Уравнение Больцмана для функции распределения

Газ или жидкость гидродинамически описывается в том или ином приближении в зависимости от используемого при этом решения кинетического уравнения Больцмана для функции распределения /(г, V, t). Так, при локально равновесном максвелловском распределении /о (8.6) жидкость описывается гидродинамическим уравнением как идеальная сплошная среда — без вязкости и теплообмена между различными ее участками. В самом деле, тензор внутреннего напряжения (8.16) при f = fo равен [c.141]

Уравнение Больцмана для функции распределения [c.9]

Получив необходимые сведения о соударениях, мы можем теперь перейти к уравнению Больцмана для функции распределения скоростей. Это уравнение можно получить, рассматривая изменение количества молекул определенного [c.24]

Приравнивая это сумме выражений (1) и (11), мы получим уравнение Больцмана для функции распределения скоростей [c.28]

Как известно, поведение такого газа описывается кинетическим уравнением Больцмана для функции распределения частиц где г — координата (трехмерный вектор), а у — скорость частицы. Все частицы считаются имеющими одну и ту же функцию распределения, так что Р = где п — плотность частиц, а /(г, у, г) — [c.172]

В кинетической теории газов используется. модель, основанная на статистическом (вероятностном) описании поведения совокупности молекул. Основную роль в этой модели играет уравнение Больцмана для функции распределения молекул по их положениям в пространстве и по скоростям. Газокинетическая модель существенна и успешно применяется для описания поведения сильно разреженных газов, [c.14]

Вычисление электропроводности является достаточно простой задачей, которую можно прямо решить, используя уравнение Больцмана для функции распределения первого порядка. При расчете более сложных свойств обычно постулируется некоторая функция распределения первого порядка и подстановкой проверяется, является ли она правильной или по крайней мере приближенно правильной. [c.290]

Исходным моментом рассмотрения является система кинетических уравнений Больцмана для функции распределения f t, г, р) легких частиц (плотность п = N/V) и функции распределения fi t, г, р) частиц сорта 1 — тяжелых частиц (их плотность П = N IV), из которых мы выпишем только уравнение для f t, г, р) [c.334]

Кинетическое уравнение Власова для электронов разреженной плазмы, подобно кинетическому уравнению Больцмана для разреженного газа, может быть получено методом Боголюбова. По этому методу (см. 29) в случае плазмы функции распределения г,(чь Рь. .., qs, разлагаются по степеням малого [c.127]

Эта разительно контрастирует с одночастичной компонентой обобщенного уравнения Лиувилля в нем скорость изменения Д зависит от значения двухчастичной функции /2, которая в свою очередь зависит от/зИ т. д. Таким образом, мы видим, что посредством больцмановской гипотезы молекулярного хаоса бесконечная цепочка уравнений для функций распределения обрывается и остается единственное уравнение для /х ). Таким образом, уравнение Больцмана является замкнутым уравнением для функции Д. Этим же свойством обладает и уравнение Фоккера — Планка [c.33]

К более точной и универсальной (но в то же время значительно более сложной) аппроксимации для функции распределения можно прийти из следующего наводящего рассмотрения модельного уравнения Больцмана ). [c.120]

Как видно из сказанного выше, статистическая модель пробегов и столкновений в рассматриваемом методе точно та же, что и при выводе уравнения Больцмана. Поэтому можно ожидать, что если бы заданная функция распределения полевых частиц была решением уравнения Больцмана для рассматриваемой задачи, то, наблюдая за пробной молекулой достаточно долго и запоминая время ее пребывания в ячейках фазового пространства, мы в пределе получили бы ту же функцию распределения. [c.227]

Выведем основное линеаризованное уравнение Больцмана для течения Пуазейля в канале произвольного поперечного сечения (включая плоский канал как частный случай). Предположим, что стенки отражают молекулы с максвелловской функцией распределения /о, с постоянной температурой и неизвестной плотностью р = р ( ) —координата, параллельная потоку). Если длина канала много больше других характерных длин (длины среднего свободного пробега, расстояния между стенками), то можно провести линеаризацию около максвелловского распределения /о, в действительности р %) меняется слабо и /о будет решением в случае, когда р — константа. Таким образом, [c.186]

