Параметрические колебания Области неустойчивости

Если фазовые колебания не малы, то в окрестности каждого из отношений частот (10.9) имеется целая полоса непрерывного параметрического резонанса (область неустойчивости) радиальных колебаний. С увеличением размаха фазовых колебаний эти области расширяются. [c.223]

Если графики рис. 4.3, а, б представить в виде амплитудно-частотных характеристик параметрически возбуждаемой линейной колебательной системы, то для фиксированных и р они будут иметь вид, показанный на рис. 4.4. Как мы видим, полосы возбуждения сужаются с ростом номера области неустойчивости п, а также из-за наличия диссипации в системе (полосы, ограниченные пунктиром). Из рис. 4.4 видно также, что для выбранного значения глубины модуляции (параметра т) и при данном конкретном значении затухания 26 в системе возбудить параметрические колебания в четвертой области неустойчивости не представляется возможным. [c.134]

При ограничении же амплитуды за счет нелинейности реактивных параметров процесс установления равновесного режима можно связывать с соответствующим перемещением изображающей точки и некоторой деформацией самих областей неустойчивости, происходящими до тех пор, пока изображающая точка также не окажется на границе области параметрического возбуж,дения. В зависимости от механизма ограничения нарастания амплитуд параметрически возбуждаемых колебаний процесс установления стационарной амплитуды идет либо монотонно, либо имеет осцил-ляторный характер. [c.161]

Продольное возмущение является причиной возникновения параметрических колебаний и потери динамической устойчивости пружин. При расчете необходимо заранее знать области неустойчивости и избегать их. Теоретические и экспериментальные исследования параметрических колебаний пружин описаны в работах [5, 6. 25, 26, 28]. [c.50]

Всегда имеющиеся в реальных системах нелинейные силы ограничивают амплитуды вынужденных колебаний от неуравновешенности на границах области неустойчивости, а также колебания внутри этой области. При этом оказывается, что вынужденные и параметрические колебания становятся связанными. [c.150]

Влияние диссипации иа устойчивость параметрически возбуждаемых систем. Параметрические колебания системы с одной степенью свободы описываются уравнением (20). Согласно (22) области неустойчивости при 8 0 лежат внутри соответствующих областей уравнения (23), но могут быть смещены относительно областей неустойчивости уравнения (21). Наличие демпфирования делает невозможным параметрическое возбуждение при достаточно малых jx. При этом влияние демпфирования тем сильнее, чем выше порядок р побочного параметрического резонанса. Типичные области неустойчивости для уравнения Матье с демпфированием [c.125]

Пусть параметрические колебания описываются уравнением (46). Границы глинных областей неустойчивости вблизи простых резонансов (о 2wj, (k = 1, 2,. .., л) могут быть найдены из приближенного уравнения [c.130]

Предварительные замечания. Если задача о параметрических колебаниях распределенной системы сведена к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, то дальнейший анализ может быть проведен методами, описанными в гл. VII. Для обобщенного особого случая, а также для общего случая используют численные методы из гл. VII. Области параметрического резонанса для распределенных систем строят либо путем совмещения областей неустойчивости, полученных для отдельных [c.254]

Параметрические колебания трехслойной цилиндрической оболочки. Рассмотрим задачу расчета начального участка спектра областей динамической неустойчивости шарнирно опертой трехслойной пологой цилиндрической оболочки средней толщины. Для кинематически неоднородной модели (2.34) соответствующая система уравнений динамической устойчивости может быть получена непосредственно из системы уравнений (2.101), если учесть замечание 2.3.2.1. Предполагая исходное НДС оболочки однородным, для случая осевой динамической нагрузки получаем [c.142]

Из сравнения операторов и следует, что в пространстве параметров возбуждающей параметрические колебания нагрузки, т. е. Ро, Рг и 0, спектр областей динамической неустойчивости оболочки распадается на две части, каждая из которых содержит счетное множество зон динамической неустойчивости (ЗДН), определяемых в результате решения соответствующих пар характеристических уравнений [c.145]

