Колебания сложного маятника

Колебания сложного маятника [c.378]

КОЛЕБАНИЯ СЛОЖНОГО МАЯТНИКА 379 [c.379]

Две гипотезы Гюйгенс принимает как аксиомы. Первая из них — энергетический принцип, равносильный теореме живых сил для консервативного поля земного тяготения если любое число весомых тел приходит в движение благодаря их тяжести, то общий центр тяжести этих сил не может Ш подняться выше, чем он был в начале движения Вторая гипотеза дополняет первую и характеризует рассматриваемую схему Допустим, что нет сопротивления воздуха и других помех движению, допущение, которое мы будем принимать и в дальнейших доказательствах,— в таком случае центр тяжести колеблющегося механизма (физического. — И. П.) при спуске и подъеме пробегает одинаковые пути . Основным в дальнейшем является предложение Дан маятник, состоящий из произвольного числа частей множат вес каждой части на квадрат ее расстояния от оси колебаний. Если сумму этих произведений разделить на произведение, получающееся от умножения общего веса частей на расстояние общего центра тяжести от той же оси колебаний, то получается длина простого маятника, изохронного с данным сложным маятником, или расстояние между осью колебаний и центром качаний сложного маятника . Тем самым здесь впервые вводится величина, пропорциональная моменту инерции (вместо массы, что соответствовало бы современному определению, Гюйгенс вводит вес-тела это не влияет на результат, так как статический момент , стоящий в знаменателе формулы для приведенной длины физического маятника, тоже вычисляется с заменой масс весами). [c.111]

Воздействие со стороны штанги СС раскачивает подставку с двумя частотами, которые равны собственным частотам колебаний тяжелых маятников, а вместе с подставкой будут раскачиваться подвешенные к ней маятники. Это воздействие примерно в одинаковой мере приложено ко всем маятникам, и все они колеблются с двумя частотами, но в маятнике 2 преобладают колебания низкой частоты, а в маятнике V — колебания более высокой частоты. Допустим, что мы не видели подставки ВВ, тогда на основании колебаний маятников на подставке А А могли бы сделать определенное заключение о частотах, с которыми происходят колебания штанги СС. Система маятников (резонаторов) является здесь гармоническим анализатором сложного воздействия. [c.452]

Так же как и при двух маятниках, любые собственные колебания трех маятников могут быть представлены суммой трех колебаний, каждое из которых соответствует согласованному гармоническому колебанию с одной собственной частотой. Каждое из таких согласованных колебаний называется нормальным колебанием, соответствующим определенной собственной частоте всей сложной системы. Поэтому коротко говорят любые собственные колебания системы есть сумма нормальных, колебаний. [c.467]

Найти малые колебания сложного математического маятника, состояш его из п последовательно подвешенных один к другому простых математических маятников длины I каждый. [c.174]

Общим выводом относительно случая Горячева-Чаплыгина является наблюдение, что при его анализе мы имеем дело с любопытными колебательными (вращательными) движениями в абсолютном пространстве, т. е. можно говорить о некотором сложном маятнике. Однако область применения таких колебаний пока не очень ясна. Отметим также сравнительную простоту движений волчка Горячева-Чаплыгина по сравнению с волчком Ковалевской. Немногочисленные аналитические результаты, полученные при изучении случая Горячева-Чаплыгина, неспособны дать наглядное представление о движении. Компьютерное исследование движения, наоборот, обнаруживает замечательные его свойства, типичные также для родственных интегрируемых систем. [c.142]

Под сложным маятником мы будем понимать тело, состоящее из нескольких грузов, сохраняющих неизменное расстояние как друг от друга, так и от оси колебаний. Таким образом, всякое подвешенное тяжелое тело может быть названо сложным маятником, так как оно может быть мысленно разделено на любое число частей. [c.82]

Легко заметить, что далеко не все из введенных понятий вошли в современную теорию колебаний, некоторые получили иное название. Простой и сложный маятники ныне называются, соответственно, математическим и физическим, иначе определяются плоские колебания, нет необходимости в понятиях боковых колебаний, линии центра фигуры. По именно здесь начинается формирование языка одного из важнейших разделов теоретической механики. Понятийный аппарат теории Гюйгенса продолжают две гипотезы. [c.83]

