Распространение волны продольной в стержне

РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛНЫ НАПРЯЖЕНИЙ В СТЕРЖНЕ ПРИ ВНЕЗАПНОМ ПРИЛОЖЕНИИ ПРОДОЛЬНОЙ СИЛЫ [c.513]

Рис. 15.15. Распространение волн напряжений в стержне, закрепленном одним концом и ударяемом по другому концу жесткой массой, движущейся в продольном направлении.

Скорость и)р , есть скорость распространения продольных волн (осевых) в стержне. Для стержня прямоугольного сечения получаем следующие критические скорости [c.46]

Скорость продольных волн в сплошной среде. Мы познакомились с продольными упругими волнами, распространяющимися в стержне, поперечные размеры которого значительно меньше длины волны. Если же продольные волны распространяются в неограниченном твердом теле, то скорость их распространения определяется формулой [c.444]

Скорость распространения высокочастотных колебаний в стержне с=сг ст, а низкочастотных, соответствующих симметричной нулевой моде, с=0,86с Отсюда (скорость продольных волн С ст=5,91 мм/мкс) [c.184]

Изотропная среда характеризуется двумя упругими постоянными, например упругими постоянными Ламэ, модулями нормальной упругости и сдвига (см. 1.2). Вместо них может быть взята любая другая пара независимых упругих констант, например модуль нормальной упругости и коэффициент Пуассона, модули всестороннего сжатия и сдвига. Формулы (1.16), (1.17) дают связь двух упругих констант со скоростями продольных и поперечных волн в безграничной среде. Для ограниченных сред (пластин, стержней) вместо скорости продольных волн используют скорость симметричной нулевой моды соответствующих волн. Пример расчета упругих параметров по скорости распространения волн приведен в задаче 1.2.1. [c.248]

Скорость распространения продольных волн ультразвука в стержне выражается формулой [c.215]

Это есть уравнение продольных колебаний в стержнях. Мы видим, что оно имеет вид обычного волнового уравнения. Скорость распространения продольных волн в стержнях оказывается равной [c.138]

Мы предполагали, что скорость распространения бегущей волны совпадает со скоростью распространения отдельного импульса. Основанием для этого предположения служило то обстоятельство, что в рассматриваемых простейших случаях продольных колебаний стержня и колебаний струны скорость распространения импульса не зависит от формы и характера и.мпульса и для импульсов любого типа оказывается одной и той же. Поэтому мы могли считать, что скорость распространения бегущей волны, которая представляет собой од у из разновидностей импульса, совпадает со скоростью импульса. Однако это справедливо не всегда. В некоторых случаях скорость распространения бегущей волны не совпадает со скоростью импульса. Поэтому, вообще говоря, следует различать скорость распространения импульса и скорость распространения гармонической волны. Эту последнюю называют фазовой скоростью, с этой скоростью движется фаза распространяющегося колебания. [c.682]

Изучение процесса распространения упругопластических волн в стержне при продольном ударе осуществлялось путем регистрации перемещений отдельных фиксированных сечений с помощью индукционных датчиков [9], обеспечивающих запись скорости сечений во время удара при осциллографировании. Экспериментальные данные сравнивались с результатами теоретического решения задачи о продольном растягивающем ударе с постоянной скоростью по стержню конечной длины [2, 3, 9], построенного на основании деформационной теории приближенным методом Г. А. Домбровского. При этом предполагалось, что при динамическом нагружении зависимость между напряжением и деформацией о- -е такая же, как и при статическом нагружении. Статическая диаграмма а е аппроксимировалась специально подобранными функциями, допускающими точное решение краевой задачи. Про- [c.225]

В 2.10 была рассмотрена задача о распространении продольной волны в стержне. Скорость ее, согласно элементарной теории, давалась выражением Со = У /р. Эта скорость отлична как от l, так и от Сг. В действительности волны вида (13.4.2) в стержне, представляющем собою ограниченное тело, распространяться не могут, возмущение, переносимое вдоль оси стержня, меняет свою конфигурацию. [c.440]

Здесь мы ограничимся рассмотрением одномерных волн и для простоты будем говорить о распространении продольной волны в стержне, хотя правильнее было бы рассматривать плоский фронт в неограниченной среде. Те уравнения, с которыми мы будем иметь дело, совершенно точны для такого плоского фронта, тогда как для стержня они лишь приближенны, так как в них не учитываются поперечная инерция и деформация сдвига. Дифференциальное уравнение распространения волн в упругом стержне, как мы видели в 6.7, имеет следующий вид [c.608]

Со, Опл — скорость распространения продольной упругой волны в стержне и пластинке а, D — скорости распространения неупругой деформации и ударной волны нагрузки [c.5]

