Свободные и вынужденные малые колебания

СВОБОДНЫЕ И ВЫНУЖДЕННЫЕ МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ [c.117]

В данной главе изложены теория и методы расчета наиболее часто встречающихся в инженерной практике задач, связанных с анализом свободных и вынужденных малых колебаний стержней. [c.117]

Для численного приближенного решения уравнений свободных и вынужденных случайных колебаний стержней необходимо знать собственные векторы, характеризующие малые свободные колебания стержней при конкретных краевых условиях. [c.351]

Для определения вынужденных колебаний, т. е. частного решения Ха, следует предварительно выяснить соотношение между круговыми частотами свободных и вынужденных колебаний. Так как fe =100 сек , а д = 60 сек , то p< k, т. е. имеют место вынужденные колебания малой частоты. При этом частное решение Ха надо искать в виде [c.108]

В настоящей работе рассматриваются свободные и вынужденные колебания упругой гироскопической системы с распределенными и сосредоточенными массами. Члены, соответствующие силам внешнего и внутреннего трения, считаются малыми они отнесены к правым частям и входят под знак малого параметра а. Таким образом, формально линейные дифференциальные уравнения в частных производных, описывающие колебания исследуемой системы, и краевые условия приобретают вид квазилинейных. Рассматриваемая краевая задача решается методом малого параметра, обобщенным на системы с распределенными и сосредоточенными параметрами [1].. [c.6]

Для определения вьшужденных колебаний, т.е. частного решения Х2, следует предварительно выяснить соотношение между круговыми частотами свободных и вынужденных колебаний. Так как к = 100 рад/с, а р = = 60 рад/с, то р < к, т.е. имеют место вынужденные колебания малой частоты. При этом частное решение Х2 надо искать в виде [c.110]

Асимптотический анализ свободных и вынужденных колебаний в каналах и трубах с точки зрения взаимодействия вязких пристеночных слоев с невязким ядром потока несжимаемой жидкости проведен в [58-61] для малых амплитуд, позволяющих линеаризовать уравнения движения. Нелинейные аспекты процесса распространения волн и генерация вихрей при возрастании амплитудного параметра в рассматриваемом классе задач о движениях жидкости в каналах с зависящими от времени деформациями стенок обсуждаются в [62-65]. [c.6]

Удовольствуемся этими краткими сведениями об общем случае свободных малых колебаний системы с п степенями свободы. Более детальное изложение вопроса, а также обобщения на случай вынужденных колебаний системы и влияния на ее колебания сопротивлений можно найти в специальных курсах теории колебаний, а также в третьем томе нашей книги Теоретическая механика (ГТТИ, 1934) или в книге Гант-махер Ф. Р. Лекции по аналитической механике. — 2-е изд.— М. Наука, 1966, гл. VI. [c.595]

Вследствие отражения звуковых волн у концов трубы столб воздуха, заключенный в трубе конечной длины и диаметра, малого но сравнению с длиной волны, как и стержень, представляет собой одномерную колебательную систему, обладающую определенными нормальными колебаниями — основным тоном и гармоническими обертонами. Частоты этих колебаний и распределение их амплитуд вдоль трубы, а также возникновение резонанса при вынужденных колебаниях определяются совершенно теми же условиями, что и в случае стержня, причем закрытый конец трубы аналогичен закрепленному концу стержня, а открытый конец трубы — свободному 154). [c.734]

В зарезонансной зоне, т. е. справа от максимума кривой р, с увеличением а происходит уменьшение величины р — кривые р асимптотически приближаются к оси абсцисс. Таким образом, если вынужденные колебания происходят с частотой, превышающей частоту свободных колебаний на достаточно большую величину, то амплитуды оказываются меньше, чем при статическом действии амплитудного значения возмущающей силы при достаточно большом отношении т/мс, т. е. при большой частоте вынуждающей силы и вынужденных колебаний, амплитуды оказываются очень малыми. [c.112]

Фундамент машины, оказывающей на него значительное динамическое воздействие, в основном должен удовлетворять трём условиям. Во-первых, он должен иметь достаточную прочность с учётом статических и динамических нагрузок. Во-вторых, колебательные движения фундамента, характеризуемые амплитудами его свободных или вынужденных колебаний, не должны превосходить допускаемых величин, устанавливаемых с учётом воздействия сотрясений или вибраций на работу машины и её фундамент, а также на конструктивные элементы здания цеха, где находится машина. В-третьих, фундамент не должен давать значительной осадки, в особенности неравномерной, которая может вызвать необходимость устранения перекоса машины. Возможность такой осадки наиболее реальна при сооружении фундаментов на песках малой и средней плотности. [c.536]

