ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Элементы теории групп из "Введение в физику твердого тела " В математике группой называется совокупность (множество объектов А, В, С. (элементов группы), обладающая следующими свойствами а) для каждой пары элементов определено действие (композиция) умножения, в результате которого произведению элементов сопоставляется элемент из той же совокупности объектов б) для произведения элементов групп справедлив ассоциативный закон (АВ)С = А(ВС) в) в совокупности элементов группы должен содержаться и единичный элемент Е такой, что-ЕА=АЕ=А, где Л —любой элемент группы г) для каждого из элементов группы среди ее элементов должен существовать обратный элемент, т. е. А А=АА- = Е. Иными словами, группа представляет из себя множество элементов и определенную между ними операцию, называемую умножением, которые удовлетворяют аксиомам замкнутости, ассоциативности, существованию единичного и обратного элементов [25, 26]. [c.130] Группа Св — группа поворотов на углы, кратные 2я/6. Она соответствует существованию только оси симметрии 6-го порядка. Для такой группы таблица умножения приведена в табл. 6.2. [c.131] Группа Оз также группа поворотов, но содержащая ось симметрии 3-го порядка и 3 перпендикулярных к ней оси 2-го порядка. Ее таблица умножения дана в табл. 6.3. [c.131] Первое, что следует из рассмотрения обеих таблиц в каждой из строк и столбцов каждый элемент содержится только один раз. Дальнейший анализ показывает, что, хотя таблицы имеют одинаковое количество членов (6), называемое порядком группы (кстати, порядок может быть и бесконечным), они не изоморфны, потому что имеют разные таблицы умножения (изоморфные группы— это группы с одинаковыми таблицами умножения, при этом конкретное значение элементов роли не играет). Наряду с порядком группы вводится и порядок элемента наименьшее число Р, для которого Х =Е, где X — элемент. В группе Се порядок элемента А—6. В группе Оз для элемента А — порядок 3, для элементов С, D, F — порядок 2. [c.131] Здесь Л —поворот на 120°, а В—на 240° вокруг оси 3-го порядка, С —поворот на 180° вокруг первой оси 2-го порядка, D и F — вокруг второй и третьей. [c.132] Если же А=Х АХ для любого X, то Л — самосопряженный элемент. В группе Dz С и D сопряженные элементы, поскольку B- B=D. Множестве С всех сопряженных элементов образует классы. Так, в группе D3 классы С = Е), С2 = А, В , Сз = С, D, F], кстати тождественный элемент сам образует класс. Для классов сопряженных элементов справедливы следующие положения элементы класса взаимно сопряжены, разные классы не имеют общих элементов, все элементы класса имеют одинаковый порядок, число элементов в классе является делителем порядка группы. [c.132] Важными понятиями в теории групп является изоморфизм и гомоморфизм групп. Понятие изоморфизма было уже введено ранее. Изоморфные группы — это группы с одинаковыми таблицами умножения или, что то же самое, это группы, произведения одинаковых элементов которых одинаковы. Очевидно, что изоморфными могут быть только группы одинаковых порядков. Таким образом, между элементами изоморфных групп существует взаимч но-однозначное соответствие. [c.133] Смежные классы группы G по ее нормальной подгруппе Я, взятые в качестве элементов, образуют группу элементов G/Я, называемую фактор-группой. Единичным элементом фактор-группы является нормальная подгруппа Я. Например, смежными классами группы Сз по нормальной подгруппе Я= , А, В) являются множества Я и СН. [c.133] Мы уже указывали, что каждая группа G характеризуется таблицей умножения. Если элементы группы представлены какими-либо числами, символами, функциями, матрицами и т. д., имеющими такую же таблицу умножения, что и элементы группы, то совокупность этих чисел, символов, функций, матриц и т. д. называется представлением группы. Среди них особую роль играют матричные представления, и представлением группы обычно называют именно представление в виде квадратных матриц, гомоморфное или изоморфное группе G. Важное свойство представлений— при реализации представления абстрактных групп в виде системы (группы) матриц умножение последних по обычным правилам для матриц приводит к тем же соотношениям, что и представляемая группа. Отображение элементов абстрактной группы на матричную не обязательно должно быть взаимно-однозначным, однако оно по крайней мере гомоморфно. Если же это представление изоморфно группе, то оно называется точным, или истинным, или основным. Размерность матриц называется размерностью представления. [c.134] если элементы матриц берутся из разных представлений, и не определено, если матрицы и эквивалентны. [c.135] Отсюда следует, что все неприводимые представления абелевых групп одномерны. [c.135] Отметим, что, вследствие одномерности неприводимых представлений абелевых групп, эти представления совпадают со своими характерами. [c.136] Найдем в качестве примера матрицы преобразований симметрии, матричные представления и характеры групп Се и Оз, свойства которых описаны в начале данного параграфа. [c.136] В этой таблице использована стандартная система обозначений, согласно которой символом А обозначается одномерное симметричное, а символом В — одномерное антисимметричное представление. Поскольку представления Г 2) и и Г оказались комплексно-сопряженными, то они объединяются в комплексно-сопряженные двумерные представления, которые обозначаются симвблом Е. [c.137] Таким образом, группа должна иметь два одномерных и одно двумерное неприводимые представления. Это позволяет сразу составить часть таблицы характеров неприводимых представлений этой группы, поскольку одно из неприводимых представлений тождественно, а следы для тождественных представлений численно равны их размерности (табл. 6.5). [c.138] Это позволяет заполнить оставшуюся свободной часть табл. 6.5а и получить табл. 6.56. При этом одинаковые элементы этой таблицы объединяются. Таким образом, использование соотношений ортогональности заметно облегчает процедуру нахождения характеров неприводимых представлений. [c.138] Вернуться к основной статье