Интегрирование функций комплексного переменного

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [c.108]

КОНТУРНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [c.525]

Функции комплексного переменного Fj (p) Me (p) удовлетворяют условиям леммы Жордана [72]. Следовательно, интегрирование по прямой (а — i со, о + со ) можно заменить интегрированием по замкнутому контуру, составленному из участка указанной прямой и дуги радиуса R о. Дугу радиуса R следует замыкать в левой полуплоскости при / > О и в правой полуплоскости при t < 0. [c.51]

В случае потенциального потока вопрос интегрирования основных уравнений процесса течения в настоящее время решается путем интегрирования системы дифференциальных уравнений (294)—(298) с применением аппарата теории функции комплексного переменного. Однако такие методы громоздки и в процессе расчетов менее удобны для программирования на электронных вычислительных машинах. [c.180]

Как известно, при помощи преобразований Лапласа функция вещественного переменного (в том числе времени) переводится в функцию комплексного переменного. Такое преобразование превращает дифференциальные уравнения в алгебраические, что позволяет легко учитывать начальные условия и избежать сложных выкладок, связанных с вычислением постоянных интегрирования. Это значительно облегчает исследование динамики сложных гидромеханических систем. [c.49]

В теории упругости выдающиеся результаты были получены при разработке общих методов интегрирования дифференциальных уравнений равновесия упругого тела, приближенных методов их решения и в исследовании многочисленных частных задач. Это было продолжением и расширением исследований русских механиков дореволюционного периода. Но сложились также новые школы и направления. Систематически велись исследования по плоской задаче теории упругости с помощью методов теории функций комплексного переменного, большая группа ученых работала по теории пластинок и оболочек, приобретавшей все большее значение для техники. Меньше внимания уделялось контактным задачам, но гг они стали постоянным предметом исследований. Впервые после трудов Остроградского значительные результаты были получены в теории распространения упругих волн, которая разрабатывалась в связи с запросами сейсмологии. К этому списку надо добавить исследование устойчивости упругих систем, теорию стержневых систем, графические методы. Тут мы находимся на стыке теории упругости п таких прикладных дисциплин, как строительная механика и сопротивление материалов. [c.291]

Определение и s< > сводится к интегрированию уравнений (13.3.6). Эта система по форме совпадает с условиями Коши—Римана, которым должны подчиняться действительная часть и коэффициент при мнимой части аналитической функции комплексного переменного. Отсюда следует, что [c.181]

Слагаемое г1), (С) удовлетворяет всем условиям, сформулированным в 13.4, и не будет давать каких бы то ни было сосредоточенных воздействий. Для исследования других слагаемых правой части (16.26.9) будем подставлять их в интегральные уравнения равновесия, считая, что интегрирование надо производить по окружности = р. Тогда вычисление интегралов (16.26.8) для каждого отдельно взятого члена разложения (16.26.9) может быть выполнено при помощи известной формулы теории функций комплексного переменного [c.233]

Предлагаемая небольшая книга Владимира Васильевича Голубева представляет собой, собственно говоря, не вполне законченное исследование, позволяющее дать однозначные оценки, а ряд эскизов, замечаний, личных соображений. Все они очень интересны для широкого круга читателей, потому что принадлежат перу замечательного ученого — известного специалиста по теории аналитических функций и теоретической механике, в течение всей жизни обращавшегося к творчеству С. В. Ковалевской. Собственно, одна из его самых известных книг Лекции по интегрированию уравнений движения тяжелого твердого тела около неподвижной точки посвящена явному интегрированию случая Ковалевской с помощью теории аналитических функций комплексного переменного. [c.5]

Теорию одномерных сингулярных интегральных уравнений можно построить с помощью формулы перестановки порядка интегрирования, не применяя теорию функций комплексного переменного. Формулы перестановки многомерных интегралов гораздо сложнее, и, кроме того, ядро, полученное после перестановки [c.197]

Мы видели выше, что как в случае плоской деформации, так и в случае плоского напряжённого состояния при отсутствии массовых сил, решение задачи сводится к краевой задаче для бигармонического уравнения, которому удовлетворяет функция напряжений. При интегрировании бигармонического уравнения в двумерной области с успехом может быть использована теория функций комплексного переменного. Первое удачное применение теории аналитических функций к плоской [c.222]

