Эргодическая функция

Здесь Ат > — величины, определяющие пространственную конфигурацию моды на частоте Предполагая, что поле излучения является эргодическим [73], введем корреляционную функцию второго порядка [c.287]

Равновесные системы, у которых внутренние параметры являются функциями внешних параметров и энергии, называются эргодическими. Термодинамика, следовательно, рассматривает эргодические системы. [c.18]

Если интеграл от корреляционной функции, взятый в пределах (О, оо), конечен, а тем более, если корреляционная функция стремится к нулю с устремлением к нулю аргумента т, то случайная функция является эргодической, для которой усреднение по реализациям можно заменить усреднением по аргументу х. Использование эргодичности удобно для математических выкладок. Однако при контроле качества поверхности ответственной детали, т. е. при контроле соблюдения всех требований к ее поверхности, слишком рискованно судить о свойствах поверхности по единичной профилограмме, длина которой к тому же ограничена пределами записи профилографа. [c.76]

Итак, при рассмотрении профилограмм неровностей поверхности как реализаций стационарных, эргодических и нормальных функций в теории случайных функций получены следующие математические ожидания и дисперсии параметров (или функционалов) неровностей поверхности (см. табл. 5). [c.77]

В дальнейшем мы увидим, что при известных условиях справедливо и более сильное утверждение, а именно что величина ф Р) постоянна не только на траектории, но и во всей области Q. Это свойство инвариантных областей играет фундаментальную роль в статистической механике. Впервые оно было высказано в форме правдоподобной гипотезы в кинетической теории газов, где эргодическая теорема используется весьма широко. Нетрудно видеть, что это свойство (постоянство функции ф (Р) в области Q) не имеет места для уравнений Гамильтона в классической динамике Для того чтобы оно выполнялось, необходимо, чтобы система обладала некоторыми особыми свойствами, о которых речь будет ниже ( 22.15). [c.443]

ЧТО, следовательно, сигнал l t) является эргодическим процессом, для которого данный синусоидальный сигнал является одной из реализаций. Этот вывод распространяется на произвольные периодические сигналы. Они являются частным случаем случайных процессов, описываемых детерминированными функциями времени и конечного числа случайных величин [206, 274]. [c.15]

Ф также очень часто встречается среди машинных сигналов. Несмотря на то, что он описывается детерминированной функцией, его можно, как было показано выше, рассматривать как реализацию некоторого эргодического случайного процесса и по нему вычислять функции плотности распределения, среднее значение, дисперсию и другие моменты распределения. [c.45]

Функцией корреляции случайных процессов i(f) и 2(0 называется смешанный центральный момент второго порядка (2.20) этих процессов, взятых в различные моменты времени ti и ti. Для ее вычисления требуется, вообще говоря, соответствующая функция двумерной плотности распределения вероятностей. Для стационарных процессов корреляционная функция зависит только от разности т = 2 — а для эргодических процессов она равна временному среднему от произведения двух реализаций hit) и 2( + т) [c.79]

Исследуем влияние корреляционной связи текущих размеров изделий на рассеивание выборочных статистических характеристик, используемых для регулирования технологических процессов. G этой целью были смоделированы три стационарных гауссовых случайных процесса, обладающих эргодическим свойством. Математическое ожидание для всех процессов было принято равным нулю, дисперсия — единице. Случайные процессы различались лишь степенью автокорреляционной связи текущих размеров в соответствии с уравнениями автокорреляционных функций процессов [c.24]

В работах [3, 4] рассматривается расчет маховика машины, подвергающейся воздействию эргодической стационарной нагрузки, однако не дано определение интервала изменения независимой переменной, ка котором нужно рассматривать изменение случайной функции, выражающей нагрузку. [c.67]

