Элементы теории групп

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП [c.130]

I) Необходимые элементы теории групп см. М и г п а g h а п, стр. 328 (цит. соч. в 10). [c.52]

Книгу отличает более глубокий, чем обычно принято в учебной литературе, анализ оснований классической и релятивистской механики, выполненный с единым для этих парадигм подходом. Курс включает изложение элементов теории групп Ли, достаточное для понимания особенностей применения теоретико-групповых идей в современной механике и физике. Традиционные разделы теоретической механики подвергнуты серьезной методической переработке с целью, с одной стороны, максимально упростить введение основных понятий, доказательства теорем и основных методов, с другой стороны, заменить устаревшие представления более эффективными современными. Последнее относится, например, к аппарату теории конечных поворотов. [c.2]

Следует ожидать, что совершенствование методов математического моделирования и дальнейшее развитие теории формообразования поверхностей при механической обработке деталей будет связано с применением тензорного исчисления и элементов теории групп. Используя обобщенные математические модели более высокого порядка, чем модели, основанные на методах классической дифференциальной геометрии, тензорный анализ даст возможность в обобщенной форме аналитически описывать различные варианты кинематики формообразования, а с применением элементов теории групп Ли разработать классификацию возможных видов технологических процессов обработки в машиностроении. В рамках развитого в математическом отношении аппарата тензорного анализа могут быть получены все основные результаты, известные в теории формообразования поверхностей при механической обработке деталей. [c.561]

В связи с все более ощутимым проникновением теории групп в физику твердого тела элементы этой теории будут изложены в отдельном параграфе. [c.125]

Сравнение преобразований симметрии и свойств их взаимного сочетания с элементами абстрактных групп и их композициями показало, что многие характеристики преобразований симметрии могут быть описаны на языке теории абстрактных групп. Теоретико-групповой анализ преобразований симметрии позволяет не только наиболее компактно их описывать, но и широко используется в последнее время для классификации электронных состояний, колебательных уровней и т. д. В связи с этим в следующем параграфе излагаются наиболее важные элементы теории абстрактных групп. [c.130]

Здесь 8 —так называемый элемент идентичности, принадлежащий О, Ф"1 — элемент, принадлежат,ий (7 и обратный элементу ф. Теория групп изучает свойства действий (например, сложение векторов, последовательное выполнение преобразований) безотносительно к природе как действия, так и объекта, с которым выполняется последнее. В теории групп изучаются действия, обладающие тем свойством, что объекты действий и результаты их принадлежат группе. [c.610]

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУПП [c.49]

Теория представлений групп — составная часть общей теории групп она является тем соединительным звеном, которое дает возможность количественного отображения (в функции от параметров, определяющих элементы групп) взаимоотношений между этими элементами, выраженных символами теории множеств и теории групп. К объектам изучения теории представлений [c.49]

Равенство = О, следующее из (5.4.44) и также обусловленное симметрией, не может быть получено при помощи рассматриваемых сейчас методов. Скорее должны быть использованы методы теории групп, которые применяются в кристаллографии [46], так как это ограничение, налагаемое симметрией, является не просто следствием симметрии самого импеллера, а скорее следствием симметрии отдельных элементов, из которых он состоит. Таким образом, в общем случае тело может обладать двумя перпендикулярными плоскостями симметрии даже тогда, когда отдельные элементы, из которых оно состоит, вообще не обладают какой бы то ни было симметрией. [c.216]

Здесь и далее понятие группы совпадает с математическим термином группа множество объектов или совокупность элементов, удовлетворяющих определенным положениям математической теории групп [I—3] в данном случае этими элементами являются элементы симметрии. Математически строго выводятся в кристаллографии для трехмерного пространства 14 трансляционных групп. 32 точечные группы и 230 пространственных групп. [c.95]

Нетрудно заметить, что в примерах 1, 2, 4, 5 на множестве элементов, составляющих группу, можно совершенно независимо от аксиом группы ввести понятие близости между любыми двумя элементами, в силу которого групповые операции оказываются непрерывными функциями, что позволяет на такие группы (они называются топологическими) смотреть одновременно с двух точек зрения с точки зрения алгебры и с точки зрения анализа. Такое объединение оказывается весьма плодотворным. Это и используется самым существенным образом в теории групп Ли. В настоящее время под термином групп Ли понимают более широкий объект, чем тот, который ввел сам Ли и который и будет рассматриваться далее нами, [c.208]