В этом и следующих разделах мы будем исследовать условия, которым должна удовлетворять функция распределения I на границе дЯ области / , где происходит движение рассматриваемых частиц. Эта тема была частично затронута при выводе уравнения Больцмана для газа из твердых сфер (см. разд. 2 гл. II). Там обсуждение граничных условий, которым удовлетворяет Л -частичная функция распределения, понадобилось для того, чтобы избавиться от некоторых интегралов по поверхности. Ясно, что такие условия требуются и для решения уравнения Больцмана, так как оно содержит производные от / по координатам. [c.122]

Полезные схемы построения моделей могут основываться на требовании, чтобы для малых длин свободного пробега эти модели верно воспроизводили поведение не только некоторых коэффициентов, но и самой функции распределения. Согласно результатам разд. 7, решения уравнения Больцмана для стационарных одномерных задач принимают вид /г = /za на расстоянии от границ в несколько длин пробега, На дается выражением (7.51). Поэтому для получения из столкновительной модели верного асимптотического поведения необходимо, чтобы выполнялось равенство L = L если Ln — оператор, заменяющий L. С учетом того, что Liv и — операторы, об- [c.236]

Результаты разд. 11 показывают, что решение граничной задачи для линеаризованного уравнения Больцмана можно свести к решению интегрального уравнения (11.20) для функции распределения молекул, падающих на границу. Даже для простейших граничных условий А = 0) это уравнение решить нелегко, так как ядро оператора В - выражается через функцию Грина, в свою очередь выражающуюся через собственные решения уравнения (7.3), которые, вообще говоря, неизвестны в явном виде. Однако для некоторых задач и при изучении вопросов существования и единственности решений полезно свести граничную задачу к решению интегрального уравнения. В частности, это наиболее целесообразно, как мы увидим ниже, для модельных уравнений, описанных в разд. 9. [c.250]

При доказательстве стационарности больцмановского распределения, так же как и при доказательстве Я-теоремы, Больцман исходит из выведенного им основного интегро-дифференциального уравнения для функции распределения, так называемого кинетического уравнения Больцмана. В ряде работ (1880—1883 гг.) он разрабатывает затем методы приближенного решения этого уравнения, выводит из него гидродинамические уравнения и т. д. Уравнение Больцмана является в настоящее время фундаментом всей кинетической теории газов. [c.12]

Н. Н. Боголюбов [5] и другие авторы, интегрируя уравнения Лиувилля получили цепочку зацепляющихся уравнений для функций распределения и нашли ряд поправок к интегралу столкновений уравнения Больцмана. [c.124]

Б стационарных условиях в однородном кристалле, находящемся в постоянных, однородных электрическом и магнитном полях, функция распределения f (к) зависит только от волнового вектора к электрона. В приближении времени релаксации (т-приближение) уравнение Больцмана для пространственно-однородной функции распределения f k) имеет вид [c.193]

Как было описано в гл. 2, коэффициенты переноса, с которыми мы будем здесь иметь дело, получаются косвенным образом из решения Энскога уравнения Больцмана для одночастичной функции распределения [c.364]

Допущения теории переноса. Ввиду того что для получения газодинамических уравнений используются только два члена в разложении Энскога для функции распределения, а также ввиду того, что решается только уравнение Больцмана для одночастичной функции распределения скорости, здесь перечисляются условия, при которых можно ожидать, что будут иметь силу получающиеся газодинамические уравнения переноса. Только исследование этих условий позволяет полностью оценить ту скудную основу, на которой построена газовая динамика как наука в настоящее время, и понять, каким триумфом является то, что наука, построенная при таких ограничивающих предположениях, находится в разумном согласии с экспериментом в широком диапазоне условий. Это же помогает осознать необъятность задачи, которая возникает при распространении этой теории на области, которые в настоящее время не могут быть описаны теорией в ее теперешнем состоянии. [c.366]

Уравнение Больцмана для схемы Блоха. Теперь мы можем изменить уравнение Больцмана так, чтобы удовлетворить не классическому (ср. 31), а квантовомеханическому способу описания в одноэлектронном приближении. Вместо функции распределения /(х, у, г, Уу, определяющей число частиц с координатами х,у, 2 и скоростями введём функцию [c.336]

Предполагается, что применима модель, описанная во введении, и что кинетическое уравнение Больцмана решено [2] для функции распределения [c.462]

