Интеграл конфигурационный

Таким образом вычисление энергии Гельмгольца, а следовательно, и всех термодинамических функций многочастичной системы сводится к вычислению ее конфигурационного интеграла [c.200]

Нахождение внутренней энергии Е системы, задаваемой функцией Гамильтона Н (q, р), по общему методу (12.27) сводится к вычислению конфигурационного интеграла (12.24). Однако во многих случаях Е можно найти значительно проще, используя две общие теоремы классической статистики — теорему о равномерном распределении кинетической энергии по степеням свободы и теорему о вириале. [c.200]

Из всех частичных равновесных функций распределения особо важное значение имеет бинарная функция 5 2(41, Чг) (или р2(Чь Чг)), так как через нее могут быть выражены термическое и калорическое уравнения состояния и другие термодинамические функции изучаемой системы. Таким образом, в методе Боголюбова исследование равновесных систем сводится не к вычислению конфигурационного интеграла, а к решению уравнений для частичных функций распределения, что оказывается в ряде случаев значительно проще. При этом либо используется разложение функций распределения в ряд по малому параметру, либо для получения замкнутой системы s уравнений для этих функций одна из высших функций распределения приближенно выражается через низшие (процедура расцепления, или обрыва, цепочки уравнений). [c.214]

Подставляя (15.9) в (15.4), получим групповое разложение конфигурационного интеграла Qi [c.268]

Это значит, что в разные слагаемые (65.6) вносят вклад разные области конфигурационного пространства, В интеграл f d rld r2...d r , [c.330]

Согласно (65.11) для конфигурационного интеграла Z получаем [c.335]

Понятие конфигурационного интеграла играет центральную роль в равновесной статистической механике взаимодействующих систем. Отклонения термодинамических свойств от идеальных могут быть получены с помощью очевидного соотношения [c.210]

Х-РАЗЛОЖЕНИЕ КОНФИГУРАЦИОННОГО ИНТЕГРАЛА 213 [c.213]

Х-РАЗЛОЖЕНИЕ КОНФИГУРАЦИОННОГО ИНТЕГРАЛА 215 [c.215]

Г. Тогда конфигурационный интеграл выражается в виде [c.216]

Оказывается, что для каждого порядка Ъ имеется конечное и (относительно) малое число классов. Поэтому, если нашу программу удастся выполнить, то она позволит получить гораздо более простое представление конфигурационного интеграла Q по сравнению с формулами (6.2.1), (6.2.2). Приступим теперь к выполнению нашей программы. [c.216]

Суммирование проводится по всем различным диаграммам без обозначения индексов с Ъ связями. Это выражение дает решение проблемы разложения конфигурационного интеграла по степеням X. [c.224]

Однако априори ясно, что расходимость Q как функции N не приводит к каким-либо неприятностям. В самом деле, физический смысл имеет свободная энергия = — к дТ 1т Q, а не сам конфигурационный интеграл Q. Следующая наша задача, следовательно, заключается в получении разложения для Ас и проверке того, что все члены в этом разложении пропорциональны N, как и следует ожидать для экстенсивной термодинамической величины. [c.226]

Очевидно, что конфигурационный интеграл Q (6.1,5) обладает точно такой же формой с а = —рЯ. Функция Ф (а) производит моменты в том смысле, что коэффициент при (—pi)Vb в разложении (6.2.5) в ряд по степеням (—рЯ) как раз совпадает с моментом Ь-го порядка (Хй функции Я. [c.226]

Таким образом, разложение в ряд свободной энергии (6.3.10) действительно намного проще, чем разложение (6.2.5) конфигурационного интеграла оно получается из последнего исключением всех приводимо связанных и всех несвязанных диаграмм и делением полученного выражения на N. В результате каждый член ряда становится не зависящим от N. Этот важный факт дает возможность убедиться в существовании свободной энергии в расчете на одну частицу при условии, чтл [c.228]

Q — конфигурационный интеграл, определяемый выражением [c.255]

Найдем теперь логарифм статистической суммы и логарифм конфигурационного интеграла в виде функционалов от потенциала < з. Вычисление вариации по отношению к т ) дает [c.278]

Логарифм конфигурационного интеграла (6.1.5) теперь записывается в виде [c.332]

На втором этапе вычисления мы разделили и умножили н конфигурационный интеграл твердых сфер таким образом, чтобы в выражении фигурировало среднее от ехр (—РЯ ), вычисляемое-с весом, равным функции распределения твердых сфер. [c.332]

Вся трудность состоит в расчете оставшегося, так называемого конфигурационного интеграла. Если переменные не разделяются, то даже с помощью ЭВМ интегрирование оказывается невозможным, так как это ЗЛ/ -кратный интеграл. [c.121]

