Модель Эйнштейна

Модель Эйнштейна. Уменьшение теплоемкости при понижении температуры впервые объяснил А. Эйнштейн в 1907 г., использовав развитую М. Планком теорию излучения абсолютно черного тела. Если предположить, что энергия квантового осциллятора с частотой т = и/2я может принимать [c.37]

С физической точки зрения модель Эйнштейна не отражает реальной действительности, так как она предполагает, что все колебания имеют одну и ту же частоту. Это было бы возможно, если бы все атомы твердого тела имели независимые колебания, чего в действительности нет. [c.39]

Для грубой оценки множителя е появившегося в результате этого учета, воспользуемся моделью Эйнштейна, [c.40]

При понижении темп ы Р. т. убывает, благодаря, вымораживанию колебаний с энергиями >кТ. Простейшей моделью, описывающей этот процесс, является модель Эйнштейна, в к-рой всем степеням свободы твёрдого тела сопоставляются одномодовые гармония. осцилляторы с частотой о)д. В этом случае [c.390]

Следует также сделать замечание относительно подсчета числа нормальных частот в модели Эйнштейна. Для этой модели характерно разбиение стационарного кристалла на отдельные неподвижные ячейки, в пределах которых атомы совершают независимые друг от друга колебания в статическом поле, определяемом ближайшими соседями, находящимися в равновесных положениях [268, 270]. Именно вследствие независимости движения атомов оказалось возможным ввести понятие локальных частот. Так как каждый атом может совершать колебания по трем взаимно ортогональным направлениям, то общее число частот равно Зге независимо от размеров кристалла. [c.82]

Согласно элементарной теории Блоха для твердого тела, доля теплового рассеяния пропорциональна квадрату среднего перемещения иона из положения равновесия и, таким образом, пропорциональна Г/М0 , где Qe — температура Эйнштейна [96], а М — масса атома. Мотт [292] распространил эту теорию на жидкое состояние, не принимая во внимание влияния увеличения атомных перемещений, так что рь/ps — отношение удельных сопротивлений в твердом и жидком состояниях можно рассматривать как пропорциональное 6 /0 . Значения рь/рв можно найти из энтальпии плавления Н в предположении, что модель Эйнштейна можно применить к жидкости, как и к твердому состоянию (см. раздел 2). На основании этого, предположив, что энтропия плавления увеличивается только за счет изменений в колебательном движении, можно показать, что [c.102]

В модели Эйнштейна принималось, что в кристалле имеется 3 Л д колебательных степеней свободы. Из-за большой величины этого числа невозможно точно просуммировать все компоненты энергии колебаний поэтому приходится перейти от суммирования к интегрированию. [c.62]

Тепловые колебания — модель Эйнштейна [c.161]

Фиг. 7.4. Одномерные диаграммы, иллюстрирующие функцию Паттерсона и соответствующие распределения рассеивающей способности для атомных колебаний, не имеющих корреляции (модель Эйнштейна).

В основе модели Эйнштейна лежит допущение, что все атомы колеблются независимо. В других же более тонких теориях обычно рассматривают строго коррелированные колебания. Считают, что смещения атомов даются суммой смещений, соответствующих от- [c.256]

Модель Эйнштейна. Средняя энергия линейного осциллятора с частотой 0) равна (п)/гсо. Энергия Е системы из N одномерных линейных осцилляторов, имеющих одну и ту лее резонансную частоту со, равна просто сумме энергий осцилляторов [c.214]

Форм-инвариантность (12.132) и (12.133) относительно произвольных вращений в иллюстрирует однородный и изотропный характер трехмерного пространства (12.132) постоянной кривизны К = l/R . Следовательно, физическое пространство в рамках модели Эйнштейна является замкнутым и конечным, но не ограниченным. [c.364]

Кроме решения, соответствующего модели Эйнштейна [условие (12.114)1, имеется другое статическое, однородное и изотропное решение общих уравнений поля, подчиняющееся условию (12.115), т. е. [c.366]

Компоненты пространственного метрического тензора такие же, как и в модели Эйнштейна (12.127), по крайней мере в том случае, когда Я положителен. Однако динамические потенциалы теперь не все равны нулю, и мы имеем [c.366]

Вначале было предположено, что космологическая постоянная X, в любом случае являющаяся малой величиной, вообще равна нулю. Основанием для такого предположения послужило то обстоятельство, что нестатическая космологическая модель с конечной плотностью материи во всем физическом пространстве реализуется в теории и без А,-члена, в отличие от статической модели Эйнштейна, не существующей без Я-члена. В самом деле, если бы хабблов-ское разбегание галактик было открыто в момент создания общей теории относительности, то во введении Я-члена вообще не было бы необходимости. Затем было принято допущение, что давление р настолько мало по сравнению с что им вообще можно пренебречь в формуле (12.219), а следовательно, и в уравнениях (12.221)—(12.223). Во всяком случае, в нашу эпоху это условие выполняется. Тогда уравнения (12.223) и (12.226) выражают не что иное, как сохранение энергии, или массы, в заданной области физического пространства. Интегрируя (12.223), получаем [c.375]

