Пластинки Уравнения основные

Теперь из уравнения (14) легко получить приближенное характеристическое уравнение, из которого определяется основная частота колебаний пластинки с круговым вырезом. При использований метода Фурье для задания границ пластинки ее основная частота колебаний определяется как первый корень Я приближенного. характеристического уравнения, получающегося при приравнивании нулю определителя, составленного из коэффициентов матрицы уравнения (14). Определив, таким образом, из уравнения (14) собственное значение Я, теперь можно найти коэффициенты ъА т, гВш, e i и eD rn из уравнения (15), используя для этого правило Крамера. [c.171]

Для ортотропной пластинки в основных осях это уравнение [c.103]

Уравнения обобщенного закона Гука для ортотропной пластинки в основных осях в этом случае имеют вид (в цилиндрических координатах) [c.141]

НЕУСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ЖИДКОСТИ В ТРЕЩИНОВАТЫХ И ТРЕЩИНОВАТО-ПОРИСТЫХ ПЛАСТАХ 1. Основные дифференциальные уравнения [c.316]

Учебник для вузов, в которых сопротивление материалов изучается по полной программе. Книгу в целом отличает глубоко продуманная последовательность изложения - от частного к общему - и разумное повторение материала, позволяющее глубже вникнуть в существо вопроса. В первой части дается традиционный курс сопротивления материалов в элементарном изложении. Во второй части приводятся дополнения по некоторым вопросам, рассмотренным в первой части, а также рассматриваются задачи, требующие применения методов теории упругости. Таковы, например, задачи о кручении стержней, о местных напряжениях, об изгибе пластинок, о кручении тонкостенных стержней. Для возможности более обоснованной трактовки таких задач в книгу включен раздел, посвященный основным уравнениям теории упругости и некоторым наиболее простым задачам этой науки. [c.234]

Автор [38] приводит основные результаты исследования вытеснения нефти из пласта растворителем. Он указывает, что качественно процессы вытеснения при отличающихся вязкостях нефти и растворителя сходны с вытеснением жидкостей с одинаковыми вязкостями. Исходя из этого автор делает предположение, что процесс вытеснения при различных вязкостях будет также описываться уравнением диффузионного типа, линейным, так как коэффициент диффузии должен зависеть от концентрации. [c.13]

Для решения задачи о напряженном состоянии в плоской пластинке необходимо рассмотреть бигармоническое уравнение (4.1.8) относительно функции напряжений ф с учетом соответствующих граничных условий. При этом различают три характерных случая на контуре граничные условия задаются в напряжениях (первая основная задача), 2) то же, в перемещениях (вторая основная задача) и 3) на части контура задаются напряжения, а на части — перемещения (смешанная задача). [c.106]

Метод обратимости потоков основан на линеаризованной теории обтекания одной и той же формы в плане — по-разному прогнутой пластинки — прямым и обратным потоками с одинаковыми свойствами и скоростью. Основным соотношением этого метода является уравнение [c.621]

Точная теория изгиба пластинок, исходящая из основных уравнений теории упругости, весьма сложна. Ее методами пока решены только некоторые простейшие задачи. В связи с этим возникла необходимость в приближенной теории расчета пластинок, которая, основываясь на ряде допущений, давала бы близкие к точным, но более простые решения важнейших практических задач. Такая теория создана работами многих ученых в первой половине XIX в. Приближенная теория изгиба пластинок, которая называется технической теорией пластинок, базируется на следующих двух основных гипотезах (гипотезах Кирхгофа) [c.498]

В общем случае изгиба прямоугольных пластинок дело обстоит значительно сложнее. Внутренние силовые факторы и прогибы являются функциями двух независимых переменных х н у в прямоугольной системе координат. Совместное рассмотрение уравнений статики, геометрических и физических зависимостей позволяет выразить все внутренние силовые факторы через функцию прогиба W (х, у). Отыскание этой функции сводится к интегрированию дифференциального уравнения четвертого порядка в частных производных с постоянными коэффициентами. Это основное дифференциальное уравнение технической теории изгиба пластинок имеет следующий вид [c.508]

Приведем вывод основных уравнений теории осесимметричного изгиба круглых пластинок, рассматривая три стороны этой задачи уравнения статики, геометрические и физические зависимости. [c.510]