Чтобы получить самосогласованную схему последовательных приближений, определим функцию / "> так, что в том случае, когда мы пренебрегаем всеми функциями /( >, Р ), qf > с к п, мы получаем ге-е приближение для функции распределения и для гидродинамических уравнений. Чтобы найти такое определение, разложим уравнение переноса Больцмана на ряд последовательных уравнений для / " описанным ниже способом. [c.145]

Теоретический анализ взаимосвязанных физико-химических, динамических и радиационных процессов и явлений в средней и верхней атмосфере представляет чрезвычайно сложную задачу. Наиболее полное и строгое исследование подобной среды может быть проведено в рамках кинетической теории многокомпонентных смесей многоатомных ионизованных газов, исходя из системы обобщенных интегро-дифференциальных уравнений Больцмана для функций распределения частиц каждого сорта смеси (с правыми частями, содержащими интегралы столкновений и интегралы реакций), дополненной уравнением переноса радиации и уравнениями Максвелла для электромагнитного поля. Такой подход развит, в частности, в монографии авторов Маров, Колесниченко, 1987), где для решения системы газокинетических уравнений реагирующей смеси применен обобщенный метод Чепмена-Энскога. Однако ряд упрощений, часто вводимых при решении сложных аэрономических задач (например, учет только парных столкновений взаимодействующих молекул, предположение об отсутствии внутренней структуры сталкивающихся частиц вещества при определении коэффициентов молекулярного обмена и т.п.), существенно уменьшает преимущества, заложенные изначально в кинетических уравнениях. [c.68]

Рассмотрим уравнение Больцмана для функции распределения / (х, V, ) при неустановившемся состоянии для модели столкновения Батангера — Гросса — Крука (БГК) в условиях отсут- [c.181]

Уже сам Больцман подчеркивал, что вывод газокинетического уравнения основывается не только на законах механики, но и на чуждом механике вероятностном предположении при вычислении числа столкновений (5 552аЫапза12), согласно которому вероятность данной молекуле иметь при столкновении скорость V не зависит от вероятности другой молекуле иметь скорость Уь Однако такой ответ не содержал прямой связи между уравнением Лиувилля и кинетическим уравнением Больцмана. Вывод кинетического уравнения Больцмана методом функций распределения Боголюбова позволяет установить, на каком этапе этого вывода вносится неинвариантность уравнения Больцмана относительно обращения времени. Именно использование при решении уравнения для нулевого приближения бинарной функции распределения 2 (необходимое для получения газокинетического уравнения) в качестве граничного условия ослабления корреляции в отдаленном прошлом (7.10) (до столкновения частиц), проводя различие между прошлым и будущим, вводит в кинетическую теорию необратимость. Вследствие этого граничного условия мы получаем необратимое по времени кинетическое уравнение Больцмана при его выводе из обратимого уравнения Лиу- [c.126]

В главе III будет показано, что уравнения гидродинамики Эйлера, Навье — Стокса и Барнетта для максвелловских молекул получаются из уравнения Больцмана, если функцию распределения приближенно представить в виде [c.64]

Уравнение Больцмана для переноса электронов. Рассмотрим подробно предположения, которые были сделаны при разработке статистической теории движения электронов в металле. Предполагается, что электронный газ достаточно хорошо описывается при помощи функции распределения электронной плотности f(x,p )dxdp (для удобства рассматривается только координата х пространства и соответствующий импульс). Отметим, что таким образом мы, по существу, пренебрегаем отдельными флуктуациями. [c.217]

Кинетическое уравнение Власова (7.71) совместно с (7.72) для плазмы, как и кинетическое уравнение Больцмана для газа, является нелинейным интегродифференциальным уравнением. Однако в отличие от уравнения Больцмана кинетическое уравнение Власова обратимо по времени. Это обусловлено тем, что используемое при его выводе условие мультипликативности бинарной функции распределения (7.66) не выделяет какой-либо момент времени в эволюции плазмы. [c.129]

Для количественной оценки взаимодействия разреженного потока газа с поверхностью необходимо знать динамические характеристики каждой молекулы или групп молекул перед соударением их со стенкой. Для оценки этих характеристик в молекулярно-кинетической еории используется функция распределения молекул по скоростям, которая описывается уравнением Больцмана. Для случая, когда молекулы взаимодействуют между собой в форме парных столкновений и нет других факторов, возмущающих движение молекул, а газ находится в стационарном состоянии, функция распределения найдена и известна под названием функции распределения Максвелла. Она используется при расчетной оценке теплоотдачи поверхности в свободно-молекулярном потоке газа. [c.393]

