Напряжения Уравнения при деформации плоско

Для составления основного уравнения плоской задачи в полярных координатах с помощью функции напряжений воспользуемся выражениями уравнения совместности деформаций через функцию ф (бигармоническое уравнение) и преобразуем его из декартовых в полярные координаты. При этом мы воспользуемся соотношениями (5.1), (5.3). [c.94]

Остающаяся часть напряжения S находится из определяющих уравнений в зависимости от деформации или истории деформации. Не ограничиваясь пока упругим, пластическим, вязкоупругим или другими конкретными видами поведения материала, можно сделать некоторые замечания общего характера относительно природы напряжений S при плоской деформации. [c.307]

Метод характеристик получил в последние годы большое распространение при решении плоских и осесимметричных задач для определения напряженного состояния в очаге деформаций. Сущность его заключается в том, что дифференциальные уравнения равновесия [c.203]

Решение плоской задачи в полярных координатах в напряжениях заключается в отыскании трех функций г, 0), (г, 0) и т е (г, 0) с помощью трех уравнений двух уравнений равновесия (7.1) и уравнения неразрывности деформаций (7.3) при обязательном удовлетворении условий на поверхности. [c.102]

Полная система уравнений плоской задачи состоит из двух уравнений равновесия (17.10), трех геометрических соотношений Коши (17.3) и трех формул закона Гука (17.7) или (17.17) и содержит восемь неизвестных функций три напряжения а,., ху> три деформации е , и два перемещения и и v. Если при решении задачи не требуется определять перемещения, то число неизвестных сокращается до шести. Для их определения имеется шесть уравнений два уравнения равновесия, три формулы закона Гука и уравнение неразрывности деформаций (17.11). [c.349]

При решении плоской задачи в напряжениях в уравнении неразрывности деформаций (17.11) необходимо выразить деформации через напряжения с помощью формул закона Гука. Воспользовавшись, например, формулами (17.17) для обобщенного плоского напряженного состояния, получим [c.349]

Таким образом, решение плоской задачи теории упругости в напряжениях сводится к интегрированию системы трех дифференциальных уравнений двух уравнений равновесия (17.10) и уравнения неразрывности деформаций (17.19) при выполнении статических граничных условий (17.12) на поверхности тела. [c.350]

При решении плоской задачи термоупругости в напряжениях в качестве неизвестных принимаются напряжения а,, и Учитывая равенства (19.26) для остальных напряжений, в случае плоской деформации из уравнений (19.22) получим [c.412]

Уравнения плоского напряженного состояния при условии текучести Треска—Сен-Венана. В зависимости от знака главных напряжений о , максимальные касательные напряжения развиваются по различным площадкам. Если Oj, 0.2 — разных знаков, то, подобно случаю плоской деформации, максимальное касательное напряжение равно [c.212]

Решение задачи для упругой области состоит в нахождении выражений для компонент напряжений, удовлетворяющих условиям равновесия [уравнения (28)] и совместности [(уравнения (31)], а также граничным условиям, соответствующим рассматриваемой задаче. Аналогично простому интегрированию по одной переменной, дающему при последующем дифференцировании исходную формулу, решение упругой задачи должно удовлетворять исходным уравнениями. Что касается многих стандартных интегральных решений, то математикам известны типы функций, которые, будучи продифференцированы, удовлетворяют этим уравнениям. Любое аналитическое выражение представляется чрезвычайно сложным, если только геометрическая форма тела не описывается простыми математическими функциями. Даже если она и проста, то общие решения для трехмерного случая получить трудно, не сделав соответствующих упрощений, например рассматривая только тела вращения и выполнив основные расчеты для идеализированного состояния, или плоского напряжения (Од = 0), или плоской деформации (Sg = 0). [c.30]

В данной книге метод сингулярных интегральных уравнений применяется при решении плоских задач математической теории трещин, т. е, задач об упругом равновесии тонких пластин с трещинами при плоском напряженном состоянии или цилиндрических тел с туннельными разрезами, находящихся в условиях плоской деформации. Конструктивные элементы таких тел часто используются в технике. [c.3]

