Канонические преобразования в теории возмущений

Применение канонических преобразований в теории возмущений [c.172]

В этом параграфе мы рассмотрим некоторые вопросы применения канонических преобразований в теории возмущений систем, движение которых описывается дифференциальными уравнениями Гамильтона. [c.388]

Пуассон вместе с Лагранжем ввел в теорию возмущений выражения, обозначаемые при помощи скобок, и подошел вплотную к теории канонических преобразований. [c.393]

Значительная часть Второго очерка об общем методе в динамике посвящена построению теории возмущений на основе канонических уравнений и понятия главной функции. Гамильтон предлагает два метода в теории возмущений. Первый метод основан на введении поправок к начальным значениям переменных в невозмущенной задаче. Второй метод, который мы изложим, тесно связан с теорией канонических преобразований уравнений динамики. [c.14]

Переход от системы уравнений второго порядка к системе уравнений первого порядка можно осуществлять разными способами, и в результате будут получаться, вообще говоря, различные эквивалентные системы. Среди них особенно простую и симметричную структуру имеет система канонических уравнений Гамильтона. Свойства этих уравнений лежат в основе метода Гамильтона-Якоби исследования движений механических систем, а также современной теории возмущений. Канонические уравнения получаются с помощью преобразования Лежандра. [c.626]

Именно в силу этой инвариантности относительно канонических преобразований, уравнения Гамильтона имеют особое значение в астрономической теории возмущений. Равным образом, уравнения Гамильтона играют важную роль и в общей статистике Гиббса. [c.294]

Для приближенного исследования движения при малых, но отличных от нуля значениях е в механике разработан специальный аппарат теории возмущений, основанный на применении канонических преобразований. Для простоты ограничимся здесь случаем консервативной или обобщенно консервативной системы с одной степенью свободы (п = 1) Функция Гамильтона (17) имеет вид [c.392]

Будем применять методы теории возмущений, рассмотренные в 7 гл. XI. Нахождение областей неустойчивости основано на нескольких следующих одно за другим канонических преобразованиях, приводящих функцию Гамильтона (29) к некоторой простейшей форме, отражающей резонансный характер задачи и позволяющей весьма просто построить искомые области неустойчивости. [c.554]

В. И. Арнольд . Преодолев значительные математические трудности, характерные для исследований сходимости рядов, встречающихся в задаче трех и многих тел, путем применения процесса последовательных канонических преобразований и исключения частот, соответствующих быстро убывающим малым делителям, они построили строгую теорию возмущений [c.115]

Идея классической теории возмущений состоит в следующем ищется такое аналитически зависящее от параметра е каноническое преобразование IJ,ф . I = дЗ/д(р, ф = 95/97, S J, р, е) = = Зо + еЗ что [c.122]

Основная идея теории возмущений состоит в поиске такого канонического преобразования у, х mod 2тг и, v mod 2тг, зависящего от , чтобы в новых переменных гамильтониан Яо + eHi принял вид Ко и) + eKi u) + е Кг и) +. .. Если такое преобразование удается найти, исходная система уравнений Гамильтона бу- [c.196]

Следуя известной схеме классической теории возмущений, попытаемся найти зависящее от е каноническое преобразование X, у u,v вида у — дВ/дх, и — dS/dv S — Sq v, х) + sSi (v,x) +. .., переводящее гамильтониан Щ + еН в функцию Kq v) + K v) +... [c.398]

Применение методов аналитической механики к решению нетривиальных задач требует уже при составлении уравнений подробных сведений по вопросам, на которых, как правило, останавливаются весьма кратко. В связи с этим в книге значительное внимание уделено способам введения обобщенных координат, теории конечных поворотов, методам вычисления кинетической энергии и энергии ускорений, потенциальной энергии сил различной природы, рассмотрению сил сопротивления. После этих вводных глав, имеющих в известной степени и самостоятельное значение, рассмотрены методы составления дифференциальных уравнений движения голономных и неголономных систем в различных формах, причем обсуждаются вопросы их взаимной связи подробно рассмотрены вопросы определения реакций связей и некоторые задачи аналитической статики. Мы считали полезным привести геометрическое рассмотрение движения материальной системы, как движение изображающей точки в римановом пространстве этот материал нашел, далее, применение в задачах теории возмущений. Специальная глава отведена динамике относительного движения, к которому приводятся многочисленные прикладные задачи. Далее рассмотрены канонические уравнения, канонические преобразования и вопросы интегрирования. Значительное место уделено теории возмущений и ее разнообразным применениям. Последняя глава посвящена принципу Гамильтона—Остроградского, принципу наименьшего действия Лагранжа и теории возмущений траекторий. [c.9]

