Свободные Число степеней свободы бесконечное

Особенности динамики упругих систем с распределенными параметрами. С увеличением числа степеней свободы упругой системы до бесконечности она превращается в систему с распределенными параметрами. Статика таких упругих систем рассматривалась в гл. VI и VII. Их динамика составляет раздел теории колебаний. Как и в упругих системах с конечны.м числом степеней свободы (свободных координат), колебания систем с распределенными параметрами имеют нормальные формы. Эти формы зависят от конфигурации системы и способов ее закрепления и опирания. На рис. 8.24 изображены нормальные формы поперечных колебаний тонкого стержня с шарнирно опертыми концами. [c.233]

Исследуем удлиненную прямоугольную полосу из дуралюмина, защемленную по короткому краю (рис. 72). В этих условиях полосу можно рассматривать как широкую балку, с одним заделанным и другим свободным концом. Уравнение поперечных колебаний такой балки-полосы, как системы с бесконечно большим числом степеней свободы, получается из уравнения упругой линии, имеющего вид [c.115]

Резюме о свободных и вынужденных колебаниях. Повторим ввиду их важности некоторые ранее полученные результаты, относящиеся как к системам с конечным, так и с бесконечным числом степеней свободы. [c.218]

Вводные замечания. В ряде случаев исследование колебаний систем как с конечным, так и бесконечным числом степеней свободы описанными выше точными методами затруднительно вследствие большой математической сложности, состоящей либо в том, что дифференциальные уравнения имеют переменные коэффициенты, если, например, балка имеет неравномерное распределение масс и жесткостей вдоль оси, или в том, что порядок характеристического определителя очень высок и сложно не только решить характеристическое уравнение, но даже и составить его, т. е. раскрыть определитель. Встречаются случаи, в которых требуется быстрая, хотя бы и приближенная оценка динамических свойств системы. В перечисленных выше случаях приходится использовать или целесообразно использовать приближенные методы динамического анализа систем, состоящего в определении собственных частот колебаний, в установлении форм свободных колебаний, определении динамических коэффициентов и в проверке динамической прочности. В настоящем параграфе и рассматриваются такие методы. [c.238]

Исследование свободных колебаний системы с жидким наполнением [53] сводится к хорошо изученной задаче о свободных колебаниях системы с бесконечным или конечным числом степеней свободы. [c.38]

Важнейшие системы с бесконечным числом степеней свободы — релятивистские квантовые поля. Так, свободное скалярное безмассовое веществ, поле ф(х) = = ф( со,х), зависящее от времени л и координат х пространств, точки, задано равенством [c.576]

Ограниченные среды (отрезок стержня с закрепленными или свободными концами, струна, пластина и т. д.) представляют собой колебательные системы с распределенными параметрами (бесконечным числом степеней свободы). Собственные колебания таких систем связаны с образованием в них стоячих волн, форма которых зависит от условий отражения на границах среды. Возбудить систему можно кратковременным воздействием на какую-либо ее часть (например, ударом, щипком и т. д.). В результате кратковременного воздействия образуется волновой импульс, который побежит от места своего [c.382]

В фундаментальной работе Пуассона 1829 г. содержится, помимо указанного выше, немало других важных результатов из общих уравнений теории упругости вновь выведено уравнение для продольных колебаний тонких стержней, раньше полученное Навье (1824 г.), и для их поперечных (изгибных) колебаний, а также впервые дано уравнение для их крутильных колебаний. Там же решена задача о свободных радиальных колебаниях упругой сферы. Эти результаты стали отправными для многочисленных работ, сколько-ни-будь подробное освещение которых возможно лишь в специальном исследовании по истории теории упругости. Здесь достаточно сказать, что этими работами был подготовлен новый этап в развитии теории колебаний, обобщение основных положений, относящихся к линейным колебательным системам с конечным числом степеней свободы, на линейные колебательные системы с бесконечно большим числом степеней свободы. Один из общих результатов такого рода был установлен Стоксом в работе О динамической теории дифракции название которой напоминает о том, что в эту эпоху — эпоху торжества теории упругого светоносного эфира Юнга — Френеля оптика снова содействовала развитию теории колебаний, как и во времена Гюйгенса. Для свободных колебаний системы с конечным числом степеней свободы, вводя нормальные координаты , для изменения каждой из них, получают уравнение вида [c.277]

