Больцмана уравнение для распределения

Больцмана уравнение для распределения злектронов 204, 217, 231, 258, 287 Бор 344 [c.926]

Это выражение для w аналогично тому, которое было найдено в п. 3 для различимых частиц, деленному на постоянную величину п. Множитель п не фигурирует в уравнении (3-16) вследствие того, что частицы рассматриваются как неразличимые. Если это приближенное выражение для w использовать для нахождения наиболее вероятного распределения энергии, то получится выражение, идентичное уравнению (3-11) для распределения Больцмана, так как постоянный множитель п1 не влияет на величину d in w. Таким образом, распределение Больцмана для различимых частиц может быть использовано как приближенное выражение для неразличимых частиц, когда п . [c.103]

Если уравнение (4-22) закона распределения Больцмана использовать для замены , , то число способов, которыми достигается [c.129]

Теоретическое исследование этих проблем в настоящее время производится на основе уравнения Больцмана, описывающего статистическое распределение электронов, которое устанавливается под действием припеченных полей и в результате соударений ). Ограничения, связанные с размером, вводятся посредством соответствующих граничных условий, налагаемых на решение ). Для тонкой металлической пластинки толщиной а, расположенной в плоскости ху (фиг. 36), уравнение Больцмана можно написать в виде [c.204]

ПЕРЕНОСА ЯВЛЕНИЯ — неравновесные процессы, в результате к-рых в физ. системе происходит пространственный перенос электрич. заряда, вещества, импульса, энергии, энтропии или к.-л. др. физ. величины. Общую феноменологич, теорию П. я., применимую к любой системе (газообразной, жидкой или твёрдой), даёт термодинамика неравновесных процессов. Более детально П. я. изучает кинетика физическая. П. я. в газах рассматриваются на основе кинетической теории газов с помощью кинетического уравнения Больцмана для ф-ции распределения молекул П. я. в мета.т-лах — на основе кинетич. ур-ния для электронов в металле перенос энергии в непроводящих кристаллах — с помощью кинетич. ур-ния для фононов кристаллич. решётки. Общая теория П. я. развивается в неравновесной статистич. механике на основе Лиувилля уравнения для ф-ции распределения всех частиц, из к-рых состоит система (см. Грина — Кубо формулы). [c.572]

Эта разительно контрастирует с одночастичной компонентой обобщенного уравнения Лиувилля в нем скорость изменения Д зависит от значения двухчастичной функции /2, которая в свою очередь зависит от/зИ т. д. Таким образом, мы видим, что посредством больцмановской гипотезы молекулярного хаоса бесконечная цепочка уравнений для функций распределения обрывается и остается единственное уравнение для /х ). Таким образом, уравнение Больцмана является замкнутым уравнением для функции Д. Этим же свойством обладает и уравнение Фоккера — Планка [c.33]

Вообще говоря, уравнение (3.1.29) уже является замкнутым кинетическим уравнением для одночастичной функции распределения. Остается лишь переписать его в более привычной форме. В частности, представляет интерес проследить, как из него может быть выведено уравнение Больцмана. [c.169]

Прежде чем приступить к основной теме, остановимся кратко на обозначениях. Ранее одночастичная функция распределения Д(г,р, ) вводилась как функция радиуса-вектора г и импульса р частицы. Такое удобно при выводе цепочки уравнений для приведенных функций распределения из уравнения Лиувилля. Однако в кинетической теории чаще пользуются одночастичной функцией распределения / (г, v, ), которая зависит от скорости частицы. Для более наглядного сравнения излагаемого здесь подхода с традиционными методами построения нормальных решений кинетических уравнений мы будем исходить из уравнения Больцмана, записанного для функции /(r,v, ). Нетрудно установить связь между этой функцией и Д(г,р, ). Вводя условие нормировки [c.234]

В предыдущем параграфе дан вывод уравнения Больцмана непосредственно для одночастичной функции распределения х, ). Установим теперь связь уравнения Больцмана с общими положениями статистической механики. [c.43]

Следовательно, если функция распределения представима в виде ряда (3.1), то уравнение Больцмана можно заменить бесконечной системой совместных уравнений для макроскопических величин или моментов. [c.105]

Б соответствии с идеями Больцмана [1] о том, что взаимодействие частиц газа проявляется лишь в их попарном столкновении, мы используем в излагаемом нами динамическом выводе интеграл столкновений Больцмана уравнения (48.7), в котором благодаря использованию малого параметра (Рп парная корреляционная функция не зависит от распределений других частиц, кроме двух взаимодействующих. Также в соответствии с концепцией парных соударений свободных частиц будем считать, что внешние и са.мо-согласованные силы невелики, и их влиянием пренебрежем. Тогда исходное уравнение для парной корреляционной фупкции можно записать в виде [c.200]