Задачи построения полного интеграла уравнения Гамильтона — Якоби и общего интеграла канонической системы, как доказывается в теории дифференциальных уравнений, математически эквивалентны. Степень трудности их, вообще говоря, одинакова. Однако может быть отмечен ряд частных случаев, когда уравнение Гамильтона — Якоби может оказаться более податливым, чем каноническая система. Об этом говорится в п. 10.14. Более важно то обстоятельство, что решение (10), получаемое с помощью теоремы Якоби, является каноническим преобразованием, а это, как мы увидим в главе 11, значительно упрощает форму уравнений возмущенного движения. [c.537]

Шестая глава посвящена важнейшему разделу механики — гамильтонову формализму. Основная цель этого раздела — представить математические аспекты гамильтоновой динамики как мощный аппарат решения широкого круга задач механики, физики и прикладной математики. В лагранжевом подходе проблема решения уравнений лежит вне рамок лагранжева формализма. Положение меняется в гамильтоновом подходе, который позволяет получить решение как каноническое преобразование начальных данных, не обращаясь непосредственно к уравнениям. Вся информация об эволюции системы содержится в одной функции — гамильтониане в результате канонического преобразования можно получить новый гамильтониан, который в определенном смысле мал . Более того, поскольку все операции ограничены рамками группы движения кососимметричной метрики, то удается создать универсальные алгоритмы построения приближенных решений. В рамках гамильтонова подхода изложены теория специальных функций, каноническая теория возмущений, метод усреднения нелинейных систем, методы анализа движения системы в быстропеременном внешнем поле и т.д. Особый интерес представляет лекция 30, в которой развит метод Дирака удвоения переменных, позволяющий представить в гамильтоновой форме систему нелинейных уравнений общего вида и получить решения уравнений, описывающих сингулярно-возмущенные системы, решения алгебраических и трансцендентных уравнений, разрешить проблему обращения интегралов и т.д. В лекции 32 приведено решение задачи о движении релятивистской частицы в гиперболическом волноводе, представляющей интерес для проблемы сепарации частиц по энергии и удельному заряду. В рамках канонического формализма рассмотрена задача о движении протонов в синхрофазотроне. [c.8]

Такое преобразование в канонически уравнениях возмущенного движения впервые выполнил Делонэ в своей классической работе по теории движения Луны ), который ввел для этой цели новые канонические элементы, называемые теперь обычно элементами Делонэ. [c.691]

Рассмотрим теперь некоторый класс методов теории возмущений, предложенных Колмогоровым 1229] и играющих, как показано в гл. 3, фундаментальную роль при доказательстве теоремы KAM. Их основной чертой является чрезвычайно быстрая сходимость последовательных приближений. Во всех до сих пор рассмотренных в этой главе методах гамильтониан Я = Яо -г еЯ подвергался таким последовательным каноническим преобразованиям, при которых порядок возмущения по 8 изменялся на единицу на каждом шаге [c.162]

В последние десятилетия разработаны новые способы применения канонических преобразований в теории возмущений, например метод Депри-Хори. С алгоритмической точки зрения он выгодно отличается от изложенных классических методов. Например, его применение не требует одной из самых громоздких процедур — обращения рядов, а формулы метода задаются рекуррентно, и необходимые преобразования могут быть достаточно просто реализованы на вычислительной машине . [c.403]

Возможно, что колебания мало влияют на фазовый переход. Разность энергий представляет собой лишь небольнгую часть полной нулевой энергии колебаний. С другой стороны, возможно, что существенно затрагивается лишь малое число колебаний, однако это маловероятно, так как в переходе, по-видимому, принимает участие большая часть колебаний. Если это заключение правильно, то необходимо иметь возможность рассматривать методами теории возмущений, если не электроны, то колебательные координаты ([120], стр. 913). В этом случае можно было бы соответствующим каноническим -преобразованием заменить электронно-фононное взаимодействие взаимодействием между электронами. Таким образом, можно было бы строго учесть взаимодействие, даваемое (40.11), и попытаться получить хорошее описание электронных волновых функций при помощи гамильтониана, включающего этот тип взаимодействия. (Сохранение только диагональных членов, как это было сделано в теории возмущений, вряд ли может оказаться удовлетворительным приближением.) Тем самым проблема электронно-фонон-ного взаимодействия будет заменена не намного менее трудной проблемой рассмотрения газа Ферми—Дирака с настолько большими взаимодействиями, что к ним нельзя применить методы теории возмущений. [c.778]

