Временные и пространственные краевые условия

ГЛАВА ПЯТАЯ КРАЕВЫЕ УСЛОВИЯ 1. Временные и пространственные краевые условия [c.40]

Временные и пространственные краевые условия [c.46]

Граничные и временные краевые условия позволяют выделить конкретный изучаемый процесс из общего класса явлений, описываемых совокупностью уравнения распространения тепла в движущейся среде, уравнениями движения вязкой жидкости и сплошности. Основным пространственным краевым условием для движущейся жидкости является характеристика скорости течения вблизи твердой поверхности. Из условия прилипания граничного слоя жидкости к поверхности стенки касательная составляющая вектора относительности скорости на стенке равна нулю. Для непроницаемой стенки в случае отсутствия какого-либо физико-химического процесса, сопровождающегося поглощением или выделением жидкости, нормальная составляющая скорости относительного течения также отсутствуют. Для входа и выхода жидкости из зазора обычно задают распределения скоростей и давления. Условия теплообмена различаются следующими краевыми условиями условием первого рода — задается распределение температуры на поверхностях в функции координат и времени второго рода — характеризуют распределение теплового потока на границе в функции координат и времени третьего рода — выражают зависимость температуры твердой стенки от температуры окружающей среды через коэффициенты теплоотдачи = ср+<7/ i = ср-(аст/а)(аг/аи)ет или (Эг/Эи)сх = -(Х/Аст) X X ( ст - ср). где Гст - температура стенки t p - температура среды q — плотность теплового потока а — коэффициент теплоотдачи. Временные краевые условия выражаются заданным распределением температур в характерный момент времени. [c.164]

Часто при наличии взаимодействия фаз краевые условия не могут быть заданы заранее. В таком случае задаются условия сопряжения на фазовой границе, устанавливающие характер связей полей скорости, температуры и т. д. в смежных фазах, а краевые условия назначаются заранее только на временных и пространственных границах исследуемой системы. [c.93]

Основное уравнение (1-9) относится к бесконечно малому элементу температурного поля и, взятое само по себе, ничего не говорит о развитии теплопроводности во всем пространстве и за все время, в течение которого протекает процесс. Для получения полной картины, отражающей качественные и количественные признаки конкретного случая, нужно математически поставить эту задачу, после чего найти частное решение основного уравнения. При ее постановке необходимо фиксировать определенную геометрическую форму теплопроводящего тела, его физические свойства (коэффициенты теплопроводности и температуропроводности) и, кроме того, задать так называемые краевые условия. В состав краевых условий входят начальное распределение температуры (временное краевое условие) и условия на границах (пространственные краевые условия). Перечисленные условия в совокупности определяют только одно явление и в этом смысле могут быть также названы условиями единственности. Задача, решаемая с их помощью, называется краевой или предельной задачей. [c.21]

Решение, соответствующее данной конкретной задаче, выбирается с помощью так называемых краевых условий. Краевые условия бывают временными и пространственными. [c.40]

Пространственное краевое условие первого рода сводится к заданию распределения температуры на ограждающих поверхностях как функции положения точки поверхности и времени, а функция должна быть задана для всех точек ограждающих поверхностей. В ряде практически важных задач оказывается возможным положить, что температура на твердой стенке одинакова во всех ее точках. [c.42]

Пространственное краевое условие второго рода сводится к заданию теплового потока, пронизывающего ограждающую поверхность как функции точки этой поверхности и времени. [c.42]

Совокупность начального и граничного условий составляет краевые условия начальное условие называется временным краевым условием, а граничное условие — пространственным краевым условием. [c.69]

При этом пространственно-временная зависимость, удовлетворяющая уравнению и обоим краевым условиям, имеет вид [c.322]

Этот результат, имеющий в принципиальном отношении общее значение, показывает, что пространственные краевые условия определяют значение постоянной 3 и оставляют для постоянной С произвольное значение. Последнее находится с помощью временных краевых условий. [c.120]

Задача решается для определенной геометрической формы тела и определенных физических свойств тела (коэффициенты теплопроводности и температуропроводности). При этом следует учитывать так называемые краевые условия начальное распределение температуры (временное краевое условие) и условие на границах тела (пространственное краевое условие). Все перечисленные условия конкретизируют процесс, делая явление единственным, и называются условиями единственности. [c.177]