Рассматриваемая система по существу является открытой, так как обычно взаимодействует со средой — другой системой с весьма большим, практически бесконечным, числом степеней свободы. Ее называют термостатом. Если термостат находится в равновесном состоянии, то взаимодействие системы и термостата приводит к необратимым процессам. Часть мощности, передаваемой от внешнего источника, расходуется на увеличение полной энергии термостата. Имеется несколько подходов к описанию подобных ситуаций. Здесь мы учтем взаимодействие системы с термостатом введением в правую часть (18.4) диссипативной силы Fg = —mjx, где 7 — время релаксации свободной системы. Такой подход приводит к уравнению [c.150]

Каждая механическая система имеет столько степеней свободы, сколько независимых друг от друга величин требуется для определения положения системы. Например, свободное абсолютное твердое тело имеет шесть степеней свободы, так как для определения его положения в пространстве необходимо знать три координаты центра тяжести тела и три угла поворота относительно осей принятой системы координат. Реальные тела, при строгом рассмотрении их, не являются абсолютно твердыми и имеют бесконечное число степеней свободы. [c.25]

В предлагаемой работе рассмотрены классы плоскопараллельных и пространственных движений твердых тел, взаимодействующих со средой среди которых (в зависимости от числа степеней свободы) можно назвать следующие движения тел свободных в среде, покоящейся на бесконечности, и тел частично закрепленных, находящихся в потоке набегающей среды. [c.8]

Форма возмущённой свободной поверхности фиксируется посредством (малых) коэффициентов A , которые соответствуют обобщённым координатам q обыкновенных динамических систем с конечным числом степеней свободы. Но хотя здесь чисел Ai бесконечно много, среди них есть одно, соответствующее каждой функции Ламэ, так что существует 2гг +1 координат, связанных с 2гг +1 гармоническими поверхностными функциями данного порядка п. Тем самым, мы получили в данных координатах выражение 11, содержащее члены второго порядка. Члены первого порядка, конечно, отсутствуют, поскольку деформации подвергалась равновесная конфигурация. Каждой координате A здесь соответствует коэффициент устойчивости [c.144]

Принцип экстремального действия может быть применен к сложным механическим системам со связями. Однако уравнения для таких систем уже получены из общего уравнения механики. Особенно важно, что принцип экстремального действия применим для свободных систем в фундаментальных силовых полях, а также для самих полей как систем с бесконечным числом степеней свободы. По этой причине принцип позволяет получать фундаментальные уравнения физики как в механике, так и за ее пределами. [c.207]

Основная особенность процесса свободных колебаний систем с бесконечным числом степеней свободы выражается в бесконечности числа собственных частот и форм колебаний. С этим связаны и особенности математического характера вместо обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих колебания систем с конечным числом степеней свободы, здесь приходится иметь дело с дифференциальными уравнениями в частных производных. Кроме начальных условий, определяющих начальные смещения и скорости, необходимо учитывать и граничные условия, характеризующие закрепление системы. [c.184]

Получилась бесконечная система обыкновенных дифференциальных уравнений относительно q (0 Каждое из них имеет обычный вид колебательного уравнения для системы с одной степенью свободы, на которую действует внешняя сила Ф (0- Уравнения независимы, и поэтому q, (t) можно рассматривать как нормальные координаты системы. Число таких координат бесконечно. Если отсутствует какая-либо компонента внешней силы Ф , то соответствующая координата q совершает только свободное затухающее колебание. [c.335]

В системах малого числа частиц изучают все имеющиеся степени свободы. В системах очень большого числа частиц проводят статистическое усреднение и изучают агрегатное состояние вещества, описывая его небольшим числом макроскопических параметров, таких как давление, температура, плотность и т. д. К сожалению, атомные ядра занимают в этом отношении промежуточное положение. В ядре частиц слишком много, чтобы изучать все без исключения степени свободы, но все же не настолько много, чтобы оправданно трактовать ядро как сплошную среду. Действительно, для применимости понятия сплошной среды необходимо, чтобы очень большое по сравнению с единицей число частиц содержалось не только во всей рассматриваемой физической системе, но и в очень малой ее части, которую можно было бы принять за бесконечно малый элемент объема. В ядре это требование явно не выполняется. Несмотря на это, в применении к ядру часто используются такие заимствованные из физики сплошных сред понятия, как поверхность, температура, свободный пробег и даже агрегатное состояние. Очевидно, что при использовании этих понятий необходимо соблюдать большую осторожность и помнить, что они обычно имеют крайне ограниченный смысл. Так, например, в понятии поверхности жидкости или твердого тела подразумевается, что число частиц, принадлежащих поверхности, ничтожно по сравнению с общим числом частиц. В ядре же, даже в тяжелом, на поверхности находится примерно половина нуклонов. [c.81]