Наиболее простым примером сложной системы, состоящей из трех парциальных систем, могут служить три связанных друг с другом одинаковых маятника (рис. 159). Система обладает тремя нормальными частотами колебаний, если считать, конечно, что маятники могут совершать колебания только в вертикальной плоскости, проходящей через их точки подвеса. [c.197]

Более удобен для наблюдения известный эксперимент с маятником Фуко. Если поместить маятник на Северном полюсе и дать ему качаться в некоторой плоскости неподвижного про-странства, то проекция его количества движения на перпендикуляр к этой плоскости будет равна нулю, и он будет продол жать качаться в этой неизменной плоскости, хотя Земля будет под ним поворачиваться. Поэтому наблюдателю, находящемуся на Земле, плоскость его колебания будет казаться поворачивающейся со скоростью одного оборота в сутки. На других широтах это явление будет протекать более сложно, однако качественная картина останется такой же. Более подробное исследование этого явления мы предоставляем читателям в качестве упражнения. [c.159]

В качестве простейшего примера предыдуш ей теоремы рассмотрим два маятника, сколь угодно сложных, но подобных по своей геометрической и материальной структуре, и разыщем отношение соответствующих продолжительностей 1 и Т их колебаний. [c.363]

Вообще круг задач, которые возникают при изучении различных режимов движения, даже такой сравнительно простой системы, как обычный маятник, чрезвычайно широк, однако далеко не всегда методы решения этих задач и полученные при этом результаты могут быть применены к более сложным системам. В следующей главе мы остановимся на этом вопросе подробнее, а сейчас обратимся к составлению уравнения вынужденных колебаний механизма, работающего в условиях вибрации стойки. [c.128]

Данному вопросу в настоящее время посвящено достаточно много работ, в которых рассматривается движение цапфы как плоская задача, но без учета гибкости ротора. Решение этой задачи связано с громоздкими и сложными выкладками, так как движение цапфы в подшипнике рассматривается как колебания маятника при больших амплитудах, что приводит к нелинейной задаче с параметрическим возбуждением. Учет же гибкости ротора делает решение задачи в такой постановке малопригодной для практики, так как еще в большей степени затрудняется анализ основных факторов, влияющих на характер движения цапфы в подшипнике. [c.350]

В опыте маятнику придаются сложные колебания внутренние диски совершают крутильные колебания на подвеске 2, наружные диски вместе с корпусом — на подвеске 5. Из-за вязкостного трения колебания затухают. Декремент затухания колебаний регистрируется с помощью оптической системы. Вязкость вычисляется по формуле (7.37). [c.427]

В работе [16, с. 100] дано более полное решение для инерционной поправки, приводящее к весьма сложной формуле и требующее ряда дополнительных экспериментальных данных. Вопрос о введении поправки осложняется еще тем, что при малом времени до разрушения на осциллограмме наблюдается ряд пиков, поскольку период собственных свободных колебаний системы становится соизмеримым с временем до разрушения. Уменьшение скорости нагружения в результате уменьшения высоты падения маятника обеспечивает получение нормальной осциллограммы (рис. 13.27). [c.223]

Что касается видов колебаний, то существует один вид разложения, который сразу привлекает внимание по динамическим соображениям. В механике основным типом колебаний является так называемое гар.моническое колебание, графически изображаемое синусоидальной кривой (рис. 3, стр. 24). Мы встречаемся с таким колебанием в случае маятника и во всех других случаях свободно колеблющегося тела или механической системы, обладающей только одной степенью свободы. Более того, можно показать, что если трением можно пренебречь, то самое сложное колебание любой системы можно рассматривать как составленное из ряда гармонических колебаний, каждое из которых при соответственных условиях могло бы быть возбуждено независимо. Причина особой роли гармонических колебаний в механике заключается в том, что это единственный тип колебаний, характер которого абсолютно не изменяется при передаче от одной систе.мы к другой. Это положение будет более подробно рассмотрено в следующей главе. [c.14]