Корни уравнения (4.53) составляют спектр частот рассматриваемой пластинки. Наименьшая частота называется частотой основного тона, остальные—частотами высших порядков (обертонов). Каждой частоте соответствует функция у)—собственная функ- [c.117]

В последнем случае можно предположить, что пластинка свободно колеблется с частотой основного тона со как система с одной степенью свободы и ее состояние определяется одной обобщенной координатой q r), а прогиб определяют уравнением [c.118]

Основные уравнения изгиба круглой пластинки [c.146]

Формулы (7.34)—(7.38) представляют собой основные уравнения изгиба пластинок в полярной системе координат. Уравнение (7.34) служит для определения функции прогибов срединной плоскости пластинки, а остальные—для составления граничных условий и определения внутренних усилий. [c.147]

Сущность вариационных методов решения задач по теории изгиба пластинок заключается в приведении основного дифференциального уравнения в частных производных к системе линейных алгебраических уравнений или к обыкновенному дифференциальному уравнению. [c.153]

Для, приведения основного дифференциального уравнения изгиба пластинки (7.17) к системе линейных алгебраических уравнений приближенное значение функции прогибов ш[х,у) можно выбирать в виде ряда с конечным числом членов [c.153]

Наиболее эффективным из приближенных методов в теории пластичности следует считать метод последовательных приближений А. А. Ильюшина, именуемый методом упругих решений [3] в нем для первого приближения принимается решение аналогичной задачи теории упругости (со сходственными граничными и другими условиями), благодаря чему в первом приближении выясняются границы между упругими и пластическими зонами как по длине стержня (пластинки и др.), так и по высоте сечения. Это позволяет в первом приближении вычислить для каждой точки такого сечения значение числа ш, входящего в основной физический закон пластичности (4.13). Зная величину ш, можно в порядке первого уточнения исправить ранее вычисленные компоненты напряжения, внести поправки в первоначальные основные уравнения теории упругости, что определит новые границы между упругой и пластическими зонами, [c.193]

Для получения уравнений теории пограничного слоя рассмотрим основную модельную задачу об обтекании несжимаемой вязкой жидкостью неподвижной тонкой пластинки, поставленной по скорости набегающего поступательного потока перед пластинкой (рис. 89). [c.254]

Дифференциальное уравнение изгиба пластинки. Третье из уравнений равновесия (2.78) можно использовать для отыскания Ог. При ЭТОМ удается установить основное дифференциальное [c.183]

Подставив в основное уравнение изгиба пластинки (2.131) зия-д ш п. с г,, с. . д а> [c.187]

Вводя соотношения (5-32), (5-58) в первое уравнение (5-57) и оставив члены второго порядка малости, получим основное уравнение для описания системы прогрессивных волн на тонкой пленке, стекающей по поверхности наклонной пластинки [c.116]

Отыскание неподвижных точек преобразования полуплоскости Л + или Л и исследование их устойчивости, проводимые обычным образом [10], [13], приводят к исследованию некоторого характеристического уравнения х (2) = О 117]. Устойчивому периодическому движению соответствуют корни уравнения, модуль которых меньше единицы. Следовательно, при изменении параметров системы со, и р устойчивость нарушается, когда 1 2 = 1. В пространстве параметров этому соответствуют поверхности Nи N , уравнения которых получаются из условия X (4 = О подстановкой Z = +1, 2 = —1 И 2 = е Ч [11 ]. Однако основной периодический режим нарушается не только из-за потери устойчивости. Другая возможная бифуркация происходит на поверхности g, соответствующей попаданию неподвижной точки преобразования на край пластинки скользящих движений А . Подробное исследование показало [17], что бифуркация на С3 происходит раньше, чем теряется устойчивость, и основной режим возможен, если [c.238]

Для пластинки произвольных размеров I = 4Ах и Ь = 4Ау, изображенной на фиг. 73, согласно основным уравнениям (143) будем иметь [c.134]

Решение основного уравнения изгиба (8.15) для прямоугольной пластинки в замкнутой с юрме получить не удается. Его приходится искать в виде бесконечного ряда. Рассмотрим шарнирно опертую по контуру прямоугольную пластинку (рис. 58), находящуюся под действием поперечной нагрузки интенсивностью q (х, у), изменяющейся по любому закону. Начало координат расположим в углу пластинки. Размер пластинки в направлении оси X равен с. а в направлении оси у — Ь. [c.129]

