Алгебраическое уравнение состояния

Алгебраическое уравнение состояния [c.163]

Из предполагаемой непрерывности G при s = О следует, что аО, и любая предыстория G стремится к нулевой предыстории в недавнем прошлом действительно, G (0) = 0. На основании принципа затухающей памяти при предыстории покоя можно получить для случая медленных течений приближения iV-ro порядка к общему уравнению состояния простой жидкости. Приближение iV-ro порядка понимается в том смысле, что норма остатка имеет порядок а + . Алгебраические выкладки при получении этих приближений очень громоздки, и поэтому будут приведены лишь конечные результаты. [c.145]

Пример использования системы для решения задачи о напряженном состоянии непологой оболочки сложной конфигурации (рис. 1.21). На оболочку действует внешняя нормально распределенная нагрузка интенсивностью р = 9,81 10 Па. Расчетная модель состоит из 601 элемента. Количество степенен свободы в узле —5 (3 перемещения и 2 угла поворота). Порядок результирующей системы алгебраических уравнений — 3465. На рис. 1.21, а представлены полученные в результате расчетов эпюры мембранных, а на рис. 1.21,6 — изгибных напряжений. Рисунки получены на графопостроителе. [c.58]

Если воспользоваться значением молярной теплоемкости одноатомного идеального газа = то из формул (3.27) и (3.28) можно получить алгебраическую связь между его термическим и калорическим уравнениями состояния [c.55]

Если тензоры поверхности прочности по напряжениям Ft, Fij определены для какого-нибудь одного направления 6 в материале, то критерий разрушения для произвольного сложного напряженного состояния находится подстановкой выражений (8) в формулу (56) и решением получившегося при этом алгебраического уравнения. Поскольку компоненты Fij, найденные [c.414]

Вычисление того же предела прочности при использовании тензорно-полиномиальной формулировки (например, при сохранении линейных и квадратичных по напряжениям слагаемых в уравнении (56)) требует перехода от F и Рц к F и р ц, как и при вычислении ац. Кроме того, предел прочности при одноосном напряженном состоянии нельзя найти простым обращением, здесь требуется решить алгебраическое уравнение второй степени типа (9). Не учитывая условия устойчивости (Цай и By [c.445]

Для стационарного режима система алгебраических уравнений равновесия перетока между состояниями (включая уравнение нормировки - вероятности полной группы событий) будет иметь вид [c.174]

Таким образом, получается полная система алгебраических уравнений, определяющих п компонентов вектора состояния в сечении X = I. [c.472]

В подпрограмме Б —II решаются совместно дифференциальные и алгебраические уравнения, описывающие изменение параметров газа вдоль оси 2. Если течение рассчитывается от равновесного начального состояния, то исходные данные подаются на вход подпрограммы Б — [c.152]

Решение системы нелинейных алгебраических уравнений (9) дает оценку вектора параметров состояния х. [c.134]

Таким образом, получена система восьми дифференциальных уравнений первого порядка относительно усредненных перемещений и напряжений (для каждого слоя) и двух алгебраических уравнений (условия контакта) относительно межслойных напряжений. Поскольку внешняя нагрузка носит локальный характер, т. е. на некотором расстоянии от места нагружения напряженное состояние оболочки незначительно, то система уравнений (1) — (4) решается при нулевых граничных условиях. Эти уравнения сводятся к безразмерным величинам (а = pg), записываются отдельно для каждого слоя и решаются путем разложения неизвестных величин в ряды Фурье с конечными пределами интегрирования. [c.310]

Расчет искомых параметров состояния на ЭВМ по уравнениям состояния в виде явных функций не вызывает принципиальных вычислительных трудностей. Вычисление искомых параметров состояния из неявных функций, т. е. определение -корней нелинейных алгебраических уравнений, в ряде случаев может привести к значительному замедлению расчета на ЭВМ. Поэтому актуальным является выбор метода ускоренного поиска корпя. В ряде работ [Л. 6, 9, 18] предлагаются приближенные аппроксимирующие зависимости искомых параметров для уточнения корня. При поиске корня в заданных узких пределах изменения аргумента рационально использовать стандартные процедуры поиска корня методом хорд, методом половинного деления, методом Ньютона и т. д. [c.17]

