Больцмана функция распределения

Магнитное квантовое число 90 Макроскопические величины теории лучистого переноса 361—363 Максвелла — Больцмана функция распределения 197—203, 273, 290, 291 [c.546]

Уравнение (3-11) имеет форму закона Больцмана распределения энергии и закона Максвелла распределения молекул по скоростям и известно как функция распределения Максвелла — Больцмана. [c.98]

Эту функцию распределения впервые вывел Ферми, а затем применил Дирак к свободным электронам металла она известна как распределение Ферми — Дирака и отличается от распределения Больцмана для различных частии на член (+1) в знаменателе. [c.100]

Средняя термодинамическая энергия получается с помощью функции распределения Больцмана она точна для различимых частиц и дает очень хорошее приближение для неразличимых частиц [c.106]

Автор [136] учитывал столкновения частиц, используя решение уравнения переноса Больцмана. Несмотря на пренебрежение фактом присутствия жидкости (разд. 5.3), введение в расчеты функций распределения высокого порядка обычно дает более точное выражение для кажущейся вязкости и коэффициента диффузии. [c.237]

Рис. 5.31. Функция распределения скоростей молекул в газе при температуре Т имеет вид ti ехр (-Мо /ЗйГ), где fe—постоянная Больцмана.

Для объяснения такой закономерности Друде положил, что основная часть теплового потока при наличии градиента температуры переносится электронами проводимости. По Друде, металл представляется в виде ящика, заполненного свободными электронами, для которых справедливы законы кинетической теории газов. Для того чтобы металл был электронейтральным, считалось, что ящик заполнен соответствующим количеством положительно заряженных и более тяжелых частиц (ионов), которые неподвижны. Далее предполагалось (Лорентц), что электроны распределены по скорости в соответствии с функцией распределения Максвелла— Больцмана [c.192]

Функция распределения есть функция энергии и температуры, и для стационарных состояний она не зависит от времени. Так как энергия есть собственное значение оператора Гамильтона квантовой системы, то она не зависит от координаты, поэтому не будет зависеть от координаты и функция распределения о= о(Е, Т), где fo(E, Т) —функция Ферми— Дирака или Максвелла—Больцмана. [c.101]

Заметим, что в качестве переменных функции распределения наряду с импульсами атомов часто используются их скорости. В переменных q, V, I кинетическое уравнение Больцмана имеет вид [c.114]

Отметим также, что в интеграле столкновений (7.27) кинетического уравнения Больцмана функции / и fl берутся при одинаковых значениях пространственных координат, хотя при столкновениях координаты первого и второго атомов различны. Это накладывает ограничение на пространственную неоднородность распределения атомов газа (предполагается, что f q, V, 1) не изменяется на расстояниях порядка о). [c.115]

При ио=0 равновесная функция распределения газа зависит только от скорости, и кинетическое уравнение Больцмана сводится в этом случае к равенству нулю интеграла столкновений [c.116]

Найдем теперь равновесное рещение кинетического уравнения Больцмана (7.25) для газа в поле внешних сил ( о =0), когда, следовательно, функция распределения не зависит от времени, яо зависит от координат и скоростей. [c.117]

Кинетическое уравнение Власова для электронов разреженной плазмы, подобно кинетическому уравнению Больцмана для разреженного газа, может быть получено методом Боголюбова. По этому методу (см. 29) в случае плазмы функции распределения г,(чь Рь. .., qs, разлагаются по степеням малого [c.127]

В квазиклассическом приближении, когда все величины медленно изменяются на расстояниях порядка длины волны частицы (т. е. когда состояние частицы определяется координатой и импульсом, но ее импульс и энергия дискретны, частицы квантово неразличимы и удовлетворяют принципу Паули), можно пользоваться кинетическим уравнением Больцмана. Как мы увидим в следующей главе, учет квантовых свойств частиц в этом случае состоит в использовании для приближенного вычисления члена столкновений равновесной функции распределения Ферми — Дирака или Бозе — Эйнштейна. [c.135]