Попытаемся найти наиболее общую максвелловскую функцию распределения, которая удовлетворяет уравнению Больцмана. Добавим для общности силовой член, как в (II. 8.21), и запишем [c.165]

Уравнения (5), (8) и (10) являются фундаментальными уравнениями, которые определяют течение газа. Для того чтобы придать этим уравнениям удобную для применений форму, необходимо найти из уравнения Больцмана [уравнение (7) 1.8] функцию распределения скорости / для того, чтобы можно было найти соответствующие функции средних значений С/У, иС ,. .. [c.33]

На основании решения кинетического уравнения Больцмана методом возмущений и подстановки полученной функции распределения в уравнение для плотности электронного тока /е теплового потока де получены выражения [c.350]

При доказательстве стационарности больцмановского распределения, так же как и при доказательстве Я-теоремы, Больцман исходит из выведенного им основного интегро-дифференциального уравнения для функции распределения, так называемого кинетического уравнения Больцмана. В ряде работ (1880—1883 гг.) он разрабатывает затем методы приближенного решения этого уравнения, выводит из него гидродинамические уравнения и т. д. Уравнение Больцмана является в настоящее время фундаментом всей кинетической теории газов. [c.12]

Н. Н. Боголюбов [5] и другие авторы, интегрируя уравнения Лиувилля получили цепочку зацепляющихся уравнений для функций распределения и нашли ряд поправок к интегралу столкновений уравнения Больцмана. [c.124]

Даже линеаризованное уравнение Больцмана ие так-то просто решить, поскольку оно остается интегральным уравнением. Общий подход заключается в разложении поправки к равновесной функции распределения по полному набору взаимно ортогональных функций. Выбор этих функций определяется тем соображением, чтобы можио было эффективно использовать нх ортогональность прн получении уравнений для коэффициентов разложения. Так как условие ортогональности должно содержать, как было сказано выше, и равновесную функцию распределения, т. е. максвелловскую экспоненту, требуется выбрать функции, для которых весовая функция в условии ортогональности была бы экспонентой. Как известно из математической физики, таковыми функциями являются обобщенные полиномы Лагерра. В кинетической теории газов обычно используют так называемые полиномы Сонина, отличающиеся от обобщенных полиномов Лагерра только нормировочным множителем. [c.215]

Чтобы получить самосогласованную схему последовательных приближений, определим функцию / "> так, что в том случае, когда мы пренебрегаем всеми функциями /( >, Р ), qf > с к п, мы получаем ге-е приближение для функции распределения и для гидродинамических уравнений. Чтобы найти такое определение, разложим уравнение переноса Больцмана на ряд последовательных уравнений для / " описанным ниже способом. [c.145]

Вычисление с на микроскопическом уровне на основе кинетической теории проводилось многими авторами, с чем подробно можно ознакомиться в [I, 2J. В случае одноатомного идеального газа (когда взаимодействием молекул можно пренебречь) еще Лоренц [1] на основе кинетического уравнения Больцмана нашел уравнение для скорости распространения малого возмущения функции распределения в первом приближении, ограничиваясь членами первого порядка по На (I — длина свободного пробега молекул газа и а — расстояние, на котором плотность изменяется заметным образом). При этом для скорости распространения этого возмущения им была получена формула -= / RTI i, что совпадает с выводами макроскопического рассмотрения. [c.37]

Таким образом, задача нахождения а состоит теперь в том, чтобы найти неравновесную добавку кН(к, /), возникающую под действием звука. Для этого можно воспользоваться кинетическим уравнением Больцмана. Это уравнение для неравновесной функции распределения N к, /) применительно к нашей фононной системе имеет вид [c.256]

Для количественного описания процесса конденсации необходимо в каждой точке сопла знать массовую долго выпавшей жидкости, которую можно определить, например, используя массовую функцию распределения частиц (пе только критического размера) по размерам Уравнение для функции распределения (вывод его аналогичен выводу уравнения Больцмана, см. [187]) имеет вид [c.322]

Постановка задачи. Исследование связи уравнения Больцмана с уравнениями гидродинамики — одна из классических проблем статистической физики. В работах Максвелла впервые появилась бесконечная цепочка уравнений для моментов больцмановской функции распределения и проблема обоснования уравнений гидродинамики была сформулирована как проблема замыкания этой цепочки. Из уравнения Больцмана и равенства (11.20i) следует, что моменты S [c.301]

Систему уравнений для вывода критериальных зависимостей исследуемого класса дисперсных теплоносителей получим, используя предложенную выше модель гетерогенной элементарной ячейки. Этот подход, по-види-мому, связан с минимальными физическими погрешностями, что существенно для теории подобия. Возникающая при этом математическая некорректность вывода соответствующих дифференциальных уравнений связана с тем, что к рассматриваемому молю гетерогенной системы в силу конечности его размеров и дискретности его 1компонентов неприменимы точные математические методы. Мож но полагать, что для дисперсных систем в принципе невозможно получить полностью корректную (одновременно с физической и формально-математической точек зрения) систему дифференциальных уравнений пока не будут предложены соответствующие функции распределения, аналогичные функциям Максвелла и Больцмана для газа. Поэтому в дальнейшем воспользуемся приближенным методом конечных разностей, дополнительно учитывая следующее [c.33]