О других применениях общих представлений решения. Некоторые обобщения. Изложенные в настоящей и предыдущей (а также следующей) главах методы решения граничных задач плоской теории упругости основаны на общем представлении решения соответствующих дифференциальных уравнений при помощи функций комплексного переменного. Таким общим представлениям решений дифференциальных уравнений в частных производных при помощи произвольных функций придавалось на заре развития математической физики преувеличенное значение, аналогичное тому, которое в свое время придавалось интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений при помощи квадратур. Но вскоре выяснилось, что нахождение общего решения далеко не исчерпывает вопроса и что для решения соответствующих граничных задач такие общие решения зачастую почти ничего не дают. [c.381]

Отметим, однако, что в случае, когда распределение не описывается дельта-функцией от двух переменных интегрирования, две полевые моды не являются больше независимыми, а коррелируют друг с другом из-за интегрирования по комплексным переменным /3 и 7, то есть по фазовому пространству. Две моды являются перепутанными. [c.400]

В заключение предлагается некоторая простая методика интегрирования некоторых классов неконсервативных систем в элементарных трансцендентных (в смысле теории функций комплексного переменного) функциях. [c.69]

Здесь /(w) и F( v) - аналитические функции комплексной переменной и> 7 - контур интегрирования в комплексной плоскости и>, который в частном а учае может охватывать только вещественные значения и>. Как мы увидим в гл. 3 и 4, такие интегралы возникают при решении задачи о звуковом поле сосредоточенного источника в слоистой среде методом разделения переменных. Аналогичные интегралы появляются при исследовании формы импульса, распространяющегося в диспергирующей среде, дифракции волн на телах сложной формы, в квантовомеханической теории соударений и во многих других физических задачах. [c.217]

Учитывая, что ln D s, q) О при и что подынтегральное выражение представляет собой аналитическую функцию комплексной переменной I с особыми точками = ib = /Ьз (точки ветвления) и = q/s (полюс), контур интегрирования можно деформировать, проведя его по берегам отрезка [- /Ьз, - ib,] для функции Ф , когда Imq > О, и по берегам отрезка [ib ibj] для функции Ф (Imq < 0). Контуры и направление их обхода показаны на рис. 5.6. [c.199]

В приложениях 1-8 затрагиваются некоторые качественные вопросы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, от решения которых зависит исследование динамических систем. Обсуждению подлежат такие проблемы как бифуркация рождения предельного цикла из слабого фокуса (ср. с [196-198]) вопросы существования так называемых монотонных предельных циклов, наличия замкнутых траекторий, стягиваемых в точку по двумерным поверхностям, наличия замкнутых траекторий, не стягиваемых в точку по фазовому цилиндру качественные вопросы теории топографических систем Пуанкаре и более общих систем сравнения для динамических систем на плоскости проблемы существования и единственности траекторий, имеющих в качестве предельных множеств бесконечно удаленные точки для систем на плоскости элементы качественной теории монотонных векторных полей, а также вопросы существования длиннопериодических и устойчивых по Пуассону траекторий. В заключение предлагается некоторая простая методика интегрирования некоторых классов неконсервативных систем через элементарные трансцендентные (в смысле теории функций комплексного переменного) функции. [c.174]

Другой возможный способ мы приведем здесь в качестве иллюстрации приемов интегрирования, хотя в данном случае ои особых преимуществ не имеет. Рассматривая г как комплексную переменную, произведем интегрирование по контуру. Чтобы сделать подынтегральную функцию однозначной, произведем в плоскости разрез от ri до rj. Непосредственно ниже разреза радикал будем считать положительным. Выражение (18.16.1) для можно трактовать как интеграл по простому замкнутому контуру С, охватывающему разрез (рис. 70) [c.353]

Сделаем общее замечание. Все выражения интегралов, приведенные в этом параграфе, содержат комплексные функции, но переменные интегрирования вещественны. Ввиду этого области интегрирования оказываются обыкновенными одно-, двух- и трехмерными точечными пространствами перенесение свойств вещественных интегралов на комплексные получается непосредственно. Из всех выражений интегралов видно, что они полностью определяются интегралами от главной части (если задать комплексный аргумент). [c.84]