Если в такой системе отклоним как-то один или несколько маятников и будем наблюдать колебания, то увидим довольно сложную картину колебаний каждого из маятников. Прежде всего, наблюдая колебания за некоторое сравнительно небольшое время, когда еще не сказалось действие сил трения, мы увидим, что колебания каждого из маятников негармоничны. [c.460]

Собственные колебания трех связанных маятников, или системы с тремя степенями свободы, еще сложнее и также представляются суммой трех гармонических колебаний. Система из трех маятников обладает тремя собственными частотами. [c.466]

Совершенно аналогичная картина будет и для колебаний системы, состоящей из большого числа различных маятников или колеблющихся тел. Сложная картина собственных колебаний после любых начальных условий состоит из совокупности простых гармонических, или нормальных, колебаний. Число нормальных [c.467]

ЛИЧНЫХ расстояниях от точки ее подвеса, укрепить еще один или несколько грузов, то мы тогда получим сложный маятник, движение которого должно дать в известном смысле нечто среднее между движениями различных простых маятников, какие получились бы, если бы каждый из указанных грузов был подвешен на отдельной нити. В самом деле, с одной стороны, сила тяжести стремится заставить все грузы опускаться одинаково в одно и то же время, а с другой стороны, несгибаемость нити заставляет их именно в это самое время описывать неравные дуги, пропорциональные их расстояниям от точки подвеса таким образом между этими грузами должен иметь место некоторый вид компенсации и распределения их движений, так что грузы, находящиеся ближе всего к точке подвеса, ускоряют колебания более далеких, а последние, наоборот, замедляют колебания первых. Таким образом на нити должна существовать такого рода точка, что если в ней укрепить тело, то движение последнего не будет ни ускориться ни замедляться остальными грузами, и движение будет совершенно таким же, как если бы только одно это тело было подвешено на нити. Эта точка и будет истинным центром колебания сложного маятника подобный центр должен находиться и в каждом твердом теле, колеблющемся около горизонтальной оси, какую бы форму это тело ни имело. [c.305]

Мы уже многократно рассматривали как примеры для объяснения общих понятий и законов механики те движения, причиной которых считают силу тяжести, рассмотрим эти движения подробнее и вначале разъясним, как измеряется сила тяжести. Для этого нам послужит наблюдение колебаний тяжелого тела, которое способно вращаться вокруг горизонтальной оси. Такое приспособление называют маятником, а именно сложным маятником — в противоположность простому маятнику, о котором мы уже говорили. Допустим, что сила тяжести — постоянная ускоряющая сила. Рассмотрим маятник как твердое тело и пренебрежем влиянием воздуха, движением Земли и трением оси вращения тогда мы сможем очень легко вычислить движение такого маятника. Положение последнего в некоторый момент определено одной переменной выберем в качестве ее угол образованный плоскостью, проходящей через ось вращения и центр тяжести маятника, и вертикальной плоскостью, проходящей через ось вращения. Согласно 5 четвертой лекции, имеем теорему площадей относительно плоскости, перпендикулярной к оси вращения, так как связи точек маятника допускают вращение вокруг нее эта теорема дает дифференциальное уравнение для такого угла. Обозначим величину силы тяжести — g, массу маятника—т, расстояние от его центра тяжести до оси вращения—s, момент инерции маятника относительно этой оси — к, таким образом получим дифференциа ное уравнение [c.69]

Для того чтобы не упустить ничего относящегося к истории задачи о центре колебания, я должен указать еще на одно ее решение, которое было дано позднее Иваном Бернулли в тех же Мемуарах и которое почти одновременно с ним было опубликовано Тейлором (Taylor) в его работе Methodus in rementorum (Метод приращений) что дало повод к оживленной полемике между этими двумя математиками. Как ни остроумна была идея, на которой было основано это новое решение,— она заключается в том, что сложный маятник приводится сразу к простому путем замены различных грузов другими грузами, сосредоточенными в одной и той же точке, причем их фиктивные массы и тяжести подобраны таким образом, что их угловые ускорения и моменты по отношению к оси вращения остаются соответственно равными прежним, а общая тяжесть объединенных грузов равна их истинной тяжести,—тем не менее следует признать, что эта идея не была ни столь естественной, ни столь ясной, как идея о равновесии между приобретенными и потерянными количествами движения. [c.310]