При ограниченном объеме оперативной памяти использование стандартных процедур поиска корня и в случае заданных широких пределов изменения аргумента более рационально, чем обращение к довольно громоздким по размерам программам расчета по аппроксимирующим зависимостям. Определение корней нелинейных алгебраических уравнений часто встречается для расчета температуры при известных значениях одного из параметров состояния i, v, s и давления р. В этом случае. также эффективны вышеуказанные итеративные методы. [c.17]

Более сложен алгоритм определения неизвестных значений р и Т при использовании уравнений состояния (2-1), если i, S — заданные или известные значения. В этом случае определяются корни системы из двух нелинейных алгебраических уравнений [c.17]

Для решения системы (2-3) — (2-4) можно воспользоваться стандартной процедурой поиска корней системы нелинейных алгебраических уравнений при задании начального приближения, близкого к точному решению. Вышеприведенные алгоритмы пригодны для определения параметров состояния и при табличном их описании. [c.18]

Нелинейные математические модели тепловых стационарных процессов в паротурбинной установке с достаточной для инженерных исследований точностью представляются системами алгебраических и трансцендентных уравнений. В эти системы входят нелинейные уравнения состояния или зависимости в табличном и графическом виде, уравнения перепада давления, дросселирования в паропроводе, теплопередачи в подогревателях, уравнения теплового и материального баланса, теплоперепада, расходов и мощности пара по ступеням, отсекам и др. [Л. 25, 26]. [c.22]

Значения параметров пара в местах отбора можно уточнить путем расчета каждой ступени по методу треугольника скоростей. Заданными величинами являются геометрия ступеней и расход пара по ступеням [Л. 26]. Расчет расширения пара в направляющих и рабочих лопатках ступеней заключается в совместном решении системы нелинейных алгебраических уравнений энергии, состояния и сплошности потока в лопаточном аппарате с одновременным расчетом треугольника скоростей в зазорах между направляющими и рабочими лопатками. При этом учитываются потери от трения и вентиляции, от утечек через уплотнение диафрагмы и по лопаткам, от влажности и др. Рассматривается одномерный установившийся сжимаемый поток рабочей среды. [c.32]

Вышеприведенные системы линеаризованных алгебраических уравнений необходимо дополнить уравнениями состояния для энтальпии теплоносителей, уравнениями смещения (впрыски и др.), расхода топлива, теплообмена в топке, радиационного теплообмена, а также уравнениями, отражающими связи искомых переменных по поверхностям нагрева. Таким образом, получается математическая модель тепловых процессов в парогенераторе. Для реализации этой модели на ЭВМ разработан алгоритм, сводящийся к итеративному процессу решения данной системы комбинацией методов Зейделя и простой итерации. Расчет полной системы модели парогенератора наиболее эффективно проводится по ходу движения дымовых газов от топки. [c.48]

Если известно алгебраическое выражение зависимости между и, р и V, то вполне возможно, что может быть найдено алгебраическое уравнение, выражающее соотношение между любыми двумя свойствами, такими как р и v для адиабатических процессов этого типа. Например, для некоторых газов соотношение и—р—v в широкой области состояний может быть выражено в форме [c.22]

Этими соотношениями установлено, что изменения переменных состояния и и и равны алгебраическим суммам соответствующих количеств всех внешних воздействий. Так как по калорическим уравнениям состояния [c.61]

Система алгебраических уравнений (2) вполне точно описывает состояние излучающей системы, если геометрическая конфигурация ее удовлетворяет условию [c.575]

Далее путем совместного решения уравнений (4-18) и (4-19) исключается производная по времени приращения объема, занимаемого водой. После соответствующих алгебраических преобразований с учетом уравнений состояния (4-16) получается [c.82]

Экономии памяти машины и времени расчета способствует применение уравнений состояния воды и водяного пара, разработан-ных специально для использования в теплоэнергетических расчетах. Такие нелинейные алгебраические уравнения состояния выражают в явном или неявном виде зависимости энтальпии, энтропии и удельного объема от температуры и давления пара. Они выводятся путем аппроксимации с достаточной степенью точности соответствующих табличных данных. Удобными для расчета являются, в частности, уравнения состояния, имеющие вид полиномов разных степеней — функций основных параметров - давления и температуры). Эти полиномы легко программируются по схеме Горнера [c.175]