Поскольку случайная функция стационарна, то естественно предположить, что одна реализация достаточной продолжительности может содержать достаточно опытного материала для получения характеристик случайной функции. Нередко оказывается, что это предположение верно и одна достаточно продолжительная реализация практически эквивалентна (по объему сведений о случайной функции) множеству реализаций той же общей продолжительности. Тогда характеристики случайной функции могут быть приближенно найдены не как средние по ряду реализаций, а как средние по времени. Такие стационарные случайные функции называются эргодическими (следует иметь в виду, что стационарность случайной функции в принципе не гарантирует эргодичность). [c.231]

Для исследования влияния степени корреляционной связи на величины зон рассеивания выборочных медиан, индивидуальных значений, средних арифметических значений и размахов были взяты три стационарных Гауссовых случайных процесса, обладающих эргодическим свойством. Математическое ожидание всех процессов равно нулю, дисперсия — единице. Случайные процессы различаются лишь степенью корреляционной связи текущих размеров. На рис. 3 показаны графики представительных участков изменения размеров в зависимости от номера изделия, а также кривые автокорреляционных функций [c.168]

Если в результате опыта получают прерывистые (дискретные) реализации, то случайная функция X (t) является функцией дискретного аргумента t (например, результаты проверки качества штучной продукции). Случайные функции дискретных аргументов называются случайными последовательностями. Для стационарных эргодических случайных последовательностей X (t) при длине последовательности X (ti),. . ., X формулы (6.36)—(6.39) могут быть представлены следующим образом для среднего значения X (t) [c.201]

При этом необходимо иметь в виду, что приведенные соотношения справедливы лишь для случая, если случайный процесс является стационарным и эргодическим. Напомним, что основными признаками стационарности является постоянство во времени математического ожидания и дисперсии случайной величины, при этом корреляционная функция зависит лишь от одной переменной . Допущение о стационарности и эргодичности общепринято в статистических исследованиях различных физических процессов, что допускает применение относительно простого математического аппарата. [c.7]

Не следует считать, что все стационарные функции являются эргодическими. Пусть, например, к стационарной функции добавляется обычная случайная величина (от времени не зависящая) [c.183]

Предположение о том, что микропрофиль дороги представляет собой стационарную эргодическую случайную функцию с нормальным законом распределения, позволяет взамен множества реализаций рассматривать единственную и на основании ее обработки судить о свойствах совокупности реализаций, т. е. непосредственно о случайном процессе. Допущение о нормальном законе распределения позволяет считать, что величина Rg д ) дает исчерпывающую характеристику микропрофиля дороги как случайной функции. На основании сказанного остается единственная характеристика микропрофиля дороги корреляционная функция или спектральная плотность дисперсий, т. е. Rg (д ) и Sg (в) или Rg (т) и Sg (v). [c.454]

При расчетах колебаний автомобиля при случайном воздействии чаще всего исходят из следующих допущений и предположений случайный процесс является одномерным (определяется только микропрофилем дороги в продольном направлении и является стационарной нормальной случайной функцией) автомобилю соответствует линейная колебательная система колебания автомобиля представляют собой стационарный, иногда эргодический, нормальный процесс. [c.466]

Анализ по одной реализации соответствует принятию априорной модели стационарного эргодического процесса и применяется для определения корреляционных, спектральных функций процесса или плотности вероятности и ее числовых характеристик, не зависящих от времени. [c.267]

Стационарные пространственно-временные случайные поля. Здесь и ниже ограничимся рассмотрением скалярного поля Поле U (х, i), t е. (—оо. оэ) называется стационарным, если его вероятностные характеристики не меняются во времени. Моментные функции порядка / > 1 зависят от разностей t — t, f — t и не зависят от выбора начального момента наблюдения. Стационарное пространственно-временное поле и (х, t) называют эргодическим, если одна его достаточно продолжительная реализация содержит всю информацию о вероятностных свойствах поля. В этом случае моментные функции определяют путем осреднения соответствующих произведений сначала по времени, а затем по множеству реализаций. [c.278]