Возникает, однако, вопрос коль скоро решено уравнение Больцмана и найдена функция распределения Дг, V, 1), то зачем тогда нужно решать уравнения гидродинамики и вычислять из них р, р,, Т и другие моменты функции распределения, если эти величины непосредственно выражаются через /(г, V, /) по их определениям (8.1) — (8.3) [c.140]

Газ или жидкость гидродинамически описывается в том или ином приближении в зависимости от используемого при этом решения кинетического уравнения Больцмана для функции распределения /(г, V, t). Так, при локально равновесном максвелловском распределении /о (8.6) жидкость описывается гидродинамическим уравнением как идеальная сплошная среда — без вязкости и теплообмена между различными ее участками. В самом деле, тензор внутреннего напряжения (8.16) при f = fo равен [c.141]

Метод Чепмена—Энскога. В 1911—1920 гг. Чепмен и Энског разработали метод решения кинетического уравнения Больцмана, основанный на теории возмушений. По этому методу функция распределения разлагается в степенной ряд по малому параметру е, используя в качестве нулевого приближения локальное распределение Максвелла о [c.143]

Для режимов течения, при которых возмущающим влиянием поверхности на разреженный поток газа пренебречь нельзя, т. е. когда отлетающие от стенки молекулы соударяются с молекулами, подлетающими к стенке, функция распределения в настоящее время может быть найдена лишь на основе приближенного решения уравнения Больцмана. Это затрудняет решение задачи о теплоотдаче скользящего потока. [c.393]

Действительно, центральная формула для расчета флуктуаций в изолированной системе — соотношение Больцмана (7.26) — основана на представлении о микроканоническом, равновероятном распределении вероятностей микросостояний системы, соответствующих данному макроскопическому, неравновесному состоянию. Вывод функции распределения вероятностей флуктуаций термодинамических параметров в открытой системе также опирается на формулу Больцмана, применяемую в этом случае к совокупности система+среда . [c.173]

Уравнение Больцмана для функции распределения [c.9]

Для каждого из этих предельных случаев главным членом разложения функции распределения в ряд является максвелловская функция распределения [1]. В общем случае можно попытаться построить интерполяционные формулы для расчета кинетических коэффициентов, используя их представление для каждого из предельных случаев. Однако гораздо удобнее прибегнуть к решению интерполяционного линейного интегрального уравнения, в этом случае интерполяционные формулы для кинетических коэффициентов получают как естественное следствие решения упомянутого линейного интегрального уравнения. Изложение указанного подхода (обобщенного метода Энскога), предложенного Б. В. Алексеевым, а также методов возмущений для уравнения Больцмана с неупругими столкновениями можно найти в [1]. [c.127]

Известно, что для описания энергетического состояния свободных электронов в газовом разряде и в других случаях используется классическая функция распределения Максвелла - Больцмана. На рис. 3.6 эта функция показана при [c.53]

Рис. 3.6. Функция распределения Максвелла-Больцмана при температурах Г и (7 >Г )

В отсутствие электрического поля электронный газ в проводнике находится в равновесном состоянии и описывается равновесными функциями распределения Ферми—Дирака /ф-д (вырожденный газ) и Максвелла—Больцмана /м-б (невырожденный газ). На рнс. 7.1, а, б приведены графики распределения /ф д (и д.) и Ы-п (Vx) для случая, когда Vy = = 0. Они симметричны относительно оси ординат, что указывает на то, что количество электронов в проводнике, движущихся в противоположных направлениях, всегда одинаково, а их средняя скорость в любом направлении равна нулю. Этим объясняется тот факт, что в проводнике, содержащем сколь угодно большое число электронов, электрический ток в отсутствие внешнего поля не возникает. [c.179]

Пусть в образце в направлении х приложено электрическое поле Е и имеется температурный градиент йх1йх. Наша цель состоит в том, чтобы приближенно найти из уравнения Больцмана функцию распределения и затем определить поток электрического заряда и энергии, причем далее мы ограничимся стационарным случаем, так что дЦд1=0. Тогда для частиц с зарядом д и массой т, находящихся в электрическом поле, уравнение переноса (12) приобретает вид [c.332]