Здесь представляется естественным сопоставить эти уравнения с уравнениями, которые мы получили в предыдущем пункте при изучении малых колебаний сферического маятника около М, без учета вращения Земли. Третье уравнение системы (96 ) отличается от аналогичного уравнения системы (95) только наличием вертикальной составляющей — 2ym os"( сложной центробежной (корио-лисовой) силы. Теперь, так как можно написать [c.159]

В течение XVII в,, в эпоху формирования классической механики, статические задачи, побуждавшие в той или иной мере заниматься проблемой устойчивости, были оттеснены на задний план задачами динамики. В новых задачах динамики вопрос об устойчивости, принципиально более сложный и гораздо менее наглядный, чем в задачах статики, поначалу вовсе не ставился. В результате в течение примерно столетия в проблему устойчивости не было внесено ничего существенно нового. Обновление приходит вместе с развитием в XVIII в. аналитических методов механики. Новыми существенными успехами учение об устойчивости обязано Л. Эйлеру Стимулом было, как и прежде, исследование проблемы плавания. В 1749 г. в Петербурге была издана двухтомная Корабельная наука (на латинском языке) Леонарда Эй- лера Этот труд был закончен в основном еще в 1740 г. Его третья глава — Об устойчивости, с которой тела, погруженные в воду, упорствуют в положении равновесия ,— начинается с утверждения, что устойчивость, с которой погруженное в воду тело упорствует в положении равновесия, должна определяться величиной момента восстанавливающей силы, когда тело будет наклонено из положения равновесия на данный бесконечно малый угол. Здесь дается обоснованная предыдупщм изложением мера устойчивости, четко введена устойчивость равновесия по отношению к бесконечно малым возмущениям, а в дальнейшем изложении устойчивость равновесия исследуется с помощью анализа малых колебаний плавающего тела около положения равновесия. Дифференциальное уравнение второго порядка, описывающее эти колебания, составляется в соответствии с введенной мерой устойчивости, путем отбрасывания малых величин порядка выше первого и поэтому оказывается линейным уравнением с постоянными коэффициентами (без слагаемого с первой производной, так как трение не учитывается, и без правой части). Это позволяет сопоставить его с хорошо изученным к тому времени уравнением малых колебаний математического маятника при отсутствии сопротивления среды. Качественная сторона дела тоже учитывается введенной Эйлером мерой момент восстанавливающей силы зависит от оси, относительно которой он берется, и для одних осей он может быть положителен (устойчивость равновесия), для других отрицателен (неустойчивость), для [c.118]

Теперь мы обратимся к более сложному случаю колебаний математического маятника, когда положение равновесия близко к верхней точке, но немного не совпадает с ней. В этом случае полная энергия маят1-лка уже не равна Ме1, а на малую величину меньше = 1 . Подставляя это значение в [c.7]

Как видно, колебания такого маятника можно рассматривать как простые гармонические лишь в случае малых амплитуд, когда sin6A 0. Если амплитуды не малы, то имеет место более сложное движение и период колебаний будет зависеть от величины амплитуды. Ясно, что восстанавливающая сила не иронорииональна перемещению и увеличивается в меньшей мере, так что частота будет убывать с увеличением амплитуды колебаний. Разлагая sin0 в степенной ряд и беря только первые два члена этого ряда, вместо уравнения (Ь) получим уравнение [c.126]

Ответ у = 1,5- - 0,0008 sin 0,8ях. 21.8(21.8). Определить уравнения траектории сложного движения конца двойного маятника, совершающего одновременно два взаимно перпендикулярных гармонических колебания равной частоты, но разных амплитуд и фаз, если равненля колебаний имеют вид х = а sin( u/а), у = b(sin (OI Р). [c.152]

