Энергия конечных элементов

Т , Т — кинетическая энергия конечного элемента и всего тела U, зс, Uy, Uz — матрица-столбец перемещений произвольной точки тела и ее компоненты и , и — потенциальная энергия деформации конечного элемента и всего тела [c.12]

V , V — полная потенциальная энергия конечного элемента и всего тела [c.12]

ЭНЕРГИЯ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ [c.203]

Конечное количество энергии излучается с конечного элемента поверхности протяженного источника в конечный телесный угол. [c.10]

Исходными при решении данных задач послужили уравнения сохранения количества движения, вегцества и энергии, записанные в интегральном виде для расчетного конечного элемента (ячейки), в которой предполагается соблюдение условия идеального перемешивания. Конечный элемент является локальным по пространству, занимаемому многокомпонентной струей. [c.3]

Аналогичное выражение будет и для Sk+i- Оно показывает, что в уравнения равновесия типа (8.69) войдут обобщенные упругие силы только от примыкающих к узлу конечных элементов. Это следует из механической модели обобщенных упругих сил, изображенной на рис. 8.33, б. Формально это можно доказать тем, что энергия деформации пластины равна сумме энергий отдельных элементов [c.262]

Если несколько видоизменить трактовку алгоритма, сформулированного выше, то придем к решению, получившему наименование метода конечного элемента. Для этой цели полную энергию системы представим как сумму энергий, каждую из которых относят к соответствующему элементу, определяемому линиями, соединяющими узлы. Конечный элемент может иметь произвольную форму треугольник, прямоугольник, ромб и т. п., которая определяется удобствами расчета. Такое отнесение энергии к конкретному по форме элементу дает возможность получить сравнительно простые формулы, исключающие необходимость проведения достаточно громоздких вычислений в каждом отдельном случае. [c.119]

Второй путь решения задачи заключается в задании поля возможных напряжений. В этом случае к узловым точкам относят напряжения а ., Оу., х у. и вводят предположение об их распределении, в частности линейном, в пределах каждого конечного элемента. Далее определяют деформации и перемещения как функции узловых напряжений. Используя потом условие минимума энергии, приходим к системе алгебраических линейных уравнений относительно узловых напряжений. Подобный подход является аналогом классического метода сил, широко применяемого в строительной механике. Отнесение энергии к каждому конкретному конечному элементу позволяет опять получить достаточно простые формулы, существенно систематизирующие расчет. [c.119]

Следовательно, метод конечных элементов представляет собой определение минимума потенциальной энергии системы среди возможных перемеш,ений заданной формы внутри конечных элементов. Система уравнений метода конечных элементов (9.474), отражаюш,ая, по существу, тот факт, что варьирование перемещений осуществляется по конечному числу параметров uo , может быть записана в виде [c.335]

Здесь Р (а) — линейная функция от о и производных о до порядка п включительно с постоянными коэффициентами, Q e) — такая же функция от деформации е. К соотношению вида (17.5.9) можно прийти, если рассмотреть модель, составленную из большого числа пружин и вязких сопротивлений, соединенных в разных комбинациях последовательно и параллельно. Конечно, было бы достаточно наивно искать в структуре материала соответствующие упругие и вязкие элементы, однако способ, основанный на построении реологических моделей, обладает некоторым преимуществом. Мы убедились, что в уравнении (17.5.8) должно быть J. < , при этом не было необходимости в обращении к модели, условие < Е, из которого следует первое неравенство, означает только то, что приложенная сила совершает положительную работу, расходуемую на накопление энергии деформации, а частично рассеиваемую в виде тепла. В общем случае (17.5.9) тоже должны быть выполнены некоторые неравенства, которые могут быть не столь очевидны. Но если построена эквивалентная реологическая модель из стержней, накапливающих энергию, и вязких сопротивлений, рассеивающих ее, то у нас есть полная уверенность в том, что для соответствующего модельного тела законы термодинамики будут выполняться. Второе преимущество модельных представлений состоит в том, что для любой заданной конфигурации системы может быть вычислена внутренняя энергия, представляющая собою энергию упругих пружин, и скорость необратимой диссипации энергии вязкими элементами. Имея в распоряжении закон наследственной упругости (17.5.1), (17.5.2), мы можем подсчитать полную работу деформирования, но не можем отделить накопленную энергию от рассеянной. Поэтому, например. Блонд целиком строит изложение теории на модельных представлениях. [c.590]

Здесь потенциальная энергия записана для одного конечного элемента, а для всего тела ее можно получить простым суммированием по элементам или переходом но правилам сборки от локальных к глобальным величинам. [c.90]