Перейдем к описанию калибровочного подхода [4, 11—13], являющегося инструментом для получения новых теорий. Так, существенные успехи в физике элементарных частиц связаны с калибровочным подходом и введением калибровочных полей. Основой такого подхода служит наличие однородной группы внутренних симметрий. Далее эта группа локализуется (полагается, что элементы группы — функции координат и времени). В нашем случае группа 80(3)[>Т(3) действует на деформируемое тело неоднородно, это выражается в том, что А( , I), а( , t) будут функциями координат. Рассмотрим, к чему приводит неоднородность действия группы на таком примере. Проведем мысленно в теле разрез и на две, ранее соприкасавшиеся, точки (следовательно, имеющие одинаковый радиус-вектор Н), подействуем различными элементами из группы 80(3)1>Т(8), но одинаковыми для точек, принадлежащих одной стороне разреза. Тогда для точек левой и правой сторон разреза можно записать [c.29]

Чтобы обеспечить стабильность работы РЭА, применяют радиоэлементы, устойчиво работающие в широком диапазоне изменения температуры, снижают их коэффициенты нагрузки, используют различные схемные решения (например, температурную компенсацию). Широкое распространение получили методы регулирования теплообмена внутри аппарата и аппарата с окружающей средой. Эти методы обычно используются на стадии разработки конструкции РЭА по заданной принципиальной электрической схеме и сводятся к поддержанию допустимого теплового режима элементов и аппарата при-из-менении их электрического режима и внешних условий. Регулирование теплообмена достигается путем рациональной компоновки элементов в аппарате, аппарата в целом, использования теплоотводящих устройств для отдельных элементов или группы элементов, специальных систем охлаждения. Рассмотрением затронутых вопросов, а также вопросов измерения теплового режима и тепловых испытаний аппаратуры занимается раздел теории и практики конструирования РЭА, называемый Защита РЭА от тепловых воздействий . Основой раздела является теория теплообмена [8, 11]. Значительный вклад в разработку последней внесен отечественной школой, возглавляемой Г. Н. Дульневым [7—9]. [c.805]

Первая половина книги посвящена рассмотрению элементов теории и аспектов практического применения инфракрасной спектроскопии. Основное внимание уделяется применению метода инфракрасной спектроскопии для качественного, а не для количественного анализа, так как химик-органик чаще всего интересуется возможностью идентификации функциональных групп. [c.11]

В теории групп класс образуется из элементов симметрии, сопряженных между собой, т. е. таких, которые могут быть получены нз одного элемента 5 путем составления выражений вида где t — любой элемент группы (см. Ван-дер-Верден [23]). Число неприводимых представлений (в нашем случае — число типов симметрии) равно числу классов группы (в нашем случае — числу классов элементов симметрии точечной группы). [c.123]

Чтобы расширенные точечные группы привести в соответствие с общей схемой теории групп и найти двузначные представления (типы) в точечных группах более низкой симметрии, чем К, необходимо прибавить какие-нибудь воображаемые элементы симметрии, как это впервые было проделано Бете [116] (см. также Ландау и Лифшиц 126]). Предполагается, что поворот на 2л не возвращает систему в исходное состояние и что это можно сделать только поворотом на 4я. Поворот на 2я — это новый элемент симметрии, называемый R, по отношению к которому спиновая функция может быть симметричной или антисимметричной. В результате получаются новые элементы симметрии R 2, Rисходные элементы симметрии. При наличии осей второго порядка С2) и плоскостей симметрии (а) эти новые элементы R o и Ra) принадлежат к тем же классам, причем происходит просто удвоение порядка класса но если есть оси более чем второго порядка или центры симметрии, то удваивается число классов. Например, в простой точечной группе С имеются два элемента, и С,, тогда как в классе, обозначенном 26 з, теперь, в расширенной точечной группе, имеются четыре элемента С3, С1, R 3 = С1 и R I = 6 °, которые образуют два класса, обозначенных как 26 з и 2С1, и содержат соответственно элементы Сз, R и Сз, R 3. Подобные явления происходят и с другими точечными группами. Эти различия возникают потому, что поворот на 2я + ф теперь уже не эквивалентен повороту на ф - Для типов >о, D2, D3,. . . непрерывной точечной группы К, а также для всех однозначных типов, принадлежащих к точечным группам более низкой симметрии, характеры новых элементов симметрии R, С ,. . ., iR) — такие же, как и для соответствующих прежних элементов (/, Сд,. . ., i), а для двузначных типов характеры имеют противоположный знак (приложение I). [c.23]