Малые колебания механической системы с одной степенью свободы. Потенциальная и кинетическая энергия системы при малых колебаниях вблизи положения устойчивого равновесия. Критерий устойчивости положения равновесия. Свободные, затухающие и вынужденные колебания гармонического осциллятора. Явление резонанса. [c.150]

Выше мы рассмотрели раздельно свободные колебания фундаментов и вынужденные колебания при постоянном действии периодических (синусоидальных) сил. Разберем несколько таких случаев, когда под действием сил малой продолжительности возникают как свободные, так и вынужденные колебания тела, опирающегося на упругое основание, которые приходится рассматривать совместно. [c.36]

Условимся такие вынужденные колебания, частота р которых меньше частоты к свободных колебаний, называть для краткости речи вынужденными колебаниями малой частоты вынужденные же колебания с частотой р большей, нежели частота к свободных колебаний, будем называть вынужденными колебаниями большой частоты . Вводя такую терминологию, мы можем формулировать только что отмеченное нами свойство вынужденных колебаний следующим образом в случае вынужденных колебаний малой частоты вынужденные колебания и возмущающая сила находятся всегда в одинаковых фазах, в случае же вынужденных колебаний большой частоты [c.92]

Плавное движение и дрожание. Мы предполагали, что система способна осуществлять некоторое стационарное движение совершенно так же, как катится по земле колесо, находясь в вертикальной плоскости. Однако вследствие малых возмущений система в действительности совершает колеба)1ня около этого стационарного движения, причем общее возмущение для каждой координаты всегда представляется суммой свободных н вынужденных колебаний. Если период одного из этих колебаний мал, то систе.ма быстро переходит с одной стороны от своего среднего или стационарного движения на другую. Среднее движение тогда воспринимается на глаз как дрожание. Если периоды всех колебаний очень велики, то переход с одной стороны от среднего движения на другую происходит настолько медленно, что трудно воспринимать движение как колебание. Тогда говорят, что среднее движение является плавным. [c.272]

Для большинства акустических целей достаточно рассматривать колебания тех систем, с которыми мы будем иметь дело, как бесконечно малые или, скорее, как близкие к бесконечно малым колебаниям. Это ограничение является основой важных законов изохронизма для свободных колебаний и постоян ства периода для вынужденных колебаний. [c.95]

Если частота р вынужденных меньше частоты k (свободных) собственных колебаний (случай малой частоты), то амплитуда вынужденных колебаний Аз = к/ — р ), а фаза pt вынужденных колебаний совпадает с фазой pt возмущающей силы. Но если р > k (случай большой частоты), то выражение, написанное для Аз, становится отрицательным, однако амплитуда не может быть отрицательной. Это кажущееся несоответствие объясняется тем, что при p>k фаза вынужденных колебаний противоположна фазе возмущающей силы и уравнение вынужденных колебаний имеет вид [c.279]

Изучаемой системы при различных амплитудах и называется скелетной кривой. Рассматривая характер полученных резонансных кривых, мы замечаем следующее при частоте воздействия р, меньшей частоты свободных колебаний (Оц, в системе всегда происходит однозначно определяемое колебательное движение с амплитудой, зависящей от величин Р и р. Когда в процессе своего изменения р становится больше сод, то, начиная со значения р> в системе, кроме существовавшего ранее движения, оказываются возможными еще два колебательных процесса с различными амплитудами. При этом амплитуда исходного вынужденного процесса с ростом р продолжает расти (область А), амплитуды же двух вновь появившихся решений изменяются так, что одна из них растет с ростом р (область С), другая уменьшается (область В). Линия раздела этих областей показана на рис. 3.17 штрих-пунктиром и она проходит через точки амплитудных кривых с вертикальными касательными. Таким образом, если для заданной амплитуды Р воздействующей силы ее частота р изменяется, начиная с малых значений до любых сколь угодно больших значений и обратно, мы получим однозначное решение, соответствующее одной из ветвей резонансной кривой в области А. Заметим, что здесь нас интересовала лишь величина а, ее абсолютное значение, а знак амплитуды, связанный с возможным изменением фазы на л не учитывается. Отметим лишь, что колебания в областях Л и 5 для одной и той же амплитуды внешней силы Р отличаются друг от друга по фазе на л. [c.101]