Далее для оценки распределения напряжений в волокне и матрице слоя применяется метод конечных элементов. Поскольку рассматривается только нагружение в плоскости слоистого композита с симметричной относительно срединной плоскости структурой, осредненные напряжения и деформации в любом слое постоянны по толщине слоя. Поэтому достаточно решить задачу о распределении напряжений в компонентах слоя для одного повторяющегося сегмента, не принимая во внимание его расположение в слое. Для определения критического элемента, в котором будет достигнут предел текучести, можно применить любой однородный изотропный критерий пластичности (например, основанный на гипотезе об энергии формоизменения). Приложенные нагрузки затем пересчитываются в точке зарождения течения критического элемента. Когда точка начала течения зафиксирована, можно переходить в диапазон нелинейного нагружения. [c.277]

Суть МКЭ применительно к расчету пластин заключается в том, что пластину разбивают на конечные элементы стандартной формы (обычно — треугольные или четырехугольные). Форму изогнутой поверхности задают в виде полинома не для всей пластины в целом, а для каждого элемента в отдельности. Коэффициенты аппроксимирующего полинома (а следовательно, и энергия деформации элемента) выражаются через перемещения (прогибы, углы поворота) в характерных точках элемента — узлах. [c.101]

Истинные методы конечных элементов отличаются от подходов, в которых рассматривается разбиение масс, главным образом тем, что при разбиении конструкции жесткости элементов определяются посредством классических способов статических исследований самих элементов, а не в процессе идентификации конструкции [1.40—1.46]. На рис. 1.12, а показано несколько обычно используемых типов элементов. Каждый элемент определяется с помощью 6, 8, 16 или 20 точек или узлов, в которых задаются условия совместности для перемещений и нагрузок. Исходными переменными являются пространственные перемещения в этих узлах уравнения движения обычно записываются с помощью того или иного вариационного подхода. Энергия деформаций, вычисляемая для каждого элемента, выражается через все узловые перемещения каждому узлу приписывают некоторую массу, и кинетическую энергию выражают через узловые скорости. Поскольку разбивка на элементы производится с учетом геометрии конструкции, отпадает необходимость в процедуре задания жесткостей, а соответствующие члены уравнений вычисляются из непосредственного рассмотрения геометрии каждого элемента. Для адекватного представления сложной конструкции необходимо большое число узлов, поэтому главными вопросами в методе конечных элементов являются [c.38]

Простое нагружение. Решение большого класса задач механики твердого тела может быть найдено при использовании принципа минимума свободной энергии тела, реализуемого с помощью метода конечных элементов. [c.37]

Алгоритм расчета собственных частот и форм колебаний ротора. Расчетная модель ротора может быть представлена в виде совокупности конечных элементов. При этом энергию тела (потенциальную и и кинетическую Т) выражают в виде их сумм по отдельным конечным элементам (AU, АТ). [c.49]

Потенциальная энергия при деформировании конечного элемента, равная работе внутренних сил, выражается формулой [c.491]

Эти компоненты получаются из подстановки уравнений (1.6) и (1.5) и выделения Ij слагаемого из выражения для потенциальной энергии деформации, а также I слагаемого из выражения для работы внешних сил для г конечного элемента, т. е. [c.7]

Система функций (1.20) линейно независима. Линейный закон изменения функций ф,- на сторонах конечных элементов обеспечивает существование напряжений и деформаций, входящих в функционал потенциальной энергии. Следовательно, система функций (1.20) принадлежит энергетическому пространству На. [c.14]

Система аппроксимирующих функций (1.23) линейно независима. Нетрудно проверить, что эти функции обеспечивают непрерывность углов поворота по линиям контакта конечных элементов, а следовательно, и существование яо всей области вторых производных, входящих в функционал потенциальной энергии. Таким образом, функции (1.23) принадлежат энергетическому пространству задачи. Для задачи изгиба плиты порядок дифференциального оператор" 2т = 4. Поэтому чтобы показатель сте- [c.16]

На основе этой теории компоненты напряженно-деформированного состояния, входящие в выражение для потенциальной энергии деформации и необходимые для построения матрицы жесткости конечного элемента, имеют следующий вид. [c.63]

Геометрические характеристики элементов модели, как и в предыдущем примере, вычисляются из равенства энергий деформации реальной конструкции и стержневой модели. Конечные элементы приняты двух типов — линейный конечный элемент, имеющий шесть степеней свободы (см. табл. 2.1) и пять степеней свободы. В расчете получены относительные прогибы в восьми сечениях пролетного строения и изгибающие моменты Мх в восьми сечениях каждой из балок. Расчетная схема включает 152 элемента, 117 узлов. [c.125]