Особенностью атома лития по сравнению с водородом является низкий потенциал ионизации — 8,6 10 Дж (5,4 эВ). По этой причине атомы лития существуют в плазме только при сравнительно низких температурах. Используя формулу Больцмана (5.4) для распределения атомов по возбужденным состояниям и уравнение Саха (5.6) для ионизационного равновесия, можно найти, что оптимальная температура возбуждения, например, для линии Б1 413,2 нм ( возб = 7,7-10 Дж или 4,8 эВ) составляет всего 4500 К. Концентрация электронов, получаемая по этой линии, соответствует зонам источника света, имеющим примерно такую же температуру. [c.274]

Уже сам Больцман подчеркивал, что вывод газокинетического уравнения основывается не только на законах механики, но и на чуждом механике вероятностном предположении при вычислении числа столкновений (5 552аЫапза12), согласно которому вероятность данной молекуле иметь при столкновении скорость V не зависит от вероятности другой молекуле иметь скорость Уь Однако такой ответ не содержал прямой связи между уравнением Лиувилля и кинетическим уравнением Больцмана. Вывод кинетического уравнения Больцмана методом функций распределения Боголюбова позволяет установить, на каком этапе этого вывода вносится неинвариантность уравнения Больцмана относительно обращения времени. Именно использование при решении уравнения для нулевого приближения бинарной функции распределения 2 (необходимое для получения газокинетического уравнения) в качестве граничного условия ослабления корреляции в отдаленном прошлом (7.10) (до столкновения частиц), проводя различие между прошлым и будущим, вводит в кинетическую теорию необратимость. Вследствие этого граничного условия мы получаем необратимое по времени кинетическое уравнение Больцмана при его выводе из обратимого уравнения Лиу- [c.126]

Введенный вновь материал распределен по всем трем разделам книги. В качестве неполного перечня новых вопросов отметим в ч. I параграфы, посвященные изложению термодинамики диэлектриков и плазмы, парадоксу Гиббса и принципу Нернста, в ч. II — теорию орто- и парамодификаций, теорию тепловой ионизации и диссоциации молекул, дебаевское экранирование, электронный газ в полупроводниках, формулу Найквиста и особенно главу Фазовые переходы , в ч. III — параграфы Безразмерная форма уравнений Боголюбова , Методы решения уравнения Больцмана , параграфы, посвященные затуханию Ландау, кинетическому уравнению для плазмы и проблеме необратимости. Существенно переработана и расширена глава Элементы неравновесной термодинамики , в которой помимо более детального рассмотрения области, близкой к равновесию, введен параграф, посвященный качественному рассмотрению состояний, далеких от равновесия. [c.7]

Первое важное следствие можно получить, сравнив уравнение Больцмана (И.4.20) с уравнением (3.4.9) цепочки ББГКИ, описывающим скорость изменения /j. Уравнение Больцмана является замкнутым уравнением для одночастичной функции распределения. [c.33]

Напомним, что основы классической кинетической теории были заложены Максвеллом [123] и Больцманом [60] более 100 лет назад. Нри выводе своего знаменитого кинетического уравнения для разреженного газа Больцман выделил два механизма изменения одночастичной функции распределения со временем динамический процесс инерционного движения молекул и стохастический процесс парных столкновений. Больцман привлек гипотезу молекулярного хаоса (Stofizahlansatz), согласно которой перед каждым столкновением между молекулами, участвующими в столкновении, отсутствуют корреляции. Если плотность газа мала, то это интуитивное допущение Больцмана кажется вполне разумным, но оно явно не выполняется для более плотных систем, когда необходимо учитывать многочастичные столкновения. Более общий метод вывода кинетических уравнений был разработан Боголюбовым в его монографии [7], существенно повлиявшей на все последующее развитие кинетической теории. В методе Боголюбова кинетическое уравнение выводится из уравнения Лиу-вилля с граничным условием ослабления начальных корреляций между частицами. Это условие, налагаемое лишь один раз в отдаленном прошлом, заменяет больцманов-ский Stofizahlansatz. Главным достоинством метода Боголюбова является то, что он указал путь к выводу более общих кинетических уравнений, чем уравнение Больцмана или его простейшие модификации. [c.163]

В главе III будет показано, что уравнения гидродинамики Эйлера, Навье — Стокса и Барнетта для максвелловских молекул получаются из уравнения Больцмана, если функцию распределения приближенно представить в виде [c.64]