РАСПРОСТРАНЕНИЕ ПРОДОЛЬНЫХ ВОЛН В СТЕРЖНЯХ И ПЛИТАХ [c.141]

Таким образом, одномерная теория продольного удара стержней позволяет с приемлемой для практики точностью рассчитать форму и амплитуду волны в гладких стержнях. Расчет распространения волны в стержне со ступенчатым изменением [c.145]

Общие формулы. Пусть имеется среда, в которой могут существовать п независимых волн с постоянными распространения к[, /с2,..., кп. Примеры таких сред рассмотрены в главе 5. Продольные волны в стержне согласно теории Бернулли соответствуют случаю п = 1. Для его изгибных и крутильных колебаний п = 2. Для стержней несимметричных профилей п может равняться шести и т. д. Волновое движение такой среды описывается п обобщенными смещениями ui, U2,.. Un, являющимися функциями времени и пространственной координаты х. Ограничиваясь гармоническими процессами, в которых все величины имеют множитель ехр —iat), зависимости между ними удобно записывать в векторной форме. Обозначив через и (х) вектор-столбец, име- [c.169]

Специфическая особенность процессов высокоскоростного нагружения заключается в сложном характере нагружения и влиянии времени нагружения. При высокоскоростных испытаниях устранение эффектов продольной инерции в образце достигают только при испытании с постоянной скоростью деформирования — относительного движения торцов образца. При таком законе нагружения каждое сечение образца двигается с постоянной скоростью, линейно возрастающей от закрепленного конца образца к нагружаемому, до момента локализации деформации, например в шейке на рабочей части при растяжении. При скоростях деформации свыше 5Х X 10 с 1 обеспечение необходимой однородности деформирования образца чрезвычайно затруднено. Поэтому для изучения поведения материала используют анализ закономерностей неоднородного деформирования при распространении упругопластических волн в стержнях и плитах. Методы определения характеристик неоднородного высокоскоростного деформирования [c.107]

На основе точной теории анализируются дисперсионные уравнения и описываются особенности распространения нормальных волн различных типов (продольных, изгибных и крутильных) в стержне двутаврового сечения. Большое внимание уделяется связи полученных результатов на низких частотах с известивши приближенными теориями. [c.113]

Рассмотренные примеры позволяют выявить основные особенности волновых процессов при продольном ударе распространение волн деформации со скоростью, зависящей от модуля упругости и плотности материала, разрывной характер изменения деформаций и скоростей в сечениях стержня, наличие определенного соотношения между скоростью удара и деформацией, возникающей в первый момент удара. [c.437]

Последнее равенство определяет скорость распространения продольных волн в стержнях. Эта скорость оказывается меньше скорости волн расширения-сжатия с (5) и больше скорости волн искажения с (6) с с с с . [c.259]

Стержень, изображенный на рис. 15.4 (й), закреплен одним концом, а на другом конце нагружается внезапно приложенной продольной сжимающей силой Р. Сила Р равномерно распределена по площади поперечного сечения стержня А. Когда прикладывается сила Р, в очень тонком слое на конце стержня, по которому произведен удар, возникает сжимающее напряжение а=Р/А, остальная часть стержня при этом не напряжена. Затем сжимающее напряжение передается следующему слою материала и т. д. по всей длине стержня, т. е. вдоль стержня движется волна сжатия. За фронтом волны в стержне действует напряжение а=Р А, а перед фронтом волны напряжение отсутствует. Скорость, с которой фронт волны распространяется вдоль стержня, называется скоростью распространения волны с. Таким образом, как показано на рис. 15.7, по истечении некоторого конечного интервала времени t часть стержня [c.507]

Отсюда видно, что величина напряжения сжатия в волне определяется модулем упругости материала и отношением скорости частиц к скорости распространения волны. Если абсолютно жесткое тело, движущееся со скоростью v, ударяет по концу стержня в продольном направлении, то на поверхности контакта возникают сжимающие напряжения, величина которых определяется соотношением (15.57) или (15.58). При превышении скоростью ударяющей массы некоторой предельной величины, определяемой пределом текучести, модулем упругости и плотностью стержня, возникнут локальные пластические деформации даже и при очень малой массе ударяющего тела. [c.509]

Если по закрепленному с одного конца стержню производится продольный удар по другому концу мгновенно прикладываемой большой по величине силой Р, как показано на рис. 15.4(a), то предел текучести материала может быть превышен. Для материала с ярко выраженной точкой текучести, как, например, углеродистая сталь [1], схематичное изображение волны напряжения в случае превышения вызываемыми внешней нагрузкой напряжениями предела текучести для трех последовательных моментов времени будет выглядеть, как показано на рис. 15.20. Отметим, что скорость распространения фронта пластической волны Ср меньше скорости распространения упругой волны. Относительное изменение формы волны на рис. 15.20 обусловлено увеличением расстояния между фронтами упругой и пластической волн. Например, теоретическими исследованиями установлено и экспериментально подтверждено [2], что пластическая волна, порождаемая детонацией [c.529]