Функция (б) должна удовлетворять основному уравнению изгиба пластинки. Подставляя ее четвертые производные в уравнение (8.15), получаем [c.135]

Е теории изгиба пластинок такой подход позволяет свести интегрирование основного дифференциального уравнения в частных производных к решению системы линейных алгебраических уравнений или к решению обыкновенного дифференциального уравнения. [c.151]

Решение. Выбираем цилиндрические координаты с началом в центре иижней пластинки (которую полагаем неподвижной). Движение жидкости осесимметрично, а ввиду тонкости слоя жидкости в основном радиально (Уг Уг), причем dvrjdr < dvrjdz. Поэтому уравнения движ сиия принимают вид [c.100]

Применим уравнения пограничного слоя к обтеканию плоской полубесконечной пластинки плоско-параллельным потоком жидкости (Я. Blasius, 1908). Пусть пластинка совпадает с полуплоскостью XZ, соответствующей д > О (так что передним краем пластинки является линия > = 0). Скорость основного потока в этом случае постоянна U = onst. Уравнения (39,5—6) принимают вид [c.226]

При выводе основных уравнений (см. 2 гл.1) уже отмена -лось, что реализация идеи "сосрецоточенная емкость" по мощности пласта эквивалентна принятию гипотезы о равенстве срецнеин-тегрвльной по мощности пластовой температуры температуре кров- [c.102]

Корни уравнения (5.53) составляют спектр частот рассматриваемой пластинки. Наименьшая частота называется частотой основного тона, остальные — 4a foTaMH высших порядков (обертонов). Каждой частоте озтп соответствует функция Umn (х, у) — собственная функция, определяющая форму изогнутой поверхности (гармонику). [c.179]

Получение решения уравнения (5.49) в форме (5.55) сопряжено с большими затруднениями, и полностью задача решена только для прямоугольной свободно опертой пластинки (см. задачу 5.10). Так как для прикладных задач главный интерес представляют частоты основных тонов, то для пх определения можно пользоваться приближенным методом, например, методом Рэлея — Ритца. [c.180]

Книга соответствует программе для строительных вузов. В ней рассматриваются основные уравнения теории упругости и методы их решения вопросы изгиба и устойчивости пластинок вариационные методы прикладной теории упругости основы расчета оболочек по моментной и безмоментной теориям основные уравнения теории малых упруго-пластических деформаций и методы их решения. Каждый метод по воаможности иллюстрируется примером. [c.2]

Показать, что имеется аналогия основных дифференциальных соотношений для полярно-симметрично нагруженных круглых пластинок, с одной стороны, и дифференциальных уравнений при плоском полярносимметричном нагружении толстых колец, с другой. Используя аналогию, показать, что для пластинок [c.148]

Эксплуатационные режимы нагружения элементов конструкций имеют, как правило, более сложный характер, чем распространенные в практике экспериментов синусоидальные или треугольные формы циклов нагружения, хотя именно они являются наиболее часто используемыми при получении основных характеристик циклических свойств материалов и закономерностей их изменения в процессе деформирования. Синусоидальный или треугольный законы изменения напряжений и деформаций использовались в качестве основных и при экспериментальном изучении кинетики циклической и односторонне накапливаемой пласти ческих деформаций и их описании соответствующими зависимостями, рассмотренными в предыдущих главах. В ряде случаев условия эксплуатационного нагружения представляется возможным схематизировать такими упрощенными режимами. Однако в большинстве случаев для исследования поведения материала с учетом реальных условий оказывается необходимым рассмотрение и воспроизведение на экспериментальном оборудовании таких более сложных режимов, как двух-и многоступенчатое циклическое нагружение с различным чередованием уровней амплитуд напряжений и деформаций, нагружение трапецеидальными циклами с выдержками различной длительности на экстремумах нагрузки в полуциклах растяжения и (или) сжатия, а также в точках полного снятия нагрузки, двухчастотное и полигармо-ническое нагружение, нагружение со случайным чередованием амплитуд напряжений, соответствующим зарегистрированными в эксплуатации условиями. Особенно необходимым воспроизведение и исследование таких режимов становится в области повышенных и высоких температур, когда на характер и степень проявления температурно-временных эффектов, а следовательно, и на кинетику деформаций, существенное влияние оказывают факторы длительности, формы цикла и уровней напряжений или деформаций в процессе нагружения. Ниже приведены исследования закономерностей развития деформаций для ряда упомянутых режимов нагружения, позволяющие проанализировать применимость тех или иных уравнений кривых малоциклового деформирования и применение параметров этих уравнений при изменении режимов. [c.64]