В следующем параграфе будет спсте.матически развита теория для задач такого типа, основанная на использовании переменных действие — угол, введенных в предыдущей главе. Могут спросить, в какой степени необходимо — если не касаться непосредственной связи вопроса с кван-товомехапической теорией возмущений — бросать в бой тяжелую артиллерию канонических преобразований в самом деле, многие авторы полагают, что любой прямой метод вполне успешно решает ту же самую задачу. На это можно возразить, обратив внимание на то, что каноническая теория возмущений была в ходу задолго до появления квантовой механики но самым убедительным аргументом является, пожалуй, то, что во лшогих случаях, как можно убедиться, прямые методы оказываются либо более неудобными, либо они ведут просто к ошибочным результатам нередко случается, что они одповре-меппо и неудобны, и ошибочны. [c.184]

Глава 11 содержит изложение основ метода Депри — Хори в теории возмущений гамильтоновых систем. В настоящее время на русском языке нет еще достаточно подробного описания этого метода. Разработанный сравнительно недавно [113, 142], он имеет значительные преимущества перед широко известными классическими методами, такими как, например, преобразование Биркгофа [7] или метод Цейпеля [9]. Практическое построение канонических преобразований в методе Депри — Хори основано на использовании рядов Ли и преобразовании Ли. Для ясности изложения [c.14]

Глава I, возможно, необычна тем, что здесь рассматриваются только динамические операторы канонических систем дифференциальных уравнений без привлечения самих уравнений, которые лишь маскировали бы фактическое содержание приводимых формальных операций. Дифференциальные уравнения и их решения вводятся лишь в главе II. Соответственно метод вариации кано- шческих постоянных в теории возмущений не связывается с известным уравнением в частных производных, которое выводится фактически лишь как побочный результат теории преобразований фазового пространства. [c.8]

В последние два десятилетия возникли новые обобщения асимптотических методов нелинейной механики, имеющие тенденцию к выработке общих концепций развития данных методов. Это прежде всего направление, названное методом усреднения с использованием рядов и преобразований Ли (см., например, работу [93]). Впервые ряды Ли в теории возмущений были применены Г. Хори [1261 для канонических систем и распространены далее самим Г. Хори [127] и А. Кэмелом [128] на неканонические системы. Теория возмущений, основанная на рядах и преобразованиях Ли, имеет ряд преимуществ по сравнению с существующими методами. Одним из них является простота алгоритмов. С сутью этих методов и библиографией можно подробно ознакомиться в монографиях [27, 93, 1291. [c.6]

Как показал Фрелих, для исключения электронно-фононного взаимодействия из гамильтониана можно применять каноническое преобразование, при этом остается лишь взаимодействие между электронами, которое соответствует тому, которое было выведено методами теории возмущений. Если электронно-фононпое взаимодействие велико, то указанная операция не применима лишь для небольшого числа членов с малыми энергетическими знаменателями. При вычислении матричного элемента взаимодействия и колебательных частот эти члены не существенны, но в случае сверхпроводимости они важны. Так как эти члены нельзя рассмотреть методами теории возмущений, они оказывают сильное влияние на волновые функции. [c.756]

Касательное преобразование Софуса Ли, имеющее исключительное значение в общей теории преобразования, находит применение в механике как в силу своей связи с теорией возмущений, так и из-за того, что так называемое каноническое преобразование, столь важное в динамике, является частным случаем касательного преобразования. [c.831]

Мы только что акцентировали внимание на том, что каноническая теория возмущений для случая, когда степеней свободы больше, чем одна, ведет к расходящимся рядам. Иногда удобно для решения уравнений движения (мы приведем пример в следующем параграфе) использовать старые переменные wi и которые, конечно, остаются канонически сопряженными переменными и для возмущенной системы, поскольку они получаются из и С1к каноническими преобразованиями. Это особенно удобно, когда мы имеем дело с вырожденной системой. Простейший случай вырождения мы встретили в гл. 6, где некоторые v/ оказались просто одинаковыми. В задаче Кеплера оказалось даже, что Vj=V2=V3. В этом случае можно вместо величин J, определяемых соотношениями (6.224) — (6.226), использовать любую их линейную комбинацию и, в частности, умноженные на 2л величины а , и а , введенные нами в 6.1. Если обозначить умноженные на 2л величины а , и з через J , Ji и Уз", а канонически сопряженные переменные — через W , inii и w i , то мы придем к невозмущенной системе, для которой [c.197]

В этой исключительно ясно и просто написанной работе дается законченное изложение всех вопросов, связанных с задачами канонических преобразований и с задачей интегрирования уравнений Гамильтона методом отыскания полного интеграла. Обпще положения развиваемой им теории Донкин прилагав к установлению уравнений теории возмущенного движения. В своем изложении предмета Донкин широко пользуется функциональными определителями и скобками Пуассона, устанавливая для них новые соотношения и формулируя получаемые теоремы с помощью этих скобок. [c.26]