С другой стороны, вклад в классический конфигурационный интеграл от взаимодействия атомов в состоянии а пропорционален числу этих пар п вириальному коэффициенту безотносительно к тому, имеет ли данная потенциальная кривая минимум. Если исходных атомов М, то число указанных пар равно [c.386]

Геометрический интеграл (28) можно рассматривать как конфигурационное пространство существенных координат у 8 , где 8 — двумерная сфера, называемая сферой Пуассона. Таким образом, система уравнений (21)-(24) имеет интеграл энергии (25) и два линейных (относительно квазискоростей ш) первых интеграла (26) и (27). [c.437]

Эта натуральная механическая система рассматривалась в 4 гл. III. Она имеет три степени свободы, конфигурационное пространство есть группа S0 3). Задача инвариантна при действии группы вращении g (s [О, 2тг)) относительно оси симметрии силового поля. Группе g" соответствует циклический интеграл — интеграл площадей. Через j обозначим его постоянную. [c.143]

Итак, рассмотрим необратимую систему с двумерным тором в качестве конфигурационного пространства. Уточняя классический результат Биркгофа [18, гл. Н], укажем критерий существования многозначного линейного интеграла. Под многозначным интегралом мы понимаем замкнутую 1-форму на фазовом пространстве, производная от которой вдоль векторного поля обращается в нуль. Целесообразность рассмотрения многозначных интегралов обусловлена двумя причинами [c.374]

Инвариантный Г-интеграл Г для электромагнитного поля в пустоте (т.е. при w = 0,(7 = 0, = 0,p = 0,/=0) представляет собой поток энергии-импульса поля, введенного Максвеллом. В теории упругости (при = О, q = 0,Е = 0, = 0) интеграл Г впервые появился в работе Эшелби 1951 г. [2], который применил его для вычисления конфигурационных сил, действующих на неоднородность в упругом поле. В 1967 г. Черепанов получил интеграл Г для произвольной сплошной среды при малых деформациях с учетом лишь термомеханических процессов [3] (т.е. приi = 0, = 0) он же применил его впервые для изучения роста трещин в твердых телах [3,4]. В 1968 г. появилась знаменитая работа Райса [5], в которой он применил интеграл Эшелби для анализа концентрации напряжений и деформаций в окрестности вырезов и щелей в нелинейно-упругих телах. [c.12]

С середины 60-х годов появляются работы, посвяш,енные изучению поведения трептин с помош,ью конфигурационной силы, введенной Эшелби в 1951 году и влияюш,ей на особенность упругого поля [281. Соответствуюш,ее выражение имеет вид интеграла, взятого по контуру, проведенному вокруг вершины трептиньт, названного впоследствие интегралом Черепанова-Райса. Причем этот интеграл инвариантен по отношению к форме и размерам контура. Кроме того, этот интеграл [c.11]

Этот прием позволяет разложить конфигурационный интеграл на сумму интегралов для отдельных группировок молекул, задаваемых произведением факторов fijfjn. . . [c.57]

Системы, у которых вклад гамильтониана взаимодействия ХЯ в термодинамические характеристики мал по сравнению с вкладом Н°, называются системами со слабым взаимодейсттем. В этом случае мы можем формально разложить физические величины в ряды по степеням Я,. Если G — одна из таких величин (например, конфигурационный интеграл Q, свободная энергия А или давление Р), мы записываем [c.210]

Этим методом мы выявили все классы в каждом порядке. Нетрудно найти вклад индивидуального члена класса в конфигурационный интеграл. Сначала перенумеруем вершины произволь-ныьш числами, например, первыми числаьш натурального ряда в произвольном порядке. Затем диаграмме сопоставляем интеграл. Например, диаграмма Зс дает интеграл [c.219]

Следовательно, разные члены в Лгразложении конфигурационного интеграла Q ведут себя различным образом в термодинамическом пределе все они расходятся пропорционально числу N, взятому в степени, определяемой связанностью соответствующих диаграмм. Вследствие такой неоднородности в этом пределе нельзя приписать Q какой-либо смысл. [c.225]

Меру фазового объема можно получить из мер конфигурационного и скоростного объемов, ибо каждой конфигурации в фазовом пространстве принадлежит некоторый скоростной объем и интеграл элементов кон )игурационного объема в ка-ком-либо фазовом объеме, помноженных каждый в отдельности на свой скоростной объем, является мерой фазового объема. [c.74]