Показано, что у большинства материалов при высоких скоростях нагружения существенно увеличивается предел прочности. В основном увеличение предела прочности происходит при скоростях нагружения, соответствующих скоростям удара примерно до 25 фут/с. Дальнейшее увеличение скорости напряжения даже до таких высоких скоростей, как 200 фут/с, приводит, по-видимому, лишь к незначительному дальнейшему увеличению предела прочности. Типичный график зависимости предела прочности от скорости удара показан на рис. 15.21, где приведены данные, полученные при продольном ударном нагружении образцов из стали 1020 длиной 8 дюймов. По абсциссе на рис. 15.21 откладываются значения скорости удара, а не скорости деформации, поскольку в таких испытаниях можно было бы определить лишь скорость средней деформации, которая, по существу, не имеет никакого смысла, так как в результате распространения волн вдоль образца и их взаимодействия локальная деформация в стержне принимает различные значения от О до довольно больших значений. [c.531]

Прежде чем переходить к анализу полученного решения, необ ходимо уточнить постановку задачи о распространении волн в сто хаотической упругой среде. Классическое волновое уравнение (8.1) описывающее продольные волны в стержне постоянного сечения можно использовать для формулировки стохастической задачи если плотность материала р — случайная функция координаты х а модуль упругости Е — постоянная величина. Однако в мате риале, обладающем пространственной неоднородностью, оба параметра р и Е переменны. Уравнение движения при продольном растяжении (сжатии) имеет вид [c.233]

Прежде чем закончить описание теории распространения волн расширения в стержнях, следует упомянуть о подходе к ней Гибе и Блехшмидта [41], поскольку на основе этой теории было проведено большинство последующих экспериментальных исследований в Германии и в Америке. Согласно этой теории, вибрирующий стержень можно рассматривать как две отдельные механические системы, каждая из которых обладает своим спектром резонансных частот. Наблюдаемые резонансные частоты стержня рассматриваются как результат взаимодействия этих двух механических систем. Для цилиндрического стержня первый спектр резонансных частот берется таким же, как для стержня бесконечно малого поперечного сечения при продольных колебаниях, а второй спектр — таким, как в диске бесконечно малой толщины при радиальных колебаниях. Гибе и Блехшмидт предположили, что могут возбуждаться только фундаментальные частоты радиальных колебаний, которые комбинируются с различными возможными формами продольных колебаний. [c.66]

Одной из задач, которая детально изучена как теоретически, так и экспериментально, является задача о распространении волн напряжений в длинном цилиндрическом стержне. Она унро-ш ается, если длины волн гораздо больше диаметра стержня. Скорость распространения продольной волны вдоль стержня в этом случае [c.368]

Рассматриваются задачи о продольных нестационарных колебаниях вязкоупругого стержня конечной длины, удар вязко-упругого стержня о жесткую преграду и распространение волн напряжений в полубесконечном вязкоупругом стержне. В качестве модели, описывающей вязкоупругие свойства материала стержня, используется обобщенная модель стандартного линейного тела, содержащая дробные производные различных порядков. Задачи решаются методом преобразования Лапласа, при этом в отличие от традиционных численных подходов характеристическое уравнение не рационализируется, а решается непосредственно с дробными степенями. Проведено численное исследование указанных задач. Временные зависимости напряжения и контактного напряжения в стержне, соответствующие первой и второй задачам, проанализированы для различных значений реологических параметров порядков дробных производных и времени релаксации. Исследования показали, что стержень не прилипает к стенке ни при каких значениях реологических параметров. В задаче о распространении волн напряжений получены асимптотические решения вблизи волнового фронта и при малых значениях времени. Показано, что данная модель может описывать как диффузионные, так и волновые явления, протекающие в вязкоупругих материалах. Все зависит от соотношения порядков производных, стоящих слева и справа в реологическом уравнении. [c.281]

Как следует из данных, приведенных в табл. 1.2, скорость моды Sn в стержне меньше скорости аналогичной моды в пластине и они вместе меньше скорости продольной волны. Это связано с тем, что в безграничной среде при распространении продольной волны расширению и сжатию элементарного объема в поперечном направлении препятствуют соседние области твердого тела, придавая элементарному объему дополнительную жесткость. Деформирование сечения стержня происходит свободно, скорость моды о наименьшая и при d < X равна YEIp- Пластина соответствует промежуточному случаю между стержнем и безграничной средой. [c.19]