Уравнение (11. 242) определяет переменную амплитуду a i) колебаний маятника. Но оно сложнее уравнения (И. 231Ь). Поэтому им надо пользоваться лишь для приближенного определения a(t). Еще раз напомним, что приближенное значение амплитуды зависит от предварительного определения (U формулой (11.241). Прежде чем перейти к упрощению уравнения (11.242) преобразуем его. [c.289]

О твет =3 1,5 4- 0.0003 in 0,8яа. 2i.8(2iS). Определить равнеиня траектории сложного движения конца двойного маятника, совершающего одновременно два взаимно перпендикулярных гармонических колебания равьой частоты, но разных амплитуд и фаз, если дразнения колебаний имеют внд х = а sin((fli -f о), у => (sin и< + Р). [c.152]

Во многих разделах механики п ее приложений к техническим наукам движение материальных точек и тел изучается по отношепию к подвижным телам большой массы. Движение последних считается практически не зависящим от изучаемого движения сравнительно небольших масс и обычно заранее задается. Например, при изучении колебаний маятников на корабле, движения атмосферы и рек по отношению к Земле, поведения гироскопов па самолете можно смело считать, что движение корабля. Земли и самолета остается неизменным. При рассмотрении этих достаточно сложных явлений, как и в предыдущих примерах, необходимо четкое разграничение реальных физических сил и сил инерции. [c.35]

Закономерности движения частицы, идеализируемой в виде материальной точки, по вибрирующей шероховатой поверхности представляют самостоятельный интерес для теории вибротранспортирования и вибросеиарации отдельных тел малых размеров. Эти закономерности интересны также и для теории многих более сложных процессов (см гл. IX т. 2 справочника), например вибрационного разделения сыпучих смесей, вибротранспортирования и сепарации тв дых или упругих тел конечных размеров, а также слоя сыпучего материала, вибрационного погружения свай, движения вибрационных экипажей и т. п. Дифференциальные уравнения движения частицы по вибрирующей шероховатой поверхности играют в теории указанных процессов почти столь же фундаментальную роль, что и уравнение движения маятника в общей теории колебаний. [c.13]

В этом случае в результате сложения колебаний появляются траектории более сложной формы, которые получили название фигур Лиссажу. Простейший прибор, позволяюш,ий записывать траекторию результируюш,его движения, показан на рисунке 11.11. На двух тонких нитях подвешено конусообразное ведерко с песком, высыпаюш,имся из отверстия. Нити а ц Ь при помощи зажима с могут быть соединены вместе на любой высоте. Подвешенное ведерко с песком представляет собой маятник, который может колебаться в двух взаимно перпендикулярных плоскостях с разными частотами. Колебание в плоскости нитей а н Ь (вдоль оси х) происходит относительно точки с период колебаний определяется длиной маятника k (рис. 11.11). Колебания в перпендикулярной плоскости в направлении оси у происходят относительно точки D, а период их определяется длиной маятника h (рис. 11.11). Таким образом, периоды колебаний по осям X VI у неодинаковы. Можно подобрать место зажима с таким образом, чтобы за время одного колебания по оси у груз совершил два колебания по оси х. В этом случае траектория движения имеет вид, показанный на рисунке 11.11. Вид траектории в этом случае зависит также от разности фаз между составляющими колебаниями. [c.328]

Будет достаточно рассмотреть случай двух степеней свободы, где мы имеем независимые гармонические колебания в направлениях, соответствующих смещениям и 6 2, как в 15. В результате сложения получается плоская траектория, обычно сложного характера. Например, в случае маятника Блэкбёрна ( 14) имеем [c.70]

В результате простых математических преобразований мы приходим к уравнению маятника с затуханием для возмущений — уравнению линейного осциллятора. Это значит, что существует периодическая химическая реакция. Наиболее известный пример — знаменитая теперь реакция Белоусова—Жаботинского — реакция окисления малоновой кислоты КВгОз и 6(504)2. Раствор периодически меняет цвет. Правда, в этом случае процесс сложнее имеют место незатухающие колебания, автоколебания, которые идут до тех пор, пока есть реагенты. [c.25]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...