Вторым фактором является близость частот возмущающей силы и свободного колебания. Как видно из формулы (10.62), амплитуда будет по сравнению с другими амплитудами тем больше, чем ближе оз к oj. Формально мы получаем при qd = oj даже бесконечно большую амплитуду, что представляет хорошо известное явление резонанса. В действительности, конечно, формула (10.62) справедлива только при малых отклонениях от равновесия. В дальнейшем увидим, что в реальных колебаниях амплитуда остается конечной и при резонансе. Заметим, что фаза вынужденного колебания совпадает с фазой возмущающей силы только при (О < (Oi, а при ш > oj эти фазы отличаются на п. [c.370]

Резонанс. Обращаясь к общей теории, мы будем предполагать, что постоянные /г и А (а следовательно, <о и Т), характеризующие колеблющуюся систему, остаются неизменными, равно как и максимальная величина q возмущающей силы изменяя частоту (Bj возмущающей силы (или же ее период ri Sn/ u,), мы увидим, что вместе с этим будет изменяться амплитуда р соответствующих вынужденных колебаний. Мы покажем, что р всегда допускает единственный максимум. Если постоянная затухания h, свойственная колеблющейся системе, мала, то максимум этот будет достигнут при значении (Oj, близком (почти равном) к частоте ш свободных колебаний. [c.71]

Рассмотрим сначала нерезонансный случай. Решение соответствую-ш его однородного уравнения (23.10.2) определяет свободные колебания. Однако они не представляют для нас интереса, поскольку в механической системе практически всегда имеется трение, и потому свободные колебания затухают. Частное решение, которое стремится к периодической функции с периодом 2п р, выражает вынужденное колебание. Вынужденное колебание малой амплитуды всегда суш ествует если же р п, то существуют два вынужденных колебания конечной амплитуды. [c.481]

Хотя мы молчаливо предполагали, что свободны е колебания затухают, однако в уравнении (23.10.2) мы не имели члена, указывающего на наличие трения. Важно отметить, что вынужденные колебания амплитуды, близкой к а, сохраняются и тогда, когда имеется малое трение. Если ввести малый линейный член, обусловленный наличием трения, то уравнение примет вид [c.482]

Научная работа кафедры отразилась и на содержании основного курса теоретической механики. Так в учебном пособии Теоретическая механика в примерах и задачах (т. 1—третье издание, т. 2 — второе издание 1964 г.), написанным совместно с Г. Ю. Джанелидзе и М. И. Бать, нашли отражение оба направления научной работы кафедры. В 1-м томе широко представлены задачи самонаведения в разделе кинематики сложного движения, во 2-м томе в главе, посвященной малым колебаниям системы, детально рассматриваются задачи о свободных и вынужденных колебаниях жестких роторов, вращающихся в упругих опорах. Исследуется влияние вязкого трения, гироскопических сил, эффeкf самоцентрирования, определяются условия, при которых динамические составляющие реакций между валом и упругими опорами обращаются в нуль при наличии статической и динамической неуравновешенности ротора. [c.91]

На этом пути был получен ряд результатов. Прежде всего, весьма элементарно были получены все известные результаты теории колебаний мало вязкой жидкости одновременно удалось решить ряд новых задач. Н. Я. Багаевой и Н. Н. Моисеевым (1964) была решена задача о стоячих волнах между вертикальными стенками (рассматривались свободные и вынужденные колебания). С. И. Крушинская (1965) рассмотрела задачу о колебании жидкости в сосуде, стоящем на вибрирующей подставке. [c.72]

Методы свободных и вынужденных колебаний дополняют один другой. При малом внутреннем трении (слабом затухании) точнее определяется декремент затухания из свободных колебаний. Точное установление полуширины затрудняется резкой остротой кривой резонанса. При большом внутреннем трении положение обратное и более пригоден метод вынужденных коле баний. В практике металловедения наиболее широкое ггрименение получил низкочастотный крутильный маятник,, опиоаи- [c.243]

Законы Кассини выполняются с высокой степенью точности. Отклонения от них во вращении Луны представляют собой малые колебания, называемые физической либрацией, состоящие из свободных и вынужденных колебаний. Причинами этих малых колебаний являются форма Луны (приблизительно трехосный эллипсоид, самая длинная ось которого всегда направлена в сто- [c.288]