Положение двух произвольных скрещивающихся, но не пересекающихся осей определяется восемью элементами (параметрами), в то время как свободное твердое тело имеет только шесть степеней свободы. Следовательно, указанное решение возможно двояко бесконечным числом способов. Существенно только, чтобы оси а и 6 пересекали ось эквивалентного винтового-движения под прямыми углами на соответствующем расстоянии и с соответствующим углом взаимного наклона. [c.15]

Абсолютно твердое тело можно определить как механическую систему, состоящую из бесконечно большого числа материальных точек, расстояния между которыми в процессе движения сохраняются неизменными, т. е. систему с бесконечным числом внутренних голономных и идеальных связей. По этой причине свободное твердое тело, как было показано в 2, имеет только шесть степеней свободы. [c.276]

Аналогичным путем мы можем доказать, что если система подвергается изменению, при котором потенциальная энергия данной конфигурации уменьшается, между тем как кинетическая энергия заданного движения остается неизменной, то периоды всех свободных колебаний увеличиваются, и наоборот. Этим предложением можно иногда воспользоваться для того, чтобы проследить за эффектом связи действительно, если мы предположим, что потенциальная энергия какой-нибудь конфигурации, нарушающей условие, налагаемое связью, постепенно возрастает, то мы приблизимся к такому положению вещей, когда данное условие наблюдается с любой желаемой степенью полноты. В течение каждого шага процесса каждое свободное колебание становится (вообще) более быстрым, и часть свободных периодов (в количестве равном числу потерянных степеней свободы) становятся бесконечно малыми. Практически того же самого результата можно достигнуть без изменения потенциальной энергии, предположив, что кинетическая энергия какого-нибудь движения нарушающего условие, налагаемое связью, беспредельно возрастает. В этом случае один или несколько периодов становятся бесконечно большими, но конечные периоды оказываются в конце концов теми же самыми, к каким мы приходим, увеличивая потенциальную энергию системы, несмотря на то, что в одном случае периоды только возрастают, а в другом только убывают. Этот пример показывает, насколько необходимо делать изменения последовательными шагами в противном случае нам не удалось бы понять соответствия между двумя группами периодов. Дальнейшие иллюстрации будут даны для случая двух степеней свободы. [c.133]

Любая упругая система независимо от числа и характера наложенных на нее связей представляет собой систему с бесконечным числом степеней свободы, но при переходе к расчетной схеме она может быть заменена системой с конечным числом степеней свободы (или даже с одной степенью свободы). Проиллюстрируем сказанное на примере консольной балки с грузом на свободном конце (рис. 13-17, а). Если допустить, что. масса груза значительно больше массы балки и груз имеет такую форму и размеры, что момент инерции его относительно осей, проходящих через центр тялсести, мал, а жесткость балки значительна (прогибы малы) и рассматриваются только колебания в вертикальной плоскости, то координата а перемещения конца балки полностью определяет положение системы в любой момент времени. Следовательно, система может рассматриваться как обладающая одной степенью свободы (рис. 13-17, б). Несоблюдение хотя бы одного из сделанных выше предполсжений о характере величин, определяющих колебания системы, привело бы улсе к другой расчетной схеме. Если существенными в задаче являются не только колебания в вертикальной плоскости, но и любые другие, так что конец балки описывает в общ,ем случае какую-то плоскую кривую, то, раскладывая движение груза на вертикальную и горизонтальную составляющие, получаем расчетную схему (рис. 13-17, в), соответствующую системе с двумя степенями свободы. [c.341]

Из-за бесконечного числа степеней свободы у поля взаимодействие частиц—квантов поля—приводит к ур-ни-ям, неразрешимым точно. Однако в теории эл.-магн. взаимодействий любую задачу можно решить приближённо, т. к. взаимодействие можно рассматривать как малое возмущение свободного состояния частиц (вследствие малости безразмерной константы а = е /йся> /137, характеризующей интенсивность эл.-магн. взаимодействий). [c.317]

Эффективность методов Релея — Ритца и Тимошенко во многом зависит от удачного выбора аппроксимирующих функций. Точность решения возрастает с увеличением числа функций. Приближение к истинной величине нагрузки происходит сверху. Увеличивая число свободных параметров в искомых функциях, оболочке придают лишние степени свободы, что и способствует уточнению результатов, так как оболочка вообще является системой с бесконечным числом степеней свободы. [c.81]

Последовательное изучение малых колебаний упругих тел, как колебаний линейных систем с бесконечно большим числом степеней свободы, провел Клебш в своей Теории упругости твердых тел Используя уже достаточно хорошо развитый к тому времени математический аппарат для краевых задач, Клебш свободно применяет для упругих колебательных систем понятие нормальных координат соответствующих им фундаментальных функций, доказывает, что эти функции образуют ортогональную систему (по отношению к естественно вводимой весовой функции), составляет на основании краевых условий уравнение частот, в общем случае трансцендентное, доказывает свойства его корней, определяет коэффициенты разложения произвольной функции по фундаментальным функциям краевой задачи и т. д. [c.278]