Вычет в s = 0 равен (1 + Г) . Вычеты в полюсах So = So с точностью до членов более высокого порядка малости также равны (1+Г) . На берегах разреза значения подынтегральной функции комплексно сопряжены используя это и заменяя переменную интегрирования, нетрудно преобразовать интеграл по разрезу к виду [c.71]

Заметим теперь, что функции V2 д RqT Rq и Rq R V2 не дают вклада в интеграл столкновений (4.2.33), так как при интегрировании по Е контур можно замкнуть в нижней (верхней) полуплоскости комплексной переменной 2 , где эти функции не имеют особенностей. Таким образом, линейные по V2 члены в (4А.11) можно отбросить. Для преобразования членов второго порядка по взаимодействию нам потребуется так называемая оптическая теорема для Т матрицы. Эту теорему можно вывести из соотношений (4А.8) и (4А.9). Сначала запишем [c.328]

Рассматривая плоскость комплексного переменного T-ftt, проведем интегрирование вдоль действительной оси плоскости комплексного переменного. В области, где т = — k, обход особой точки сверху, а в области т = -]-/г —снизу. Обход выполняется по контуру малого радиуса (рис. П.4.1). В этом случае при числовом определении интеграла особенности исключаются и с помощью электронно-вычислительных машин можно вычислить потенциал поля точек пространства при тех или иных параметрах излучателя. Для области дальнего поля интеграл (П.4.14) может быть преобразован к более удобному виду. Используя асимптотическое выражение функции [c.236]

Основное различие между (10.14) и общими решениями модельных уравнений, рассмотренных в предыдущих разделах, состоит в том, что здесь мы имеем двойной интеграл (который существует в обычном смысле) вместо однократного (типа Коши). Трудность заключается в том, что не существует стандартной теории для уравнений с комплексным ядром Коши и — хю)- и двукратным интегрированием такая теория необходима для конструктивного доказательства полноты и ортогональности. Однако эту теорию можно построить [37], используя некоторые результаты теории обобщенных аналитических функций 38]. В общем случае, если о = а + Ф — комплексная переменная, то обобщенная аналитическая функция / — ф является ком- [c.362]

Можно показать, что на прямой. s = 1 /2 + is в плоскости комплексного переменного s знаменатель выражения для функции K (s, а) вида (7) не имеет нулей. В связи с этим примем в интеграле (5) с = 1/2 и перейдем к интегрированию по s (штрих далее опускаем). В результате формулы (5), (7) примут вещественный вид [c.199]

Интегрирование в формуле (2-9-2) происходит вдоль прямой а = onst в комплексной плоскости s = S- -iTj, параллельной мнимой оси и расположенной в полуплоскости Re5 Si>a . Методика такого интегрирования детально изложена в специальных руководствах по теории функций комплексного переменного. В большинстве же практических случаев обратное преобразование можно осуществить, не прибегая к контурному интегралу (2-9-2). [c.80]

При этом удобно перейти к интегрированию по комплексной переменной что дает возможность при определении граничных значений функции ш и ее производных воспользоваться формулами Сохоцкого — Племеля. (1.26), а также соотношениями (1.30) и (1.42). [c.250]

Естественно, что научные вопросы составляют если не наибольшую по объему, то, во всяком случае, наиболее существенную часть переписки. И здесь, прежде всего, необходимо отметить, что, несмотря на достаточное разнообразие затрагиваемой в переписке научной тематики, есть одна доминирующая тема, к которой чаще всего обращается Софья Васильевна — это вопрос об интегрировании уравнений при помощи аналитических функций, главным образом при помощи абелевых функций, и прежде всего вопрос об интегрировании уравнений движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки — это задача, прославившая С. В. Ковалевскую. Школа Вейерштрасса — это, конечно, школа теории функций комплексного переменного здесь разбираются и изучаются общие теоремы и общие методы теории, идет сравнение методов самого Вейерштрасса, алгебраизированных методов, основанных на систематическом применении степенных рядов, и методов, основанных на теоремах Коши это работы Миттаг-Леффлера , юного Рунге, начинающего Гурвица. А кстати изучаются вопросы об области существования аналитических функций, о разложении функций в ряд — это работы Бендиксона, Фрагмена. [c.17]