Любое реологическое уравнение состояния, записанное в терминах тензорных компонент в конвективной системе координат, автоматически удовлетворяет принципу объективности поведения материала [1, р. 46]. Из этого в литературе часто незаконно делают вывод, что такие уравнения, записанные в некоторой алгебраически простой форме, имеют некий особый физический смысл. Предположения о линейности , которые типичны для старых неинвариантных формулировок линейной вязкоупругости, были сделаны инвариантными относительно системы отсчета при помощи метода конвективных координат и, следовательно, предполагались физически реальными, хотя имеется бесчисленное количество других возможностей удовлетворить принципу объективности поведения материала, равно подтверждаемых (или не подтверждаемых) с феноменологической точки зрения. Смешение систем координат и систем отсчета оказывается даже более вопиющим в некоторых опубликованных работах, основанных на методе конвективных координат, а различие между тензорами (как линейными операторами, отображающими евклидово пространство само в себя) и матрицами тензорных компонент часто совершенно игнорируется. Наконец, конвективным производным часто приписывался некоторый особый физический смысл, и бесплодные дискуссии о том, что они являются истинными временными производными, были вызваны неправильным толкованием метода конвективных координат. В данном разделе мы собираемся осветить этот вопрос в соответствующей перспективе и указать некоторые распространенные ошибки, встречаюпщеся при применении данного метода. [c.111]

В случае конечной массы пара предельное равновесное состояние всегда существует и оно определяется по начальному состоянию из алгебраической систе.мы уравнений, включающей зфавне-ние сохранения массы, энергии, уравнения состояния (5.1.1), [c.314]

На макроуровне используют укрупненную дискретизацию пространства по функциональному признаку, что приводит к представлению ММ на этом уровне в виде систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). В этих уравнениях независимой переменной является время t, а вектор зависимых переменных V составляют фазовые переменные, характеризующие состояние укрупненных элементов дискретизированного пространства. Такими переменными являются силы и скорости механических систем, напряжения и силы тока электрических систем, давления и расходы гидравлических и пневматических систем и т. п. Системы ОДУ являются универсальными моделями на макроуровне, пригодными для анализа как динамических, так и установившихся состояний объектов. Модели для установившихся режимов можно также представить в виде систем алгебраических уравнений. Порядок системы уравнений зависит от числа выделенных элементов объекта. Если порядок системы приближается к 10 , то оперирование моделью становится затруднительным и поэтому необходимо переходить к представлениям па метауровпе. [c.38]

Если состояние каждого элемента объекта характеризуется одной переменной типа ноте1[циала и одной переменной типа погока, а количество элементов в объекте равно сб, то подсистема (2.6) состоит из а уравнений с 2аЧ у неизвестными, а нодсистема (2.7) — из а уравнений с теми же неизвестными (здесь у — размерность вектора и, равная количеству реактивных элементов, т. е. элементов, в компонентных уравнениях которых имеются производные фазовых переменных но времени). Для решения системы алгебраических уравнений (2.6), (2.7) нужно ее доопределить с помощью у уравнений с уже введенными переменными 2/,, Е)/ . Такое доопределение осуществляется с помощью формул численного интегрирования [c.48]

Анализ статических состояний о б ъ е к-тов также может быть выполиеп путем интегрирования уравнений (2.4), но, поскольку в статике У/а(/ = 0, такой анализ может быть сведен к решению систем алгебраических уравнений [c.51]

Конечные элементы могут быть построены различной формы, для различных видов деформации (плоская задача, изгиб пластин, деформации элемента оболочки, стержня и т. д.). Каждый из элементов характеризуется его матрицей жесткости R. Если они построены, то метод конечных элементов позиоляет по изложенной схеме создавать любые композиции (ансамбли) из различных конечных элементов. Причем определение деформированного состояния такой композиции или ансамбля (приближенно заменяющего реальную конструкцию) сводится к составлению и решению системы линейных алгебраических уравнений типа (8.71). В настоящее время существуют автоматизированные комплексы программ, позволяющие рассчитывать по методу конечных элементов очень сложные конструкции с числом неизвестных перемещений, соствляющим тысячи или даже десятки тысяч единиц. Он успешно также применяется в решении нелинейных задач и задач динамики деформируемых систем. [c.263]