Так как деформации упругой системы мащины пренебрежимо малы по сравнению с перемещением ее рабочего органа, то при этих расчетах трансмиссию долгое время принимали абсолютно лгесткой, т. е. считали, что учет их несущественен для анализа работы машины в целом. Однако увеличение скоростей машин и в ряде случаев нестабильность статических сопротивлений на их рабочих органах привели к возникновению в упругих системах машин колебательных процессов, пренебречь которыми стало невозможным. При этом выявилось, что даже малые деформации элементов упругой системы, вызванные как свободными, так и вынужденными колебаниями, не говоря уже о резонансных процессах, могут привести к появлению напряжений не только соизмеримых со статическими, но в ряде елучаев и далеко превосходящих последние. [c.5]

На основании результатов расчета частот и форм собственных колебаний mojkho сделать некоторые предварительные выводы относительно интенсивности развивающихся в системе колебаний. При известных источниках и спектре частот возбуждения колебаний, основными из которых в редукторе являются погрешности изготовления и монтажа зубчатых колес, определяются возможные резонансные режимы в рабочем диапазоне оборотов. Так как для систем с малыми потерями, к которым относится редуктор, различие в с )ормах вынужденных и свободных колеба- [c.72]

Процольные и крутильные колебания при поперечном возмущении. При поперечных свободных или вынужденных колебаниях с частотой of или (Og продольное распорное усилие при малых амплитудах поперечных колебаний (<0,1 Я) [c.49]

Наиболее простыми для решения, но вместе с тем важными для практики являются задачи на установившиеся колебания под действием внешних сил, изменяющихся по гармоническому закону. Решению задачи, как правило, предшествует определение частот и форм свободных колебаний, после чего нахождение вынужденньк колебаний мало чем отличается от решения задач с сосредоточенными параметрами. Однако в случае воздействия на упругую систему сосредоточенной внешней силы можно найти вынужденные установившиеся колебания и без разложения их в ряд по формам свободных колебаний. Фаза вынужденных колебаний равна нулю, если колебания совершаются до резонанса (р<а), вынужденны колебания отстают по фазе на п от внешней силы, если колебания происходят после резонанса (р>а). [c.338]

Задачи о вынужденг ых колебаниях призматических стержней имеют не только теоретическое, но и большое практическое значение. С ними приходится встречаться в различных отделах машиностроения, в мостовом деле, в кораблестроении и т. д. Несмотря на это, общк е методы исследования малых колебаний, разработанные главным образом в акустике, находят малое применение в технике. Объясняется это отчасти тем, что в книгах по теории звука главное внимание обращено на свободные колебания, вынужденным колебаниям отводится мало места ограничиваются обыкновенно лишь изложением общ,его метода. [c.139]

Имея выражения для У и Т, без затруднений можно исследовать как свободные, так и вынужденные колебания стержня. Некоторые примеры будут приведены в следующих параграфах. Здесь остановимся подробнее на дифференциальном уравнении движения (168) и внесем в него поправки, оценивающие влияние конечности поперечных размеров стержня на частоту собственных колебаний. Поправки эти, как мы видим, могут иметь сзш ественное значение при изучении высших типов колебаний, когда вибрирзтощий стержень узловыми сечениями подразделяется на большое число полуволн сравнительно малой длины. [c.337]

Величина скачка ограничивает возможную чувствительность и точность малых перемещений, которые могут быть повышены либо выравниванием характеристики силы трения, либо повышением жесткости привода. В условиях смешанного трения характеристика силы трения улучшается при использовании специальных антискачковых смазок с введением в минеральные масла незначительного количества консистентных добавок. Значительного уменьшения различия в силах статического и кинетического трения можно достигнуть применением осциллирования. Особенно эффективно применение вынужденных колебаний в режиме рез-о-нанса со свободными контактными колебаниями, что позволяет при малой мощности вибратора в несколько раз снизить силу трения. [c.243]

Если габаритные размеры блока, образуемого фундаментом и установленной на нем машиной, не слишком отличаются друг от друга, то деформации такого массива при действии динамических нагрузок обычно оказьшаются ничтожно малыми по сравнению с его перемещениями как одного целого. С некоторым приблил еиием колебания массивных фундаментов, наблюдаемые в натуре, могут быть охарактеризованы как гармонические. Формы этих колебаний (как свободных, так и вынужденных) весьма близки к определяемым с помощью теоретических формул, приведенных выше. Таким образом, согласно опытам колебания массивного фундамента, возведенного на грунте, с достаточной для практики степенью приближения к действительности можно рассматривать как колебания твердого [c.42]