Краевые условия состоят из граничных и начальных. Для граничных условий в (4.20) задается Х Г, где Г — граница рассматриваемой пространственной области. Для начальных условий в (4.20) задается / = нач, где /нач — начальный момент времени. [c.160]

Как видим, начально-краевые условия требуют существования у искомой функции и (М, t) заданного предела в точках пространственно-временной границы, но не требуют существования самой [c.125]

Система уравнений (10.7) устанавливает связь между пространственными и временными изменениями с1 и Т. Для однозначного определ[ения полей этих величин необходимо задаться начальным их распределением в материале, законом взаимодействия окружающей среды с поверхностью материала и формой исследуемого образца. Анализ решений системы уравнений (10.7) при соответствующих краевых условиях позволил выявить механизм сушки различных материалов и создать серию скоростных методов экспериментального определения теплофизических характеристик влажных капиллярно-пористых тел. [c.361]

Для описания процессов тепло- и массообмена в ЦТТ необходимо записать системы дифференциальных уравнений для каждой фазы и конкретизировать задачу постановкой краевых условий. Краевые условия характеризуют значение искомых функций или их производных при граничных пространственных и временных значениях независимых переменных (т, х, у, г). [c.93]

Система дифференциальных уравнений записывается для каждой отдельной фазовой области. Для конкретизации задачи должны быть, заданы краевые условия, характеризующие значения искомых функций или их производных при гра ичных пространственных и временных, значениях независимых переменных т, х, у, z. [c.26]

Краевые условия включают в себя начальные условия, характеризующие пространственное распределение зависимых переменных в начальный момент времени, и граничные, задающие значения этих переменных на границах рассматриваемой области в функции времени. [c.114]

В первой и во второй частях книги получены 29 уравнений, содержащие только упомянутые 29 величин, которые характеризуют напряженно-деформированное состояние. Следовательно, получена замкнутая система уравнений теории пластичности. Она представляет собой математическую модель упруго-пластической деформации. Напряженно-деформированное состояние в любом процессе обработки металла давлением (при прокатке, волочении, прессовании и др.) удовлетворяет этой системе уравнений. Поэтому ее недостаточно для достижения указанной цели теории пластичности. При интегрировании системы дифференциальных уравнений появляются новые постоянные и функции координат и времени, для определения которых нужны дополнительные уравнения, конкретизирующие процесс. Это уравнения, описывающие начальное состояние тела в момент времени f (начальные условия), и уравнения, отображающие взаимодействие деформируемого тела с окружающей средой (граничные условия). Совокупность начальных и граничных условий называется краевыми условиями. Они определяют пространственно-временную область, в пределах которой происходит исследуемый процесс обработки металла давлением, и вместе с замкнутой системой уравнений теории пластичности образуют краевую задачу. Ее решение, т. е. результат интегрирования замкнутой системы уравнений при заданных начальных и граничных условиях, представляет собой математическую модель рассматриваемого процесса (прокатки, волочения, прессования и т. д.) в виде 29 функций координат [c.233]

Приведенные ранее зависимости представляют собой математическую модель внутреннего механизма изучаемых процессов. Они не описывают условий взаимодействия тела с окружающей средой, его начального состояния. В связи с этим необходимо дополнительно рассмотреть совокупность данных, определяющих начальное состояние тела (начальные условия) и описывающих влияние окружающей среды на протекающие в теле процессы (граничные условия)-. Вместе они образуют условия единственности рещения рассматриваемой задачи, объединяясь в понятие краевых условий. При этом имеются в виду края той пространственно-временной области, в пределах которой происходит исследуемый процесс. [c.139]

Краевые условия включают начальные (временные) и граничные (пространственные). Для нестационарных процессов в вязкой жидкости задание начальных и граничных условий для скорости среды обычно не вызывает принципиальных трудностей. Они возникают при задании температурных граничных условий, т. е. температуры на поверхностях стенок Ти-. хис, X2w, т), ограничивающих поток вязкой жидкости, в любой момент времени [c.13]

