Теория поверхностей второго порядка

Из теории поверхностей второго порядка известны следующие свойства рещений характеристического уравнения и главных осей. [c.49]

Л Я В, циг. соч., 50. Теорема 276 может быть доказана с помощью известных положений теории поверхностей второго порядка. [c.358]

Рассматривая проекции линий пересечения поверхностей второго порядка, необходимо отметить еще одну теорему если пересекающиеся поверхности второго порядка имеют общую плоскость симметрии, то линия их пересечения проецируется на эту плоскость или ей параллельную) в виде дуги кривой второго порядка. [c.78]

Большой теоретический и прикладной интерес представляет четвертый вариант распадения линии пересечения двух поверхностей второго порядка на две кривые второго порядка. Есть ряд известных теорем, относящихся к этому варианту распадения. [c.133]

В заключение приведем теорему о соприкасающихся поверхностях второго порядка и примеры решения задач на построение соприкасающихся поверхностей. [c.137]

Теоре.ма 3 (теорема Г, Монжа). Если две поверхности второго порядка описаны около третьей или вписаны в неё, то они пересекаются по дву м плоским кривым. Плоскости этих кривых проходят через прямую, соединяющую точки пересечения линий касания (рис. 193). [c.193]

Эту теорему можно использовать для доказательства других теорем. Особенно важным является ее следствие если две поверхности второго порядка касаются по линии, то линия их касания есть плоская кривая второго порядка. [c.306]

Примеров, иллюстрирующих эту теорему, было достаточно описано выше рассматривая различные случаи пересечения поверхностей второго порядка, мы брали их имеющими общую плоскость симметрии. [c.310]

Сформулируйте и докажите теорему Монжа о пересечении поверхностей второго порядка по двум плоским кривым. [c.312]

Геометрически это уравнение определяет поверхность в и-мерном пространстве. Можно сказать более определенно, что оно определяет какую-то поверхность второго порядка для наглядности можно представить себе эллипсоид или гиперболоид в обычном трехмерном пространстве, но не следует забывать при этом о разнице в числе измерений. Следует отметить, что аналитическую геометрию поверхностей второго порядка можно строить с равным успехом при любом числе измерений. Теория таких поверхностей очень важна почти во всех разделах математической физики. Строгое математическое обоснование теории упругости, акустики и волновой механики может быть сформулировано при помощи аналитической геометрии таких поверхностей в пространстве с бесконечно большим числом измерений. [c.179]

В механике мы сталкиваемся с этой теорией в связи с колебаниями механических систем около положения равновесия. Из обычной аналитической геометрии известно, что изучение поверхностей второго порядка сильно облегчается, если оси системы координат совпадают с определенными осями симметрии, например с тремя взаимно перпендикулярными главными осями эллипсоида или гиперболоида. [c.179]

Формулы (48.25) и (48.26) и доказывают теорему Сильвестра из равенства (48.26) видно, что точка т],. С] лежит на центральной поверхности второго порядка, софокусной с поверхностью [c.552]

Главные деформации ei, ej и экстремальны, так как они обратно пропорциональны квадратам полуосей поверхности деформаций, а последние в центральных поверхностях второго порядка обладают экстремальными свойствами. Возможные случаи поверхности деформаций аналогичны таковым в теории напряжений. Таким образом, деформацию в окрестности любой точки можно представить как растяжение (сжатие) в трех взаимно ортогональных (главных) направлениях. [c.461]

Таким образом, показано, что статические и геометрические уравнения безмоментной теории оболочек, имеющих форму поверхностей второго порядка, приводятся к виду (13.6.6) и (13.6.9) соответственно. Они аналогичны преобразованным уравнениям (13.2.7) и (13.2.9) безмоментной теории сферической оболочки, и, следовательно, показана возможность применить методы теории функций комплексного переменного и к расчету безмоментной оболочки, очерченной по любой поверхности второго порядка положительной кривизны [29, 43]. Не останавливаясь на подробностях, сформулируем связанные с этим обобщения результатов 13.4. [c.191]

На поверхности второго порядка (и только на ней) к бесчисленному множеству изотермически сопряженных сетей принадлежит и сеть линий кривизны, поэтому результаты 13.6 находятся в полном согласии с результатами работы [19]. Для поверхностей вращения параллели и меридианы географической системы координат, как будет показано в 14.9, совпадают с линиями кривизны, но на произвольных поверхностях второго порядка линии кривизны имеют весьма сложное очертание. Поэтому для практиче ских целей, вероятно, более удобна та форма безмоментной теории оболочек имеющих форму поверхностей второго порядка, которая изложена в 13.6 хотя использованные в 13.6 координаты, вообще говоря, не ортогональны [c.195]