Однородные пространственно-временные случайные поля. Поле /У (х, (), заданное во всем пространстве R , называют однородным, если его вероятностные характеристики инвариантны относительно сдвигов системы координат. Моментные функции порядка г > 1 зависят от разностей координат р = х — х, р" = х" — х и т. д Если однородное поле является эргодическим, то осреднение по множеству реализаций может быть заменено осреднением по всему пространству. [c.279]

В принципе имеются два пути решения проблемы. В первом случае можно предположить, что функция известна на большом отрезке времени (пространства). Исходя из этого, определяют функции распределения вероятностей, используемые для нахождения значений, усредненных по времени и пространству. Во втором случае мы имеем ансамбль подобных функций. При этом также определяются функции распределения вероятностей, но теперь уже путем исследования всех данных ансамбля. Затем эти функции распределения используются для нахождения средних значений по ансамблю. Предположение о том, что процесс является эргодическим, в принципе позволяет нам утверждать, что усреднения по координатам и по ансамблю должны давать один и тот же результат. Таким образом, перейдем теперь к определению корреляционных функций при этом будем полагать, что сигналы являются эргодическими стационарными, и средние значения будем определять только по пространственным координатам. [c.84]

Эквивалентная безлинзовая голограмма Фурье 182 — 184 Экспозиция 102, 108 Экраны 476, 477 Электронная микроскопия 13 Электрофотографические плепки 3 4 Эргодическая гипотеза 84 Эталонная функция 551 Эффект прерывистой экспозиции , 22 Эффекты, связанные с длиной полны излучения 202, 489 [c.733]

Эргодическое свойство стационарной случайной функции [c.96]

Как же можно математически характеризовать столь сложные движения Прежде всего рассмотрим эргодическое движение. В этом случае траектория любой отдельной точки пересекает произвольно выбранную область фазового пространства бесконечное число раз (при t схз). Сказанное остается справедливым, где бы ни находилась пробная область и какой бы малой она ни была. Нельзя, однако, сократить эту область до отдельной точки. Известна топологическая теорема, гласящая, что одномерная траектория, даже если она плотно заполняет область более высокого измерения, не может проходить через каждую точку данной области ). Тем не менее можно доказать весьма интересное свойство. Рассмотрим динамическую функцию Ь (х), которая является интегрируемой по фазовому пространству [c.379]

Иногда вместо множества реализаций m е М можно рассматривать одну достаточно длинную реализацию нагрузок. При этом МО, дисперсия, корреляционная функция, полученные в результате статистической обработки множества реализаций и одной длинной реализации, равны. Такие процессы называются эргодическими. [c.89]

Это эргодическое условие означает, что в отдаленном прошлом Д/ -частичная функция распределения распадается на произведение одночастичных функций. Иначе говоря, условие (2.4.37) соответствует предположению, что эволюция системы начинается из состояния, в котором отсутствуют корреляции между частицами. Корреляции затем восстанавливаются благодаря динамическим процессам в системе. Фактически точно такое же предположение было использовано Боголюбовым при выводе кинетических уравнений из уравнения Лиувилля [7]. В дальнейшем метод Боголюбова был развит многими авторами (см., например, [35, 57]). Важно подчеркнуть, однако, что эргодическое условие (2.4.36) является значительно более общим, чем условие Боголюбова (2.4.37), так как распределение Qq t) может описывать состояние, в котором уже [c.131]

Соотношение (6.3.100) подсказывает один из возможных способов усовершенствовать метод гриновских функций так, чтобы естественным образом учесть корреляционные эффекты. Для этого нужно сформулировать подходящее граничное условие для статистического оператора (6.3.99) при —оо. Например, мы можем воспользоваться эргодическим условием (см. раздел 2.3.4 в первом томе) [c.60]