Из сказанного выше следует, что критерием параметрической неустойчивости систем с подвижными границами может служить условие непрерывного сгущения характеристик волнового уравнения. Это обстоятельство позволяет значительно облегчить задачу отыскания областей неустойчивости в пространстве параметров системы, так как избавляет от необходимости аналитических решений, что для случая параметрического возбуждения колебаний представляет еще не решенную на сегодня проблему. Изложенный в 4.1 графический метод позволяет определить наличие параметрической неустойчивости системы при разнообразных законах движения ее границ. Но чтобы в каждом отдельном случае не прибегать к построению соответствующих диаграмм на пространственно-временной плоскости (х, t желательно выявить критерий параметрической неустойчивости 2-го рода в аналитической форме, т.е. найти некоторые количественные соотношения между параметрами системы (характерный пространственный размер системы, частота и амплитуда смещения границ, коэффициент потерь и т.п.), при выполнении которых она будет неустойчивой. [c.144]

Из полученных соотношений для передаточной матрицы видно, что в спектре колебаний помимо частот возмущений (Oj имеются частоты (oj 0д. Наличие переменных коэффициентов в уравнениях оказывает влияние и на резонансные свойства вибрации. При параметрическом резонансе колебания с возрастающей амплитудой имеют место в некоторых интервалах значений параметров системы, в то время как при обычном резонансе они наступают при определенных значениях параметров системы. Кроме того, амплитуды возрастающих колебаний при параметрическом резонансе изменяются по показательному закону, а при точечном резонансе — по степенному. Обычный резонанс наступает при совпадении частот возмущений с частотами собственных колебаний. Параметрический резонанс возможен, когда частоты изменения параметров 0 кратны собственным частотам системы. Границы главных областей неустойчивости определяются зависимостями, представленными в работе [П4]. Введение демпфирования сужает области параметрического резонанса. [c.684]

Аналогичным образом можно проследить за нелинейными характеристиками параметрических колебаний и в резонансных областях неустойчивости. На рис. 100 представлены зависимости и б ) от частоты при фиксированных значениях Н/ и т), соответствующих горизонтальному штриховому разрезу на рис. 96 (две первые резонансные области). [c.264]

Интересная особенность параметрических колебаний состоит в том, что линейное трение не приводит к исчезновению зон неограниченного возрастания колебаний оно лишь сужает границы областей неустойчивости. [c.97]

У оболочек из-за большой плотности спектра свободных колебаний зоны неустойчивости параметрических колебаний покрывают значительную область в плоскости сила — частота , поэтому для практических целей необходимо установление амплитуд колебаний при помош и нелинейной теории с учетом демпфирования. Эта задача была поставлена В. В. Болотиным для пластинки (1954, 1956), а позже и для сферической оболочки [c.255]

Определение границ областей неустойчивости при малых [г. С точки зрения задач о параметрических колебаниях упругих систем наибольший интерес представляет полоса на плоскости параметров, которая соответствует малым значениям параметра ц. Границы областей неустойчивости для этой полосы могут быть вычислены по формулам, вывод которых дается в книге [7]. Для границ главной области неустойчивости [c.356]

Влияние демпфирования в общем случае. Если параметрические колебания описываются системой дифференциальных уравнений с периоди ческими коэффициентами, то расчет областей неустойчивости при наличии демпфирования усложняется. Некоторые приближенные методы указаны в книге [7]. Метод малого параметра дает для опреде.тения границ комбинационных областей следующую приближенную формулу [28] [c.365]

Общие замечания. Рассмотрение параметрических колебаний в линейной постановке позволяет найти границы областей неустойчивости и описать поведение упругих систем в течение начального периода возбуждения параметрических колебаний. Согласно линейной теории амплитуды параметрических колебаний возрастают со временем по экспоненциальному закону. Для того чтобы найти амплитуды установившихся колебаний, необходимо рассмотреть задачу в нелинейной постановке, удерживая в уравнениях члены, которые обычно (например, при изучении вынужденных колебаний) игнорируются. [c.367]

Рис. 11.3. Поведение областей неустойчивости, описываемое асимптотическими решениями уравнения Матье а — появление порога возбуждения параметрических колебании, возникших в результате затухания б— сужение областей неустойчивости с ростом номера зоны

Общие замечания. Рассмотрение параметрических колебаний в линейной постановке позволяет найти границы областей неустойчивости [c.367]

Такое ограничение амплитуд типично для нелинейных систем его можно охарактеризовать как своего рода эффект расстройки. Нарастание колебаний происходит при условии, что отношение частоты параметрического возбуждения к собственной частоте находится в области неустойчивости. Если в линейных системах это условие выполняется для малых амплитуд, то оно будет выполняться для всех амплитуд, и поэтому никакого ограничения амплитуды нет, В нелинейных системах собственная частота является функцией [c.178]

