Число неприводимых представлений

Полная группа вращений в трехмерном пространстве имеет конечное число неприводимых представлений. Сферические гармоники, используемые для построения волновых функций для состояний с заданным орбитальным моментом количества движения, являются удобными базисными функциями этих представлений, т. е. 2L-1-1 функций Уш образуют базис представления полной группы вращений. Это представление обычно обозначается Di. [c.136]

В теории групп класс образуется из элементов симметрии, сопряженных между собой, т. е. таких, которые могут быть получены нз одного элемента 5 путем составления выражений вида где t — любой элемент группы (см. Ван-дер-Верден [23]). Число неприводимых представлений (в нашем случае — число типов симметрии) равно числу классов группы (в нашем случае — числу классов элементов симметрии точечной группы). [c.123]

Эти соотношения достаточны для определения числа неприводимых представлений данной (конечной) группы, для получе- [c.117]

Зз) Число неприводимых представлений группы равно числу ее классов. Отсюда вытекает, что конечные группы имеют конечное число неприводимых представлений. [c.366]

Число неприводимых представлений группы октаэдра равно числу [c.367]

Число классов, а следовательно и число неприводимых представлений, не должно удваиваться вместе с числом элементов. Размерность неприводимых представлений простой группы, наоборот, удваивается. Эти представления могут оказаться приводимыми для двойной группы и распадаться на новые неприводимые представления более низкой размерности спинорные представления). Это согласуется с тем фактом, что собственные уровни энергии прн введении спина могут заселяться вдвойне, однако из-за спин-орбитального взаимодействия они могут и расщепиться. Так, представления Гц и в нашем примере при введении спина делаются шестимерными, однако при Этом расщепляются на одно четырехмерное и два двухмерных неприводимых представления. Такой пример показан на рис. 109. [c.382]

Это новое соотношение ортогональности также можно сделать более наглядным с помощью ортогональных векторов. При заданном ( числа У р/Л Х Ф) можно считать элементами вектора-столбца. Тогда каждому неприводимому представлению соответствует свой вектор-столбец. Соотношение (1.7) утверждает, что эти векторы ортогональны. Число компонент каждого вектора равно числу классов в группе. Поэтому число взаимно ортогональных векторов (т. е. число неприводимых представлений) не может превышать число классов. На самом деле эти числа строго равны, и, таким образом, число неприводимых представлений группы равно числу ее классов (в случае группы треугольника это число равно трем). [c.42]

Рассмотрим в качестве примера кристалл, относящийся к кристаллическому классу точечной группы 0 . Характеры этой группы приведены в табл. IV основного текста. На основании этой таблицы можно сделать вывод о том, что в рассматриваемом кристалле имеется десять типов экситонных зон механических экситонов (по числу неприводимых представлений) ), причем четыре типа зон при к—>0 являются трижды вырожденными (соответствующие им волновые функции преобразуются по неприводимым представлениям 1. 2. и два типа зон при к >0 дважды вырождены (представления Е и Е ), остальные зоны при являются невырожденными. [c.368]

Число неприводимых представлений группы о конечно или счетно, причем конечно только в случае, когда группа конечна. [c.235]

Число неприводимых представлений [c.41]

Приведенные соотношения ограничивают число возможных вариантов для поиска неприводимых представлений. Наиболее просто находятся представления абелевых групп, особенно циклических. В абелевых группах каждый элемент образует класс, поскольку [c.135]

Специальный анализ решений уравнений Шредингера показал, что каждому уровню энергии системы соответствует неприводимое представление. Поэтому размерность этих представлений определяет число уровней с одинаковой энергией. К тому же уравнение Шредингера оказывается инвариантным по отношению к преобразованиям симметрии системы. Из этих положений, на- [c.138]

Обозначения МО отличны от обозначений атомных орбиталей так, для двухатомных и линейных молекул при значениях орбитального квантового числа I = 0, 1, 2,... вводят 0-, Л-, 6-,. .. -орбитали, а если молекула имеет центр симметрии, то символы о, п, б,. .. помечают индексами g ш и (напр., Og, Яц ) Для нелинейных молекул МО классифицируют по типам симметрии. Напр., МО молекулы Н О обозначают с помощью неприводимых представлений группы 1, а , Ь . Т. к. молекула может иметь неск. МО [c.194]

Задание его численного значения достаточно для указания неприводимого представления. Возможные значения = i(i + 1), где i — неотрицательное целое или полуцелое число. [c.518]

Элемент базиса в определённом неприводимом представлении 51/(3) задаётся значениями двух диагональных генераторов (1 и /д), тогда как в 817(2) он задаётся одним числом (/д). Кроме того, в 517(3) возможно вырождение, т. е. одному и тому же выбору значении /д и /д могут отвечать два (или более) элемента базиса. Простейший пример этого вырождения приведён ниже в связи с унитарной симметрией. [c.518]

Из-за изоморфизма, следующего из преобразований типа (4.47), структура классов групп Оз и Гз такая же, как и у группы S3. Можно показать, что число неприводимых (и неэквивалентных) представлений группы равно числу классов группы. Поэтому группа Оз или S3 имеет только три неприводимых представления, и ими являются Гь Гг и Гз [см. (4.25) и (4.31)]. [c.61]