Для оценки точности и достоверности измерений неровностей поверхности в данной теории эвристически рекомендуют определенный способ использования формулы (59). Он заключается в том, что при определении числа Пд в формулу (59) подставляют среднее значение Л47 и дисперсию DR тех параметров шероховатости (Ra, Rq, опорная линия профиля на уровне и), для которых они определены методами теории случайных функций. Профилограммы шероховатости поверхности при этом интерпретируют как реализации стационарной эргодической случайной функции у (х, ш) с нормальным распределением вероятностей. Переменная X означает вектор пространственных координат, меняющихся в области Т евклидова пространства R , а переменная ш — элементарное случайное событие из некоторого вероятностного пространства. [c.74]

Эргодический процесс является прежде всего стационарным случайным процессом. Стационарность предполагает независимость функций плотности распределения вероятностей от сдвига по времени. Вследствие этого для стационарных случайных процессов все моменты распределения также не зависят от начала отсчета времени. Стационарность является необходимым, но не достаточным условием эргодичности случайного процесса. Для того чтобы стационарный процесс был эргодическим, нужно, чтобы характеристики, полученные усреднением по одной реализации, не отличались от аналогичных характеристик, полученных усреднением по другим реализациям. Свойство эргодичности существенным образом облегчает анализ акустических сигналов. По-, скольку для них в этом случае средние статистические величины равны средним по времени, все функции плотности распределения вероятностей могут быть получены не по совокупности реализаций, а лишь по одной из них. Так, функция р(х), не зависящая от времени t в силу стационарности процесса, равна относительному времени пребывания сигнала п(О между уровнями а и ж -f Ад , а функция корре.чяции равна среднему по времени произведению [c.14]

Для эргодических процессов, в частности для акустических сигналов машины, двумерная функция плотности совместного распределения может вычисляться по двум каким-либо реализациям этих процессов. Вероятность р хх, x YKxxI x пропорциональна относительному времени пребывания процессов соответственно [c.52]

Рассмотрим стационарную случайную функцию X (t), обладающую эргодическим свойством, т. е.такую, что ее моментные характеристики (математическое ожидание, дисперсия, корреляционная и дисперсионная функция и т. д.) могут быть определены не по множеству реализаций X (t), а по одной реализации достаточно большой длины. Моментные характеристики случайной функции X (t), обладающей эргодическим свойством, полученные путем осреднения по множеству реализаций X (t), равн1<1 моментным характеристикам, полученным путем осреднения по аргументу t < (по времени, если аргумент t — время наблюдения случайной функции X (0 по длине, если t — длина детали и т. д.). Х-арак-теристики стационарной эргодической случайной функции X (t) определяют по одной ее реализации путем осреднения X (t) по области Т изменения аргумента t по следующим приближен- ным формулам [c.200]

Решение интегрального уравнения для построения динамической модели рассмотрим для случая, когда случайные функции входа X (s), и выхода У (t) являются стационарными и стационарно связанными и, кроме того, обладают эргодическим- свойством, т. е. по отдельным реализациям этих функций могут быть получены подходящие статистические характеристики совокупности возможных реализаций этих функций. Естественно, что решение уравнения (10.50) даже для принятых ограничений вызывает ряд практических трудностей. Их преодоление возможно путем использования современных электронных вычислительных машин или специализированных вычислительных средств — корреляторов, дисперсиометров, спектроанализаторов и др. Рассмотрим здесь алгебраический метод решения интегрального уравнения [c.331]

Конечно, это условие не всегда выполнимо. Для простых динамических систем, движущихся согласно периодическому закону, ни при их классическом, ни при квантовом рассмотрении функция Ляпунова существовать не может, ибо такие системы через некоторое время возвращаются в исходное состояние. Возможность существования оператора М определяется типом спектра оператора Лиувилля. В рамках классической эргодической теории этот вопрос недавно изучил Мисра [23]. Я постараюсь рассмотреть здесь некоторые следствия возможности существования оператора М уравнения (36), который можно рассматривать как энтропию систем, анализируемых на микроскопическом уровне. Поскольку М — величина положительная, то согласно общей теореме ее можно представить в виде произведения оператора, скажем, и сопряженного эрмитова оператора (Л" )" " (эта операция означает извлечение из положительного оператора квадратного корня) [c.148]