С повышением скорости деформации обеспечение заданной равномерности деформации по длине образца связано с возрастающими трудностями. Поэтому естественной является попытка исследователей определить кривую деформирования материала при высоких скоростях деформации на основе анализа неравномерной деформации материала при распространении упругопластических волн нагрузки. Для этой цели используются закономерности распространения продольных, крутильных и из-гибных волн в тонких стержнях (нитях) [25, 66, 126, 227, 228]. Так, величина предела текучести определяется из анализа распределения остаточных деформаций в коротком стержне после его соударения с жесткой преградой [119, 251, 389, 395], по амплитуде упругой части фронта волны в стержне [209], по скорости распространения изгибной волны в полосе [73, 306, 307]. Методы экспериментального определения полной кривой деформирования разработаны [228], однако исследования с использованием анализа волновых процессов в основном ограничиваются изучением влияния скорости деформации на предел текучести. Несмотря на использование скоростей удара до тысячи [c.13]

Если пренебречь искажением упругого импульса, обусловленным его дисперсией при распространении, т. е. на основе элементарной теории распространения продольных волн в стержне со ступенчатым изменением сечения, при переходе волны из первой ступени во вторую напряжение и массовая скорость изменяются в соответствии с зависимостями [201] У2=2у1/(1+ф) G2 = p oV2 (f=S2lSi. [c.97]

Кроме, того, если длина волны возмущения на порядок превыща-ет диаметр стержня [35], то формулы (3.6)...(3.10) дают решение задачи о распространении продольных волн сжатия в вязкоупругих стержнях постоянного сечения. [c.44]

Понятием В. с. можно пользоваться и в др. случаях волнового распространения поперечных волн в струне и изгибных волн в стержне (отношение поперечной силы к скорости элемента струны или стержня) и волн в волноводе акустическом (отношение звукового давления к продольной составляющей колобат, скорости). Во всех случаях оно равно рс, где с — скорость волны соответствующего типа. При наличии дисперсии (напр., в волноводе) нонятие В. с. пригодно только для монохроматнч, воли, причём в этом случае с — фазовая скорость данно11 волны. [c.310]

В бесконечной пластине существуют два типа нормальных волн—Лэмба волны и сдвиговые волны. Плоская волна Лэмба характеризуется двумя составляющими смещений, одна из к-рых параллельна направлению распространения волны, другая—перпендикулярна граням пластины. В плоской сдвиговой нормальной волне смещения параллельны граням пластины и одновременно перпендикулярны направлению распространения волны. В ци-линдрич, стержнях могут распространяться нормальные волны трёх типов—продольные, изгибные, крутильные. [c.233]

При t=l волна напряжений достигает второго конца стержня в этот момент скорость всех частиц равна нулю и стержень сжат на всей длине. При Е>//с происходит постепенная разгрузка сечений - распространяется встречная волна растяжения и разгруженные элементы стержня приобретают скорости у, но в направлении, противоположном начальному (рис. 6.7.8, е). При P=2lf стержень полностью разгружен, все его частицы имеют скорости V, направленные от преграды, - происходит отскок. Длительность акта удара 2//с. Подобные явления распространения волн деформаций происходят и при продольном соударении двух стержней но если длины стержней 1 и 1 различны [c.411]

Резонансный метод определения модулей упругости широко распространен при исследованиях температурных зависимостей модулей упругости Цоликристаллических металлов. Собственную частоту колебаний измеряют обычно на стержневых образцах постоянного сечения. Модуль упругости определяют как при продольных, так и при изгибных колебаниях. В случае продольных колебаний поперечные сечения стержня остаются плоскими, перпендикулярными его оси и смещаются вдоль оси стержня. Скорость распространения продольной упругой волны в стержне, поперечные размеры которого малы по сравнению с длиной волны X, связана с модулем упругости формулой [c.207]

Итак, на примере одномерной задачи о распространении продольных волн в стержне со случайными характеристиками мы убеждаемся в идентичности результатов, которые получаются при помощи спектрального метода и метода моментных соотношений в квазигауссовском приближении. [c.238]

Задача о распространении гармонических волн в бесконечном упругом круговом цилиндре представляла значительный интерес при построении приближенных одномерных теорий колебаний стержней. В работах Похгаммера (1876) и Кри (1886) общие уравнения упругости применялись для изучения процесса распространения гармонических продольных, изгибных и крутильных волн в бесконечном цилиндре кругового сечения со свободной от нагрузок боковой поверхностью. Аналогичная задача для бесконечного слоя рассмотрена Рэлеем (1889) и Лэмбом (1891, 1917). [c.12]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...