Итак, в прикладных проблемах линейные задачи теории стоячих волн представляют основной интерес. Тем не менее на ряд вопросов линейная теория ответить не может. Например, при настройке системы управления важно знать зависимость частоты колебаний от амплитуды. Иногда полезно знать (с высокой степенью точности) структуру волновой поверхности и т. д. Поэтому нелинейная теория представляет определенный интерес для практики. Однако, как мне кажется, наибольший интерес нелинейная теория стоячих волн имеет для математика. В теории установившихся волн проблема существования решений довольно элементарна. В теории стоячих волн дело обстоит значительно сложнее. Первая работа в этой области была сделана Я. И. Секерж-Зеньковичем (1957), который предложил процедуру последовательных приближений, позволяющую рассчитать нелинейные стоячие волны в безграничной жидкости. Эта задача дает ответ о характере нелинейных волн, возникающих в сосуде, ограниченном вертикальными стенками, в предположении, что глубина сосуда бесконечна. В начале пятидесятых годов ту же проблему для сосудов произвольной формы изучал Н. Н. Моисеев. Колеблющаяся жидкость рассматривалась как некоторая система Ляпунова счетного числа степеней свободы. Была развита теория, в рамках которой удалось рассмотреть как свободные, так и вынужденные колебания. Была построена полная аналогия с колебательной системой Ляпунова конечного числа степеней свободы и показано, что для того, чтобы провести все вычисления, достаточно уметь решать соответствующую линейную задачу. Разумеется, развитая теория позволяла изучать только такие волновые процессы, которые близки к тем, которые описываются линейной теорией. (Полное изложение этой теории нелинейных волн можно найти в монографии Н. Н. Моисеева и А. А. Петрова, 1965.) [c.64]

В теории свободных колебаний упругого твердого тела приходится интегрировать. уравнения колебательного движения при заданных граничных условиях, относящихся к напряжениям и смещениям. Пуассон зб) дал решение проблемы свободных радиальных колебаний упругой сферы, а Клебш по образцу решения Пуассона, построил общую теорию. В эту теорию входит обобщение понятия нормальных координат на случай системы с бесконечно большим числом степеней свободы, введение соответствующих фундаментальных функций и доказательство тех свойств этих функций, с которыми приходится иметь дело при разложении любой заданной фуккции по этим функциям. Спор по вопросу о колебаниях струн, стержней, мембран и пластинок, который происходил как до Пуассона так и при нем, подготовил почву для обобщений Клебша. До появления трактата Клебша Ламе ) предложил другую теорию. Будучи знаком с исследованиями Пуассона о двух типах волн, ои пришел к заключению, что колебания всякого упругого тела должны распадаться на два соответствующих класса в согласии С,этим предположением он исследовал колебания различных тел. То обстоятельство, что его решения не удовлетворяли граничным условиям ля тел, поверхность которых свободна от напряжений, в достаточной мере компрометирует его теорию однако она была окончательно оставлена только после того, как все виды свободных колебаний однородной изотропной среди были изучены, и было доказано, что классы, на которые они распадаются, не соответствуют [c.30]

Г. ф. обобщается и на системы с бесконечным числом степеней свободы — классические физические поля. В этом случае роль обобщённых координат и импульсов играют значения ф-ции поля в каждой точке пр-ва и их производные по времени. Г. ф. системы взаимодействующих полей равна сумме Г. ф. свободных полей и энергии их вз-ствия. (Иногда в теории классич. полей Г. ф. наз. г а-мильтОнианом, как и в теории квант, полей.) [c.107]

Сферический разлет газа в вакуум - один из наиболее простых и ярких примеров сильно неравновесных течений газа. Под неравновесностью здесь понимается неравновесность по поступательным степеням свободы. Изучение данного течения имеет большое значение в динамике разреженного газа. Оно моделирует течение на оси струи, истекающей из осесимметричного сопла. Обычно длина свободного пробега молекул у такого источника много меньше его размера (в случае стремления длины свободного пробега к нулю такой источник называют газодинамическим). При этом начальный участок течения может быть описан с помощью уравнений Эйлера идеального газа. В такой постановке решение начинается от звуковой линии, на которой имеется особенность. Вдали от источника для одноатомного газа асимптотическое поведение газодинамических параметров в приближении Эйлера следующее Т V —> onst, р Число Маха при этом стремится к бесконечности. [c.123]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...