Резюмируем симметрия играет центральную роль в классификации собственных состояний кристалла, рассматриваемого как система многих тел, состоящая из ионов и электронов. Йас интересуют здесь элементарные возбуждения, описывающие колебания решетки, т. е. фононы. Переходы меладу собственными состояниями вызываются возмущающими полями, и переход между некоторой заданной парой состояний разрешен, если соответствующий матричный элемент отличен от нуля. Равенство или неравенство нулю матричного элемента определяется симметрией начального состояния, конечного состояния и возмущающего поля. Точнее говоря, методы теории групп позволяют проанализировать вопрос может ли происходить инфракрасное поглощение и комбинационное рассеяние при данном, процессе, связанном с определенными изменениями колебательного состояния решетки и сопровождающим их изменением поля излучения [c.16]

Разумеется, элементами группы % являются смежные классы, т. е. совокупности операторов элементы группы — это отдельные операторы. На я ыке абстрактной теории групп эти группы изоморфны = [c.39]

В 3 излагается обобщенный вариант теории Плачека комбинационного рассеяния света фононами. В этой теории используется полное квантовое описание системы излучение плюс вещество . В результате получается, что интенсивность комбинационного рассеяния света фононами пропорциональна квадрату модуля матричного элемента оператора поляризуемости, соответствующего переходу между двумя колебательными состояниями кристалла. Используя полученные таким образом результаты и применяя методы теории групп, можно вывести ограничения, накладываемые симметрией на процессы инфракрасного поглощения и комбинационного рассеяния света. Общие принципы такого анализа рассмотрены в 2 и 3, в которых изучаются трансформационные свойства операторов дипольного момента и поляризуемости. Полученные в 2 и 3 результаты основаны на использовании для подсистемы, соответствующей веществу, адиабатического приближения Борна — Оппенгеймера. [c.5]

При использовании теории групп в задаче об инфракрасном решеточном поглощении света в кристаллах наиболее важным является анализ матричного элемента (2.34) для каждого конкретного случая. [c.13]

Важными понятиями в теории групп является изоморфизм и гомоморфизм групп. Понятие изоморфизма было уже введено ранее. Изоморфные группы — это группы с одинаковыми таблицами умножения или, что то же самое, это группы, произведения одинаковых элементов которых одинаковы. Очевидно, что изоморфными могут быть только группы одинаковых порядков. Таким образом, между элементами изоморфных групп существует взаимч но-однозначное соответствие. [c.133]

Важное значение в теории групп имеет понятие изоморфизма [171, 175], [1061. Изоморфизмом двух групп А м В называется взаимно однозначное соответствие как элементов й , О/ и Ь , Ь (а,- <--> <--> bj, ai <--> bj) этих групп, так и их произведений, т. е. а-а,- <—> bibj. [c.49]

Логическим следствием концепции Г. С. Калицына, заключающейся в трактовке основных понятий теории механизмов в терминах теории множеств и теории групп, является операторное представление преобразования элементов групп движений и, в часТ ности, матричное представление. Им разработаны матричные уравнения плоских четырехзвенных механизмов — кривошипно-ползунного, кривошипно-кулисного, кривошипно-коромыслового, а также механизмов с профильными кривыми, планетарных и дифференциальных зубчатых механизмов на основе применения матриц 2-го порядка [137]. [c.137]

Методология деревьев отказов непосредственно связана с более общим методом деревьев событий (event tree), в которых роль промежуточных и конечных событий не обязательно играют отказы системы. Для применения методов деревьев отказов и деревьев собьпий необходимо представить функциональные взаимосвязи элементов системы (объекта, конструкции) в виде логической схемы, учитывающей взаимную зависимость отказов элементов и групп элементов. Методологическое обеспечение данных подходов состоит в совместном применении методов теории фа-фов, математической логики и теории вероятностей [1, 19, 29, 33, 39, 45]. [c.31]