Эта глава посвящена задачам динамического деформирования сред, геометрия которых и краевые условия обладают сферической или цилиндрической симметрией. Рассмотрим последовательно задачи для случая сферических волн, цилиндрических радиальных волн и цилиндрических волн сдвига на основе различных определяющих уравнений сред, представленных в гл. I. Благодаря предположению симметрии в этих задачах все параметры, определяющие состояние исследуемой среды, являются функциями только одной пространственной переменной и времени. В отличие от задач, представленных в предыдущей главе, здесь мы будем иметь дело со сложным напряженным и деформированным состоянием. Ограничим наши рассмотрения случаем малых деформаций среды. [c.153]

В литературе опубликовано уже много решений задач о распространении волн в случае сложного напряженного состояния (для одной пространственной переменной и двухпараметрической нагрузки). Первые работы в этой области ограничивались решением автомодельных задач [4, 12—14, 21, 26, 30, 106, 121 — 123, 215, 216]. В них рассматривался класс краевых условий, для которых напряженное состояние, деформированное состояние и массовые скорости частиц можно представить зависящими только от одной независимой переменной. Это позволило свести систему уравнений с частными производными, описывающих движение среды, к системе обыкновенных уравнений. Ввиду принятого в названных работах характера внешних нагрузок не имели смысла задачи об образовании фронтов пластических волн, которые возникают в результате взаимодействия продольных и поперечных волн. Не ставились также задачи об образовании волны разгрузки. На задачи этих двух типов сделан упор в работах [48—51, 142, 143], в которых рассмотрены более общие задачи о распространении продольно-поперечных волн в упруго/вязкопластической среде для произвольных изменений во времени внешних нагрузок. [c.186]

Теперь понятие плотности вероятностей не всегда имеет смысл, и приходится рассматривать уравнение в вариационных производных для характеристического функционала решения задачи,. которое в этом случае играет роль стохастического уравнепия Лиувилля и называется уравнением Хопфа (см., например [29]). Усредняя последнее по ансамблю реализаций стохастических параметров, получаем замкнутое уравнение в вариационных производных. Полученное уравнение для характеристического функционала представляет собой бесконечномерный аналог уравнений, соответствующих обыкновенным дифференциальным уравнениям и квазилинейным уравнениям в частных производных. Если же исходное уравнение само является линейным, то несущественно, какие у него производные (первого или более высокого порядка по пространственным переменным) важно лишь выполнение условия причинности (т. е. уравнение должно быть первого порядка по времени и для него должна ставиться задача Коши). Если условие причинности нарушается, т. е. мы имеем не задачу Коши, а краевую задачу, то в этом случае надо воспользоваться теорией инвариантного погружения, сводящей краевые задачи к задачам Коши для вспомогательных уравнений. [c.164]

Это уравнение, справедливое для веществ, теплофизнческие характеристики которых не зависят от температуры, устанавливает связь между временными и пространственными изменениями температуры в теле под действием источника тепла. Поскольку температурное поле тела зависит от его тепловых свойств, то по найденному изменению температуры в одной или в нескольких точках исследуемого тела -можно вычислить коэффициенты тепло- или температуропроводности. Но эти решения дифференциальных уравнений теплопроводности второго порядка сложны, и при разработке методов исследования стремятся использовать закономерности для одномерных тепловых потоков, которые можно реализовать в теплофизическом экоперимеите при определенных начальных и граничных условиях. Под начальными условиями понимается известное распределение температуры в теле в начальный момент времени, а под граничными условиями — закон взаимодействия тела с окружающей средой. Совокупность начального и граничногс, условий называют краевыми условиями [76, 78]. [c.123]

В общем случае найти аналитическое решение системы весьма аатруднительно. Применение численных методов расширяет воз-мол ности аналитических способов решения. Однако те и другие требуют одинаковых краевых условий, которые в реальных процессах тепло- и массообмена, как правило, представлены не полностью. Физический процесс полностью описывается некоторой системой уравнений и присоединенных к ним краевых условий только в том случае, когда эта система замкнута. Считают, что урав ( ения движения и сплошности допускают автономное решение, так как в совокупности со своими краевыми условиями они составляют замкнутую систему. Система уравнений теплопроводности и диффузии незамкнута. Если, например, известны начальные временные и начальные пространственные краевые условия (параметры сред на входе в аппарат), то, как правило, неизвестны конечные пространственные краевые условия — параметры [c.38]

