Интегрирование по комплексному переменному

Следовательно, интегрирование по комплексной переменной X = X + сод ° дает тот же результат, что интегрирование по вещественной переменной д . [c.25]

Отметим, что здесь имеет место существенное упрощение, которое вытекает из уже известного нам факта, что интегрирование по комплексному переменному сводится к интегрированию по соответствующему вещественному переменному. Это обстоятельство приводит к тому, что нет необходимости вводить какие-либо новые определения, связанные с мерой длины, площади и объемов в комплексном пространстве, и можно легко перейти от векторов к винтам, оставаясь в обычном трехмерном евклидовом пространстве. [c.79]

Отметим, однако, что в случае, когда распределение не описывается дельта-функцией от двух переменных интегрирования, две полевые моды не являются больше независимыми, а коррелируют друг с другом из-за интегрирования по комплексным переменным /3 и 7, то есть по фазовому пространству. Две моды являются перепутанными. [c.400]

Интеграл в правой части (3.17) можно вычислить различными способами. Например, переходя в (3.17) к интегрированию по комплексной переменной z, можно воспользоваться контуром интегрирования С, показанным на рис. 2.1. При этом интеграл [c.65]

Рис. 13. Контур интегрирования по комплексной переменной в = с"/ в формуле преобразования большой канонической суммы в каноническую

Рис. 152. Деформация пути интегрирования по комплексной переменной ц=х+ +1у от исходного Ь к проходящему через точку перевала т)о=Р, лежащей на действительной оси

В результате интегрирования уравнения (2.3) по комплексным переменным в выражении для 1/ вместе с действительной величиной /появились, вообще говоря, комплексные функции. Помня об этом, вначале подчиним функцию Х]/1 граничным условиям на лучах = и после этого выделим из полученного выражения действительную часть / . [c.66]

Другой возможный способ мы приведем здесь в качестве иллюстрации приемов интегрирования, хотя в данном случае ои особых преимуществ не имеет. Рассматривая г как комплексную переменную, произведем интегрирование по контуру. Чтобы сделать подынтегральную функцию однозначной, произведем в плоскости разрез от ri до rj. Непосредственно ниже разреза радикал будем считать положительным. Выражение (18.16.1) для можно трактовать как интеграл по простому замкнутому контуру С, охватывающему разрез (рис. 70) [c.353]

Функции комплексного переменного Fj (p) Me (p) удовлетворяют условиям леммы Жордана [72]. Следовательно, интегрирование по прямой (а — i со, о + со ) можно заменить интегрированием по замкнутому контуру, составленному из участка указанной прямой и дуги радиуса R о. Дугу радиуса R следует замыкать в левой полуплоскости при / > О и в правой полуплоскости при t < 0. [c.51]

В теории упругости выдающиеся результаты были получены при разработке общих методов интегрирования дифференциальных уравнений равновесия упругого тела, приближенных методов их решения и в исследовании многочисленных частных задач. Это было продолжением и расширением исследований русских механиков дореволюционного периода. Но сложились также новые школы и направления. Систематически велись исследования по плоской задаче теории упругости с помощью методов теории функций комплексного переменного, большая группа ученых работала по теории пластинок и оболочек, приобретавшей все большее значение для техники. Меньше внимания уделялось контактным задачам, но гг они стали постоянным предметом исследований. Впервые после трудов Остроградского значительные результаты были получены в теории распространения упругих волн, которая разрабатывалась в связи с запросами сейсмологии. К этому списку надо добавить исследование устойчивости упругих систем, теорию стержневых систем, графические методы. Тут мы находимся на стыке теории упругости п таких прикладных дисциплин, как строительная механика и сопротивление материалов. [c.291]

Мы видим, что случай испускания света отличается от случая поглощения комплексным сопряжением и перестановкой индексов дне у адиабатических гамильтонианов. Принимая во внимание, что = H(R) и Я = H R - а), а по переменной R производится интегрирование по бесконечному интервалу, мы можем заменить переменную Д на Д + а. Тогда Я = Я(Л + а) и Я = H(R ). Следовательно, среднее (ехр (-гЯ <) ехр (гЯ 4))е отличается от среднего (ехр exp iH t))g только знаком сдвига а. Однако при изменении знака сдвига функция (10.47) не изменяется. Поэтому формула (10.48) приводит к простому результату [c.130]

