Условие по потенциальной энергии

Итак, при движении консервативной системы в окрестности положения устойчивого равновесия соответствующего по условию минимуму потенциальной энергии) каждая из главных координат совершает около положения равновесия гармоническое колебание с одной из собственных частот. [c.239]

В заключение рассмотрим вопрос о влиянии сил трения на устойчивость состояний равновесия. Прежде всего, силы жидкого трения, направленные навстречу скорости тела, всегда препятствуют удалению тела от положения равновесия однако, поскольку эти силы стремятся к нулю вместе со скоростью, они не могут изменить направления движения тела, смещенного из положения равновесия. Поэтому в присутствии сил жидкого трения устойчивость состояния равновесия по-прежнему определяется условием, что потенциальная энергия должна иметь минимум. [c.204]

Основным критерием устойчивости, как известно из механики твердого тела, является условие минимума потенциальной энергии системы. Например, для шарика, лежащего на дне лунки и занимающего устойчивое положение равновесия, потенциальная энергия будет наименьшей по сравнению со всеми соседними положениями. Если шарик расположен на вершине выпуклости или на седловине (рис. 435), его положение равновесия будет неустойчивым. Этот критерий применим, естественно, и к упругим системам,— конечно, с учетом потенциальной энергии деформации. [c.419]

Ниже приведены расчетные формулы наиболее простого приближенного решения [2], в котором условие совместности деформации удовлетворяется точно, а условие равновесия элемента объема — приближенно. Последнее заменено условием минимума потенциальной энергии. Кроме того, в этом решении принята гипотеза отсутствия деформаций сдвига, подобная по своему характеру гипотезе [c.216]

Рассмотрим следующий пример. Нить заданной длины, которая находится Б равновесии в поле тяжести, показана на рис. 2.15. Форма, которую нить имеет в состоянии равновесия (по сравнению с другими возможными формами, показанными пунктирными линиями), должна удовлетворять экстремальному условию координата 0 (центр тяжести) для истинной формы равновесия имеет наименьшее значение (что эквивалентно условию минимума потенциальной энергии нити). [c.52]

Обобщенные соотношения ортогональности (32) и (34) имеют энергетический смысл. Входящие в эти условия билинейные формы аналогичны квадратичным формам кинетической и потенциальной энергии соответственно. Условие (32) называют условием ортогональности по кинетической энергии, условие (34) — ортогональности по потенциальной энергии. [c.60]

В пластическом и вязком состояниях по существу также соблюдаются условия минимума потенциальной энергии или скорости ее изменения, при этом необходим учет истории нагружения тела, в частности изменения главных напряжений в процессе пластической деформации. [c.68]

При столкновении две молекулы сближаются друг с другом на предельное расстояние й, определяемое условием равенства потенциальной энергии 0 и кинетической энергии относительного движения двух молекул, равной в среднем АкТ. (Так как у каждой из молекул на движение в данном направлении, например вдоль оси ох, приходится в среднем, одна и та же энергия, равная по закону равнораспределения энергии — Акт, то ясно, что [c.32]

Энергетические принципы в теории упругости. В математической теории упругости установлены принципы, в которых используется условие, что потенциальная энергия упругого тела в состоянии устойчивого равновесия минимальна по сравнению [c.141]

Кроме того, предполагается, что нейтральная поверхность ребристой пластины смещена относительно срединной плоскости собственно пластины на постоянную величину е. Величины А и е определяются из условия минимума потенциальной энергии деформации пластины с ребрами. Эти величины вычисляются по формулам [c.161]

Более просто расчет может быть выполнен по приближенному методу В. Л. Бидермана 7]. Этот метод основан на замене уравнений совместности деформаций условиями минимума потенциальной энергии системы. Метод В. Л. Бидермана обеспечивает достаточную для практики степень точности, однако вычисления остаются довольно сложными. [c.53]

При этом функциями / , (д), определяющими характер распределения напряжений по поперечному сечению, зададимся, а неизвестные функции Z ( ), определяющие характер изменения напряжений по длине, будем находить из условия минимума потенциальной энергии деформации. [c.85]

Условимся отсчитывать потенциальную энергию от положения равновесия, в котором П = 0. Тогда, по условию минимума П, в окрестности этого положения всегда П > 0. Дадим первой координате наибольшее по абсолютной величине возможное значение е [c.14]

Так, предельная поверхность, соответствующая условию появления массовых пластических деформаций по теории удельной потенциальной энергии формоизменения [см. формулу (7.20)], имеет вид [c.190]