Однако нетрудно видеть, что это заключение, вообще говоря, не является правильным из близости суммы к интегралу в начальный момент еш е не следует близость их через достаточно большое время t. Для того чтобы представить себе это достаточно ясно, перейдем от рассмотрения фазового пространства одной малой планеты — [х-пространства — к рассмотрению фазового пространства Г всей системы п невзаимодействующ их малых планет. Заметим при этом, что п достаточно велико, чтобы обеспечить упоминаемые ниже прихменения закона больших чисел. Допустим, этп п точек распределены в фазовом (л-пространстве так, что они апрокспмируют некоторый непрерывный закон распределения, т. е. так, как если бы каждая из данных точек помещалась по этому вероятностному закону. Тогда в соответствии с законом больших чисел, количество этих точек, попавших на всякий, достаточно большой интервал (настолько большой, что математическое ожидание числа точек на нем достаточно велико), пропорционально интегралу функции распределения по этому интервалу. Этому, условно вводимому нами непрерывному распределению в -пространстве соответствует определенное непрерывное распределение в Г-пространстве. Рассмотрим в Г-пространстве область М, точки которой изображают такие положения п малых планет в -пространстве, для которых, в соответствии с законом больших чисел, количества планет, приходящихся на все достаточно большие интервалы -пространства, на ничтожно малую долю отличаются от математического ожидания, вычисленного в предположении существования условно нами введенного вероятностного закона. (Очевидно, что интеграл от введенной нами плотности вероятности в Г-пространстве по такой области М очень мало отличается от единицы, а если, например, плотность вероятности постоянна в той области, где она отлична от нуля, то область М составляет подавляющую часть этой области.) Эта область М будет с течением времени переходить в другие области фазового пространства. В частности, в силу размешивания, можно утверждать, что для любой области N можно найти такое, достаточно большое время что для любого область М будет содержать части, принадлежащие области N, Допустим, что в качестве области N выбрана область О таких состояний системы малых планет, при которых они распределены в конфигурационном -пространстве весьма неравномерно (т. е. как бы область неравновесного состояния всей системы п планет). Тогда легко видеть, что при всех достаточно больших t существует конечная часть МО области Л/, все точки которой [c.107]

Статистический интеграл большой системы (в пределе N оо, F-> схз, V = V/N = onst) всегда дает наиболее вероятное макросостояние. При таком подходе к задаче метастабильные состояния жидкости и пара автоматически выпадают, остается только стабильная область [32, 33]. На этом пути нельзя получить уравнения ван-дер-ваальсовского типа, если не вводить очень сильного и ничем не обоснованного ограничения на конфигурационный интеграл [34]. (Например, учитываются только одиночные молекулы и группы, состоящие из двух молекул.) Кац, Уленбек и Хеммер [35] вернулись к идее Ван-дер-Ваальса [c.21]

Инвариантные множества стационарных движений. В этом параграфе мы будем рассматривать консервативные механические системы с п степенями свободы, допускающие /г-параметрическую группу симметрий [к < п). Пусть vGM nrGM — квазискорости (в частности, импульсы или обобщенные скорости) и существенные координаты системы соответственно, М — конфигурационное пространство существенных координат dim М гг. Данная механическая система допускает интеграл энергии [c.432]

Согласно результатам предыдущего параграфа, критическим точкам интеграла энергии при фиксированных значениях постоянных других интегралов отвечают стационарные движения рассматриваемой системы. Учитывая структуру интегралов (3) и (4), задачу отыскания стационарных движений можно решать в два этапа. Сначала можно найти минимум квадратичной по v функции (3) на линейном по V многообразии (4), рассматривая г как параметры (других критических значений функция (3) как функция переменных v иметь не может). Очевидно, этот минимум зависит от г и с обозначим его Wdv). После определения функции Weir), которая называется эффективным потенциалом, задача поиска стационарных движений сводится к определению критических точек этой функции на конфигурационном многообразии М. [c.432]

Впервые инвариантные интегралы появились в классическом трактате Максвелла (J. . Maxwell) в 1873 г. при определении напряжений в электромагнитном поле ). В статической линейной упругости аналогичные интегралы, используя метод Максвелла, ввел в 1951 г. Эшелби [19]. Фактически Эшелби использовал инвариантные интегралы для вычисления конфигурационной силы, действующей на упругую неоднородность эллипсоидальной формы. Согласно Эшелби, сила которая действует на дефект или включение в упругой среде, может быть вычислена с помощью не зависящего от пути интеграла [c.663]

Если Н > тахто(—У), то В совпадает со всем конфигурационным пространством, и задача о существовании периодических решений уравнений движения сводится к нахождению замкнутых геодезических линий гладкого риманова многообразия (М, йр). Каждой замкнутой геодезической отвечают два различных периодических решения исходной задачи (движения по этой кривой в противоположных направлениях). Они являются, конечно, вращениями. Существуют оценки числа замкнутых геодезических, зависящие отчасти от топологического строения М, отчасти от римановой метрики йр [52]. Наилучшей универсальной нижней оценкой является пока 2 [53]. Таким образом, на (2п — 1)-мерных уровнях интеграла энергии с постоянной Н > тах(—У) существуют, по крайней мере, четыре различных периодических решения. [c.141]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...