J2 вычисляют интегрированием по контуру на плоскости комплексного переменного. Например, [c.194]

Определение и s< > сводится к интегрированию уравнений (13.3.6). Эта система по форме совпадает с условиями Коши—Римана, которым должны подчиняться действительная часть и коэффициент при мнимой части аналитической функции комплексного переменного. Отсюда следует, что [c.181]

Слагаемое г1), (С) удовлетворяет всем условиям, сформулированным в 13.4, и не будет давать каких бы то ни было сосредоточенных воздействий. Для исследования других слагаемых правой части (16.26.9) будем подставлять их в интегральные уравнения равновесия, считая, что интегрирование надо производить по окружности = р. Тогда вычисление интегралов (16.26.8) для каждого отдельно взятого члена разложения (16.26.9) может быть выполнено при помощи известной формулы теории функций комплексного переменного [c.233]

Заметим теперь, что функции V2 д RqT Rq и Rq R V2 не дают вклада в интеграл столкновений (4.2.33), так как при интегрировании по Е контур можно замкнуть в нижней (верхней) полуплоскости комплексной переменной 2 , где эти функции не имеют особенностей. Таким образом, линейные по V2 члены в (4А.11) можно отбросить. Для преобразования членов второго порядка по взаимодействию нам потребуется так называемая оптическая теорема для Т матрицы. Эту теорему можно вывести из соотношений (4А.8) и (4А.9). Сначала запишем [c.328]

Подынтегральная функция (II.4.14)— комплексная и имеет особенность в точках т = А. Интегрирование здесь проводится по действительному переменному т. [c.236]

Рассматривая плоскость комплексного переменного T-ftt, проведем интегрирование вдоль действительной оси плоскости комплексного переменного. В области, где т = — k, обход особой точки сверху, а в области т = -]-/г —снизу. Обход выполняется по контуру малого радиуса (рис. П.4.1). В этом случае при числовом определении интеграла особенности исключаются и с помощью электронно-вычислительных машин можно вычислить потенциал поля точек пространства при тех или иных параметрах излучателя. Для области дальнего поля интеграл (П.4.14) может быть преобразован к более удобному виду. Используя асимптотическое выражение функции [c.236]

Можно показать, что на прямой. s = 1 /2 + is в плоскости комплексного переменного s знаменатель выражения для функции K (s, а) вида (7) не имеет нулей. В связи с этим примем в интеграле (5) с = 1/2 и перейдем к интегрированию по s (штрих далее опускаем). В результате формулы (5), (7) примут вещественный вид [c.199]

Предлагаемая небольшая книга Владимира Васильевича Голубева представляет собой, собственно говоря, не вполне законченное исследование, позволяющее дать однозначные оценки, а ряд эскизов, замечаний, личных соображений. Все они очень интересны для широкого круга читателей, потому что принадлежат перу замечательного ученого — известного специалиста по теории аналитических функций и теоретической механике, в течение всей жизни обращавшегося к творчеству С. В. Ковалевской. Собственно, одна из его самых известных книг Лекции по интегрированию уравнений движения тяжелого твердого тела около неподвижной точки посвящена явному интегрированию случая Ковалевской с помощью теории аналитических функций комплексного переменного. [c.5]

Решения, выведенные исходя из подобных особенностей для напряжений, часто можно использовать для тел (с отверстием или несколькими пустотами), напряжения в которых определяются вне областей с особенностями. В подобных случаях, а именно в случаях, когда функция напряжений вводится внутри двусвязных или многосвязных областей (вокруг отверстия, например), следует, однако, принимать некоторые предосторожности для выяснения, будут ли одна или обе составляющие скорости (или перемещения — для упругого тела) и vi v выражаться через многозначные функции координат X, у или г, а. Если возникает многозначное поле скоростей и, и, то в функцию напряжений F необходимо включить некоторые особые напряженные состояния, создающие искусственное распределение собственных напряжений ( внутренних напряжений ) вокруг отверстия. Такие условия встречаются, например, при использовании функций напряжений F= r nr [см. (5.67)]. Пока особенность располагается в точках, принадлежащих внешней граничной кривой, окружающей односвязную область,. это затруднение не возникает. С математической точки зрения поучительно исследовать характер этих особых решений, которые можно легко выразить в виде рядов. Можно исходить из комплексной функции H z) переменной z=x- -iy, имеющей особенность, и выводить из нее новые функции путем последовательного дифференцирования или интегрирования по z. [c.241]