Можно показать, что амплитуда Лц всегда устойчива, а амплитуда Ли неустойчива. Внутри полосы (7.2.12) положение равновесия системы неустойчиво и происходит мягкое возбуждение колебаний. При расстройках, удовлетворяющих условию (7.2.13), имеет место жесткое возбуждение генератора. Колебательные процессы в двухконтурном параметрическом генераторе имеют много общего с процессами, происходящими в одноконтурном параметрическом генераторе и описанными в 4.5. Увеличение амплитуды накачки смещает положение центра области возбуждения и расширяет ее границы. Зависимость границы области возбуждения системы Агы от Лн приведена на рис. 7.5. [c.264]

Как в мягком, так и в жестком режимах при выполнении условия (7.2.8) частота колебаний не зависит от амплитуды накачки. При невыполнении (7.2.8) появляется зависимость частоты генерации от амплитуды накачки. Область существования параметрической генерации ограничена как со стороны малых амплитуд накачки ( порог ), так и со стороны больших амплитуд Л ( потолок ). Существование порога обусловлено необходимостью для генерации полной компенсации потерь в системе за счет параметрического вложения энергии. Наличие потолка связано с расстройкой парциальных частот при больших амплитудах накачки из-за нелинейной реактивности в системе. При жестком режиме возбуждения системы колебания возникают при наличии начального толчка, достаточного для перехода через нижнюю неустойчивую ветвь амплитудной характеристики (см. рис. 7.4). Из рис. 7.6 видно, что в жестком режиме параметрические коле- [c.264]

Анализ уравнения (17.332) позволяет найти области комбинаций значений параметров, в которых тривиальное решение <7 = 0 неустойчиво. Иными словами, этот анализ позволяет найти ситуации, в которых сколь угодно малые возмущенные состояния равновесия вызывают процесс нарастания колебаний, называемый параметрическим резонансом. [c.236]

На основании (6.107), (6.103), (6.108) могут быть проанализированы не только периодические режимы, отвечающие вынужденным колебаниям при одновременном силовом и параметрическом возбуждении, но и чисто параметрические колебательные режимы. Для определения границ области динамической неустойчивости достаточно в системе уравнений (6.107) принять Q/ = Q) = 0 кроме того следует учесть, что в этом случае j может быть равно не только целым числам, но и дробным вида V2 V2 Анализ характерных динамических режимов произведем на примере цикловых механизмов с бигармонической функцией положения (6.23) (см. рис. 73). [c.293]

Как видно из изложенного, несмотря на большое количество лабора-торно-вычислительных работ, многие важные темы механики оказались еще не охваченными. Поэтому в настоящее время да кафедре продолжается работа по улучшению и усовершенствованию практикума. Прежде всего имеется в виду расширить темы нелинейных колебаний и устойчивости ввести главы, посвященные электромеханическим системам, влиянию неидеальных источников энергии, движению при наличии случайных воздействий [3]. Большое внимание уделяется дальнейшему созданию собственно лабораторных работ, сопровождающихся проверкой теоретического материала ча действующих установках. Для наглядности полученных результатов и для полноты теоретических сведений большое значение имеет практикум на моделирующих машинах, где решаются задачи из самых различных областей механики типа решения дифференциального уравнения третьего порядка, определения зон устойчивости и неустойчивости при параметрическом резонансе, построения амплитудно-частотной характеристики механической или электромеханической системы, нахождения предельного цикла автоколебаний, вычисления критической эйлеровой нагрузки и т.п. [c.61]

Вопрос об устойчивости периодических движений линейных гамильтоновых систем подробно исследовался в работах М. Г. Крейна и В. А. Якубовича, результаты которых подытожены в совместной статье этих авторов (1963). Полученные ими результаты являются основой математической теории параметрического резонанса. М. Г. Крейн установил, что собственные частоты колебаний механических систем по отношению к параметрическому резонансу подразделяются на частоты первого и второго рода. Параметрический резонанс в классе гамильтоновых систем возможен лишь в случае, когда частота возмущения близка к одному из критических значений ( >j + ( л)/А , если и — собственнице частоты одного рода, и I (Оу — о>й I /М, если со и со — собственные частоты разного рода (здесь N — произвольное целое число). Указано, каким образом определяется род собственных частот. В. А, Якубовичем (1958) получены формулы для границ областей динамической неустойчивости, позволяющие, в частности, классифицировать указанные выше критические значения по степени их опасности . [c.37]