В 2.9 и 2.10 были сформулированы микроскопические граничные условия для уравнения Больцмана. Моментиые уравнения для конкретной задачи с большей или меньшей точностью заменяют уравнение Больцмана. Необходимо, также приближенно, заменить граничные условия для функции распределения некоторым числом макроскопических условий для моментов. Мои<но построить бесчисленное множество граничных условий для моментов. Действительно, выпишем общее микроскопическое граничное условие (9.6) главы II [c.123]

Подставим теперь функцию распределения в виде (11.17) в уравнение Больцмана и, учтя соотношения (11.21) и (11.22), приравняем нулю коэффициенты при одинаковых В результате несложнб1Х выкладок получим бесконечную систему совместных уравнений для функций - У [c.203]

Естественный путь отыскания решений интегральных уравнений — это метод итераций. Этот метод применялся к обеим приведенным формам интегральных уравнений для доказательства существования решений уравнения Больцмана при заданной в начальный момент времени функции распределения ). Как уже отмечалось, сходимость метода для конечного интервала времени доказана лишь для пространственно-однородного случая и молекул с конечным радиусом взаимодействия (для сфер — Карлеманом и для псевдомаксвелловских молекул — Моргенштерном). Если начальная функция распределения зависит от X, то сходимость последовательных приближений удается доказать лишь для малого интервала времени (Град). [c.221]

Это уравнение представляет распределение Максвелг ла—Больцмана. Если подставить выражение (6.10) для Пг в (6.7), можно представить W, а вместе с тем и энтропию 5 согласно выражению (6.3) как функцию числа частиц N и имеющихся в системе энергетических уровней Ег. Определив сумму состояний, как [c.98]

Гидродинамическая теория структуры вязкого скачка уплотнения теряет смысл в случае ударных волн большой амплитуды, когда ширина скачка уплотнения достигает порядка длины пробега молекул. Сильный скачок уплотнения необходимо рассматривать на основе молекулярно-кинетической теории газов, т. е. на основе кинетического уравнения Больцмана. И. Е. Тамм (1965) ) и независимо Г. М. Мот-Смит (Phys. Rev., 1951, 82 6, 885—892) построили приближенное решение кинетического уравнения для этого случая. Решение основано на представлении функции распределения в виде суперпозиции двух максвелловских распределений, соответствующих параметрам начального и конечного состояний, причем коэффициенты, определяющие вес той и другой функций, меняются вдоль координаты от О до 1. Они отыскиваются в ходе решения. Ширина скачка при неограниченном возрастании амплитуды волны pjp стремится к определенному пределу и имеет, как и следовало ожидать из физических соображений, порядок длины пробега молекул. [c.213]

Перейдем Тейерь К непосредственному описанию и te Мы фотонов, находящихся в неравновесном состоянии. Согласно принципам изложения в настоящем курсе мы собираемся сформулировать и рассмотреть некоторые уравнения для определения неравновесной функции распределения фотонов. В этой части курса в качестве такого исходного уравнения мы будем использовать кинетическое уравнение Больцмана. Вопрос об определении условий, при которых для описания данной системы применимо уравнение Больцмана, очень сложен и на сегодня до конца не исследован. Качественно ясно, что строго уравнение Больцмана применимо лишь в случае, когда время пробега между столкновениями (время свободного пробега) много больше продолжительности столкновений. Отсюда следует, что описание с помощью уравнения Больцмана становится неверным в случае высокой плотности вещества или при наличии дальних взаимодействий (когда частицы как бы все время находятся в столкновении ). Однако количественная оценка этих качественных рассуждений чрезвычайно сложна. [c.60]

Кулоновские поправки к термодинамическим функциям при слабой неидеальности можно вычислить, воспользовавшись методом Дебая — Хюккеля так, как это сделано в книге Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица [1 ] (см. также работу Б. Л. Тимана 111]). Вокруг каждого из ионов или электронов образуется неравномерно заряженное облако из соседних частиц, причем распределение плотности заряда в этом облаке определяется законом Больцмана в соответствии с электростатическим потенциалом, создаваемым совместным действием центрального заряда и облака. Решение уравнения Пуассона для распределения электростатического потенциала по радиусу г около центрального иона с зарядом в первом приближении приводит к формуле [c.186]

Конечно, мы чисто интуитивно полагаем, что предельное при t +оо решение, следующее из уравнения Больцмана, соответствует описанию термодинамически равновесного состояния системы. В задаче 32 показано, что цепочка уравнений для кинетических функций распределения в стационарном случае dFJdt = О содержит в себе цепочку уравнений для равновесных функций F,, О построенных на основе распределения Гиббса, т. е. Рис. 200. Характер эволюции равновесные функции F, удовлетворяют цепочке Pf-функции Больцмана [c.323]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...