Модель Эйнштейна учитывает квантовомеханические эффекты и объясняет, по крайней мере качественно, уменьшение теплоемкости при низких температурах. Количественно же аппроксимация Эйнштейна приводит к хорошему согласию теории с опытом всюду, кроме области низких температур. [c.55]

Грубую оценку энергии связи электронного кристалла можно получить следующим образом. Прежде всего используем приближение Вигнера — Зейтца, которое состоит в замене реальной ячейки, окружающей каждый электрон, подходящим образом выбранной сферой. Ошибка, связанная с этой аппроксимацией, действительно оказывается очень малой. Далее допустим, что различные ячейки не взаимодействуют друг с другом. Это соответствует модели Эйнштейна при вычислении частоты фононов в твердом теле. Считая теперь распределение заряда ионов однородным, для потенциала, создаваемого однородным положительным зарядом, находящимся внутри сферы, в точке на расстоянии г от центра [c.125]

ТИМ прежде всего, что модель Эйнштейна, использованная только что для определения фононных частот электронного кристалла, излишне (и без необходимости) груба. Задача о вычислении этих частот совершенно идентична рассмотренной в предыдущей главе задаче о настоящем ионном кристалле с однородным фоном отрицательного заряда. Результаты, там полученные, вполне применимы и здесь. В работах [24, 25] эти результаты были использованы для оценки нулевой энергии фононов. В расчете на один электрон получилось [c.129]

Простейшее твердое тело — это, по-видимому, твердый аргон. Оп состоит из правильно расположенных нейтральных атомов с крепко связанными электронными оболочками. Эти атомы удерживаются вблизи друг друга силами Ван-дер-Ваальса, которые действуют в основном между ближайшими соседями в решетке. Физические процессы в таком кристалле связаны с тепловым движением атомов вблизи своих идеализированных положений равновесия. Для простейшего описания такого движения используется модель Эйнштейна, согласно которой каждый атом колеблется подобно простому гармоническому осциллятору в потенциальной яме, образованной силами его взаимодействия с соседями . Так начинается в книге Дж. Займана [1] глава Колебания решетки . [c.60]

В теории твердого тела [39] хорошо известно, что модель кристалла Эйнштейна представляет собой лишь грубое приближение к фонон-ному спектру, т. е. спектру колебательных частот реального одноатомного кристалла. Для модели Эйнштейна требуется, чтобы колебательные частоты были кратны соц, однако в реальных случаях это не имеет места. Для рассеяния на простом кристалле с кубической структурой можно предложить закон рассеяния, ненамного более сложный, чем для кристаллического тела Эйнштейна, который широко используется при изучении неупругого рассеяния в кристаллических замедлителях. [c.274]

КИМ законом Дюлонга и Пти (кривая 1) и теорией Эйнштейна (кривая 2) для характеристической температуры 1320 К (эта температура отвечает угловой частоте ШЕ = коТ /Н= 1,73-10 ра,д/с). Хотя согласие между тео1ретичеокими и экспериментальными данными оказалось неидеальным, модель Эйнштейна более справедлива по сравнению с классической. Характеристическая тем1перату ра Те использовалась как регулируемый параметр, обеспечивающий согласие между теорией и опытом в отношении величины Сг,. [c.39]

Отд. частные случаи этих моделей часто называют по именам учёных, внёсших большой вклад в их изучение (напр., модель Эйнштейна де Ситтера — к 0, А=0 на рис.). Открытие Э. Хабблом (Е. Hubble) в 1929 расширения Вселенной (см. Хаббла гакон) и все последующие исследования показали, что модель Фридмана хорошо описывает эволюцию видимой части Вселенной от самых ранних этапов начала расширения до наших дней, хотя конкретные значения параметров модели подлежат дальнейшему уточнению. В теоретич. космологии рассматривают также н др. модели, наир, модели однородной анизотропной Все- [c.475]

Абрагам и Дэйв [264—266] вычислили избыточные термодинадш-ческие величины малых кристаллических кластеров относительно массивного кристалла, применив обобш енную модель Эйнштейна, согласно которой частота колебаний г-го атома определяется локальным окружением [c.80]

Хасегава и др. [674] в своей теории исходили из определения температуры Tf плавления малой частицы как той температуры, при которой свободная энергия Гельмгольца твердой и жидкой частиц равной массы одинакова. Ранее такое определение предлагалось в работе [625]. Предполагая для твердого состояния модель Эйнштейна, а для жидкого — модель жестких шаров, Хасегава и др. [c.224]

Этот подход отодвинут дальше от идеальной теории, чем подход Леннарда — Джонса и Дэвоншайра, но все же он успешен. Фаулер и Гуггенгейм [553] использовали две одинаковые модели для жидкости и твердого вещества — модель гармонического осциллятора для жидкости и одночастотную модель Эйнштейна для твердого вегцества. Согласование с экспериментом удовлетворительное. [c.158]