В таких системах могут наблюдаться волновые процессы, характерные пространственные и временные размеры которых не зависят от начальных условий, а иногда не зависят также и от краевых условий и геометрических размеров системы. Р- В, Хохлов предложил называть такие процессы автоволновымн по аналогии с автоколебаниями в сосредоточенных системах. [c.145]

При наличии в исследуемой системе нескольких вза-имодействую-щнх фаз краевые условия для отдельных фаз зачастую не могут быть заданы наперед. iB этом случае краевые условия наперед назначаются только на временных и пространственных границах исследуемой системы сосуществующих фаз. Внутри же системы на фазовых границах назначаются так называемые условия сопряжения, устана вливающие [c.26]

Мы считаем Ь заданным (в типичных случаях постоянным или нулевым) вектором, и тогда уравнение (1) превращается в условие на деформацию X. В традиционных теориях это условие имеет вид дифференциального уравнения второго порядка по времени и пространственным координатам (по отдельности или по совокупности). В общем случае это — дифференциальнофункциональное уравнение, которое с учетом приведенной формы определяющего соотношения (IV. 5-5) никогда не является линейным относительно производных по пространственным координатам. Возможности современного анализа далеко не достаточны для того, чтобы подойти к общему решению краевых задач или задачи с начальными данными для таких уравнений. Тем не менее довольно много известно о частных решениях для специальных классов отображений , и остальная часть этой книги посвящена доказательству и объяснению этих известных в настоящее время теорем рациональной механики. [c.170]

Для решения этого уравнения нужно найти постоянные интегрирования, а для этого необходимо знать краевые условия рассматриваемой задачи. Эти условия разделяются на временнйе и пространственные (граничные). Врейеншде краевые условия предусматривают исходное распределение температуры в теле и относятся к моменту времени т = 0. Пространственные краевые условия относятся к поверхностям, ограничивающим рассматриваемую среду. Эти условия могут быть заданы по-разному, нанример [c.294]

В качестве второго примера рассмотрим стержень, показанный на рис. 4.2. Сте(ржень нагружен следящими силой Ро и моментом М.О. постоянны.ми во времени. Равновесная форма осевой линии стержня (например, прямолинейного до нагружения) есть пространственная кривая. На конце стержня имеется сосредоточенная масса т. Примем приближенно, что точка О (центр масс) совпадает с центром то рцового сечения стержня. Для следящих сил уравнения малых колебаний стержня в связанной системе координат будут однородными, так как проекции следящих сил и моментов в уравнения движения в связанной системе координат не входят. В данном примере имеем следующие краевые условия 1) е=-0, ио(0)=0,до(0)=0 2) в—1, АМ(1)- М =0, АО( 1) + Л = 0, где М , — соответственно момент инерции и сила инерции, дей- [c.80]

Математическая формулировка для ряда основных общих задач об оптимальном управлении процессами в системах с распределенными параметрами была предложена в работах А. Г. Бутковского и А. Я. Лернера (1960). В этих задачах состояние объекта в каждый текущий момент времени i определяется совокупностью функций одной или нескольких пространственных координат, описывающих звенья со сплошной средой. Влияние управлений на поведение системы определяется в математиче ской форме управляющими функциями и, которые входят в запись дифференциальных уравнений в частных производных, интегральных уравнений и т. п., определяющих поведение объекта объемные управления). Кроме того, управление может осуществляться за счет влияния на граничные условия, в которых работают те или иные звенья. Тогда функции граничные управления) входят в запись краевых условий для соответствующих задач математической физики. Переменные и могут быть как функциями от времени, так и функциями от пространственных координат. Задачи такого рода возникают при управлении процессами тепло- и массопереноса, процессами в энергетических установках и химических реакторах, при управлении гидро- и аэромеханическими объектами и т. д. Как правило, это — трудные для исследования и тем более для конкретного решения математические проблемы. [c.234]