Настоящая книга посвящена применению теории групп в квантовой механике, причем особое внимание уделено проблемам молекулярной спектроскопии. На эту тему написано так много книг—и хороших книг, — что, казалось бы, трудно найти оправдание для написания еще одной. Но такое оправдание есть, и основано оно на том, что вся имеющаяся литература посвящена применениям точечных групп молекул, элементами которых являются вращеиия и отражения вибронных переменных, тогда как настоящая книга посвящена применению групп молекулярной симметрии, элементами которых являются перестановки тождественных ядер с инверсией и без инверсии. Группы молекулярной симметрии имеют более широкую область применений, чем точечные группы молекул, так как в них учитываются молекулярное вращение и туннелирование вследствие нежесткости молекул (типа инверсионного туннелирования в молекуле аммиака). Кроме того, в силу фундаментальной природы ее элементов группа молекулярной симметрии очень удобна с методической точки зрения при изучении теории групп и ее применений к проблемам молекулярной спектроскопии. [c.9]

Обстоятельное рассмотрение вопроса о связи между инвариантами, с привлечением сведений из теории алгебраических инвариантов и теории групп, произведено И. И. Гольденблатом (1950, 1955). Была выяснена возможность введения инвариантов, позволяющих раздельно рассматривать изменение объема элемента и его формоизменение (Л. А. Толоконников, 1956). Там же были предложены соотношения, обобщающие закон подобия девиаторов напряжений и деформаций. На основании этого Л. А. Толоконников (1957) развил вариант квадратичной теории (с четырьмя константами), основанный на следующих предположениях всестороннее давление зависит только от относительного изменения объема, интенсивность касательных напряжений — только от интенсивности деформации сдвига, углы вида тензоров истинных напряжений и логарифмических деформаций равны между собой. [c.73]

До сих пор мы рассматривали поведение нормальных колебаний и колебательных собственных функций только по отношению к отдельным операциям симметрии. Однако, в силу того что различные точечные группы характеризуются только известными комбинациями элементов симметрии (см. стр. 15) и что одни из этих элементов симметрии являются необходимым следствием других, возможны только определенные комбинации свойств симметрии нормальных колебаний и колебательных (и электронных) собственных функций, что было впервые показано Брестером [178]. Мы будем называть такие комбинации свойств симметрии типами симметрии (см. Мелликен [643]). В теории групп они соответствуют так называемым неприводимым представлениям, некоторые авторы предпочитают применять этот последний термин. Типы симметрии для всех молекул, за исключением молекул, принадлежащих к кубической точечной группе (см. также Плачек [700]) можно весьма легко определить на основании предыдущего, не прибегая явно к помощи теории [c.118]

Классификация электронных состояний, В уравнении Шредингера для движения электронов (1,5) величина Уе обозначает потенциальную энергию электронов в поле ядер (неподвижных). Как указано выше, в первом приближении (которое, как правило, является хорошим) мы можем рассматривать движение электронов при равновесном положении ядер. Поэтому функция Уе У 1меет ту же симметрию, что и молекул(а в определенном электронном состоя- ти. Таким образом, уравнение Шредингера, описывающее электронное ч движение, не изменяется под действием операции симметрии. Следовательно, 4 лектронная волновая функция невырожденного состояния может быть 4 олько симметричной или антисимметричной по отношению к каждой из оне-. Ч аций симметрии, допускаемых симметрией молекулы в равновесном ноло- ении, т. е. она либо остается неизменной, либо только меняет знак. В случае вырожденных состояний собственная функция может превращаться только в линейную комбинацию двух (или более) вырожденных волновых функций, так что квадрат волновой функции, представляющий собой электронную плотность, остается неизменным. Различные волновые функции могут вести себя по-разному по отношению к различным операциям симметрии данной точечной группы но, как правило, не все элементы симметрии точечной группы независимы друг от друга, поэтому возможны лишь определенные комбинации поведения волновых функций по отношению к операциям симметрии. Такие комбинации свойств симметрии называются типами симметрии (см. [23], стр. 118). На языке теории групп это неприводимые представления ])ассматриваемой точечной группы. Каждая электронная волновая функция, а следовательно, и каждое электронное состояние принадлежат к одному из возможных типов симметрии (представлений) точечной группы молекулы [c.17]

