Правило составляющих тензора

Правила действий над тензорами облегчаются введением диад единичных векторов принятой системы координатных осей. Обозначая через составляющие тензора Р в этих осях, можно представить его суммой девяти диад [c.144]

Преобразуем далее правую часть формулы (14.59), подставив в нее составляющие тензора Ф, согласно (14.60), и заменив через направляющие [c.188]

Эта формула получается из следующих соображений. Поскольку свободная энергия является скаляром, то каждый член в правой части (13) должен быть скаляром. Но из составляющих тензора деформации можно образовать только два независимых квадратичных скаляра квадрат объемного расширения и сумму квадратов всех составляющих 8г . Третий член в правой части соотношения (13) линеен по е = гиь, это единственный линейный скаляр, который можно образовать из [c.14]

Правые части соотношений (13), выраженные через составляющие тензора соответствуют соотношениям (11). [c.26]

Аналогично соответствующему правилу отбора для инфракрасного спектра, общее (и строгое) правило отбора в случае комбинационных спектров может быть сформулировано в следующей более удобной форме комбинационный переход между двумя колебательными уровнями V и у" разрешен, если произведения относятся к тому же типу симметрии, что и, по крайней мере, одна из шести составляющих ... тензора поляризуемости. [c.275]

Строго говоря, следует различать тензор / и квадратную матрицу, образованную из его составляющих. Определяющим признаком тензора является выполнение определенных правил его преобразования при ортогональном преобразовании координат. С другой стороны, матрица никак не ограничивается видом [c.167]

Эта производная — тензор, поскольку каждая из составляющих с правой стороны равенства является двухточечным тензором. Заметим, что в декартовых системах координат значение полной кова-риантной производной не зависит от того, заменена ли на х == [c.16]

По аналогии с уравнением для тензора напряжений (4.2.9) можно сказать, что в левой части уравнения переноса для составляющих вектора турбулентного потока тепла (4.3.1) стоят конвективный и диффузионный члены, а в правой [c.188]

Через Р обозначен тензор с составляющими в подвижных осях, равными производным составляющих Р в этих осях. Формула (13) является обобщением правила дифференцирования вектора в подвижной системе осей на тензор второго ранга. [c.145]

Отметим, что по установившемуся в тензорном исчислении правилу (см. ниже, гл. II, 14) в правой части формулы (15.2) опущен знак двойной суммы по индексам р и о, которые не встречаются в левой части формулы. Применим (15.2) и (15.3) к криволинейной системе координат х, у, г (установив для определенности соответствие х = х1 у = х г — х ). Ковариантные составляющие ее фундаментального тензора будут равны [c.53]

Правая часть равенства (5.12) называется девятичленной формой диадного произведения, так как она содержит девять коэффициентов. Очевидно, таким путем можно свести к девятичленной форме и любую диаду. Так как коэффициенты девятичленного представления диады являются однородными квадратичными функциями составляющих векторов, то, очевидно, они будут преобразовываться так же, как составляющие тензора второго ранга [см. уравнение (5.10)]. И обратно, из каждого тензора второго ранга можно образовать диаду, для чего достаточно использовать составляющие тензора в качестве соответствующих коэффициентов девятичленной формы. Таким образом, имеется полная формальная аналогия между диадой и тензором второго ранга. Кроме того, они эквивалентны и в отноще-нии действия, производимого ими на вектор, ибо мы знаем, что скалярное произведение диады на вектор есть опять некоторый вектор. Поэтому оператор / можно записать таким образом, что будет ясно видна его диадная форма. Для этого мы введем единичную диаду 1 [c.169]

В ранее разобранных случаях пластического деформирования мы имели право постулировать существование выраженных в конечной форме зависимостей между составляющими тензоров напряжения и деформацпи или скоростей деформации, так как при этом всегда предполагалось, что с возрастанием деформации главные осп напряжений сохраняют постоянные углы относительно элементов материала. Теперь мы обратимся к интегрированию бесконечно малых приращений упругой и пластической деформации для случая, когда тензор напряжения, хотя и сохраняет свое постоянное значение на пределе текучести, но направления главных осей в элементах материала изменяются. Это имеет место, когда на тело, подвергающееся под действием нагрузки пластической деформации, налагаются некоторые кинематические условия, которые определяются жесткими связями с другими телами, не позволяющими данному телу деформироваться так, как это происходило пы при той же системе напряжений, если бы его границы могли свободно перемещаться. С подобным случаем мы встречаемся, например, тогда, когда результирующие деформации по границе тела заданы, иными словами, когда они ограничены в своем развитии заданными граничными условиями. [c.483]

Компоненты напряжений, составляющие частное решение (в) и входящие первыми слагаемыми в правую часть выражения (3.2.1), назовем компонентами основного тензора напряженийв данной точке. Компоненты напряжений, составляющие общее решение (е) и входящие вторыми слагаемыми в правую часть выражения (3.2.1), по терминологии М. М. Фило-ненко-Бородича, будем именовать компонентами корректирующего тензора напряжений в той же точке. [c.61]

Закон Гука можно записать также, разбивая соответствующие тензоры на девиаторпую и шаровую составляющие. Вычтем из обеих частей (8.3.1) оба, причем в правой части заменим о по формуле (8.3.4). Получим [c.243]

В правой части (2.1) Bij — тензор, не зависящий от градиентов средней скорости и необходимый для правильного описания анизотропной турбулентности в пристеночных течениях с однородным профилем скорости. Второе слагаемое в правой части (2.1) — линейное по градиенту скорости — суперпозиция анизотропной Aijkm и изотропной составляющих турбулентной вязкости. Последнее слагае- [c.579]

В задачу разработчиков пьезоматериалов для преобразователей обычно входит подробное исследование тензора с1гк и отыскание на основании общих правил трансформации координат, составляющих, удобных для практического использования. При этом приходится учитывать и свойства анизотропии диэлектрической проницаемости (тензора егк), поскольку чувствительность преобразователей-приемников зависит от константы Харкевича (g), являющейся частным от деления /е, а излучателей — от константы [) Мэсона, в которую входит и модуль упругости пьезокристалла. Наконец, кроме задачи изучения среза, дающего максимальную чувствительность, есть еще задача получения стабильных преобразователей, чувствительность которых возможно меньше зависит от температуры. Поэтому исследуют также зависимости и 8 от температуры и коэффициенты температурного расширения кристалла с целью отыскания таких срезов, при которых температурная зависимость чувствительности пьезоэлемента или его резонансной частоты была бы минимальной. [c.96]

Псевдотензор Леви — Чивита — псевдотензор третьего ранга О = = Ышт II. антисимметричный по всем парам индексов и удовлетворяющий условию 123 = 1 в какой-либо правой системе координат. Все его компоненты, имеющие два одинаковых индекса, равны нулю, и тензор имеет только щесть компонент, у которых все три индекса различны. Составляющие йцг1(1фкф1) принимают значение, равное единице, если г, к, I — четная перестановка тройки (I, 2, 3), и равное —1, если I, к, I — перестановка нечетная. Таким образом, [c.24]

Соотношения между главными линейными деформациями и влавными нормальными напряжениями определены уравнениями (1.82) — (1.86). Главные линейные деформации этих уравнений являются составляющими девиатора (тензора) деформаций, а правые части этих уравнений пропорциональны составляющим девиатора напряжений (1.52). Девиатор деформаций подобен де-виатору напряжений, составляющие девиатора,деформаций пропорциональны составляющим девиатора напряжений. [c.68]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...