Обычно характеры неприводимых представлений групп даются в таблицах характеров. В таблице характеров элементы одного класса группируют вместе, так как все они имеют один и тот же характер в данном неприводимом представлении в каждом классе дается только один элемент, по при этом указывается число элементов класса. Ниже приведена таблица характеров группы 8з, составленная по этому принципу (табл. 4.2) неприводимые представления обозначены Гь Гз и Гз в соответствии с применявшимися выше обозначениями. Изоморфные группы имеют одинаковые таблицы характеров так как группы S3, Оз. Сзу и Сзу(М) изоморфны, все они имеют одну и ту ж [c.63]

Следовательно, число разбиений числа пять на целые числа равно семи. Аналогия между этим разбиением числа 5 и видом перестановок каждого из классов в (4.57) очевидна. Так как число неприводимых представлений группы равно числу классов группы, группа S5 имеет семь неприводимых представлений. Аналогичным образом определяется разделение на классы ППИЯ-группы, причем операция Е образует собственный класс. Например, для ППИЯ-группы молекулы H3F [см. [c.63]

Вигнер [120]. Приводится доказательство соотношения ортогоиальностн (4.38) и доказательство того, что любое матричное представление может быть преобразовано в унитарное матричное представление. Приводится доказательства выражения (4.45) обсуждается равенство числа классов в группе числу неприводимых представлений группы. [c.65]

В отсутствие резонансов вычисление поправок на центробежное искажение и кориолисово взаимодействие методом возмущений приводит к эффективному вращательному гамильтониану или уотсониану [113, 118, 133, 134, 136 ], в котором последовательные члены содержат вторую, четвертую, шестую и т. д. степени компонент оператора углового момента. Эффективный вращательный гамильтоииан коммутирует с операциями молекулярной группы вращений и в отсутствие резонансов между состояниями, вызываемых центробежным искажением или корнолисовым взаимодействием, число К остается приближенным квантовым числом для симметричного волчка, а неприводимые представления группы D2 дают хорошую классификацию уровней асимметричного волчка. Для молекул типа сферического волчка центробежное искажение и кориолисово взаимодействие приводят к важному явлеиию частичного расщепления (2/+ 1)-кратного вырождения по k каждого уровня. Максимальное число расщепленных компонентов равно полному числу неприводимых представлений группы МС, входящих в приводимое представление Frv. Например, вращательный уровень с / = 18 основного колебательного состояния молекулы метана состоит из уровней с различными типами симметрии группы МС (см. табл. 10.14) [c.331]

Каждая конечная группа порядка (состоящая из элементов) имеет конечное число неприводимых представлений. Это число рчвно числу классов этой группы. [c.117]

Соотношения (1.6) и (1.7) обычно позволяют сразу найти размерности неприводимых представлений группы. Например, для группы треугольника число неприводимых представлений равно 3, а сумма квадратов размерностей этих представлений равна 6. Этим условиям удовлетворяет единственный набор целых чисел 1, 1, 2. Легко показать, что абелева группа, каждый к.аасс которой содержит один элемент, имеет только одномерные неприводимые представления. [c.42]

На возможное возражение, что группа сама по себе является априорным понятием, можно указать, что понятие группы является результатом абстрагирования от различных подвижных инструментов циркуль, линейка и т. д., являющихся орудием геометрического исследования ). Напомним, что уже в геометрии Евклида неявно предполагалось, что все геометрические построения следует проводить с помощью только циркуля и линейки. Смысл этого требования становится ясен только с точки зрения программы Клейна. Геометрические свойства тел выражаются, таким образом, в терминах инвариантов группы и допускают изоморфную подстановку элементов пространства, в котором реализуется группа, и, следовательно, совершенно не зависят от самих геометрических объектов. Укажем, например, на реализацию геометрии Лобачевского на плоскости, предложенную А. Пуанкаре. Приведенный пример указывает на большую методологическую ценность программы Клейна. Аналогичный подход возможен также и в физике, где различные законы сохранения интерпретируются как свойства симметрии относительно различных групп. Основными группами современной физики являются группа Лоренца, заданная в пространстве Минковского, и группа непрерывных преобразований, заданная в криволинейном пространстве общей теории относительности, коэффициенты метрической формы которого определяют поле гравитации. В релятивистской квантовой механике мы переходим от группы Лоренца к ее представлениям, определяющим преобразования волновых функций. Как было показано П. Дираком, два числа I и 5, задающих неприводимое представление группы Лоренца, можно интерпретировать как константы движения угловой момент и внутренний момент частицы (спин). Иначе говоря, операторы, соответствующие этим инвариантам, перестановочны с гамильтонианом (квантовые скобки Пуассона от гамильтониана и этих операторов равны нулю). Числа, обладающие этими свойствами, называются квантовыми числами. В работах Э. Нетер дается общий алгоритм, позволяющий найти полную систему инвариантов любой физической теории, формулируемой в терминах лагранжева или гамильтонова формализмов. В основу алгоритма положена указанная выше связь между инвариантами группы Ли и константами движения уравнений Гамильтона или Лагранжа. В качестве простейшего примера рассмотрим вывод закона сохранения углового момента механической системы, заданной лагранжианом Г(х, X, (). Вводим непрерывную группу вращения, заданную системой инфи- [c.912]