Для определения основных частот колебаний валов переменного сечения часто пользуются энергетическим способом. Частоту определяют по условию равенства максимальных значений кинетической и потенциальной энергии колебаний. Предварительно задаются формой упругой линии при колебаниях, за которую обычно принимают упругую линию от равномерно распределенной нагрузки или собственной массы. В многопролетных валах знак нагрузки в смежных пролетах в соответствии с формой низшей частоты колебаний должен быть разным. [c.335]

По четвертой гипотезе прочности (гипотезе удельной потенциальной энергии изменения формы), условие прочности для случая плоского напряженного состояния имеет вид [c.255]

При этом по условиям (130) ОО. В частном случае, если q — удлинение пружины, равенство (133) выражает потенциальную энергию поля сил упругости поэтому коэффициент с называют квазиупругим коэффициентом (или обобщенным коэффициентом жесткости). Из равенств (132) и (133) находим [c.390]

Рассмотрим положение А (рис. VI.]). Это положение соответствует минимуму потенциальной энергии, и любое движение, начавшееся вблизи точки Л, происходит вблизи нее. Если материальная точка первоначально была далеко от А, но двигалась по показанному на рис. VI.I рельефу и попала в окрестность А с малой скоростью, то она уже не выйдет из этой окрестности. С другой стороны, для того чтобы материальная точка, попавшая в окрестность А, могла выйти из нее, точке должна быть придана энергия, превышаюш,ая некоторое пороговое значение. Если с этой целью повышается потенциальная энергия материальной точки при нулевой ее скорости, то материальная точка выйдет из окрестности Л только при условии, что ее потенциальная энергия будет доведена до значения, соответствующего ближайшему к ней максимуму потенциального рельефа (точка В). В этом смысле существует потенциальный порог или барьер, который надо преодолеть, чтобы вырвать материальную точку из окрестности точки А. Того же можно достигнуть, увеличивая кинетическую энергию материальной точки, но и в этом случае должен быть [c.228]

Рассмотрим теперь прямоугольник в плоскости q , q. , ограниченный сторонами 0В, ОВ, ВВ1, ВВ. В каждой точке этого прямоугольника потенциальная энергия Я удовлетворяет условию непрерывности и по qi, и по q . Значение потенциальной энергии Яд в каждой точке D этого прямоугольника меньше, чем П[, т. е. самой меньшей величины при этом < ] < е, (7а < е. Очевидно и обратное если известно, что значение потенциальной энергии меньше П[, то это соответствует значению координат, удовлетворяющих неравенствам l9i I < е, i 2 I < е. [c.389]

Потенциальная энергия с принятой точностью является однородной квадратичной формой обобщенных координат д и д . В случае, когда потенциальная энергия в положении равновесия имеет минимум, т. е. положение равновесия является устойчивым, коэффициенты разложения Сц, i2, 2J как вторые производные от Я по переменным д и д при минимуме должны удовлетворять условиям [c.433]

Докажем сначала теорему для системы с одной степенью свободы, допускающую наглядную геометрическую интерпретацию. Потенциальная энергия системы с одной степенью свободы для стационарного силового поля зависит только от одной обобщенной координаты 7, равной нулю в положении равновесия. Примем потенциальную энергию в этом положении равной нулю, т. е. П (0) = = 0. По условию теоремы в положении равновесия потенциальная энергия имеет изолированный относительный минимум, т. е. Я,пХп [c.409]

Это неравенство выполняется, если справедливы, например, два неравенства По П /2 и То П /2. Из условий По П 12 получим ряд значений qf, удовлетворяющих условию < tij = 5= О, а из условия То П /2 и неравенства < ii, ряд значений qf, удовлетворяющих условию 1(7,-1 < Т1а =7 О- Для потенциальной энергии после этого имеем [c.412]

Условие минимальности энергии гласит 6F + bU = О, где и — потенциальная энергия в поле внешних сил. Мы будем считать, что действием внешних растягивающих сил, если таковые имеются, можно пренебречь по сравнению с силами изгибающими. (Это можно всегда сделать, если только растягивающие силы не слишком велики, поскольку тонкая пластинка гораздо легче подвергается изгибу, чем растяжению.) Тогда для 8U имеем то же выражение, что и в 12 [c.77]

Полагая в этом случае, что потенциальная энергия П задаваемых сил также выражена в независимых обобщенных координатах, будем иметь по (50) и (51) условия равновесия системы в виде [c.322]

По условию П (0) = О (в положении равновесия потенциальная энергия равна нулю) кроме того, в этом положении должны выполняться равенства (3.2). Поэтому [c.79]

