Теория простого маятника

ТЕОРИЯ ПРОСТОГО МАЯТНИКА [c.183]

Это уравнение тождественно с уравнением движения простого (математического) маятника длиной I и с переменным углом наклона к вертикали 1, если предположить силу тяжести направленной по О г (положение устойчивого равновесия оси Ог). Таким образом, ось Ог совершает периодические колебания около положения устойчивого равновесия. Если амплитуда колебаний мала, то период полного колебания на основании теории математического маятника равен [c.186]

Указанную зависимость можно наглядно представить очень простыми графиками. Прямая А на рис. 49 соответствует элементарным формулам теории колебаний. Она показывает, что частота свободных колебаний простой системы не зависит от амплитуды колебаний. Напомним, что именно такие оценки мы получали на протяжении всей книги. Но теперь на примере с простым маятником мы обнаруживаем, что зависимость амплитуды от частоты колебаний определяется кривой типа В. [c.137]

Адиабатические инварианты. Проблема медленно меняющихся цугов волн аналогична проблеме медленно меняющихся колебаний в классической механике. Известная элементарная задача состоит в определении изменений амплитуды простого маятника, когда пружина медленно перемещается по подставке. Вообще же говоря, эта задача относится к поведению гамильтоновой системы, когда внешний параметр медленно меняется со временем. Теория основывается обычно на уравнениях Гамильтона, причем сушественно используются канонические преобразования. Соответствующие преобразования не существуют в случае большего числа независимых переменных [8], так что в задачах теории волн подобные методы построить нельзя. С дру- [c.22]

Так, например, на рис. 223, а и (5 изображен физический маятник в состоянии равновесия, но в положении, изображенном на рис. 223, а, потенциальная энергия маятника минимальна и равновесие устойчиво, а на рнс. 223, б потенциальная энергия максимальна и равновесие неустойчиво. Такой маятник является механической системой с одной степенью свободы. Колебания систем со многими степенями свободы складываются из простых колебаний около положения устойчивого равновесия. Указанный Лагранжем метод изучения колебаний (см. 62) имеет громадное применение в различных отраслях науки н техники и, в частности, в теории вибрации машин. [c.401]

Элементарная теория часов. Простейшая система такого типа — обыкновенные часы с маятником или балансом в качестве накопителя энергии. Принцип работы часов заключается в том, что когда маятник (баланс) совершает колебания и проходит через свое положение равновесия, ему через механизм, связанный с заведенной пружиной, сообщается толчок, который немного увеличивает скорость движения маятника. [c.201]

Если же маятники расстроены то, хотя обмен энергией и будет иметь место, он будет совершаться таким образом, что первоначально возбужденный маятник будет иметь минимум, отличный от нуля, и только маятник, первоначально находившийся в состоянии покоя, в процессе движения снова возвратится в состояние покоя. Таким образом, одинаковый характер колебаний маятников нарушается их расстройкой. Сначала мы кратко изложим теорию полного резонанса при возможно более простых допущениях (пренебрегая затуханием, а также различием между дугой окружности и касательной к ней в нижней точке траектории, что допустимо при достаточно малых колебаниях). Обозначим через х отклонение маятника /, через Х2 — отклонение маятника II. Если, далее, обозначить через к коэффициент связи , т. е. напряжение в пружине при единичном удлинении ее, деленное на массу, то система дифференциальных уравнений нашей задачи примет следующий вид [c.145]

Теория не будет столь простой, если маятники расстроены, т. е. если /i ф I2 или Ш1 Ф гп2- Положим [c.146]

Достаточно, стало быть, определить движение единственного слоя, и данная задача в некотором отношении оказывается аналогичной задаче о движении сложного маятника. Подобно тому как, согласно теории Якова Бернулли, движения, приобретенные и потерянные в любое мгновение различными грузами, из которых состоит маятник, взаимно уравновешивают друг друга на рычаге, так и в трубе должно существовать равновесие между различными слоями жидкости, из которых каждый находится под действием приобретенной или утраченной в каждое мгновение скорости отсюда путем применения уже известных принципов равновесия жидкостей можно было бы тотчас же определить движение жидкости в трубе, подобно тому, как было определено движение сложного маятника. Однако человеческая мысль не всегда приходит к истинам наиболее простыми и наиболее прямыми путями разительный пример зтого дает рассматриваемый нами вопрос. [c.305]