В этой и других подобных задачах со сравнительно разреженным спектром взаимное влияние гасителей, настроенных на разные частоты, невелико. Это позволяет часто ограничиваться рассмотрением простейших расчетных моделей конструкций — в виде систем с одной степенью свободы. Применение ДГК при продольных колебаниях стержней снижает также возможность возникновения параметрического резонанса, так как вследствие увеличения демпфирования системы размеры областей динамической неустойчивости уменьшаются [44]. [c.162]

Рассмотрим область неустойчивости, связанную с параметром а, равным единице. Если в уравнении (7.221) положить О2=0, то получим уравнение свободных колебаний (без сил сопротивления) с частотой р1 =а. После перехода к времени п [соотношение (7.223)] получаем а=4р1 /(о2. Параметр а равен единице при ы=2р1, т. е. при частоте изменения параметра ш, равной удвоенной частоте свободных колебаний системы. Область неустойчивости на диаграмме Айнса — Стретта, соответствующая а=1, называется областью главного параметрического резонанса. Области, связанные с точкой а=4, соответствуют условию а)=р1. Из рассмотрения полученных областей неустойчивости (диаграмма Айнса — Стретта) следует одна из основных особенностей параметрических колебаний, из-за которой эти колебания представляют большую опасность в технике. Неустойчивые колебания (параметрические резонансы) возможны не для одной фиксированной частоты (О, как, например, при обычных резонансах, а для интервала значений со. [c.223]

Итак, получено условие параметрического возбуждения системы. Нетрудно заметить, что состояние покоя неустойчиво именно в пределах области существования отличной от нуля а, плитуды параметрических колебаний. Вне данной облас1п, т. е. при с У> -4А-, существует устойчивое стацпопарно- сосгоянпе покоя = - так как при этом условии Не/.- л). [c.171]

Понятие о параметрических резонансах. Уравнение (1) имеет тривиальное ре-тиение q s О, которое отвечает невозмущенному равновесию или невозмущенному периодическому движению системы. Пусть коэффициенты уравнений зависят от некоторых параметров, характеризующих свойства параметрического воздействия и (или) системы. При некоторых значениях параметров решение q = О может оказаться неустойчивым. Это означает, что имеет место параметрическое возбуждение колебаний механической системы. Множества точек, соответствующих неустойчивости, как правило, образуют области в пространстве параметров, которые называют областями неустойчивости областями динамической неустойчивости) механической системы. Если параметрическое воздействие — периодическое и если среди варьируемых параметров содержатся частоты параметрического воздействия, то особый интерес представляет нахождение частотных соотношений, при которых наблюдается наиболее интенсивное параметрическое возбуждение. Эти частотные соотношения, как и возбуждаемые при этих соотношениях колебания, называют параметрическими резонансами. [c.117]

Случай плотного спектра собственных частот. Если спектр собственных частот достаточно тотен, то области неустойчивости, соответствующие различным обобщенным координатам, могут накладываться друг на друга, заполняя обширные области в пространстве параметров. Примером может служить задача о параметрических колебаниях тонкостенной сферической оболочки под действием пульсирующего давления t/o + qi os Ш (см. табл. 1). Спектр собственных частот, рассчитанный согласно теории пологих оболочек, начинается с частоты и тем плотнее, чем меньше относительная толщина оболочки h/R. Допустим, что нас интересует область неустойчивости, получившаяся в результате наложения главных областей для каждой из обобщенных координат. По приближенной формуле (28) из гл. VII нижняя граница главной области неустойчивости для обобш,енной координаты с собственной частотой й (к) и критическим параметром q. (X) определяется из выражения [c.255]

Параметрическая неустойчивость второго рода, характерная для систем с движущимися границами, имеет место также и в системах с изменяющимися в пространстве и времени распределенными параметрами. В этом параграфе на примере поперечных колебаний струны с изменяющейся плотностью р(х, t) и натяжением 7V(x, t) будет показана возможность неограниченного нарастания производных от смещения струны при конечных значениях самого смещения и построены области неустойчивости для случая, когда параметры р и 7Vизменяются по закону бегущей волны [4.4, 4.13 . [c.169]