Система уравнений решается в области / О, О s Л/ = Л/ .ф + + Л/пл, где М — масса веш ества в ускорителе, отнесенная к единице площади поперечного сечения (так называемый единичиый ускоритель). Величина массы М неизменна во времени, в то время как составляющие ее масса конденсированной фазы (диэлектрика) Л/ ,ф и масса плазмы Мпл изменяются в процессе фазового перехода. Указанное обстоятельство делает целесообразным использоваппе в задаче лагранжевой массовой переменной , ибо в этом случае границы пространственной области О s М оказываются неподвижными по массо. Ксли же систему уравиений (7.1) решать лишь в области, занятой плазмой Мпл(0, то возникает дополнительная задача определения на каждый момент времени положения границы области Кроме того, лагранжевы массовые переменные удобны при анализе процессов вблизи границы плазмы с диэлектриком, где в узкой пространственной зоне происходит резкое (на несколько порядков) изменение плотности. Использование в этом случае эйлеровых переменных привело бы к значительным трудностям при выборе в этой зоне разностной сетки. Будем считать, что левая граница области О < s М — точка s = О — соответствует левой границе диэлектрика, а координата s = М — границе плазмы с вакуумом. Подобласть 0 5<М ф(/) отвечает конденсированной фазе (диэлектрику), а Л/ ,ф(/) (Л/— 71/ .ф(г) = = М л) —зоне, запятой плазмой. Точка s ( ) = Мк.ф (О есть положение поверхности, где осуществляется фазовый переход. В процессе расчетов она явно не выделяется, благодаря использованию однородных разностных схем расчет осуществляется скво.чным образом. При s = О и s = М ставятся следующие краевые условия [c.352]

Как хорошо известно из математики, решения уравнения (9.1.3) однозначны опредапены только в том случае, если заданы надлежащим образом выбранные начальные и граничные условия. В дальнейшем мы будем предполагать, что уравнения (9.1.3) такого типа, при котором эволюция во времени определяется начальными условиями, а зависимость от пространственных координат — граничными условиями. Перечислим несколько наиболее типичных краевых условий, хотя приводимый нами перечень отнюдь не претендует на полноту и не избавляет от необходимости решать, каким из условий надлежит воспользоваться, и не следует ли ввести условия какого-нибудь другого типа, не входящего в число названных надш. Выбор подходящих граничных условий, вообще говоря, следует производить, исходя из физических соображений, хотя общие теоремы, доказанные на уровне современной математической строгости, могут быть весьма полезны. [c.312]

Единственным путем произвольного, принудительного введения тепла через поверхность твердого тела является бомбардировка его электронами (электронный нагрев), при которой могут быть обеспечены граничные условия второго рода, заданные любой функцией времени. Если к этому добавить широкие пределы возможного увеличения интенсивности тепловых потоков (недоступные при других способах нагрева твердого тела при поверхностном подведении тепла), то становится очевидной необходимость точного количественного изучения метода электронного нагрева с целью превра[цения его в метод эталонирования теплового потока. Это позволило бы по-новому подойти к решению ряда старых задач и поставить много других. Например, в теплотехнических экспериментах обеспечивается исследование моделей произвольной формы при любых тепловых потоках, вводимых через поверхность в метрологии могут быть исследованы тепловые характеристики различных материалов в предельно возможном диапазоне температур и тепловых потоков в теории нестационарного теплообмена могут быть опробованы любые аналитические методы расчета температурных полей по заданным условиям на границе и, что еще важнее, могут быть развиты методы отыскания краевых функций по известному пространственно-временному температурному полю. Особенно трудной последняя задача становится в условиях фазовых превращений и при наличии химических источников тепла, участвующих в процессе теплообмена. В этом случае, помимо перемещения границ, становятся существенно непостоянными физические параметры тела и возникает необходимость отделить тепловые потоки, поступающие в тело со стороны среды, от независимых источников тепла (скрытой теплоты, теплоты химических реакций и т. д.). [c.140]

Придадим независимым безразмерным переменным, свойственным рассматриваемому роду явлений, некоторые конкретные числовые значения, не затрагивая при этом относительных координат и относительного времени, которые должны оставаться текущими ве-личинакш. Иными словами, переведем независимые безразмерные переменные, кроме координат и времени, в категорию численно фиксированных параметров. В результате (и это соображение чрезвычайно важно) будет обеспечена единственно возможная количественная связь между зависимыми безразмерными переменными, с одной стороны, и безразмерными значениями координат и времени, с другой стороны. Пространственно-временное развитие безразмерного поля будет установлено во всей количественной конкретности, что и является полным ответом на поставленную краевую задачу. Такое заключение основывается, конечно, на том подразумевающемся предположении, что для исходной замкнутой системы уравнений и условий существует решение и оно является единственным. [c.60]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...