Приближение малых колебаний

К дифференциальному уравнению (1.1) приводит не только рассмотрение колебаний груза на пружине или заряда конденсатора, замкнутого на самоиндукцию, но и в том или ином приближении — малых колебаний физического маятника, строительных конструкций, машин и механизмов, атомов, молекул и многих других систем. [c.9]

Для каждого нормального осциллятора колебательная энергия квантуется независимо и в приближении малых колебаний равна [c.24]

Для многоатомных молекул в приближении малых колебаний [c.295]

В приближении малых колебаний относительно равновесных положений (Д = 0) оператор потенциальной энергии [c.369]

Приближение малых колебаний. Если нельзя пренебречь а (например, в обычных лекционных опытах с резиновым жгутом), то приближение пружины неприменимо. Тогда сила Fд. в уравнении (14) — нелинейная функция х. Однако мы покажем, что если х мало по сравнению с длиной а, то I отличается от а только на величину порядка а х ау. В приближении малых колебаний мы пренебрегаем теми членами в формуле для которые нелинейны по х а. Займемся теперь алгеброй. [c.25]

Теперь рассмотрим приближение малых колебаний (п. 1.2). В этом случае можно пренебречь увеличением длины пружины, так как она отличается от длины а в равновесном положении лишь на величину порядка ai Ja) по этой же причине пренебрегаем и увеличением натяжения. Таким образом, смещению соответствует натяжение То. Возвращающая сила равна натяжению То, умноженному на синус угла между осью пружины при смещении и осью пружины в положении равновесия. При малых колебаниях угол (в рад) и синус угла почти равны и определяются величиной фд/а. Таким образом, возвращающая сила равна Toi pja). Такой же результат дает уравнение (70). [c.40]

Поперечные колебания двух связанных масс. Используя либо приближение пружины , либо приближение малых колебаний, найдите два связанных уравнения движения для поперечных смещений и фь (см. рис. 1.11). [c.55]

Покажите, что для системы связанных маятников, показанных на рис, 2.17, уравнение движения для п-го маятника (в приближении малых колебаний) имеет вид [c.99]

Синусоидальные колебания между параллельными пластинами можно изучить для жидкостей второго порядка без использования приближения малых деформаций [4]. В частности, установлено, что разности нормальных напряжений колеблются в фазе с квадратом градиента скорости. [c.215]

Как видим, для малых колебаний период от угла начального отклонения фо не зависит. Этот результат является приближенным. Если проинтегрировать составленное вначале дифференциальное уравнение колебаний маятника, не считая в нем угол ф малым (т. е. не полагая sin ф ф), то можно убедиться, что Гф зависит от фо- Приближенно эта зависимость имеет вид [c.327]

Теперь заметим, что при малом ф часть цилиндрической поверхности, по которой латается цилиндр, можно рассматривать как часть горизонтальной плоскости и считать приближенно N=P=mg. Тогда неравенство Fмалых колебаниях качение цилиндра будет происходить без скольжения, когда Фо З/. [c.331]

Из формулы (24.11) следует, что модуль реакции нити в любом положении маятника зависит от начальной скорости Vo и начального отклонения маятника фо. Формула (24.11) справедлива не только при малых колебаниях, так как получена не из приближенного, а точного дифференциального уравнения (24.1). [c.71]

Область, в которой можно пользоваться линейными уравнениями, сама по себе, разумеется, не определяется этими уравнениями и зависит от старших членов соответствуюш,их разложений нелинейных функций в ряды. В этом смысле понятия малые отклонения и малые колебания условны. Слово малое в этих терминах говорит не буквально о малости самих отклонений или их областей, а скорее о малости наших знаний о границах этих областей. Во многих задачах механики оказывается, что области эти достаточно велики и покрывают полностью область отклонений, с которыми практически приходится иметь дело при любых действующих на систему внешних силах. В иных случаях, однако, оказывается, что области эти весьма ограничены, и замена нелинейных уравнений Лагранжа их линейным приближением требует в таких случаях большой осмотрительности. [c.257]

Решение этого нелинейного дифференциального уравнения колебаний маятника представляет известные трудности. Поэтому решим задачу приближенно, считая колебания маятника малыми. Разложив sin ср в ряд [c.188]

Ята система нелинейных дифференциальных уравнений не может быть проинтегрирована в замкнутом виде. Ограничиваясь малыми колебаниями, для которых можно положить приближенно sin ф ф, со фа 1, и пренебрегая малыми величинами выше первого порядка малости, представим уравнения (4) и (5) в виде [c.604]