D, V, р в каждой точке, соответствующей волне с фиксированной интеисиБпостью, которая определяется давлением р, сводится к решению алгебраической системы уравнений. Из-за трансцендентного вида уравнений состояния конденсированных фаз этот расчет можно реализовать только численно. [c.277]

Таким образом, в общем случае течений излучающего многокомпонентного химически реагирующего газа необходимо решать одно скалярное уравнение неразрывное и для всей смеси в целом, ц — v — 1 скалярных уравнен т сохранения массы компонентов, v уравнений для концентраций химических элементов, одно векторное уравнение (или три скалярных) для определения компонент скорости, одно скалярное уравнение сохранения энергии, интегродиффе-ренциальное уравнение для определения спектргльной плотности энергетической яркости, р, — 1 векторных уравнений (или Зр — 3 скалярных) для определения плот ности диффузионного потока компонентов с учетом двух алгебраических соотношений для с и Ja, уравнение состояния [c.186]

Основные соотношения МКЭ. Метод конечных элементов основан на предположении, что тело можно представить в виде набора элементов, соединенных друг с другом только в узлах. Связь узловых усилий с узловыми перемещениями задается с помощью матрицы жесткости элемента. Объединение матриц жесткости отдельных элементов в глобальную матрицу жесткости тела позволяет записать условия равновесия тела. При заданных действующих нагрузках или перемещениях и при известной глобальной матрице жесткостзг решение системы алгебраических уравнений равновесия позволяет найти все узловые усилия, а по ним — напряжения и перемещения в пределах каждого элемента. Тем самым напряженно-деформированное состояние тела становится определенным [59]. [c.83]

Если все эксперименты — минимум основные, а также дополнительные — проводятся только для одной ориентации материала, то компоненты тензоров поверхности прочности f,-, Рц,. ... . ., Fijk,. . . являются скалярными величинами, и, следовательно, критерий разрушения (5) представляет собой алгебраическое уравнение с экспериментально найденными коэффициентами. Для случая тензорно-полиномиального критерия второго порядка в плоской задаче имеется три коэффициента первого порядка (Fi, Fa, Fq) и шесть коэффициентов второго порядка (/ 11, Fi2, Fie, F22, F26, Fea). Экспериментальные данные можно обработать оптимальным образом так, чтобы определить все эти девять величин по напряженному состоянию (сг,, ст, dg), наблюдаемому при разрушении. [c.476]

Как уже отмечалось вьше, дифференциальные (и алгебраические) уравнения, записываемые для марковских процессов, являются Зфавнениями баланса перетоков вероятностей . Обозначим через G- подмножество состояний, из которых возможно непосредственное попадание в рассматриваемое состояние /, а через G,"- подмножество состояний, в которые можно попасть непосредственно из состояния i. Изменение вероятности р,- (t), т.е. р. (t), осуществляется за счет притоков с интенсивностями 1.. из состояний j, принадлежащих подмножеству G-, а также за счет оттоков с интенсивностями А. у в состояния j, принадлежащие подмножеству G,-. [c.165]

Итак, для рассматриваемой системы имеем 17 состояний. Запись системы дифференциальных и алгебраических уравнений, описывающих работу АЛ, становится громоздкой. Для сокращения записи нарисуем граф состояний, который позволяет систему алгебраических уравнений для плотностей вероятностей на записывать. Зависимости для плотностей вероятностей монно получить непосредственно из графа состояний, пользуясь ин0мон 1ческим правилом записи уравнений из теории массового обслуклвания. [c.107]