В 16.27 изложен метод решения статической задачи безмоментной теории для полной сферической оболочки, загруженной произвольной системой сосредоточенных сил и моментов. Он легко переносится и на случай, когда срединная поверхность оболочки представляет собой поверхность второго порядка положительной кривизны. [c.242]

Дифференциальные уравнения безмоментной теории легко интегрируются для оболочек нулевой гауссовой кривизны (в частности, для цилиндрических оболочек). Не доставляют затруднений также практически важные случаи осесимметричной и ветровой нагрузок (для оболочек вращения). Оболочки вращения, нагруженные произвольно, были исследованы В. 3. Власовым [12, 17], В. В. Соколовским [178] и другими авторами. Безмоментная теория оболочек, срединные поверхности которых являются поверхностями второго порядка, была разработана В. 3. Власовым [12, 13 ], применившим к этой задаче аппарат теории функций комплексного переменного. [c.85]

Это дает теорему Коши линейные удлинения частицы по различным направлениям обратно пропорциональны квадрату центрального радиуса-вектора некоторой поверхности второю порядка. Эта поверхность, которую называют поверхностью удлинения, играет почти единственную роль в теории изменения жидкой частицы, различные свойства движения которой связаны более или менее тесно со свойствами этой поверхности. [c.16]

В динамике твердого тела, сопротивления материалов, теории упругости используют графическое представление симметричных тензоров в виде поверхностей второго порядка с уравнениями (предполагается суммирование по дважды повторяющемуся индексу) [c.53]

Мы хотим теперь найти сумму таких энергий по всем занятым состояниям. Во втором порядке теории возмущений по псевдопотенциалу достаточно для этого просуммировать по ферми-сфере, которая существовала бы в отсутствие псевдопотеициала, и вычислить интегралы от плохо определенных функций в смысле главного значения. Такую процедуру можно обосновать [131. При этом существенным является то, что искажение ферми-поверхности — второго порядка малости по псевдопотенциалу, а перераспределение электронов при замене сферы истинной ферми-поверхностью дает вклад в энергию первого порядка малости. Следовательно, полное изменение энергии имеет третий порядок, и в нашей теории, учитывающей все вклады до второго порядка включительно, им можно пренебречь. Таким образом, мы должны просуммировать выражение (4.62) по всем [c.480]

Автор настоящей главы предположил [73, 79], что возрастание ДХ/Х при низких температурах объясняется нелинейными членами, которые должны появиться в более точном варианте теории Лондона благодаря поправкам второго порядка к волновой функции. Эти поправки дадут в выражении для плотности тока члены, квадратичные по полю. Свободная энергия сверхпроводящей пластинки толщины W в поле, параллельном ее поверхности, с точностью до членов четвертого порядка ио внешнему [c.739]

При формулировке основных положений теории упругости существенно использовалось условие малости деформаций, что давало возможность при их выражении через смещения пренебречь членами второго порядка малости. Само собой разумеется, что представляет интерес рассмотрение таких решений уравнений упругого равновесия, которые не удовлетворяют этому условию и приводят к большим деформациям (такие решения могут оказаться весьма полезными при правильной физической трактовке). Допустим, что нагрузка приложена к поверхности тела [c.298]

Отметим, что в задачах о равновесии и движении упругих тел (за исключением задачи вида II, когда заранее задаются перемещения границы) поверхность деформируемого тела, на которой задаются граничные условия, заранее неизвестна и должна быть найдена в процессе решения задачи. Однако в линейной теории упругости предполагается, что деформированная поверхность тела мало отличается от его начальной недеформированной поверхности. В этом случае, пренебрегая малыми второго порядка, можно считать, что граничные условия должны выполняться на недеформированной, а следовательно, известной поверхности (см. гл. VII т. 1). Именно так мы поступали при решении задач о простом растяжении бруса и о деформации трубы под действием заданных внутреннего и внешнего давлений. [c.342]

Напомним, что во всех приведенных выражениях начальные усилия Т , Т°у, 5 считались найденными из решения уравнений безмоментной теории оболочек (6.35). Воспользовавшись записью энергетического критерия в форме С. П. Тимошенко (см. 10), можно избежать определения начальных усилий в оболочке, но для этого необходимо найти перемещения точек срединной поверхности оболочки второго порядка малости, как это сделано для кругового кольца и пластин. [c.249]