Молекулярно-кинетический подход к исследованию опирается на изучение молекулярного (микродискретно-го) строения газа и поэтому лучше соответствует реальным условиям. Однако использование дифференциальных уравнений в частных производных требует возврата к гипотезе о квазисплошности среды и квазинепрерывности полей ее характеристик. Возникающее противоречие снимается с помощью перехода к макроскопическому описанию свойств и процессов через микроскопические свойства отдельных молекул среды, структура и элементарные процессы в которой дискретны. Этот переход осуществляется с помощью функций распределения Максвелла или Больцмана. При этом свойства среды выступают как осредненные по всем молекулам и как непрерывные функции координат и времени. [c.26]

Систему уравнений для вывода критериальных зависимостей исследуемого класса дисперсных теплоносителей получим, используя предложенную выше модель гетерогенной элементарной ячейки. Этот подход, по-види-мому, связан с минимальными физическими погрешностями, что существенно для теории подобия. Возникающая при этом математическая некорректность вывода соответствующих дифференциальных уравнений связана с тем, что к рассматриваемому молю гетерогенной системы в силу конечности его размеров и дискретности его 1компонентов неприменимы точные математические методы. Мож но полагать, что для дисперсных систем в принципе невозможно получить полностью корректную (одновременно с физической и формально-математической точек зрения) систему дифференциальных уравнений пока не будут предложены соответствующие функции распределения, аналогичные функциям Максвелла и Больцмана для газа. Поэтому в дальнейшем воспользуемся приближенным методом конечных разностей, дополнительно учитывая следующее [c.33]

Уравнение Больцмана для переноса электронов. Рассмотрим подробно предположения, которые были сделаны при разработке статистической теории движения электронов в металле. Предполагается, что электронный газ достаточно хорошо описывается при помощи функции распределения электронной плотности f(x,p )dxdp (для удобства рассматривается только координата х пространства и соответствующий импульс). Отметим, что таким образом мы, по существу, пренебрегаем отдельными флуктуациями. [c.217]

Теория Зоммерфельда. Выход из этого затруднения был ух азан Зом-мерфельдом [11, 12]. В п. 4 мы видели, каким образом Эйнштейну удалось объяснить наблюдаемое уменьшение теплоемкости 6 с температурой. Это достигалось заменой классического выражения, найденного в представлении о равномерном распределении средней энергии осциллятора, планковским выражением для средней энергии, полученном на основании квантовой гипотезы. Это соответствовало переходу от классической функции распределения Максвелла—Больцмана [c.322]

Приведенное затруднение устраняется, если учесть, что обращение направления скоростей всех атомов макроскопически удаляет систему от равновесного состояния, как наиболее вероятного. Временная эволюция газа в этом случае определяется не уравнением Больцмана, а другим кинетическим уравнением, которое, как и уравнение Больцмана, может быть получено методом неравновесных функций распределения Боголюбова. Этот вопрос, а также рещение парадокса возврата Цермело мы обсудим в следующем параграфе. А сейчас обратимся к статистическому выражению для энтропии неравновесной системы. [c.123]

Уже сам Больцман подчеркивал, что вывод газокинетического уравнения основывается не только на законах механики, но и на чуждом механике вероятностном предположении при вычислении числа столкновений (5 552аЫапза12), согласно которому вероятность данной молекуле иметь при столкновении скорость V не зависит от вероятности другой молекуле иметь скорость Уь Однако такой ответ не содержал прямой связи между уравнением Лиувилля и кинетическим уравнением Больцмана. Вывод кинетического уравнения Больцмана методом функций распределения Боголюбова позволяет установить, на каком этапе этого вывода вносится неинвариантность уравнения Больцмана относительно обращения времени. Именно использование при решении уравнения для нулевого приближения бинарной функции распределения 2 (необходимое для получения газокинетического уравнения) в качестве граничного условия ослабления корреляции в отдаленном прошлом (7.10) (до столкновения частиц), проводя различие между прошлым и будущим, вводит в кинетическую теорию необратимость. Вследствие этого граничного условия мы получаем необратимое по времени кинетическое уравнение Больцмана при его выводе из обратимого уравнения Лиу- [c.126]