Анализ разрушения металлических конструкций и многочисленные экспериментальные данные показывают, что в реальных условиях эксплуатации в нагруженном материале возле трещин могут возникать значительные пластические деформации, охватывающие области, сравнимые с характерными размерами концентратора напряжений (трещины, выреза, включения) или рассматриваемого тела. Описание процесса разрушения при значительных пластических деформациях требует решения соответствующей упругопластической задачи для тела с трещинами. Обстоятельный обзор таких исследований выполнен в работе [12]. Применение классических методов теории пластичности во многих случаях является малоэффективным и не всегда учитывает некоторые характерные особенности протекания процесса пластического деформирования, в частности локализацию деформаций в тонких слоях и полосах. В случае тонких пластин (плоское напряженное состояние) такие деформации локализуются в тонких слоях (полосах пластичности) на продолжении трещин и достаточно хорошо описываются с помощью б -модели, когда полосы пластичности моделируются скачками нормальных смещений [65. При плоской деформации зоны пластичности возле трещин во многих случаях также локализуются в тонких слоях (полосах скольжения), выходящих из вершины трещины под некоторыми углами к ней [45, 120, 159, 180]. Полосы скольжения при этом моделируются скачками касательных смещений. В результате решение упругопластической задачи для тела с трещинами сводится к решению упругой задачи для тела с кусочно-гладкими (ломаными) или ветвящимися разрезами (см. третью главу), на берегах которых заданы разрывные нагрузки. При этом длина зон пластичности и их ориентация заранее неизвестны и должны быть определены в процессе решения задачи. Для таких исследований может быть успешно применен метод сингулярных интегральных уравнений, развитый в предыдущих главах, что и проиллюстрировано на конкретных примерах. [c.219]

На первой операции вытяжки при работе с сильным прижимом можно считать, что фланец заготовки из анизотропного металла находится в объемно-напряженном и плоско-деформированном состояниях, так как деформации в направлении, перпендикулярном плоскости листа XY (по оси Z), весьма малы. Тогда, приняв, что в уравнении приращения деформаций (110) величина de = О, из этого же выражения получаем [c.178]

Уравнения, связывающие средние значения напряжений, полностью совпадают с уравнениями (52) и (53), полученными в случае плоской деформации. Средние значения составляющих напряжения можно выразить через производные функции напряжений ф при помощи формул (54). Легко показать, что и в этом случае функция ф должна удовлетворять уравнению (55), если предположить, что составляющая напряжения обращающаяся в нуль на поверхностях 2 = гЬ равна нулю по всей толщине пластинки. При малых толщинах пластинки такое допущение, очевидно, будет весьма близко к действительности, так как при сделанных предположениях относительно внешних сил не будет никаких причин, которые могли бы вызвать значительные напряжения 2г- [c.74]

Пользуясь этим решением, легко получить напряжения в слзгчае чистого изгиба части кругового кольца парами сил, приложенными по концам (рис. 29). Поперечное сечение кольца предполагаем прямоугольным. Если размер с этого прямоугольника в направлении, перпендикулярном к плоскости кольца, мал, то мы будем иметь дело со слзгчаем обобщенного плоского напряженного состояния. При больших значениях размера с кольцо обращается в цилиндрическую трубку, и мы будем иметь случай плоской деформации. Распределение напряжений как в том, так и в другом случае будет одно и то же. Чтобы получить распределение напряжений при изгибе парами сил, приложенными по концам, подберем произвольные постоянные в общем решении (а) таким образом, чтобы нормальные напряжения гг по наружному и внутреннему круговым очертаниям пластинки обращались в нуль. Обозначая через а ж Ь внутренний и наружный радиусы кольца, получаем для определения произвольных постоянных уравнения [c.94]

Как известно, уравнения плоской задачи теории упругости применяются к двум случаям равновесия упругого тела, а именно к случаю плоской деформации и к случаю плоского напряженного состояния, которое может иметь место при деформации тонкой пластинки силами, приложенными к ограничивающему ее контуру и действующими в ее плоскости [13]. [c.8]

В дальнейшем, если не будет особой оговорки, будем применять уравнения плоской задачи теории упругости к случаю деформации тонкой пластинки силами, приложенными к ограничивающим ее кривым и действующими в ее плоскости, т. е. будем иметь дело с плоским напряженным состоянием, при этом для простоты записи обозначения и, V, Х , У, X, X заменим соответственно через и, V, Уу, Ху, 6, л, сохраняя при этом смысл, соответствующий понятию плоского напряженного состояния . [c.11]