При рассмотрении задачи, изображенной на рис. 4.5, теория С. А. Амбарцумяна приводит к уравнению второго порядка для касательной реакции, йто позволяет получить вполне определенное-решение для касательной реакции q. Иными словами, теория С. А. Амбарцумяна оказывается в данном типе задач более гибкой по сравнению с теорией Кирхгофа или Рейсснера. Однако обратить в нуль касательные реакции на границе д =0 и x=L она не позволяет. Чтобы это сделать, нужно иметь не второй, а четвертый порядок уравнения. В более поздней работе С. А. Амбарцумяна [4J учитывается эффект поперечного обжатия, однако она также приводит к уравнению второго порядка для реакции q в задаче рис, 4.5. Действительно, первая формула (4.18) [4, с. 886] для тангенциальных перемещений ш содержит в правой части касательные усилия на поверхности пластины X и X (но не содержит производных" от этих усилий). Это и приводит к уравнению второго порядка для реакции. (Уравнение (4.56) содержит четвертый порядок, так как в формулу (4.52) для деформации кроме первой входит еще третья производная от реакции q). [c.205]

Вычислим параметры Ламе для деформированной поверхности г = г (а , а,). При этом и всюду впредь будем пренебрегать произведениями перемещений и их производных, как величинами второго порядка малости, поскольку в данной книге рассматривается лишь линейный вариант теории оболочек. [c.24]

Однако при рассмотрении деформации срединной поверхности сохранены члены до второго порядка в выражении для деформаций и до третьего порядка в выражении для энергии. Благодаря этому получено самое простое видоизменение линейной теории, позволяющее учесть взаимодействие окружных усилий с изгибом. Кроме того, сохранен дополнительный член четвертого порядка в выражении для энергии, чтобы связанные уравнения оставались ограниченными при больших значениях параметра устойчивости р, как будет рассмотрено ниже. В выражения для деформации и энергии введены также нелинейные члены, соответствующие начальным несовершенствам. [c.28]

ГИЮ, не сущестьовало. Фрслих вычислил энергию взаимодействия с помощью теории возмущений второго порядка. Он показал, что если взаимодействие достаточно велико, то, когда тонкий слой электронов, близких к поверхности Ферми нормального металла, смещается вверх на небольшое расстояние в к-пространстве, энергия при абсолютном нуле уменьшается. Он предположил, что такое оболочечное распределение представляет сверхпроводящее состояние. Детали теории вызывают серьезные сомнения, ибо из критерия сверхпроводимости, а именно из условия, что оболочечное распределение имеет меньшую энергию, чем нормальное, вытекает, что взаимодействие должно быть велико и, следовательно, теория возмущений становится неприменимой. По-видимому, основы теории правильны, однако, чтобы дать надежную картину природы сверхпроводящего состояния, требуются более совершенные математические методы ). Более подробно теория Фре-лиха рассмотрена в п. 42. [c.755]

Как известно из теории поверхностей, координатные оси всегда можно направить так, что в уравнецил (1 .62) коэффициенты Utj при I ф i относительно таких осей, называемых главными, обращаются в нуль и уравнение центральной поверхности второго порядка приводится к каноническому виду [c.401]

Докажем теперь следующую теорему Сильвестра (Sylvester), которой нам придётся впоследствии воспользоваться если на нормалях к центральной поверхности второго порядка (48.21), проведённых в точках полодии, огложить равные длины, то концы отложенных отрезков будут лежать на новой полодии, принадлежащей другой центральной поверхности второго порядка эта последняя софокусна с поверхностью, гомотетичной с первоначальной, и встречает построенные нормали ортогонально. Согласно формулам (48.21) и (48.22) косинусы углов нормали 1Юверхностн (48.21) с осями координат равны [c.551]

В практике часто встречается случай, когда две пересекающиеся поверхности второго порядка касаются третьей поверхности также второго порядка. Тогда при гюстроении линии перехода следует применять теорему Монжа ), согласно которой две поверхности второго порядка пересекаются по двум плоским кривым, если они описаны около третьей или вписаны в нее. [c.215]

Данный способ, простой в теории, приводит к весьма сложным и трудным вычислениям. Это неудобство устранил Давидов, который предложил искать уравнение поверхности центров в дифференциальной форме, а потом это уравнение интегрировать. Мысль эта оказалась весьма плодотворной. Давидов предложил этот способ к отысканию поверхностей центров разных тел, ограниченных плоскостями и поверхностями второго порядка. Поверхности центров, найденные дл й[ всех этих случаев Давидовым,—поверхности второго порядка и их комбинации (т. е. поверхность центров состоит из нескольких частей разных поверхностей второго порядка), [c.661]