Если функцию распределения выразить через переменные Уа, г, t, то получим уравнение Больцмана для системы координат, движущейся со среднемассовой скоростьь) [c.26]

Функции распределения по скоростям в бинарной смеси одноатомных газов fi ( j, t) подчиняются системе газокинетических уравнений Больцмана. Для пространстззенно-однородных систем они имеют вид [6] [c.112]

Проблема суш,ествовапия решений уравнения Больцмана изучена лишь для задачи с начальными условиями в безграничной области и для молекул с конечным радиусом взаимодействия (с обрезанным потенциалом взаимодействия). Для пространственно-однородного случая теорема существования доказана как для молекул-шаров 2), так и для псевдомаксвелловских молекул ) для полного нелинейного уравнения Больцмана. Для линейного уравнения доказана теорема существования и изучено асимптотическое поведение решений для задачи с начальными условиями, зависяш.ими от пространственных координат ), Пространственно-неоднородная задача для нелинейного уравнения Больцмана рассмотрена Градом 5). Однако существование решений доказано для времен тем меньших, чем больше начальная функция распределения отличается от равновесной. Таким образом, для времен макромасштаба существование доказано лишь для малых начальных возмущений. [c.79]

В 2.9 и 2.10 были сформулированы микроскопические граничные условия для уравнения Больцмана. Моментиые уравнения для конкретной задачи с большей или меньшей точностью заменяют уравнение Больцмана. Необходимо, также приближенно, заменить граничные условия для функции распределения некоторым числом макроскопических условий для моментов. Мои<но построить бесчисленное множество граничных условий для моментов. Действительно, выпишем общее микроскопическое граничное условие (9.6) главы II [c.123]

Как мы уже отмечали, решение Гильберта строится по некоторым начальным и граничным условиям вне слоя Кнудсена, отличным от истинных условий для функции распределения в начальный момент и на границах. Рассмотрим теперь, каким образом решение уравнения Больцмана, удовлетворяющее истинным граничным и начальным условиям, переходит в решение Гильберта по мере удаления от границы или начального момента, т. е. исследуем решение внутри кнудсенов-ского слоя. Ограничим рассмотрение задачей с начальными условиями для линеаризированного уравнения Больцмана. [c.139]

В 2.6 указано, что поведение смеси N газов описывается совместной системой N уравнений Больцмана для N функций распределения X, I ) каждой из компонент смесиi) [c.163]

Легко видеть, что теми же свойствами обладает и решение полного уравнения Больцмана для молекул с конечным радиусом взаимодействия. В этом случае при >0 функция распределения стремится к JJJ2 (см. 2.7). [c.258]

Характер взаимодействия молекул со стенкой определяет граничные условия для функции распределения на нижней границе кнудсеновского слоя (рис, 44). Поскольку навьс-стоксовская функция распределения представляет решение уравнения Больцмана лишь на некотором расстоянии от стенки, то для установления граничных условий для уравнений Навье— Стокса необходимо исследовать слой Кнудсена. [c.317]

Те же выводы косвенно подтверждаются результатами Миллера и Андреса [176], которые, стремясь сделать межмолекулярный потенциал реальным, взяли функцию распределения в форме (6.27), справедливую, согласно Виллису, Хамелю и Лину [177], только при Гц/Г1 2. В результате поведение Т ие следует закону г- вытекающему из (8.12). Законность пред положения о том, что свободную струю можно аппроксимировать сферическим источником, была подтверждена Гранди [178] при исследовании решения уравнения Больцмана для полностью осесимметричной свободной струи. Чтобы построить правильное решение уравнения Больцмана для максвелловских молекул, Гранди использовал сращиваемые асимптотические разложения. [c.427]

Обе величины легко определяются, если известно число электронов с заданным импульсом в данной точке как функция времени. Эта функция распределения вытекает из некоторого дифференциального уравнения, так называемого уразнения Больцмана, которое мы приведем в 52. Уравнение Больцмана для электронов легко решается, если взаимодействие электронов с решеткой можно описать с помощью времени релаксации, которое входит в виде константы в экспоненциальное спадание возмущения системы электронов. Если это невозможно, то для решения уравнения Больцмана приходится обращаться к вариационному исчислению. Оба эти способа будут описаны в 53 и 54. [c.207]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...