Q ная классификация неприводимых представлений Л. г. описывается в терминах параметров jg, v, связанных с собств. значениями операторов Казимира ф-лаии ] = 2(jo+v —1), 2=4jjov параметр — положит, целое или полуцелое число, v — любое комплексное число. Представление конечномерно, когда — целое или полуцелое и v =(7o+k) где п — целое. Представление унитарно, когда 1) v—мнимое 2) ] = 0, v—вещественно и v s l. Представление Л. г. однозначно при целом и двузиачно при полуцелом д. [c.608]

Полные электронно-колебательно-вращательные (рови-бронные) уровни энергии М. классифицируют по неприводимым представлениям (типам симметрии) группы симметрии молекулы. Разделение полного движения на отд. виды даёт возможность ввести приближённые квантовые числа для классификации уровней М. В большинстве случаев эти числа связаны с собств. значениями квадратов и г-ггроекцин соответствующих угл. моментов, В спектроскопии двухатомных М. используются угл. моменты и их квантовые числа, приведённые в табл. [c.186]

Конечная группа имеет конечное число неприводимых П. г. Сумма квадратов размерностей всех неприводимых неэквивалентных П. г. равна порядку группы (теорема Бёрнсайда), причём все эти размерности являются делителями порядка группы. Число различных неприводимых представлений конечной группы равно числу классов сопряжённых элементов. [c.103]

Неприводимое представление 51/(3) задаётся указанием двух чисел, соответствующих значениям и Сд в этом представлении. Часто, однако, его задают просто указанием числа элементов базиса представления 1 для синглета, 3 для триплета, 8 для октета и т. д. Используют также обозначения типа 3 или 3 для автитриплета, т. . для представления, сопряжённого к триплетному и имеющего, очевидно, столько же элементов в базисе. [c.518]

СУПЕРМУЛЬТИПЛЁТ — неприводимое представление суперсимметрии, содержащее фермионы и бозоны. В любом С. число бозонных степеней свободы равно числу фермионных. [c.23]

Если классификация калибровочных бозонов и лептонов не вызывает особых проблем, то большое число адронов уже в нач. 50-х гг. явилось основанием для поиска закономерностей в распределении масс и квантовых чисел барнонов и мезонов, к-рые могли бы составить основу их классификации. Выделение изотопич. мультиплетов адронов было первым шагом на этом пути. С матем, точки зрения группировка адронов в изотопич. мультиплеты отражает наличие у сильного взаимодействия симметрии, связанной с вращения группой, более формально, с унитарной группой 51/(2)—группой преобразований в комплексном двумерном пространстве [см. Симметрия SU(2)]. Предполагается, что эти преобразования действуют в нек-ром специфич. внутр. пространстве — т. н. изотопич. пространстве, отличном от обычного. Существование изотопич. пространства проявляется только в наблюдаемых свойствах симметрии. На матем. языке изотопич. мультиплеты суть неприводимые представления группы симметрии SU (2). [c.602]

Для сред, обладающих разной симметрией, тензорыи их неприводимые представления имеют разное число компонент. Для сравнения между собой физических величин, описьшаемых этими тензорами, используют нормы тензоров. Нормой тензора назьшается сумма квадратов всех его элементов, т.е. BepHjrroe по всем индексам произведение тензора самого на себя. По определению норма тензора должна быть равна сумме норм его неприводимых представлений [c.17]

Неприводимые представления группы К(П) обзначаются через /)( ) (полносимметричное представление), D< >, и т. д. и в общем случае через D<> Матрица операции вращения [а, р, у] в представлении записывается как D( >( [а, Р, v]) и имеет размерность (2/ +1). Строки и столбцы матрицы D< )([a, р, ]) нумеруют по значениям числа /п/ — —/,—/ 4-1,. .., Прямое произведение двух представлений группы К(П) удовлетворяет следующему правилу [c.107]

Группа S n порядка п имеет т неприводимых представлений, где т — число разбиений п [см. (4.57) и последующие замечания]. Одно из неприводимых представлений группы Slf называется антисимметричным представлением Г< >(/4) и имеет характер (+1) для всех четных перестановок и (—1) для нечетных. Поскольку электроны являются фермионами и подчиняются статистике Ферми — Дирака (т. е. приьщипу запрета Паули), молекулярная волновая функция должна менять знак при нечетной перестановке электронов. Таким образом, функция Ф может преобразовываться только по представлению Г<- ЦА) группы Как следствие принципа запрета Паули все уровни энергии относятся к типу симметрии Г< >(Л) группы SL , поэтому применение этой группы не дает возможность различать уровни энергии пли выявлять взаимодействия между уровнями энергии. Однако мы еще воспользуемся этой группой в следующем разделе, посвященном симметрии базисных функций. [c.109]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...