При изучении плоских контактных задач теории упругости с нелинейным износом и процессов квазистатического взаимодействия твердых тел с тонким покрытием, реологические свойства которого описываются уравнениями установившейся нелинейной ползучести со степенной связью между интенсивностями тензоров напряжений и скоростей деформаций, приходят к необходимости решения интегрального уравнения [c.133]

Задача построения поля напряжений и скоростей перемещений при общей плоской деформации является статически определимой. Сначала должно быть определено поле характеристик и напряжений по уравнениям (1.4)-(1.7) для заданных граничных условий для функций сг, 0, ip, а затем можно построить поле скоростей перемещений для заданных кинематических граничных условий, так как функции 9 и ip, используемые в дифференциальных соотношениях (1.11)-(1.14), будут известны. [c.54]

Так же как при плоском напряженном состоянии, уравнения совместности для плоских деформаций сводятся к одному уравнению (6.44). [c.209]

Если массовые силы отсутствуют или постоянны, то при решении плоских статических задач теории упругости (задач о плоской деформации или обобщенном плоском напряженном состоянии) часто пользуются функцией напряжений Эри (если массовые силы отличны от нуля, то их вклад в решение может быть учтен дополнительно при помощи принципа суперпозиции путем нахождения частных интегралов системы линейных дифференциальных уравнений). [c.210]

Плоское напряженное состояние. При плоском напряженном состоянии в плоскости, параллельной ху, компоненты напряжения х ,, равны нулю, однако компоненты и, V, хю вектора перемещения в общем случае не являются не зависимыми от ъ. Поэтому отсюда следует, что уравнения равновесия принимают вид (25.2) и (25.3), и соотношения между напряжениями и деформациями сводятся к следующей системе [c.76]

Было показано (см. стр. 35), что в случае постоянных объемных сил распределение напряжений одинаково, как при плоском напряженном состоянии, так и при плоской деформации. Однако, перемещения в этих двух задачах будут различными, так как, при плоском напряженном состоянии, составляющие деформации, входящие в уравнения [а], определяются следующими выражениями [c.44]

Пусть на бесконечную плоскость действуют заданные объемные силы p/ i(J i, Х2 , pF2(xi, Х2) и при Xi, 2 00 проекции вектора перемещения и компоненты тензора напряжений стремятся к нулю. Определим для случая плоской деформации напряженное состоя-иие. Умножим уравнения равновесия (6.5) и уравнение совместности деформаций (б.П) на ядро Фурье ехр + и проинте- [c.164]

Заметим, что при рассмотрении отдельных частных задач теории пластичности вместо всего пространства напряжений можно рассматривать подпространства с меньшим числом измерений. Но здесь приходится проявлять известную осторожность. Так, например, при плоском напряженном состоянии пластическая деформация будет трехмерной и использование двумерной кинематической модели типа Прагера может привести к неверным результатам, как отметил Будянский в дискуссии но статье Прагера. Эти трудности не возникают, если воспользоваться вариантом гипотезы трансляционного упрочнения, который был предложен Циглером. Согласно этой гипотезе тензор s определяется следующими дифференциальными уравнениями [c.553]

Далее рассмотргш физические уравнения, устанавливающие связь между напряжениями и деформациями при обобщенном плоском напряя енном состоянии. В полярных координатах уравнения закона Гука имеют следующий вид [c.92]

Условия (136) не исключают зависимости остальных напряжений и деформаций от переменной Хд, т. е., строго говоря, плоская задача является трехмерной, и ее решение связано со всеми трудностями, характерными для пространственных задач. Если пластина является достаточно тонкой, вводится дополнительное предположение о том, что напряжения и деформации незначительно изменяются по трлщине, т. е. что e j и (г, / = 1,2) зависят только от переменных Х2- Необходимо, однако, иметь в виду, что такое предположение является приближенным, так как при этом в общем случае невозможно удовлетворить всем уравнениям совместности деформации, которые сводятся к (132) и [c.44]