Поскольку область интегрирования по каждой из переменных а и распространяется на всю комплексную плоскость, то этот интеграл не может измениться при изменении знаков любой из переменных. Если, однако, заменить данные переменные ад- и h" на —Oft и — h", то интеграл меняет знак, если только не выполняется равенство [c.110]

При этом удобно перейти к интегрированию по комплексной переменной что дает возможность при определении граничных значений функции ш и ее производных воспользоваться формулами Сохоцкого — Племеля. (1.26), а также соотношениями (1.30) и (1.42). [c.250]

Рис. 28. Деформация пуги интегрирования по комплексной переменной Г = X + гу от исходного Ь к проходя1Цему через точку перевала щ = р, лежащую на действительной оси

Интегрирование в формуле (2-9-2) происходит вдоль прямой а = onst в комплексной плоскости s = S- -iTj, параллельной мнимой оси и расположенной в полуплоскости Re5 Si>a . Методика такого интегрирования детально изложена в специальных руководствах по теории функций комплексного переменного. В большинстве же практических случаев обратное преобразование можно осуществить, не прибегая к контурному интегралу (2-9-2). [c.80]

Соотношения (8.64), (8.93), (8.95) для корреляционных функций одномерного и трехмерного волнового поля позволяют довести до конца аналитические вычисления при простых выражениях спектральной плотности пространственных неоднородностей Sv (k). В частности, интегралы по волновому числу, содержащиеся в характеристических уравнениях и выражениях для Ки, при дробнорациональной форме S можно определить методом контурного интегрирования на плоскости комплексного переменного Z (Re Z = k). Однако при произвольном виде спектральной плотности неоднородностей необходима численная методика решения задачи. [c.248]

Для вычисления может быть использовано контурное инте-грирование. При этом первое слагаемое подынтегрального выражения (аргумент экспоненты умножен на (—0)) должно интегрироваться по нижней полуплоскости комплексной переменной СО, а второе - по верхней. Результаты интегрирования данных слагаемых будут раз- [c.275]

Если функция при интегрировании считается зависящей от одной комплексной переменной 2 (например, при нахождении комплексного представления вектора перемещений Wojxn по формуле (3.2.65) [65]), то, как и в предыдущем случае, можно воспользоваться представлением (4.2.18), что позволяет исключить из дальнейшего рассмотрения логарифмические функции, полюсы которых не совпадают с точками = 0. Из условия одно- [c.146]

Выяснив аналитические свойства выражения (6.21) в плоскости комнлсксБОГо переменного со, можно теперь выявить вид закона релаксации распределения (6.23) во времени [5]. Для того чтобы явно усмотреть временную зависимость (6.23), сместим в правой части этой формулы контур интегрирования но ш в нижнюю полуплоскость комплексного переменного, обходя полюсы и линии разреза. Если контур сместить бесь оиечно далеко вниз, то интеграл по нему при О обращается в нуль, а интегрирование сводится к вычетам относительно полюсов выражения (6.21) и интегралу по берегам линии разреза. Поскольку полюс (6.24) обладает отрицательной мнимой частью (—V), то возникающая от его вклада временная зависимость [c.38]

Вычисление амплитуды поверхностной волны по заданным токам. Фор1мула (16.26) позволяет вычислить амплитуду поверхностной волны по полю создаваемому возбуждающими токами в вакууме. Существует другой способ вычисления этой амплитуды, при котором получается формула, содержащая непосредственно эти токи. Способ этот проще, он не требует интегрирования в плоскости комплексной переменной. Его недостаток состоит в том, что он не позволяет оценить дополнительное поле и указать область, где оно мало и где поэтому полное поле имеет в основном структуру поверхностной волны. Этот способ состоит в использовании леммы Лоренца для искомого и вспомогательного поля в качестве вспомогательного поля надо взять поле встречной поверхностной волны. Этот способ — аналог вычисления поля токов с помощью функции Грина (п. 12.3), роль которой играет вспомогательное поле. Изложим этот метод, опуская математическое доказательство законности проделываемых преобразований. [c.164]

