больцмана) в конфигурационном пространстве при заданных условиях. Изменения величины этого максимума в составе уравнения (3.28) подчиняются второму началу термодинамики. [c.154]

Преимущества решетчатой модели перед ячеечной неоспоримы — она полностью микроскопическая с самого начала. Однако необходимо сразу отметить и ее физическую ограниченность. В ячеечной модели число ячеек совпадало с числом частиц iV, объем ячейки являлся термодинамической переменной, а внутри ячейки частица все же двигалась (свободно или нет — это уже детали), поэтому импульс частицы сохранял свое первоначальное значение. В решетчатой модели объем ячейки V) фиксирован, его величина выбирается, по существу, равной собственному объему молекулы тгго, поэтому и число ячеек (или число узлов решетки) > N. Частицы в узлах решетки считаются неподвижными (изменение микроскопического состояния — это их перескакивание из узла в узел). При этом, введя для описания микроскопического состояния дискретное пространство координат, мы сохраняем прежнюю форму для интефала о, при подсчете которого импульсы р ,...,рлг традиционно считались непрерывными от минус до плюс бесконечности и распределенными в соответствии с максвелловской формулой (р). Понятно, что, сделав координатное пространство дискретным, мы должны соответственным образом преобразовать и импульсную часть фазового пространства (р, ), но это уже достаточно сложное дело, и мы будем простодушно полагать, что решетчатая аппроксимация касается только конфигурационного интеграла Я, сохраняя известную нам из теории идеальных газов часть в неприкосновенности. [c.339]

Здесь х(() — координата груза, и з, 1) — отклонение по оси Ох точки стержня с координатой 5 от прямолинейной формы, N — изгиб-ная жесткость стержня. При вычислении потенциальной энергии деформаций стержня использована теория изгиба тонких стержней (см. 9.5). Конфигурационным пространством системы является пространство К X У= м(5) и е ([0,1]), г/(0) = и (0) = 0 . Вьтол-ним каноничес10 ю замену переменных и получим [c.293]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...