Механические системы, для которых квадратичные выражения для кинетической и потенциальной энергий (57) и (60), являются точными без отбрасывания членов более высокого порядка, называются линейными. Для линейных систем дифференциальные уравнения (63) являются точными, а не приближенными, как в случае малых колебаний. Математическая теория малых колебаний не отличается от теории линейных колебаний. Но линейные колебания могут быть не обязательно малыми. [c.435]

Малые колебания системы вокруг положения устойчивого равновесия. Приближенные выражения кинетической и потенциальной энергий [c.228]

Это уравнение нелинейно остановимся на случае малых колебаний. Полагая приближенно sin 0 0 и sin 20 20, приходим к линейному уравнению [c.433]

Изложенный в данном параграфе метод позволяет весьма эффективно определять приближенные значения частот сложных задач, когда стержень имеет промежуточные опоры или сосредоточенные массы. В случае неконсервативных задач метод дает возможность определить комплексные собственные значения, что используется в дальнейшем при исследовании устойчивости малых колебаний стержней. [c.117]

Рассмотрим случай, когда уравнение вынужденных малых колебаний стержня содержит силы вязкого сопротивления или силы Кориолиса [уравнение (5.50)]. Приближенное решение уравнения (5.50) ищем в виде [c.136]

Был рассмотрен наиболее простой случай (одно уравнение), соответствующий системе с одной степенью свободы или одночленному приближению при решении уравнений малых колебаний стержня с использованием принципа возможных перемещений. Для систем с несколькими степенями свободы выкладки становятся громоздкими. Более подробно решение систем линейных дифференциальных уравнений изложено в работах [6, 10, 14]. Дополнительные сведения о методах решения задач статистической динамики приведены в разделе, посвященном прикладным задачам. [c.148]

Из системы уравнений (8.71) определяем векторы и MW, компоненты которых являются элементами матриц Aq и Ам, входящих в уравнения малых колебаний (8.66) — (8.69). Приведенные уравнения (8.66) — (8.69) приближенно справедливы и для стержня переменного сечения, если размеры его поперечного сечения меняются не слишком сильно. [c.254]

Если мы рассматриваем бесконечно малые колебания, то можем принять приближенно z Z. В этом приближении первые два уравнения дают [c.130]

С учетом всех этих оговорок можно сформулировать задачу следующим образом требуется найти параметры (амплитуду и фазу) приближенно гармонического колебания, возбуждаемого в слабо нелинейной колебательной системе с малым затуханием, при заданной гармонической внешней силе. С подобной задачей мы встречаемся не только при рассмотрении механических систем, но и при анализе различных колебательных цепей в радиотехнических устройствах при наличии нелинейных диссипативных элементов (полупроводниковые приборы, радиолампы), а также при использовании ферромагнитных или сегнетоэлектрических материалов в катушках индуктивности и конденсаторах этих цепей. [c.113]

Рассмотрим малые колебания вблизи положения равновесия. Приближенно можно считать, что для функции f (у), характеризующей потери системы, мы вправе записать [c.198]

Гармонические колебания. Свободные колебания могут быть гармоническими и негармоническими. Гармонические колебания бывают в системах, в которых отсутствуют сопротивления движению. В механизмах и приборах трение оказывает большое сопротивление, поэтому в них гармонические колебания отсутствуют. Однако при приближенном исследовании колебаний механизмов измерительных устройств приборов, у которых потери на трение малы, используются законы гармонических колебаний. [c.99]

Бесконечно малые колебания сферического маятника. — Прежде чем рассматривать задачу в общем случае, следует изучить случай, когда угол между нитью ОМ и вертикалью остается все время очень малым. Мы будем предполагать этот угол настолько малым, чтобы можно было пренебречь квадратами отношений х 1 и у 1 по сравнению с единицей. При такой степени приближения имеем, в силу уравнения (2), [c.198]

Эта книга является инженерным учебником, и общая теория изложена в ней довольно элементарно. Однако колебания систем с двумя и тремя степенями свободы изложены подробно, и многие из рассмотренных примеров полностью решены. Эти сравнительно простые системы дают ясное представление о таких понятиях, как главные колебания, резонанс и т. д., что часто остается менее ясным при абстрактном изложении. В книге рассмотрены также некоторые специальные вопросы, такие, как приближенное решение векового уравнения, или теория малых колебаний системы вблизи установившегося режима движения. [c.376]