Если конвективная система подвергается параметрическому воздействию, то в области неустойчивости в результате развития возмущений устанавливается периодическое во времени конвективное движение конечной амплитуды. Исследование надкритических колебаний возможно лишь на основе полных нелинейных уравнений конвекции. Как и в статическом случае ( 23), здесь весьма эффективным оказывается численный метод сеток. В работах Г. И. Бурдэ стационарные надкритические колебания изучались этим методом на примере области квадратной формы. Решалась плоская нестационарная задача конвекции в квадратной области с теплоизолированными вертикальными границами. Рассмотрены оба вида параметрического воздействия, обсуждавшиеся в предыдущих параграфах,— модуляции поля тяжести и периодические колебания температуры на горизонтальных границах. [c.261]

В большинстве работ по устойчивости вынужденных колебаний и по параметрическим колебаниям диссипативные силы не учитываются. В областях, которые квалифицируются как области устойчивости, решения линеаризованных уравнений невозмуш,енного движения ограничены. С точки зрения теории устойчивости Ляпунова это соответствует сомнительному случаю. Таким образом, для более убедительных выводов об устойчивости необходим учет диссипативных сил. Надо отметить также высокую плотность областей неустойчивости, найденных без учета диссипативных сил. Вследствие этого во многих задачах области неустойчивости заполняют почти всю плоскость параметров. Условия ограниченности решений уравнения Матье с добавочным членом, содержаш,им первую производную от искомой функции, изучались еш е А. А. Андроновым и М. А. Леонтовичем (1927). Применительно к параметрическим колебаниям упругих систем этот вопрос рассматривался К. А. Наумовым (1946), [c.354]

Области неустойчивости, лежащие вблизи частот, соответствующих формуле (38), называют основными областя.ии [5] остальные области — комбинационные. Последнее название подчеркивает тот факт, что колебания внутри этих областей осуществляются главным образом за счет взаимодействия какой-либо пары форм колебаний. Это непосредственно следует из формул (40) и (41), в которые в симметричной форме входят две собственные частоты й/ и й. Аналогично можно говорить об основных и комбинационных параметрических резонансах. [c.361]

Это уравнение широко используется в физике и механике. В частности, это уравнение описывает параметрические колебания стержней, на которые действуют продольные силы, изменяющиеся по бигармоии-ческому закону. Если один из коэффициентов О] или Ог равен нулю, то имеем частный случай, задачу о параметрических колебаниях стержней под гю-<дсйствием продольных сил, и.1меняющихся по гармоническому закону. Решение задачи сводится к определению границ неустойчивости нулевого решення нли, иначе говоря, к определению границ резонансных областей. [c.46]

В указанных выше работах для изучаемых механических систем были получены области существова ния параметрических резонансов (так называемые области динамической неустойчивости упругих систем). Здесь показано, что в области основного параметрического резонанса, когда частота внешней возмущающей силы со — изменяющийся параметр системы — в два раза выше частоты собственных колебаний р, т. е. со = 2ja, в системе развиваются нарастающие колебания. [c.8]

Модуляция равновесного градиента температуры или ускорения силы тяжести не исчерпывает всех возможностей параметрического воздействия на конвективную устойчивость. Однако эти два способа наиболее естественны с точки зрения реализации в экспери]У1енте. Основное их различие состоит в том, что при вертикальных колебаниях полости с жидкостью модулируемый параметр — ускорение поля тяжести — остается однородным по объему. При колебаниях же температуры на границах равновесный градиент температуры зависит не только от времени, но и от координат модуляции градиента в основном сосредоточены, в приграничном слое, толщина которого уменьшается с увеличением частоты (температурный скин-эф-фект). При низких частотах модуляции градиента это отличие пропадает, и в этом случае оба способа параметрического воз" действия оказываются, в сущности, эквивалентными. Определение границ устойчивости при этом сводится к нахождению периодических решений некоторой стандартной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, с периодическими коэффициентами ( 33). Для прямоугольного закона модуляции решение этих уравнений может быть получено точно для синусоидального закона области устойчивости и неустойчивости определяются численно ( 34). В предельном случае вертикальных вибраций высокой частоты простые результаты получаются с помощью метода усреднения ( 35). В 36 рассмотрена [c.237]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...