При количественном анализе диссипации энергии в общем случае необратимых процессов требуется совместное решение уравнений термомеханики сплошной среды при заданных начальных и граничных условиях. Такая система уравнений обсуждается, например, в [72, 87]. Получение замкнутых решений связанных задач термомеханики даже в наиболее простых случаях (например, для одномерных процессов) связано со значительными трудностями. Численный анализ термомеханических процессов осуществляют обычно на основе пространственно-временной дискретизации основных уравнений. При этом дискретизацию по пространственным координатам проводят с помощью конечных элементов, а по времени - с помощью конечных разностей. Основы конечно-элементного подхода к расчету термомеханического поведения твердых деформируемых тел изложены, например, в [72], Подробный анализ диссипативных процессов применительно к пластическому деформированию твердых тел дан в [87, т.П]. [c.195]

В заключение следует отметить, что для определения /-интеграла вместо метода конечных элементов, связанного с установлением обобщенного уравнения ползучести, или вместо экспериментального определения потенциальной энергии U на основе уравнения (5.53) можно применить простой приближенный метод, описываемый в следующем разделе (метод податливости [84]). [c.192]

Здесь первое слагаемое описывает перемещения в базовом элемент (который предполагается полным и совместным), а второе дает дополнительное поле перемещений, нарушающее совместность конечных элементов в узловых точках перемещения а С обращаются в нуль. Неуэ-ловые степени свободы С выражаются через узловые перемещения V путем минимизации полной энергии конечного элемента (см. 5.5). [c.216]

Выражения для момента импульса и кинетической энергии аналогичны тем, которые мы получили для системы материальных точек, расстояния которых от оси вращения остаются неизменными. Однако вычисление момента инерции в рассматриваемом случае представляет собой более сложную задачу, так как вместо отдельных точек мы рассматриваем сплошное тело. Поэтому для вычисления / нужно взять сумму большого числа малых элементов l hmifl. Эту сумму можно вычислить путем интегрирования. Заменив малые конечные элементы тела бесконечно малыми, получим [c.404]

Исходными уравнениями при решении задач, рассмотренных в гл. 4-6, являются уравнения сохранения количества движения, вещества и энергии, записанные в ос-редненном виде для каждого конечного элемента. В конечном элементе предполагается условие идеального перемешивания. На основании исследования численных решений, проведенных в этих главах, разработаны новые принципы конструирования тепломассообменных аппаратов струйного типа, примененных в нефтегазовой и нефтеперерабатывающей промышленности. [c.8]

В заключение этого параграфа отметим, что рассмотренные выше основы метода Ритца имеют в основном принципиальное значение. В то же время технически он реализуется в большинстве случаев в одной из форм так называемого метода конечных элементов (МКЭ), о чем более подробно сказано в гл. 8. Преимущества последнего состоят в том, что окончательные разрешающие уравнения Ритца (3.28) удается составлять минуя операцию явного получения выражения полной энергии системы и его дифференцирования. [c.61]

В то же время следует отметить работу Рыбицки [31], который при решении задач о плоском напряженном состоянии и об обобщенной плоской деформации на каждом шаге нагружения использовал принцип минимума дополнительной энергии. Метод Рыбицки аналогичен методу конечных элементов и, следовательно, обладает всеми положительными качествами последнего аналогия состоит в том, что структура в целом или ее локальная область исследуется путем разбиения на дискретные элементы. Рыбицки рассмотрел два типа элементов [c.227]

Дефсфмации и напряжения и в этом случае следует охфеделять по усредненной функции прогибов (2.84). Конечный элемент, МЖ которого строится усреднением потенциальной энергии, идентифицируется в дальнейшем как LAMSHP. [c.63]

Условие кусочного тестирования в физическом смысле озна чает, что суммарная энергия, накапливаемая в разрыва между несовместными конечными элементами при неограниченном сгущении сетки стремится к нулю. [c.12]

Законтурный одноузловой элемент упругого основания (элемент третьего типа). Для получения матрицы жесткости этого конечного элемента (рис. 2.8) выражение потенциальной энергии запишем в полярной системе координат [c.52]

Из структуры элементов дифференциальной матрицы В следует, что обобщенные перемещения V, V2, tfii и Ups входят в функ-дионал под оператором первых производных, а и г зз — под оператором, вторых производных. Поэтому их аппроксимации по элементу и соответствующее им число степеней свободы будут разными. Для существования функционала потенциальной энергии необходимо, чтобы аппроксимации Ux, Uy, я 3г (t=l, 2) -обеспечивали существование первых производных. Например, в данном случае для треугольного конечного элемента могут быть приняты аппроксимирующие функции типа (2.6), а для прямоугольного— (1.20). Аппроксимация Uz и tjja должна обеспечивать существование вторых производных. Например, для треугольного элемента могут быть приняты аппроксимирующие функции (2.8), а для прямоугольного— (1.25) или (2.6). [c.64]

В МКЭ выполняется закон сохранения энергии для конечных элементов, но он может нарушаться для отдельных узлов, что в процессе численного решения задачи нестационарной теплопроводности может привести к осцилляции узловых значений температур- Избежать осцилляций можно путем диагонализашги матрицы [c.209]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...