При заданной начальной функции распределения /(ч, р, 0) кинетическое уравнение Больцмана, как показал Т. Карлеман (1932), имеет единственное по- [c.126]

Кинетическое уравнение Власова (7.71) совместно с (7.72) для плазмы, как и кинетическое уравнение Больцмана для газа, является нелинейным интегродифференциальным уравнением. Однако в отличие от уравнения Больцмана кинетическое уравнение Власова обратимо по времени. Это обусловлено тем, что используемое при его выводе условие мультипликативности бинарной функции распределения (7.66) не выделяет какой-либо момент времени в эволюции плазмы. [c.129]

Число Кнудсена характеризует степень разреженности газа. При больших числах Кнудсена столкновения оказывают малое влияние на изменение функции распределения и при Кп- оо интегралом столкновений можно пренебречь. При малых же числах Кнудсена функция распределения, наоборот, определяется в основном столкновениями. Чтобы подчеркнуть это и придать большее влияние столкновительному члену в состояниях, близких- к локально равновесному, его умножают на большую вели-записывая кинетическое уравнение Больцмана в ви- [c.143]

Для количественной оценки взаимодействия разреженного потока газа с поверхностью необходимо знать динамические характеристики каждой молекулы или групп молекул перед соударением их со стенкой. Для оценки этих характеристик в молекулярно-кинетической еории используется функция распределения молекул по скоростям, которая описывается уравнением Больцмана. Для случая, когда молекулы взаимодействуют между собой в форме парных столкновений и нет других факторов, возмущающих движение молекул, а газ находится в стационарном состоянии, функция распределения найдена и известна под названием функции распределения Максвелла. Она используется при расчетной оценке теплоотдачи поверхности в свободно-молекулярном потоке газа. [c.393]

Если функцию распределения выразить через переменные Уа, г, t, то получим уравнение Больцмана для системы координат, движущейся со среднемассовой скоростьь) [c.26]

Следует также отметить, что уравнения Эйлера, Навье— Стокса и Барнетта становятся, как показал В. В. Стру-минский [15], применимыми лишь при времени, превышающем время формирования функции распределения, близкой к локальной максвелловской, так как в основу решения уравнения Больцмана по методу Энскога положена ф/нк-ция Максвелла, характеризующая равновесное состонние (см. также [1]). [c.140]

Число дислокаций не зависит от температуры (они атермичны). В отличие от вакансий, число которых в состоянии равновесия достаточно велико [пропорционально значению функции распределения Больцмана ехр (—EJRT)], плотность дислокаций в твердых телах в состоянии равновесия может быть принята близкой к нулю. [c.17]

Согласно кинетической теории газов среднее значение энергии осциллятора е находится для условий термодинамического 1равновесия, исходя из (функции распределения осцилляторов по энергиям, которая подчиняется статистике Больцмана. Согласно этой статистике [c.73]

Рейнольдса, Эйлера и Фруда и безразмерная функция распределения скорости среды во входном сечении камеры горения Во, Ей, S — радиационные критерии Больцмана, Бугера и Шустера — поглощательная способность стенок камеры сгорания (поверхность стенок является серой и изотропно отражающей) Рг = =-vi/ai — критерий Прандтля, определяемый по температуре и составу газовой смеси во входном сечении камеры горения Ргд=Г1/Ог1— диффузионный критерий Прандтля для тех же условий T plTi — отношение температуры охлаждающей стенку среды к температуре горючей смеси на входе в камеру горения lIRph — критерий теплообмена потока с охлаждающей стенку средой (Rf — термическое сопротивление стенки поверхности нагрева, Xi — теплопроводность газовоздушной смеси на входе в камеру) Ar = EIRTi — критерий Аррениуса [c.415]

Одндко уравнения (1-5-13) и (1-5-9) являются незамкнутыми, так как входящие сюда тензор давления и тепловой поток не определены для их определения необходимо знать функцию распределения которую мы можем отыскивать из решений уравнения Больцмана. Поэтому точность замыкания указанных выше уравнений связана с точностью решений уравнения Больцмана. [c.37]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...