Применение итеративных методов численного анализа — метод половинного деления, метод хорд, метод Ньютона и др. [Л. 16] — позволяет довольно быстро уточнить значение корня, если найден интервал, в котором функция меняет знак. В случае уравнения состояния Кейса таких корней несколько (вода, перегретый пар, влажный пар). Остальные параметры энтальпия, энтропия — определяются в явном виде через значения удельного объема и температуры по алгебраическим уравнениям, получаемым с помощью дифференциальных соотношений термодинамики. Уравнения состояния в основном состоят из многочленов в виде степенных полиномов, легко программируемых на ЭВМ с использованием циклических операторов по схеме Горнера. [c.15]

Сравнение графического и числового методов. В этом параграфе графическому методу отдается предпочтение независимо от того, является ли он более легким для понимания, чем числовой метод, или более трудным, потому что анализ графиков дает много дополнительных сведений о совместном переносе тепла и массы. Другие преимущества графического метода скорее дело вкуса и склонностей. Многие инженеры, к примеру, находят более удобным поворот линий вокруг полюса Р, нежели манипуляции с алгебраическими уравнениями. Кроме того, проследив движение 5-точки состояния на /гf-плo кo ти, можно понять явление глубже, чем при выполнении числовой процедуры, в основном потому, что при этом легче познать характер поведения системы. Другие, одаренные, вероятно, большим воображением, не нуждаются в помощи графиков, как и те, для кого остались непонятными возможности графического метода, и предпочитают находить число единиц переноса путем непосредственного применения численного анализа. В качестве дополнительного оправдания своего выбора они ссылаются на неточности, свойственные всем графическим методам, и трудности нахождения готовых Л/-диаграмм с масштабами, подходящими для рассматриваемой задачи. [c.319]

Предлагаемая вниманию читателей книга освещает различные методы решения задач механики деформируемого твердого тела. Для иллюстрации возможностей методов выбраны задачи статики, динамики и устойчивости стержневых и пластинчатых систем, т.е. задачи сопротивления материалов, строительной механики и теории упругости, имеющих важное практическое и методологическое значения. Каждая задача механики деформируемого твердого тела содержит в себе три стороны 1. Статическая - рассматривает равновесие тела или конструкпди 2. Геометрическая - рассматривает связь между перемещениями и деформациями точек тела 3. Физическая -описывает связь между деформациями и напряжениями. Объединение этих сторон позволяет составить дифференциальное уравнение задачи. Далее нужно применить методы математики, которые разделяются на аналитические и численные. Большим преимуществом аналитических методов является то, что мы имеем точный и достоверный результат решения задачи. Применение численных методов приводит к получению просто результата и нужно еще доказывать его достоверность и оценивать величину погрепшости. К сожалению, до настоящего времени получено весьма мало точных аналитических решений задач механики деформируемого твердого тела и других наук. Поэтому приходится применять численные методы. Наличие весьма мощной компьютерной техники и развитого программного обеспечения практически обеспечивает решение любой задачи любой науки. В этой связи большую популярность и распространение приобрел универсальный численный метод конечных элементов (МКЭ). Применительно к стержневым системам алгоритм МКЭ в форме метода перемещений представлен во 2, 3 и 4 главах книги. Больпшми возможностями обладает также универсальный численный метод конечных разностей (МКР), который начал развиваться раньше МКЭ. Оба этих метода по праву занимают ведущие места в арсенале исследований. Большой опыт их применения выявил как преимущества, так и очевидные недостатки. Например, МКР обладает недостаточной устойчивостью численных операций, что сказывается на точности результатов при некоторых краевых условиях. МКЭ хуже, чем хотелось бы, решает задачи на определение спектров частот собственных колебаний и критических сил потери устойчивости. Эти и другие недостатки различных методов способствовали созданию и бурному развитию принццпиально нового метода решения дифференциальных уравнений задач механики и других наук. Метод получил название метод граничных элементов (МГЭ). В отличии от МКР, где используется конечно-разностная аппроксимация дифференциальных операторов, в МГЭ основой являются интегральное уравнение задачи и его фундаментальные решения. В отличие от МКЭ, где вся область объекта разбивается на конечные элементы, в МГЭ дискретизации подлежит лишь граница объекта. На границе объекта из системы линейных алгебраических уравнений определяются необходимые параметры, а состояние во [c.6]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...