Продольные волны в стержнях

Необходимо различать волны, в которых колебания происходят параллельно оси стержня или плоскости пластинки, от волн с перпендикулярными колебаниями. Начнем с изучения продольных волн в стержнях. [c.138]

Это есть уравнение продольных колебаний в стержнях. Мы видим, что оно имеет вид обычного волнового уравнения. Скорость распространения продольных волн в стержнях оказывается равной [c.138]

Мы видим, таким образом, что продольные волны в стержнях и пластинках обладают таким же характером, как и волны в неограниченной среде, отличаясь лишь величиной своей скорости, по-прежнему не зависящей от частоты. Совсем иные соотношения получаются для волн изгиба в пластинках и стержнях, при которых колебания происходят в направлении, перпендикулярном к оси стержня или плоскости пластинки, т. е. сопровождаются их изгибом. [c.139]

В гл. 5 рассматриваются некоторые общие свойства упругих и пластических стержневых систем. Существенно заметить, что вариационные принципы теории упругости, ассоциированный закон течения, свойство выпуклости поверхности нагружения для пластической системы доказываются здесь совершенно элементарно. Все эти теоремы будут сформулированы и доказаны впоследствии при более общих предположениях. Автору представляется по опыту его педагогической работы, что иллюстрация общих принципов на простейших примерах, где эти общие принципы совершенно очевидны, способствует лучшему их пониманию и усвоению. Гл. 6 посвящена теории колебаний, которая должна занять подобающее место как во втузовских, так и в университетских программах. Кроме собственно задач о колебаниях здесь излагается метод характеристик для решения задач о продольных волнах в стержнях. Этот метод настолько прост И ясен, что им можно пользоваться и его легко понять, не прослушав общего курса дифференциальных уравнений математи- [c.12]

В 2.10 была рассмотрена задача о распространении продольной волны в стержне. Скорость ее, согласно элементарной теории, давалась выражением Со = У /р. Эта скорость отлична как от l, так и от Сг. В действительности волны вида (13.4.2) в стержне, представляющем собою ограниченное тело, распространяться не могут, возмущение, переносимое вдоль оси стержня, меняет свою конфигурацию. [c.440]

Здесь мы ограничимся рассмотрением одномерных волн и для простоты будем говорить о распространении продольной волны в стержне, хотя правильнее было бы рассматривать плоский фронт в неограниченной среде. Те уравнения, с которыми мы будем иметь дело, совершенно точны для такого плоского фронта, тогда как для стержня они лишь приближенны, так как в них не учитываются поперечная инерция и деформация сдвига. Дифференциальное уравнение распространения волн в упругом стержне, как мы видели в 6.7, имеет следующий вид [c.608]

Продольные волны в стержнях постоянного сечения. [c.496]

Рис. 10. Кривые дисперсии для продольных волн в стержнях из бороалюминия при различной ориентации волокон по отношению к оси стержня (дисперсия в материале не учитывается) [138, 139]

Для длинных продольных волн в стержне или пластине соотношение дисперсии, не учитывающее внутреннюю дисперсию в цате-риале, имеет вид [c.291]

РАСПРОСТРАНЕНИЕ ПРОДОЛЬНЫХ ВОЛН В СТЕРЖНЯХ И ПЛИТАХ [c.141]

Общие формулы. Пусть имеется среда, в которой могут существовать п независимых волн с постоянными распространения к[, /с2,..., кп. Примеры таких сред рассмотрены в главе 5. Продольные волны в стержне согласно теории Бернулли соответствуют случаю п = 1. Для его изгибных и крутильных колебаний п = 2. Для стержней несимметричных профилей п может равняться шести и т. д. Волновое движение такой среды описывается п обобщенными смещениями ui, U2,.. Un, являющимися функциями времени и пространственной координаты х. Ограничиваясь гармоническими процессами, в которых все величины имеют множитель ехр —iat), зависимости между ними удобно записывать в векторной форме. Обозначив через и (х) вектор-столбец, име- [c.169]

Продольные волны в стержне. В качестве первого примера рассмотрим отражение продольных волн в однородном стержне. Полагая, что они описываются уравнением Бернулли (5.7), находим (см. 1 гл. 5) [c.172]

Для простоты ограничимся его изложением на примере продольных волн в стержне с периодическими нагрузками, Рис. 6.2. [c.181]

X = п1 и характеризуемыми динамической жесткостью (рис. 6.2). Предполагается, что продольные волны в стержне подчиняются уравнению Бернулли (5.7). Гармоническое волновое движение в рассматриваемой периодической структуре удобно исследовать с помощью нормальных волн. Смещения в нормальной волне имеют вид [c.181]

Рассмотрим в заключение продольные волны в стержне двутаврового сечения. Кривые дисперсии, построенные по точному уравнению [1] [c.37]

Скорость продольных волн в стержне [c.204]

Последнее равенство определяет скорость распространения продольных волн в стержнях. Эта скорость оказывается меньше скорости волн расширения-сжатия с (5) и больше скорости волн искажения с (6) с с с с . [c.259]

Продольные волны в стержнях постоянного сечения описываются уравнением [5] [c.226]

Прежде чем переходить к анализу полученного решения, необ ходимо уточнить постановку задачи о распространении волн в сто хаотической упругой среде. Классическое волновое уравнение (8.1) описывающее продольные волны в стержне постоянного сечения можно использовать для формулировки стохастической задачи если плотность материала р — случайная функция координаты х а модуль упругости Е — постоянная величина. Однако в мате риале, обладающем пространственной неоднородностью, оба параметра р и Е переменны. Уравнение движения при продольном растяжении (сжатии) имеет вид [c.233]