Следует отметить, что в последующих разделах пспользуются некоторые постулаты п предположения, содержание которых пе излагается и которые часто вообще не указываются. Ниже в ряде мест эти молчаливо принимаемые предположения по возможности будут сформулированы и пояснены. Здесь отметпм только, что в разд. 1 и 2 ( Корреляция электронных состояний и Электронные конфигурации ) предполагается, что точечная группа симметрии, к которой принадлежит равновесная конфигурация ядер молекулы, известна. Следовательно, в этих разделах теоретические соображения (теория групп и квантовая механика) не используются для установления равновесной геометрической конфигурации ядер молекулы и ее элементов симметрии. Если рассматривается реальная молекула, то предполагается, что данные по геометрии равновесной конфигурации ядер (по меньшей мере точечная группа симметрии равновесной конфигурации) известны из эксперимента. Если рассматривается какая-либо пробная модель молекулы, то указанные данные задаются как исходные прп рассмотрении возможных электронных состояний этой модели. В отличие от этого в разд. 3 ( Стабильность молекулярных электронных состояний. Валентность ) ставится вопрос об определении равновесной геометрической конфигурации ядер или ее отдельных параметров пли, наконец, только точечной группы симметрии, к которой относится равновесная конфигурация, исходя не из экснеримента, а на основании теоретических положений квантовой механики. [c.276]

Октаэдрические молекулы XYe. В октаэдрических молекулах ХУв имеется по шесть эквивалентных 2sy- и 2ру-орбиталей. Соображения, основанные на теории групп, аналогичные приведенным ранее (см. также табл. 61), показывают, что 2ху-орбитали образуют молекулярные орбитали типа iijg, 6g и /lu, тогда как 2ру-орбитали образуют молекулярные орбитали типа flig) fig, 2/iu, iig и fzu- И в этом случае молекулярные орбитали, получающиеся из орбиталей центрального атома, могут быть непосредственно найдены с помощью табл. 58. Не существует октаэдрических молекул с центральным атомом элемента первого периода периодической системы. Молекулы такой конфигурации образуются, только если у центрального атома имеются в основном состоянии частично занятые З -орбитали. [c.329]

Теория групп играет самую существенную роль при определении структуры разложения (3.58), а именно при выяснении, какие из коэффициентов отличны от нуля. В некоторых случаях полезным приближенным методом может служить исследование отдельных многофононных процессов рассеяния путем изучения величины aJdAкритическими точками многофононной плотности состояний. Чтобы выйти за пределы этого приближения на основе обобщенной теории Плачека, необходимо вычислить входящие в (3.45) матричные элементы (коэффициенты связи), а также плотность разрещенных конечных состояний. Подобная теория поляризуемости была развита в последние годы на основе метода многочастичных функций Грина. Некоторые из полученных результатов изложены в работах [И, 12], а также очень кратко упомянуты в 6. [c.34]

В 30—35 мы рассмотрим простейший случай изолированного точечного дефекта замещения, расположенного в узле идеальной решетки. При этом предполагается, что единственной характеристикой дефекта является его масса, отличаюихаяся от массы замещенного атома. В 30 определяется группа симметрии системы с дефектом — она представляет собой точечную группу узла, введенную в т. 1, 60. В 31, 32 устанавливается корреляция между фононами идеального кристалла и зонными колебаниями кристалла с дефектом вводятся также локальные колебания. В 33 кратко излагается динамическая теория решетки, содержащей изотопический дефект, и указывается, каким образом симметрия позволяет упростить (факторизовать) динамическую матрицу, подобно случаю идеального кристалла. В 34, 35 рассмотрены элементы теории инфракрасного поглощения и комбинационного рассеяния, причем основное внимание опять обращено на связь правил отбора с симметрией. Наконец, в 36 обсуждается вопрос о нарушении симметрии внешними агентами, например обобщенными напряжениями. Наибольший интерес, пожалуй, представляет та возможность, которую нарушение симметрии (дефекты и внешние напряжения) открывает для наблюдения процессов, обычно запрещенных в идеальном кристалле таким образом, нарушенная симметрия может быть мощным средством получения информации об идеальном кристалле. [c.224]

Первые экспериментальные исследования эффекта Зеемана в спектрах некубических кристаллов солей элементов редких земель были выполнены Жаном Беккерелем [24]. Беккерель описал ряд закономерностей, наблюдавшихся при расщеплении узких линий поглощения в кристаллах [25]. Развивая идеи относительно симметрии внутрикристаллических полей. Бете высказал некоторые положения о теории эффекта Зеемана в кристаллах [26]. Затем эти положения в применении к конкретным типам симметрий развил Гельвеге [27], используя теорию групп. Экспериментальному и теоретическому исследованию эффекта Зеемана в спектрах некубических кристаллов солей редких земель посвящен цикл исследований группы Гельвеге (ФРГ) [28] и группы Дики (США) [29]. Дики с сотрудниками провел также ряд исследований по изучению влияния магнитного поля на спектры излучения и поглощения кристаллов La lg, активированных редкими землями . [c.100]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...