Но в то время как прежнее уравнение (15.3) описывало только малые колебания математического маятника и получалось лишь приближенно из точного уравнения (15.1), наше теперешнее уравнение (17.6) и, следовательно, полученная из него путем интегрирования формула (17.7) точно справедливы для любых амплитуд. Таким образом, циклоидальный маятник строго изохронен, т. е. его период колебания вообще не зависит от величины амплитуды . [c.128]

Следовательно, круговая орбита является устойчивою, и период малых колебаний выражается приближенною формулою [c.232]

Второй пример —это маятиик, обладающий дву. 1я степенями свободы. Наиболее строгий метод решения этой задачи — рассмотрение сферического маятника и решение уравнений Лагранжа для этого случая. Однако из геометрии задачи видно, что производная z должна быть величиной второго порядка малости, если пользоваться приближением малых колебаний (z будет отличаться от своего равновесного значения только на величину, содер-жаш,ую квадрат амплитуды). Кроме того, из теории простого маятника можно ожидать, что величины FJm и FJm будут равны соответстпеино — gx/l и —gy/I, где через I обозначена длина маятника. Если пренебречь z во втором из уравнений (4.304), первые два уравнения той же системы дадут [c.117]

В соответствии с рис. 2.2 наклон струны в точке равен tg0i,а наклон в точке 2 равен tg02. Горизонтальные компоненты натяжения струны в точках Zi и Za равны соответственно T os 0i и T os 0а. Наша цель — получить линейное дифференциальное уравнение движения. Мы будем работать либо с приближением пружины , либо с приближением малых колебаний. В случае приближения пружины Т больше Го в 1/ OS0 раз, потому что сегмент больше Аг во столько же раз [c.61]

В курс включен ряд дополнительных разделов, которые при преобразовании МГТУ в технический университет должны стать основными. В динамике достаточно полно изложена теория малых колебаний систем с двумя степенями свободы. Наряду с приближенной теорией дополнительно изложена теория регулярной прецессии и движения быстровращающегося гироскопа под действием силы тяжести, тюзволяюп ая обосновать допущения приближе1шой теории. [c.3]

Полученное дифференциальное уравнение в обычных функциях не интегрируется. Ограничимся рассмотрением малых колебаний маятника, считая угол ф малым и полагая приближенно sin фЯйф. Тогда предыдущее уравнение примет вид [c.326]

Относительная краткость курса потребовала щателыюго отбора теоретического материала и примеров, поясняющих основные разделы курса. В курс включен ряд дополнительных разделов, В динамике достаточно полно изложена общая теория малых колебании механических систем с одной н двумя степенями свободы. В аналитическом динамике даны канонические уравнения Гамильтона и принцип Остроградского—Гамильтона. Расширена глава Динамика твердого тела с одной закрепленной точкой . Наряду с приближенной теорией гироскопа дополнительно изложена точная теория гироскопического момента при регулярной прецессии. В специальных главах изложены также элементы теории искусственных спутников и основные сведения по движению точки переменной массы. [c.3]

В качестве второго примера рассмотрим стержень, показанный на рис. 4.2. Сте(ржень нагружен следящими силой Ро и моментом М.О. постоянны.ми во времени. Равновесная форма осевой линии стержня (например, прямолинейного до нагружения) есть пространственная кривая. На конце стержня имеется сосредоточенная масса т. Примем приближенно, что точка О (центр масс) совпадает с центром то рцового сечения стержня. Для следящих сил уравнения малых колебаний стержня в связанной системе координат будут однородными, так как проекции следящих сил и моментов в уравнения движения в связанной системе координат не входят. В данном примере имеем следующие краевые условия 1) е=-0, ио(0)=0,до(0)=0 2) в—1, АМ(1)- М =0, АО( 1) + Л = 0, где М , — соответственно момент инерции и сила инерции, дей- [c.80]

В предыдущих главах, посвященных изложению основных теоретических положений динамики стержней, были даны методы вывода уравнений движения пространственнокриволинейных стержней, нагруженных переменными во времени распределенными и сосредоточенными силами. Наряду с мертвыми силами расс.матривались и другие возможные силы, которые могут зависеть от линейных и угловых перемещений и их первых производных по независимым аргументам. Были получены уравнения малых колебаний и изложены численные точные и приближенные методы определения частот и форм колебаний пространственно-криволинейных стержней. [c.164]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...