При рассмотрении дисперсионного уравнения неоднократно подчеркивалась аналогия в поведении волн в цилиндре и слое. Эта аналогия прослеживается также в асимптотическом поведении фазовых Ор и групповых скоростей нормальных мод. Предельное значение Ср и g при низкой частоте первой нормальной моды = =s Оно совпадает со скоростью продольных волн в стержне, [c.151]

То, что использование Вертгеймом скорости продольных волн в стержнях в формуле Дюамеля (3.2) было ошибочным, лучше всего может быть увидено в ретроспективном освещении проблемы сороковых лет XIX века. По очевидным причинам мы не приводим здесь ни данных Вертгейма, ни их коррекцию Клаузиусом. Критика Клаузиуса экспериментов Вебера была просто неверной. Экспериментальный источник неправильности производимого Вертгеймом сравнения динамических и квазистатических модулей возникает из факта, первоначально замеченного Кулоном в 1784 г. и состоящего в том, что значение модуля уменьшается с возрастанием остаточной деформации отсюда среднее значение модуля, найденное из квазистатических опытов при различных значениях остаточных деформаций, возникающих при относительно большой общей деформации, меньше, чем значение динамического модуля, вычисленного по продольным или поперечным колебаниям, происходящим при чрезвычайно малых деформациях. Амплитуда деформаций в динамических измерениях Вертгейма всегда была ниже, чем минимальная наблюдаемая квазистатическая деформация. Грюнайзен в первом десятилетии XX века проверил этот вопрос сопоставления адиабатических и изотермических модулей в той же области деформаций е= = 10 , рассмотрев как динамическую, так и квазистатическую ситуации, и показал для металлов, изучавшихся Вертгеймом, что разница в значениях модулей Е была чрезвычайно малой — в четвертом знаке после запятой ). [c.303]

То, что при v=l/3 в (неограниченных) твердых телах отношение скорости волн расширения (дилатационных волн) к скорости распространения продольных волн в стержнях дает в точности то же числовое значение, что и отношение скоростей волн в воде, в ситуации, которая, как было предположено, была аналогичной, убедило Вертгейма в фундаментальной важности этого факта ). [c.335]

Первые два слагаемых в (1.72) отвечают модели С.П. Тимошенко, а последнее описывает волны утолщения , возникающие при изгибе, и по виду совпадает с уравнением Лява (1.43) для продольных волн в стержне. Рядом авторов предпринимались попытки уточнения приближенных уравнений изгибных колебаний стержней. Некоторые из них отражены в работах [1.1,1.3,1.13 . [c.44]

Продольные волны в стержнях [c.262]

ПРОДОЛЬНЫЕ волны в СТЕРЖНЯХ 263 [c.263]

ПРОДОЛЬНЫЕ волны в СТЕРЖНЯХ 265 [c.265]

Теория плоских воли в неограниченной изотропной упругой среде настолько сходна с теорией продольных волн в стержне, что на ней достаточно остановиться лишь вкратце. Предполагается, что в любой момент времени картина одинакова во всех плоскостях, перпендикулярных к направлению распространения волн (х). [c.155]

Заметим, что для продольных волн в стержне скорость распространения равна [c.487]

Так или иначе, вдали от области дисперсии скорость продольных волн в стержнях определяется формулой (Х.76) при Л [c.235]

Будем рассматривать распространение продольных волн в стержне. Нас будет интересовать только перемещение в направлении оси. [c.333]

Продольная деформация стержня (однородная вдоль его сечения), на боковую поверхность которого не действуют никакие внешние силы, представляет собой простое растяжение или сжатие. Таким образом, продольные волны в стержне представляют собой распространяющиеся вдоль его длины простые растяжения или сжатия. Но при простом растяжении отлична от нуля только компонента сГгг тензора напряжений (ось z — вдоль длины стержня), связанная с тензором деформации посредством (см. 5) [c.138]

Если пренебречь искажением упругого импульса, обусловленным его дисперсией при распространении, т. е. на основе элементарной теории распространения продольных волн в стержне со ступенчатым изменением сечения, при переходе волны из первой ступени во вторую напряжение и массовая скорость изменяются в соответствии с зависимостями [201] У2=2у1/(1+ф) G2 = p oV2 (f=S2lSi. [c.97]

В ограниченных твёрдых телах кроме цродольных и поперечных волн имеются и др. типы волн. Так, вдоль свободной поверхности твёрдого тела или вдоль границы его с др. средой распространяются поверхностное акустические волны, скорость к-рых меньше скорости об нных волн, характерных для данного материала. Для пластин, стержней и др. твёрдых акустич. волноводов характерны нормальные волны, скорость к-рых определяется не только свойствами вещества, но и геометрией тела. Так, напр., С. з, для продольной волны в стержне с , , иоперечные размеры к-рого много меньше длины волны звука, отличается от С. з. в неограниченной среде С[ (табл. 3) [c.548]

Продольные волны (техническая теория). Исходным при исследовании продольных волн в стержнях постоянного сечения, когда процесс деформирования описывается в рамках гипотез сопротивления материалов, является уравнение продольных колебаний стержня (68) гл. VIII, которое можно представить в виде [c.259]

Итак, на примере одномерной задачи о распространении продольных волн в стержне со случайными характеристиками мы убеждаемся в идентичности результатов, которые получаются при помощи спектрального метода и метода моментных соотношений в квазигауссовском приближении. [c.238]

УУрМуйУф , L — дифференциальный оператор, А — характеристическая матрица, 5 и / — безразмерные переменные, соответствующее координате и времени s = s /h, где s — расстояние вдоль нейтральной поверхности стержня, h — высота стержня, t (реальное время) / (Я/со), где со = Ejpyi — скорость распространения продольных волн в стержне, Е и р-—модуль Юнга и плотность материала стержня. Безразмерные элементы вектора решения записываются в виде [c.200]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...