В отделе I мы видели, каким образом Даламбер, обобщая теорию Якова Бернулли о движении маятников, пришел к простому и общему принципу динамики, сводящему законы движения тел к законам их равновесия. Само собою напрашивается применение этого принципа к движению жидкостей, и автор сначала попытался сделать это в конце своей Динамики , напечатанной в 1743 г. затем он ее развил в достаточной мере подробно в своем Трактате о жидкостях , появившемся в следующем году и содержащем решения, столь же прямые, сколь и изящные, важнейших вопросов, которые можно поставить о жидкостях, движущихся в сосудах. [c.306]

Довольно подробно рассматривается обп ая теория малых колебаний около положения равновесия показывается, как вводятся нормальные координаты. Теория иллюстрируется на примерах малых колебаний двойного маятника, молекулярных колебаний в некоторых простых молекулах, нормальных колебаний одномерного кристалла. Рассмотрены двухатомные и линейные и нелинейные трехатомные молекулы типа А В. В заключение обсуждается простой случай колебаний около равновесного (устойчивого) движения. [c.67]

Теория, изложенная в предыдущем параграфе, буде-г проиллюстрирована иа нескольких простых примерах. В качестве первого примера мы выбрали так называемый двойной маятник (рнс. 12). В Р такой маятник входят две массы М и ш первая масса находится иа фиксированном расстоянии а от точки подвеса Р, а вторая — иа фиксированном расстоянии Ь от первой массы. Мы можем ограничиться движением системы в одной плоскости, так что система будет обладать двумя степенями свободы. Более того, для упрощения вычислений мы будем считать а = Ь. В качестве обобщенных координат мы выберем углы ф и i ) (см. рис. 12). Потенциальная энергия системы и запишется в виде [c.76]

Далее, во многих случаях, когда речь идет о колебаниях как о дополнительных движениях, налагающихся на основное движение машины (или механизма), соответствующие перемещения можно считать малыми. Это положение, широко применяемое в строительной механике и в теории колебаний упругих систем, достаточно хорошо подтверждается практикой. Оно не применимо в тех случаях, когда возможны значительные относительные перемещения тел (например, качание маятника с большой амплитудой, движение поршня в цилиндре, перемещения от изгиба весьма гибких элементов). Но оно вполне соответствует тем случаям, когда перемещения связаны с упругими деформациями обычных элементов. Предположение о малости перемещений приводит к простым соотношениям при составлении уравнений колебаний. [c.9]

В качестве третьего примера рассмотрим малые колебания простого (математического) маятника, т. е. колебания материальной точки М, подвешенной на нити длиной I (рис. 306). В примере 120 ( 114) мы получили уравнение, выражающее теорему о кинетической энергии для математического маятника в виде [c.439]

Модели могут быть простыми и сложными. Простая модель описывает один вид движения материи (например, механическое) или является условным образом явления. Примером такой модели может служить описание математического маятника, подвешенного на невесомой и нерастяжимой нити, конец которой закреплен неподвижно. Движение только в одной плоскости описывается дифференциальным уравнением с четко определенными начальными условиями. Методами теории подобия, используя это дифференциальное уравнение, составляют уравнение подобия. Однако такая физическая модель является идеализированной. Она не учитывает дополнительные эффекты, связанные с трением, растяжением нити, сопротивлением воздуха при качании маятника и т.д. [c.452]

Томас Кун в книге Структура научных революций [97] утверждает, что крупные изменения происходят в науке в общем не тогда, когда выдвигаются новые теории, а когда меняются простые модели, с помощью которых ученые формулируют и осваивают теорию. Концептуальная модель или задача, которая охватывает основные свойства целого класса задач, названа им парадигмой . Модель, состоящая из массы и пружины, является такой парадигмой теории колебаний. В области нелинейной динамики классическими парадигмами стали движение маятника и задача трех тел небесной механики. [c.74]

Легко заметить, что далеко не все из введенных понятий вошли в современную теорию колебаний, некоторые получили иное название. Простой и сложный маятники ныне называются, соответственно, математическим и физическим, иначе определяются плоские колебания, нет необходимости в понятиях боковых колебаний, линии центра фигуры. По именно здесь начинается формирование языка одного из важнейших разделов теоретической механики. Понятийный аппарат теории Гюйгенса продолжают две гипотезы. [c.83]