Естественно, что научные вопросы составляют если не наибольшую по объему, то, во всяком случае, наиболее существенную часть переписки. И здесь, прежде всего, необходимо отметить, что, несмотря на достаточное разнообразие затрагиваемой в переписке научной тематики, есть одна доминирующая тема, к которой чаще всего обращается Софья Васильевна — это вопрос об интегрировании уравнений при помощи аналитических функций, главным образом при помощи абелевых функций, и прежде всего вопрос об интегрировании уравнений движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки — это задача, прославившая С. В. Ковалевскую. Школа Вейерштрасса — это, конечно, школа теории функций комплексного переменного здесь разбираются и изучаются общие теоремы и общие методы теории, идет сравнение методов самого Вейерштрасса, алгебраизированных методов, основанных на систематическом применении степенных рядов, и методов, основанных на теоремах Коши это работы Миттаг-Леффлера , юного Рунге, начинающего Гурвица. А кстати изучаются вопросы об области существования аналитических функций, о разложении функций в ряд — это работы Бендиксона, Фрагмена. [c.17]

Дифференциальное уравнение относительно функции f (t) действительной переменной t умножается на экспоненциальную функцию где р — комплексная переменная, и полученное выражение интегрируется по t в пределах отО до со. При интегрировании по частям используются начальные условия задачи для определения внеинтегральных слагаемых. При этом вводится преобразованная функция [c.69]

Интегрирование происходит в комплексной плоскости s = + т] вдоль прямой о = onst, параллельной мнимой оси. Действительные числа 6 выбираются так, чтобы все особые точки подынтегрального выражения в (2) лежали в левой полуплоскости комплексной плоскости s(Res>Si> >0о). Методика такого интегрирования детально изложена в специальных руководствах по теории функций комплексного переменного. В подавляющем большинстве случаев обратное преобразование можно осуществить, не прибегая к контурному интегрированию, а воспользовавшись таблицами [1181 [c.52]

Когда р принимает вещественные значения, линией интегрирования в (25.4) является дуга синусоиды х = 2е —/соР) У — reos р в плоскости комплексной пере- менной = а + iy. Это обстоятельство налагает опре- деленные ограничения на форму области, в которой функ- 1 ции ф (0, if>n(9, Хп(0 голоморфны. Если, как и в преды-д дущих главах, перейти к интегрированию по переменной [c.214]

Можно считать, что при импульсах передачи hk<.hka корреляционная энергия электронного газа состоит из двух частей, одна из которых связана с наличием плазмонов, а другая — с экранированным взаимодействием между отдельными частицами. Такое разделение соответствует уже указанному выше разделению функции S(k u) на две части — плазмонную и связанную с возбуждением пар. Оно возможно, только если плазмоны представляют собой отчетливо выраженную ветвь элементарных возбуждений электронного газа. В приложении В показано также, как надо выбрать контур интегрирования в комплексной плоскости (о, чтобы придти к подобному разделению [12]. После того как это сделано, легко показать, что выражение для дальней части корреляционной энергии при вычислении в рамках RPA по формуле (3.130) в точности совпадает с результатом работы [26], полученным методом коллективных переменных. [c.201]

Условие о(г/)=0 при у<0 будет выполнено, если а(р) является аналитической функцией комплексного переменного в пижней полуплоскости Im р< 0. Действительно, дополним при у <0 интеграл (6.2) интегралом по кругу бесконечно большого радиуса в нижней полуплоскости р. Значение такого интеграла, очевидно, равно нулю, так как подынтегральная функция убывает пропорционально ехр (—р" г/1). В то же время интеграл по замкнутому контуру от аналитической внутри контура функции равен нулю по теореме о вычетах. Мы приходим к выводу о том, что а р) = = К- р), где iT (p) — аналитическая функция при Im р < О, ограниченная при р- °о. Подставим теперь разложение (6.2) в (6.1) и выполним интегрирование по у от — до используя разложение Фурье Oi iy — y ), даваемое формулой (2.16) с = 1. Получаем [c.208]

Исследуем теперь подробнее смешения и поля, создаваемые акустическим источником [формулы (7.4) и (7.5)]. Обсудим интегрирование по переменной к. Интегралы по к, рассматриваемые как функции параметра р, регулярны всюду в правой полуплоскости комплексного переменного р. Удобно поэтому преобразовать интегралы, считая сначала р вещественным и полонгитель-ным числом. Рассмотрим сначала интеграл, входящий в Еу. [c.219]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...