Так, если частота со значительно превышает частоты Ях и вынужденные горизонтальные и вращательные колебания фундамента приближаются по своему характеру к описанным в предыдущем параграфе. В таком случае нижняя плита в колебаниях почти не участвует, а верхняя ведет себя, как свободное в пространстве тело жесткость рам верхнего строения и основания практически не оказывает влияния на горизонтальные колебания. Если же частота со близка к частотам Яж и Я или лежит ниже их, то картина становится другой. В этом случае жесткость системы при действии горизонтальных сил начинает оказывать существенное, а при малых отношениях со/Яж и со/Яф решающее влияние на горизонтальные колебания фундамента. Изменяя размеры подошвы фундамента и сечений элементов рам верхнего строения, проектировщик имеет возможность в известных пределах менять отношения соДж и и/Я и тем самым влиять на характер указанных колебаний необходимые количественные оценки всегда могут быть получены по формулам (7.4) — (7.7). [c.150]

Резонанс в колебательной системе возникает при совпадении частоты гармонич. внешней силы с одной из собственных частот. Т. о., состав Н. к., свохгственных данной системе, существенно определяет черты как свободных, так и вынужденных колебаний в данной системе. Если в системе есть поглощение энергии, то Н. к. не являются строго гармоническими, но если доля поглощённой энергии за один период Н. к. мала, то они представляют собой экспоненциально затухающие колебания при очень больших поглощениях энергии Н. к. становятся апериодическими. [c.238]

До сих пор мы интересовались амплитудой вынужденных колебаний, равной величине вектора ОС на рис. 59. Рассмотрим теперь угол а, определяющий отставание вынужденных колебаний от возмущающей силы. Для этого рассмотрим вектор ОР, совпадающий по направлению с вектором 0D на рис. 59 и равный по величине силе Р. Тогда проекция вектора ОР на ось х равна возмущающей силе в любой момент времени. Когда вектор ОР совпадает с осью X и возмущаю1цая сила становится максимальной, перемещение тела, определяемое проекцией вектора ОС на ось х, еще не достигает наибольшего значения и становится максимальным лишь после промежутка времени, равного а/о), когда ОС совпадает с осью х. Угол а представляет сдвиг фаз между возмущающей силой и вынужденными колсбаинями. Из соотношения (39) мы видим, что когда о) <р,, т. е. когда частота возмущающей силы меньше частоты свободных незатухающих колебаний, tga положителен и угол а меньше л/2. Для to>p tga отрицателен и а> я/2. Когда со=р, tga обращается в бесконечность и сдвиг фаз а становится равным я/2. Это означает, что при таким движении колеблющееся тело проходит через среднее положение в моменты, когда возмущающая сила максимальна. На рис. 61 величина а дана в зависимости от (njp для различных значений демпфирования. Как видим, в резонансной области (со=р) при малом затухании имеет место резкое изменение сдвига фаз. В предельном случае, когда л = О, при резонансе происходит скачкообразное изменение сдвига фаз са = Одо а = я, и вместо кривой рис. 61 мы [c.82]

В качестве другого примера резонансных взаимодействий волн служат короткие внутренние гравитационные волны в стратифицированной жидкости с постоянной частотой Бранта—Вяйсяля. Рассматриваются взаимодействия между отдельными гармониками и показывается, что возникают как свободные, так и вынужденные колебания. Для последних дисперсионное уравнение внутренних волн не выполняется, т. е. в этом случае отсутствует определенное соотношение между волновым числом и частотой. Амплитуды этих колебаний малы по сравнению с амплитудами внутренних волн, если среднее гармоническое завихренности в двух взаимодействующих волнах мало по сравнению с частотой Бранта—Вяйсяля. Движение в этом случае представляет собой некоторый набор взаимодействующих внутренних гравитационных волн. С другой стороны, если вынужденные колебания становятся сравнимыми по амплитуде с собственными, то эти взаимодействия оказываются довольно сильными и неразличимыми — развивается каскад , характерный для турбулентности. [c.141]

При этом предполагается, что Q Свободные колебания будут описываться членами вида os it и е" sin >,t, где р, = —Р. Их можно трактовать как синусоидальные колебания с периодом 2п/ и амплитудой, пропорциональной множителю е" и потому быстро стремяш,ейся к нулю. Свободные колебания скоро становятся пренебрежимо малыми ( затухают ), и остаются вынужденные колебания с периодом 2п р, описываемые уравнением [c.175]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...