Второй пример —это маятиик, обладающий дву. 1я степенями свободы. Наиболее строгий метод решения этой задачи — рассмотрение сферического маятника и решение уравнений Лагранжа для этого случая. Однако из геометрии задачи видно, что производная z должна быть величиной второго порядка малости, если пользоваться приближением малых колебаний (z будет отличаться от своего равновесного значения только на величину, содер-жаш,ую квадрат амплитуды). Кроме того, из теории простого маятника можно ожидать, что величины FJm и FJm будут равны соответстпеино — gx/l и —gy/I, где через I обозначена длина маятника. Если пренебречь z во втором из уравнений (4.304), первые два уравнения той же системы дадут [c.117]

Мы уже многократно рассматривали как примеры для объяснения общих понятий и законов механики те движения, причиной которых считают силу тяжести, рассмотрим эти движения подробнее и вначале разъясним, как измеряется сила тяжести. Для этого нам послужит наблюдение колебаний тяжелого тела, которое способно вращаться вокруг горизонтальной оси. Такое приспособление называют маятником, а именно сложным маятником — в противоположность простому маятнику, о котором мы уже говорили. Допустим, что сила тяжести — постоянная ускоряющая сила. Рассмотрим маятник как твердое тело и пренебрежем влиянием воздуха, движением Земли и трением оси вращения тогда мы сможем очень легко вычислить движение такого маятника. Положение последнего в некоторый момент определено одной переменной выберем в качестве ее угол образованный плоскостью, проходящей через ось вращения и центр тяжести маятника, и вертикальной плоскостью, проходящей через ось вращения. Согласно 5 четвертой лекции, имеем теорему площадей относительно плоскости, перпендикулярной к оси вращения, так как связи точек маятника допускают вращение вокруг нее эта теорема дает дифференциальное уравнение для такого угла. Обозначим величину силы тяжести — g, массу маятника—т, расстояние от его центра тяжести до оси вращения—s, момент инерции маятника относительно этой оси — к, таким образом получим дифференциа ное уравнение [c.69]

Теория колебаний как исторически, так и но существу начинается с маятника. Прп помощи этого простого прибора мы можетм проиллюстрировать во всех основных чертах многие важные законы акустики действительно, различие масштабов амплитуд и периодов, как оно ни огромно, несущественно в вопросах динамики. [c.21]

Приведенная выше простая теория содержит предположение, что образец подчиняется закону Гука и что перемещение его конца пропорционально приложенной силе. Если образец ведет себя вязко-упругим образом, то в уравнении (6.5) будет еще один дополнительный член, содержащий выражение dxjdt, и, хотя уравнение (6.6) сохраняет силу, уравнение (6.7) будет теперь содержать экспоненциальный множитель демпфирования. Значит, симметричная форма будет медленно затухать, тогда как асимметричная форма будет незатухающей (если исключить сопротивление воздуха). Если при этих условиях один маятник приведен в движение, то колебания не прекращаются полностью, а будут проходить через минимум. Отношение минимальной амплитуды к максимальной дает меру вязких потерь в образце это было использовано Коваком [76] для измерения внутреннего трения пластиков. [c.128]

Такой подход в исследованиях А. Ю. Ишлинского (1956—1957),. посвященных анализу относительного равновесия физического маятника, теории гирогоризонткомпаса и гировертикали, позволил получить строгие и вместе с тем относительно простые дифференциальные уравнения прецессионного движения в конечных углах. Было получено основное условие невозмущаемости двухроторного гирокомпаса, после выполнения которого ось центр тяжести — центр подвеса гиросферы направлена по геоцентрической вертикали при произвольном движении точки подвеса по поверхности Земли, а суммарный вектор собственных кинетических моментов гироскопов расположен в горизонтальной плоскости и направлен перпендикулярно к вектору абсолютной скорости точки подвеса. Это условие имеет вид [c.248]

Однако в последнее время наметился иной и, по-видимому, более целесообразный принцип, согласно которому отдельные разделы теории колебаний выделяются по признаку физического единства рассматриваемых явлений. Следуя этому принципу, даже читатель, знакомый лишь с началами теории колебаний, легко выделит два достаточно самостоятельных раздела исследование свободных колебаний и исследование вынужденных колебаний. В первом пз этих разделов изучаются колебания автономных систем, нроисходяш ие под действием восстанав-лнваюш пх (и, возможно, диссипативных) сил около состояния равновесия таковы, например, колебания после нарушения равновесия простейших систем, изображенных на рис. 0.1 а — маятник, б — груз на пружине). Ко второму разделу относится изучение колебательных процессов, вызываемых и поддерживаемых вынуждающими силами, т. е. силами, заданными в виде явных функций [c.8]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...