Параллельно развитию общей теории были достигнуты существенные результаты и в решении частных задач линейной теории. Теория безмо-ментных оболочек обогатилась установлением зависимости общего характера решения от знака гауссовой кривизны срединной поверхности (В. В. Соколовский, 1943), использованием аналогии между задачами изгибания поверхностей и безмоментной теории для вывода заключений о единственности решения (Ю. Н. Работнов, 1946), применением в ряде работ теории функций комплексного переменного для расчета оболочек, представляющих собой центральные поверхности второго порядка. Большое количество исследований было посвящено расчету цилиндрических оболочек — наиболее часто встречающемуся в практике типу оболочек (В. В. Новожилов, 1946 А. Л. Гольденвейзер, 1947 А. И. Лурье, 1946). [c.230]

Это наводит на мысль, что и в бесконечномерном, гильбертовом пространстве с каждым симметрическим оператором должен быть связан свой класс интегрируемых систем. Для исследования этих систем нужно перенести на бесконечномерный случай теорию эллиптических координат. А для этого нужно прежде всего изложить обычную конечномерную теорию конфокальных поверхностей второго порядка в бескоординатной форме. [c.435]

Метрически-проективные пространства определяются, таким образом, формулами (XVI) и (XXV). Абсолютная поверхность 0=0 представляет собой во всех случаях поверхность второго порядка она определяет неевклидово пространство, метрическая форма которого задается формулами (XXV), если только абсолютная поверхность не представляет собой конической поверхности в широком смысле этого слова. Если же абсолютная поверхность коническая, то формулы (XXV) определяют выроноденные пространства, связь которых с общей теорией должна быть специально исследована, так как такие пространства были исключены из нашего исследования условием (Via). Если, наконец, абсолютная поверхность вырождается в двойную [c.56]

Теорема Джебиа. Преобразуя точно так же теорему Сиаччи (12), найдем, что поверхности, софокусные с гирационным эллипсоидом, скользят по неподвижным поверхностям вращения второго порядка. [c.202]

Вариационный подход на основе уравнений медленного течения применялся к теории смазки, где предполагалось, что в идеализированной постановке процессы в подшипнике могут быть рассмотрены при помощи двумерной задачи о движении двух близко расположенных параллельных поверхностей, скользящих одна по другой и разделенных тонкой пленкой смазки. Неоднородное уравнение в частных производных второго порядка, которое впервые ввел Рейнольдс [25] и он же приближенно его решил, как уже отмечалось ранее, представляет основу для этих методов. Некоторые авторы получили численные и аналоговые решения двумерных уравнений Рейнольдса, а Хейз [14] представил общий метод, используя вариационный подход. [c.112]

В каждой точке поверхности, в которой она имеет определенную касательную плоскость, можно построить кривую второго порядка (или пару параллельных прямых), являющуюся индикатрисой Дюпена. В связи с этим в теории поверхностей используются некоторые термины, заимствованные из аналитической геометрии. Направления сопряженных диаметров индикатрисы называются сопряженными направлениями на поверхности. Главные направления индикатрисы называются главными направлениями поверхности. Наконец, направления асимппют индикатрисы (если они действительны) называются асимптотическими направлениями поверхности. [c.19]

Компоненты метрического тензора Ujj, коэффициенты вюрой квадратичной формы bks Для срединной поверхности оболочки и их производные по координатам х первого и второго порядка вычисляются в программе G1LIND. Для их однозначного o[ipe-деления необходимо ввести в исходной информации характерные размеры оболочки. Остальные геометрические параметры, необходимые для составления разрешающих уравнений теории оболочек, вычисляются в подпрограмме GEOMTS независимо от вида рассматриваемого объекта. [c.174]

Линейная теория обтекания тел сверхзвуковым потоком оказалась эффективным средством в решении ряда важных задач, выдвигавшихся практикой, хотя и могла быть использована лишь для анализа течений около тонких тел 330 и при малых углах атаки. Эта теория, основанная на предположении малости возмущений, не позволяла исследовать такие свойства действительного ното-ка, как образование ударных волн, непостоянство скорости звука в потоке, перенос возмущений с местной скоростью звука и т. д. Чтобы учесть влияние хотя бы одного из этих факторов, необходимо пользоваться точными нелинейными уравнениями газовой динамики, а при приближенном решении таких уравнений применять высшие приближения. Некоторые нелинейные задачи сверхзвуковой аэродинамики рассмотрены Ф. И. ФранклемиР. Н. Алексеевой (1934), А. Буземаном (1935), построившим приближение второго порядка для распределения давлений по поверхности тела, К. Фрид-рихсом (1948), распространившим метод Буземана на случай сверхзвукового обтекания профиля со скачками уплотнения. [c.330]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...