Ковариантная теория возмущений в классической электродинамике. Существенную часть курсов классической электродинамики составляют разделы, посвященные вычислению радиационных процессов, к которым относятся излучение частиц, движущихся во внешних полях, рассеяние частиц и рассеяние электромагнитных волн. Можно заметить, что все расчеты основываются на использовании потенциала Лиенара-Вихерта, представляющего собой решение уравнения для 4-потенциала в приближении заданного 4-тока [12, 38, 153, 247, 248]. Поэтому отсутствует анализ индуцированных процессов и эффектов высших порядков. С другой стороны, гамильтонов формализм позволяет получить решение уравнений на основе теории канонических преобразований, не обращаясь непосредственно к уравнениям. В частности, в рамках канонической теории возмущений, изложенной в лекции 28, можно вычислить любую экспериментально измеряемую динамическую характеристику процесса в релятивистской ковариантной форме. Кроме упрощения всех вычислений, теория является универсальной в том смысле, что эволюция динамических переменных, обусловленная взаимодействием частиц и поля, определяется единым образом в терминах запаздывающих функций Грина. Результат вычислений, как и в фейнмановской теории возмущений в квантовой электродинамики, имеет форму ряда по степеням е , каждый член которого связан с соответствующим спонтанным или индуцированным процессом [6]. [c.380]

Таким образом, необходимый для расчета однофононного комбинационного рассеяния света гамильтониан в представлении вторичного квантования описывается формулами (6.84), (6.86), (6.87) и (6.89). Ясно, что нам следует описать процесс, при котором происходит переход из состояния Т,- в состояние через промежуточные состояния Непосредственная проверка совокупностей операторов, входящих в (6.86) и (6.89), показывает, что для интересующего нас процесса требуется, чтобы совокупность операторов ЖеяШеьШек, действуя на давала функцию Тг. Это, очевидно, процесс третьего порядка. Вычисление членов ряда теории возмущений третьего порядка можно выполнить в компактной форме, произведя каноническое преобразование [49]. Рассмотрим для этого не зависящее от времени уравнение Шредингера для полной системы излучение 4- вещество [c.85]

Взаимодействие электронов с продольными оптическими фононами в ионных кристаллах часто не является слабым. В связи с этим представляет интерес развитие методов изучения этого взаимодействия, не опираюш,ихся на теорию возмущений. Одним из таких методов является метод канонических преобразований, который развивался во многих работах (см., например, [124, 136- 138]). [c.272]

Половинная 5-матрица определяется рядами теории возмущений по постоянной взаимодействия X и приводит к явным выражениям для динамических величин определенного вида, оказывающихся конечными полиномами по Я, в точно решаемых случаях. Аналогичная ситуация имеет место и в классической области, где роль унитарной S-матрицы выполняет функция, осуществляющая соответствующее каноническое преобразование Беклунда. Данное утверждение применимо как к одномерным, так и к двумерным моделям. [c.7]

В настоящем параграфе методы теории возмущений применяются для построения явных выражений для рещений точно интегрируемых динамических систем. При этом важно подчеркнуть, что речь идет не о каких-либо приближенных результатах, а о точных выражениях, возникающих в результате суммирования рядов теории возмущений, которое для рассматриваемых систем удается довести до конца. Тем самым, преобразование Беклунда, осуществляющее связь нелинейной и соответствующей линеаризованной систем, приобретает явную формулировку. Им является каноническое преобразование, связывающее рещения некоторой нелинейной динамической системы с рещениями системы, возникающей из исходной при нулевом значении постоянной взаимодействия . (В простейшем случае в роли нелинейной и линеаризованной указанным образом систем выступают уравнения Лиувилля и Лапласа соответственно.) [c.177]

Для простоты изложения все методы рассматриваются лишь в первом порядке по е, а канонические преобразования выполняются с помощью зависящей от смешанного набора переменных производящей функции. Эти методы можно перенести и на более высокие порядки [34], но последовательное распутывание старых и новых переменных становится алгебраически сложным, а соответствующие ряды оказываются громоздкими. Однако высшие приближения часто необходимы, как, например, в задаче Хенона и Хейлеса, где первый порядок теории возмущений дает неверный результат даже в предельном случае очень низкой энергии. В 2.5 мы знакомим читателя с теорией преобразований Ли, которая пришла на смену старым способам получения классических рядов в высоких порядках по 8. Методы Ли иллюстрируются на примерах задач с одной степенью свободы и вычисления адиабатических инвариантов высших порядков. [c.84]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...