Рельеф шероховатости должен быть таков, что при перемещении периметра смачивания вдоль поверхности пластинки при ее вытаскивании поверхность жидкости последовательно занимает равновесные, бесконечно близкие положения. Это требование, как легко понять, безусловно выполняется при достаточно пологом рельефе поверхности, но при чересчур крутом (большие значения может и не выполняться. В этом случае перемещение периметра смачивания может происходить термодинамически необратимо, вследствие чего появится гистерезис макрокраевого угла смачивания, т, е. зависимость его величины от направления движения периметра смачивания. Полученное соотношение (6) показывает, что шероховатость всегда уменьшает краевой угол и может довести его до нуля. Следует заметить, что если из уравнения (6) для os в получится величина, большая единицы, то это будет означать в случаях, когда os 00, найденное из (4), больше единицы, что не только краевой угол равен нулю, но что, кроме того, жидкость растекается по данной шероховатой поверхности, очевидно, используя при этом в основном углубления и микроканавки в ней. [c.76]

Стоит только немного усложнить задачу, и мы наталкиваемся на крайне сложные математические операции. Хорошим примером этого могут служить громоздкие, утомительные выкладки, выполненные нами в 2 гл. III, когда усложнение состояло только в том, что мы от неограниченного цилиндра перешли к цилиндру конечной длины только для того, чтобы получить основное решение Ро = Р> были вынуждены ввести вспомогательные параметры s п q] отыскание Pi, р.2 и т. д. потребует еще более трудных или совсем невыполнимых вычислений. О двухсоставных телах и говорить нечего находить всю последовательность корней Sq = s, Sj, s. ,. .. хотя бы, например, такого уравнения, как (6.39) (двухсоставная пластинка с хорошо проводяш,им тепло ядром), — дело, очевидно, безнадежное. [c.147]

В полярной системе координат положение любой точкп на плоскости определяется двумя величинами радиус-вектором г и полярным углом 0, отсчитываемым от начального радиус-вектора Го. Рассмотрим основные уравнения плоской задачи в полярных координатах дифференциальные уравнения равновесия, уравнение неразрывности деформаций, формулы Коши и формулы обобщенною закона Гука. Вырежем из пластинки толщиной, равной единице, алемент ub d (рис. 32). Для этого проведем радиус ОаЬ иод прои ш1) 1ьным углом 0 к начальному радиус-вектору, затем дадим углу бесконечно малое приращение d0 и проведем радиус Ode. Произвольным радиусом Оа г проведем дуг ad, затем дадим радиусу г приращение аЬ dr и ироье- [c.86]

Получили основное уравнение изгиба пластинки, обычно называемое уравнением Софи Жермен. При его интегрировании появятся произвольные постоянные, которые должны быть определены из условий на контуре пластинки, зависящих от характера закрепления ее краев. [c.126]

Итак, функция (а) является решением поставленной задачи, так как она удовлетворяет условиям на контуре пластинки н при выборе коэффициентов ряда в < рме (ж) удовлетворяет основному уравнению изгиба пластинки. Дальнейшая конкретизация задачи записит от вида функции q (х, у). Рассмотрим некоторые частные. м ,чаи. [c.131]

Для решения задачи об изгибе круглой пластинки все уравнения изгиба пластинки, выведенные в декартовой системе координат, преобразуем к полярной системе. В этом случае прогиб пластинки и нагрузка являются функцияхми переменных г и 0, т. е. ги = ш (г, 9) я q = q (г, 0). Тогда согласно зависимостям (7.3) основное уравнение изгиба пластинки (8.15) принимает вид аз ) di d w [c.140]

Система нелинейных уравнений (8.38), связывающая функцию напряжений в срединной плоскости пластинки и функцию прогибов, выведена немецким ученым Т. Карманом. Совместно с граничными условиями она представляет основную систему нелинейных ди ференциаль-ных уравнений та>рии гибких пластинок. Решение этой системы в общем виде не получено. В настоящее время с помощью теории гибких пластинок получен ряд частных решений для равномерно распределенной поперечной нагрузки, а также для пластинок, теряющих устойчивость при сжатии и сд иге в их срединной плоскости, [c.150]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...