Важную роль в развитии теории упругости сыграли работы русских ученых. Фундаментальные результаты в развитии принципа возможных перемещений, теории удара, а также интегрирования уравнений динамики принадлежат Остроградскому ). Генерал от артиллерии Гадолин ) исследовал напряжения в многослойных цилиндрах, построив тем самым основы проектирования стволов артиллерийских орудий. Журавский изложил современную теорию изгиба балок. Он широко применял методы сопротивления материалов при проектировании многочисленных мостов железных дорог. Существенное продвижение в решении плоской задачи теории упругости связано с трудами Колосова ) и Мусхелишвили ), которые впервые применили метод, основанный на использовании функций комплексного переменного. Бубновым ) решен ряд задач об изгибе пластин. [c.12]

Интегрирование происходит в комплексной плоскости s = + т] вдоль прямой о = onst, параллельной мнимой оси. Действительные числа 6 выбираются так, чтобы все особые точки подынтегрального выражения в (2) лежали в левой полуплоскости комплексной плоскости s(Res>Si> >0о). Методика такого интегрирования детально изложена в специальных руководствах по теории функций комплексного переменного. В подавляющем большинстве случаев обратное преобразование можно осуществить, не прибегая к контурному интегрированию, а воспользовавшись таблицами [1181 [c.52]

Условие о(г/)=0 при у<0 будет выполнено, если а(р) является аналитической функцией комплексного переменного в пижней полуплоскости Im р< 0. Действительно, дополним при у <0 интеграл (6.2) интегралом по кругу бесконечно большого радиуса в нижней полуплоскости р. Значение такого интеграла, очевидно, равно нулю, так как подынтегральная функция убывает пропорционально ехр (—р" г/1). В то же время интеграл по замкнутому контуру от аналитической внутри контура функции равен нулю по теореме о вычетах. Мы приходим к выводу о том, что а р) = = К- р), где iT (p) — аналитическая функция при Im р < О, ограниченная при р- °о. Подставим теперь разложение (6.2) в (6.1) и выполним интегрирование по у от — до используя разложение Фурье Oi iy — y ), даваемое формулой (2.16) с = 1. Получаем [c.208]

Цель книги —описание во. бужаения, распространения и приема сейсмических поли а различных аспектах, причем во многих случаях с большой детальностью При этом от читателя не требуется знания соответствующих разделов высп1ей математики во всей их полноте. Например, не применяются формализованные векторные операции, не используется символика и операции с тензорами. Хотя предполагается знакомство с алгеброй комплексных чисел, но автор избегает использования функций комплексного переменного, а об интегрировании в комплексной плоскости Даже пе упоминается, В связи с этим преобразования Фурье для любой функции приводятся в таком виде, чтобы читатель имел возможность сверять результаты по таблицам интегралов. Знания дифференциального и интегрального исчисления, а также курса дифференциальных уравнений вполне достаточно для понимания обсуждаемых в книге проблем. Очевидно, при таком способе изложения материала мы чем-то поступились Так, некоторые выражения могли бы быть написаны более компактно. Кроме того, теряются возможности обобщения некоторых результатов. Выбор математического аппарата в некоторых случаях базируется на физических соображениях, хотя можно было бы дать 6o.iee точное и общее решение. Если такой подход позволит воспринять обсуждаемые принципы и применить нх к интересующим проблемам, он будет оправдан. [c.5]

Соотношения (8.64), (8.93), (8.95) для корреляционных функций одномерного и трехмерного волнового поля позволяют довести до конца аналитические вычисления при простых выражениях спектральной плотности пространственных неоднородностей Sv (k). В частности, интегралы по волновому числу, содержащиеся в характеристических уравнениях и выражениях для Ки, при дробнорациональной форме S можно определить методом контурного интегрирования на плоскости комплексного переменного Z (Re Z = k). Однако при произвольном виде спектральной плотности неоднородностей необходима численная методика решения задачи. [c.248]

Если функция при интегрировании считается зависящей от одной комплексной переменной 2 (например, при нахождении комплексного представления вектора перемещений Wojxn по формуле (3.2.65) [65]), то, как и в предыдущем случае, можно воспользоваться представлением (4.2.18), что позволяет исключить из дальнейшего рассмотрения логарифмические функции, полюсы которых не совпадают с точками = 0. Из условия одно- [c.146]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...