Обычно в принятых расчетных методиках корпусные детали турбин рассматриваются как составные осесимметричные оболочки переменной толщины, находящиеся в температурном поле, меняющемся вдоль оси и по радиусу оболочки. С применением таких расчетных методов был проведен анализ температурных напряжений в корпусах стопорных и регулирующих клапанов, а также ЦВД и ЦСД турбин типа К-200-130 [2]. Напряжения определялись по температурным полям, полученным термометриро-ванием корпусов при эксплуатации турбины. Полученные результаты дали общую картину термонапряженного состояния этих корпусов. Они показали, что максимальные напряжения в корпусе стопорного клапана имеют место в подфланцевой зоне, а в корпусах регулирующих клапанов — в месте их приварки к цилиндру и что наиболее термонапряженной зоной корпуса ЦВД является внутренняя поверхность стенки в зоне регулирующей ступени. Однако отсутствие учета влияния фланцев и других особенностей конструкции в этих расчетах приводит к тому, что полученные результаты не всегда, даже качественно, могут характеризовать термонапряженное состояние корпусов. В связи с этим предлагаются упрощенные методики учета влияния фланцев, в частности основанные на уравнениях для напряженного состояния при плоской деформации влияние фланца горизонтального разъема ЦВД часто оценивают по теории стержней. Для оценки кольцевых напряжений решается плоская задача при форме контура, соответствующей форме поперечного сечения. Йри этом рассматри- [c.55]

Собственным весом балки пренебрегаем. Тогда при подстановке напряжений (6.23) в уравнения равновесия (6.2) и уравнение неразрывности деформаций (6.9) убеждаемся, что они обращаются в тождества. Таким образом, напряжения (6,23) удовлетворяют основным уравнениям плоской задачи теории упругостн. [c.71]

При рассмотрении плоской задачи обычно различают два следующих ее вида задача о плоской деформации и задача о плоском напряженном состоянии (обобщенное плоское напряженное состояние). Решение этих задач связано с интегрированием дифференщгальных уравнений одного и того же вида. [c.67]

В условиях плоского напряженного состояния k -- О, в плоском деформированном состоянии fe=0,5. Следовательно, величина у — k равна 1 при плоском напряженном состоянии. При плоском деформированном состоянии эта величина равна 1 3/2 = 0,866. Величина (1—тем меньше, чем больше показатель а. На рис. 4.26 приведены результаты расчетов рассматриваемых коэффициентов в соответствии с соотношениями (4.78) методом конечных элементов. Эти данные относятся к случаю плоского напряженного состояния. Методом конечных элементов рассчитали [53] коэффициенты концентрации напряжения и деформаций при упруго-пластической деформации растяжением пластин с двухсторонним полукруглым, U-образньш или эллиптическим надрезом. В указанной работе исследовали применимость уравнений Ной-бера и приближенного уравнения, рассчитываемого с помощью /-интеграла Райса, для анализа результатов экспериментов. Показано, что при расчете Къ с помощью уравнения Нойбера получаются завышенные результаты, а при расчете с помощью /-интеграла Райса — заниженные. [c.118]

Уравнения пластического равновесия. Подставляя значения компонент тензора напряжений при пластической деформации из системы уравнений (XIII.2) в дифференциальные уравнения равновесия для плоской задачи (XII.1J получим [c.264]

Присоединяя сюда дифференциальные уравнения равновесия, получаем систему уравнений, формально совпадающую с системой уравнений для напряженного состояния при плоской деформации. Следовательно, изложенные в 34—38 результаты полностью переносятся на рассматриваемый случай Oiaa< О плоского напряжен- [c.222]

Упругое равновесие твердых тел описывается уравнениями плоской задачи теории упругости в случае плоской деформации цилии-дрических тел постоянного поперечного сечения, когда на тело действуют внешние силы, нормальные к его оси и одинаковые для всех поперечных сечений указанного тела, либо в случае обобщенного плоского напряженного состояния, т. е. при деформации тонкой пластины силами, действующими в ее плоскости. При этом для определения напряженно-деформированного состояния в произвольной точке деформируемого упругого изотропного тела необходимо найти три компоненты тензора напряжений —Оу, х у (рис. 1) и две составляющие вектора перемещений — и, v. Если система декартовых координат выбрана так, что плоскость xOi/ совпадает или с поперечным сечением стержня, или со срединной плоскостью пластины, указанные компоненты в условиях плоской задачи теории упругости являются функциями двух переменных (х и i/). [c.7]