Заметим, что условие, по которому определяется максимум потенциальной энергии, можно ослабить, [c.200]

Указание. Инерционная нагрузка равномерно распределенная по длине I, вычисляется из условия (q p + 9и) = Од, где — вес 1 м трубы. Скорость V найдем из равенства кинетической энергии трубы Т и потенциальной энергии ее деформации U от нагрузки в момент удара трубы об -опоры Т = и. [c.286]

К. Формула (4.7.20) впервые была получена в 1864 г. Д. Максвеллом, который широко известен как создатель уравнений электромагнитного поля. Она была получена из геометрических соображений. Работа Д. Максвелла, в которой был сформулирован метод расчета ферм, была написана в абстрактной форме без чертежей и примеров и, видимо, по этой причине, осталась незамеченной инженерами. Десять лет спустя эту формулу заново открыл О. Мор. В основу своих рассуждений О. Мор положил принцип возможных перемещении и на его основе пришел к равенству (4.7.24). Приведенный нами вывод формулы (4.7.20) близок к данному О. Мором. В нем также использовано понятие потенциальной энергии деформации фермы, которое стало широко применяться после работ Л. Менабреа и А. Касти-лиано. Последний в 1879 г. получил формулу (4.7.20) из условия минимума потенциальной энергии деформаций. Подробнее этот подход будет рассмотрен в гл. 9. [c.106]

Полученные результаты могут быть непосредственно применены к задаче о малых колебаниях. Действительно, условие симметрии системы, совершающей малые колебания, может быть выражено как условие коммутативности матрицы V потенциальной энергии с матрицами представления В(д), которое реализуется на смещениях. Напомним, что такая форма условия инвариантности потенциальной энергии имеет место только в силу ортогональности матриц упомянутого представления. Если мы построим симметризованные смещения, т. е. линейные комбинации смещений, преобразуюпдаеся по неприво-димьш представлениям рассматриваемой группы, то соответствующая им матрица потенциальной энергии примет вид, определяемый формулой (5.27) [c.64]

Как показывают расчеты, касательное усилие Д<7 практически полностью затухает на расстоянии Ь от корпя крыла. Следовательно, учет влияния деформации нервюр и заделки имеет существенное значение для нервюр, расположенных вблизи фюзеляжа. Для остальных нервюр д следует определять по формуле (4.85). Как видно из (4.89), наибольшего значения Ад достигает в корневой части крыла. Касательное уснлне Л(7тах определим из условия минимума потенциальной энергии деформации 7 двух корневых отсеков (см. рис. 4.11), т. е. [c.163]

На основ.а йи подробно изученного примера кручения тел видим, что прн аппроксимирующих функциях, заранее удовлетворяющих условию минимума потенциальной энергии тела или граничным условиям на поверхности его, можно получить не только уточненные решения, но даже точные в строгом смысле или в смысле Сен-Венана. Таким образом, подчиняя заранее аппроксимирующие функции условию равновесия внутри выбранного элемента, например на основании вариационного принципа Кастилиано, или граничным условиям на части поверхности тела согласно уравнениям равновесия на поверхности, мы можем резко уменьшить число аппроксимирующих функций, достигая при этом результатов с высокой степенью точности. Выбор аппроксимирующих функций из условия равновесия на поверхности, т. е. по способу Галеркина, можно рекомендовать для тел простой формы, особенно с постоянным поперечным сечением, что достигается с помощью криволинейных координат. Нахождение аппроксимирующих функций из условия минимума потенциальной энергии (В сечении тела, т. е. по способу Треффца, эффективно как для простых, так и для сложных по конфигурации тел. [c.58]

Материальная точка может двигаться по гладкой плоской кривой, вращающейся вокруг вертикальной оси с угловой скоростью ш. Потенциальная энергия n(s) точки задана и зависит только от ее положения, определяемого дугой s, отсчитываемой вдоль кривой, г(s)—расстояние точки от оси враптення. Найти условие устойчивости относительного положения равновесия точки. [c.432]

Выберем >0 и рассмотрим значения потенциальной энергии П = П( .,Ц2), и /7 = Я(-е, 2) где с 2—любое, удовлетворяющее условию Зависимость Я = Я(8, является уравнением линии пересечения плоскости (плоскость /) с поверхностью Я = Я(<7,, 1/2). Аналогично, Я = Я( —е, (/2) есть линия пересечения плоскости —к с той же поверхностью. Из множества значений Я(с, 2) и Я(-е, /2) (рис. 109,й) при изменении 2 в интервале 1 /2 <е выбираем наименьшее Яр Затем рассматриваем Я = Я( 1,е) и П = П(д , —е). Опять получим в плоскостях [c.424]