Значения для коэффициентов поглощения, рассчитанных в соот-Ьетствйи с (12.41), хорошо согласуются со значениями Холла и Хирша [174], которые использовали значительно отличающиеся приближения и модель Эйнштейна для теплсвых колебаний, а также со значениями Холла [173], полученными при использовании многофононной модели Дебая. Дойль [118] вычислил значения для отражений 111 А1 для электронов с энергией 40 кэВ при 300 К, приведенные в табл. 12.1. [c.283]

Настоящая книга, являющаяся университетским курсом и вместе с тем монографией по теории относительности, несомненно вносит вклад в современную литературу по СТО и ОТО, а публикация ее русского перевода будет весьма полезна как советским студентам, приступающим к овладению релятивизмом, так и научным работникам, давая им в руки подробные расчеты, спокойное надежное изложение, толкая мысль вперед обсуждением спорных вопросов. В ней излагаются с новых точек зрения (например, с ударением на тетрадный формализм, проектирование на 3-мерное пространство и т. л.) многие глубокие старые и новые проблемы (измерения в ОТО, энергия поля и др.). В частности, в параграфе о космологии Меллер весьма разумным образом рассматривает не только фридмановскую модель, по также предыдущие статические модели Эйнштейна и де Ситтера, интересные не только с исторической точки зрения, но и в смысле предельных случаев, конечно учитывоя столь необходимый космологический член. [c.5]

Все эти модели основаны на предположении, что пространство—время Вселенной с глобальной точки зрения однородно и изотропно. Конечно, материя распределена не однородно она в основном заключена в звездах, которые имеют тенденцию образовывать галактики. Однако во всей области пространства, которая доступна наблюдениям в современные телескопы, все эти скопления материи распределены по пространству довольно равномерно, поэтому самое простое предположение о материи Вселенной как об однородно распределенной идеальной жидкости оказывается в то же время и хорошим отправным пунктом для приближения к действительности. В моделях Эйнштейна и де Ситтера Вселенная, кроме того, считается статической системой, т. е. возможно введение сопутствующей системы координат [c.361]

Таким образом, кроме малого эффекта Доплера, обязанного собственным движениям удаленных небесных тел, мы не должны ожидать какого-либо иного систематического сдвига спектральных линий от этих тел. В действительности же, из работ Хаббла [116], Хаббла и Хьюмасона [118] следует наличие вполне определенного красного смещения спектральных линий, причем оно возрастает линейно с расстоянием. Это значит, что космологическая модель Эйнштейна, несмотря на ряд ее положительных особенностей, дает лишь приближенное описание реальной Вселенной. [c.365]

Поскольку о, из (12.186) следует, что р отрицательно и очень велико. Даже если принять существование сил натяжения в идеальной жидкости, заполняющей модель де Ситтера, то и в этом случае величина их порядка (—р с -) была бы совершенно неприемлемой для любого из известных нам видов материи. Следовательно, (12.186) будет справедливо только в случае, если мы примем плотность материи равной нулю или, во всяком случае, такой, которая значительно меньше наблюдаемой плотности материи во Вселенной. Таким образом, модель де Ситтера соответствует пустой Вселенной, не содержащей заметного количества материи, а звезды и галактики в такой модели следует рассматривать как пробные тела, не дающие вклад в космологическое гравитационное поле. Эта точка зрения противоречит основным постулатам ОТО, в соответствии с которыми, например, центробежные силы и силы Кориолиса обязаны движению удаленных небесных тел относительно вращающейся системы. В то время как устранимые гравитационные поля находят свое естественное объяснение в модели Эйнштейна, модель де Ситтера не дает такого объяснения. Поля в ней должны бьггь признаны фиктивными точно так же, как фиктивные силы в теории Ньютона. [c.370]

Как мы заметили в начале этого параграфа, всегда можно в однородной изотропной модели ввести сопутствующую систему координат S, в которой линейный элемент принимает вид (12.187), (12.188). Поскольку R (/) может быть произвольной функцией i, эти формулы на самом деле удовлетворяют большому числу различных космологических моделей. При R = onst, и = +1, например, мы получаем линейный элемент (12.125), (12.147) модели Эйнштейна. Формально элемент де Ситтера (12.161), (12.162) в системе координат S также можно получить из (12.187) и (12.188), полагая R i) = e f t = 0 [c.373]

Решение уравнений (12.221), (12.222) или эквивалентных им уравнений (12.222) и (12.223) зависит от принятого уравнения состояния материи, т. е. от соотношения между р и Мы не будем обсуждать все возможные решения, а остановимся опять только на тех предположениях, на которых основаны классические модели Эйнштейна — де Ситтера [83] и Фридмана [102]. Эти авторы ввели несколько упрощающих предположений. [c.375]

Это решение, в котором коэффициент Хаббла непрерывно уменьшается со временем, является космологической моделью Эйнштейна — де Ситтера. Такая Вселенная начинает свою эволюцию с Большого взрыва в — О, когда / = 0, а = оо.В настоящее время коэффициент Н ( д) может быть найден из наблюдений, поэтому, используя (12.231) и (12.186), можно указать возраст Вселенной [c.375]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...