Уравнение (8.125) следует из разрывного решения жестко-пластической задачи, изображенного на рис. 201, в двух предельных случаях /I > L (плоская деформация) и h L (плоское напряженное состояние). При L и h L линии разрыва тангенциальной компоненты скорости ОА и ОА разделяют жесткие части тела (такая кинематическая картина наблюдалась неоднократно, например, в экспериментах Орована и Работнова). Заштрихованные и незаштрихованные области соответствуют разрывному статически допустимому состоянию, дающему ту же предельную нагрузку. При /i <С L обычно реализуется линия разрыва нормальной компоненты скорости ОВ (шейка), разделяющая жесткие части образца. Статически допустимое состояние — то же самое. В этом случае масштабный эффект отсутствует. [c.498]

Шюле предположил, что при изгибе плоские сечения остаются плоскими и что константы а и от в уравнении (2.36) различны для растяжения и сжатия, как на это указывали результаты опытов Баха. Он попытался вывести формулу для прогиба в середине пролета свободно опертой чугунной балки Сравнение, проведенное Шюле, показало близость полученного по этой формуле значения для прогиба в середине пролета, как функции нагрузки, к его экспериментальным данным, что заставило его поверить, что он сделал важный первый шаг к развитию удовлетворительно подтверждаемой экспериментом общей теории изгиба, базирующейся на том, что, как он должен был знать, представляло собой нелинейную зависимость напряжения от деформации, предложенную Яковом Бернулли в 1695 г. [c.165]

К такому же уравнению пришли бы мы и в том случае, если бы считали деформацию плоской. Поэтому полученный нами закон распределения напряжений при простом растяжении совершенно совпадает с результатами Г. Кирша. Если от напряжений перейти к определению перемещений, то тут такого совпадения уже не получится. [c.118]

Так как при технических расчетах наибольший интерес представляет определение напряжений, то мы нри рассмотрении отдельных задач стремились определять напряжения непосредственно, не переходя к уравнениям, выраженным через перемещение точек деформированного тела. Для этого мы пользовались функхщями напряжений. Функцию напряжений мы ввели не только при рассмотрении плоской задачи, но также при изложении задачи Сен-Венана и задачи о деформации, симметричной относительно оси. Таким путем, как вам кажется, удалось достигнуть значительного упрощения в изложении задач о кручении и изгибе призматических стержней и задачи Герца, [c.11]

При 1 / = о эти соотношения переходят в уравнения Генки для плоской деформации. Если все плоскости 7 = onst проходят через ось Z, то эти соотношения совпадают с соотношениями для напряжений осесимметричной деформации [3]. Таким образом, если известны гладкие поверхности 7 = onst, удовлетворяющие граничным условиям задачи, то пространственные поверхности скольжения можно найти интегрированием уравнений характеристик (1.6), (1.7) и характеристических соотношений (1.20), (1.21) на поверхностях 7 = onst методами, аналогичными плоской и осесимметричной задачам идеальной пластичности [1, 3, 4]. [c.65]

Т = + То21пр. Эти формулы вытекают также из решения осесимметричной плоской задачи термоупругости в напряжениях без привлечения условий однозначности, что объясняется понижением порядка уравнения совместности деформаций (4.2.39) в осесимметричном случае ( =0) (см. уравнение (4.2.45)) при подста-I (1Р [c.125]

Плоская деформация (Вг О). Предположим, что в теле, находящемся в состоянии пластической деформации, составляющие напряжения и малой деформации, а также малые составляющие перемещения являются функциями только двух прямоугольных координат ж и у и не зависят от координаты г. Если принять деформацию ,=0, то при этом составляюпцте напряжений и деформаций становятся равными нулю, а уравнения равно- [c.594]

Ранее при определении состояний плоской деформации и изгиба вязко-упругих сред мы всюду в рассматриваемом теле считали модули упругости и сдвига " и С и коэффициент вязкости .1 постоянными материала. В 1.5—1.7, где с некоторыми подробностями рассматривались уравнения состояния твердых тел, мы видели, что упругие свойства твердых тел зависят от двух важных переменных состояния, а именно от абсолютной температуры Г и от среднего напряжения а то же следует предположить и относительно свойства вязкости. Помня, что температура Т и среднее напряжение а==—р сильно увеличиваются с глубиной под поверхностью земли, можно теперь пересмотреть определенные в предыдущих параграфах общие виды складкообразования в верхних слоях земли и вязко-упругого деформирования наружной твердой коры при заданных внешних силах, уделив внимание изменению с увеличением глубины постоянных материала , С, V и 1, входящих в соотошения между напряжениями и деформациями и между напряжениями и скоростями деформаций. [c.411]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...