Основными, изучаемыми в сопротивлении материалов, являются медленно изменяющиеся, или статические, нагрузки. Скорость изменения этих нагрузок по времени настолько мала, что кинетическая энергия, которую получают перемещающиеся частицы деформируемого зела, составляет ничтожно малую долю от работы внешних сил. Иначе говоря, рабога внешних сил преобразуется только в упругую потенциальную энергию, а также в необратимую тепловую энергию, связанную с пластическими деформациями тела. Испытание материалов в так называемых нормальных условиях происходит под действием статических нагрузок. [c.69]

Допустим, что в некоторой точке поля О потенциальная энергия П имеет минимум. Выберем в точке О начало коо)1динат и положим Пд= 0. Покажем, что при наличии минимума потенциальной энергии можно найти определенное множество начальных условий, при которых координаты и скорость точки во время ее движения остаются ограниченными по абсолютной величине. Этим будет доказано, что точка поля, в которой потенциальная энергия имеет мини.мум, и есть положение устойчивого равновесия материальной точки. [c.382]

Естественно ожидать, что в таком случае угол кручения т постоянен вдоль длины стержня. В этом можно убедиться, например, из условия минимума полной свободной энергии стержня в равновесии. Полная энергия деформированного стержня равна сумме F T + У, где U — потенциальная энергия, обусловленг ная действием внешних сил. Подставляя в (16,14) т = d(f/dz н варьируя по углу ф, находим [c.91]

Найдем теперь со . Пусть v — скорость центра масс. Поскольку центр масс движется по окружности радиусом Ь os а, то v = = (Ьсо5оф)1 Из условия связи 0=v+[(i) ] находим м=фс1 а, следовательно, соз = —сосоза, Ю 2+о)2 =ю sin а. Кинетическая и потенциальная энергии приобретают вид [c.217]

Данные, приведенные в табл. 5, показывают, что среди щелочных металлов особое положение занимает натрий, у которого отношенне наблюдаемого сопротивления к вычисленному имеет самое низкое значение. (Калий находится на втором месте, но очень близок к натрию.) Этот результат можно рассматривать как доказательство того, что у натрия относительная энергия взаимодействия имеет минимальное значение. По-видимому, он свидетельствует также о том, что натрий лучше всех других металлов соответствует идеализированной модели свободных электронов . Бардин [97, 98] несколько улучшил модель рассеяния и показал, что результаты исследования натрия хорошо согласуются с развитой им теорией. Данные, относяш иеся к калию, находятся в удовлетворительном согласии с теорией, в то время как рубидий и цезий обладают сопротивлением, которое значительно превосходит теоретическое значение. Бардин учел тот факт, что когда поны смеш ены из своих положений равновесия упругими волнами, распространяющимися в решетке, то они создают при этом возмущенное распределение зарядов, которое в свою очередь вызывает рассеяние электронов проводимости aMif электроны проводимости имеют тенденцию группироваться таким образом, чтобы компенсировать нарушенное распределение зарядов. Это явление можно назвать динамическим экранированием. Конечно, и в статических условиях электроны имеют тенденцию экранировать заряды ионов, а с этой точки зрения модель Блоха соответствует но существу почти полному экранированию зарядов ионов. Действительно, ири полном отсутствии экранирования иона, рассматриваемого как точечный заряд, потенциальная энергия электрона вблизи него была бы равна—е 1г при наличии экранирования потенциальная энергия электрона убывает с расстоянием быстрее, а именно по закону—(е //-)й [48,37] (стр. 86). В модели Блоха подразумеваетс>], что ири этом получается формула (17.1). Из приближенной теории [c.195]

Пусть трещина оказывается в условиях, характеризуемых точкой Аз, расположенной выше кривой Сткр = / ( кр) (рис. 12.15). Выделяемая энергия d5 будет тем больше потребляемой работы разрушения d 4, чем дальше точка Лз от А , и этот избыток потенциальной энергии переходит по равенству (12.28) в кинетическую энергию движения частиц пластины у острия трещины dT. Как показывают более подробные расчеты, распространение трещины происходит со скоростями порядка скоростей распространения волн деформаций в упругом теле. Например, для стали скорость распространения продольных деформаций с 5600 м/с. Во всяком случае, эта скорость может быть достаточно большой, что и создает впечатление взрывоподобного разрушения тела. [c.386]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...