Стационарная случайная функция X(t) называется эргоди-ческой (обладает эргодическим свойством), если ее характеристики [гпх, йж(т), Dx] могут быть определены как соответствующие средние по времени для одной реализации большой продолжительности. Достаточным условием эргодичности стационарной случайной функции (по математическому ожиданию) является условие Ит ж(т)=0. В примере 1 функция Х(/) обладает таким [c.28]

Снижение флюктуационной (случайной) погрешности достигается либо усреднением по времени Т при определении корреляционной функции (т) -, либо усреднением по множеству N квадратов модуля амплитудных спектров реализаций, каждую из которых в случае модели стационарного эргодического процесса можно получить из одного отрезка длительностью Т = NTi делением его на N отрезков, т. е. в конечном счете также путем усреднения по времени. Относительная флюктуационная погрешность убывает при Т оо, = onst [c.270]

Случайные сигналы можно представить в виде некоторой случайной функции времени (случайный процесс) либо дискретной функцией времени (случайными последовательностями). Известно, что случайные процессы могут быть нестационарными и стационарными, а последние — эргодическими и неэргодическими. В зависимости от вида случайного сигнала подбирается и соответствующий математический аппарат. При этом случайный процесс может быть описан совокупностью ограниченных во времени реализаций совокупностью функций распределения автокорреляционной функцией разложением по системе ортонорм ированных функций. [c.88]

Пусть внешняя нагрузка представляет собой квазистацио-нарный случайный процесс. Под квазистационарным случайным процессом понимается процесс, удовлетворяющий следующему условию для любого момента времени t существует такой интервал (/ — А/, ,(где внутри которого случайный процесс можно считать стационарным. Напомним, что все числовые характеристики стационардого случайного процесса — математическое ожидание, дисперсия и т. д. — не зависят от времени. Кроме того, на основании эргодической гипотезы для стационарного процесса средние по времени и по множеству реализаций будут совпадать. В данном случае Ртах И Pmin будут представлять собой внутри каждого интервала А< случайные величины с некоторыми функциями распределения параметры, входящие в эти функции, для квазистационарных процессов будут слабо зависеть от времени. [c.330]

Стационарные случайные функции, для которых можно по одной реализации установить вероятностные характеристики, называют случайными функциями, обладающими эргодичес-ким свойством, или просто эргодическими стационарными случайными функциями. Эргодическое свойство заключается в том, что каждая отдельная реализация случайной функции дает [c.96]

Таким образом, мы полностью присоединяемся к той группе физиков (к ней принадлежат, в частности, Толмен и Ландау), которые считают, что эргодическая теорема является любопытным свойством динамических систем, но не имеет отношения к обоснованию статистической механики. Выход из обсуждавпшхся выше трудностей заключается в том, чтобы рассматривать средние по ансамблю (П.7.2) как первичное определение макроскопических динамических функций, не вводя какой-либо более фундаментальной концепции. Эргодическая теорема, таким образом, отходит на второй план. Более того, отпадает упомянутая выше главная трудность. Теперь макроскопическая величина В в (П.7.2) уже может быть функцией времени. В самом деле, соответствующую функцию Ь можно считать зависяш ей от времени и при этом усреднять ее по ансамблю тогда ожидаемое значение будет, очевидно, зависеть от времени. Не нужно вводить какого-либо немеханического предположения для определения закона эволюции во времени он задается самими уравнениями механики b t) = U t)b [см. (1.2.24)]. В силу соотношения (П.7.2) данный механический закон эволюции индуцирует закон эволюции макроскопических величин B t) [см. (2.2.9)]. [c.386]

Стедионарными и эргодическими называются такие случайные процессы, матема-гаческое ожидание и среднеквадратическое отклонение которых не меняется о течением времени, корреляционная функция не зависит от начала отсчета, а вместо пучка реализа ций может рассматриваться одна длинная реализация нагрузки [5, 11], [c.106]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...