Определение перемещения по тензору деформации

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ПО ТЕНЗОРУ ДЕФОРМАЦИИ [c.23]

Но справедливо и встречное утверждение уравнения совместности достаточны для однозначности перемещений и поворотов при определении их по тензорам деформации. [c.101]

Определение перемещений по компонентам тензора малой деформации [c.57]

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ПО КОМПОНЕНТАМ ТЕНЗОРА ДЕФОРМАЦИИ. УСЛОВИЯ СОВМЕСТНОСТИ ДЕФОРМАЦИЙ [c.22]

Определение вектора перемещения по мерам деформации ). По заданной мере деформации (матрице компонент Gsh) находится тензор G (обратная матрица). Этим [c.87]

Если по данным компонентам тензора деформаций найдены перемещения Uh, то, присоединяя к ним произвольное бесконечно малое перемещение тела как жесткого целого, получим новые перемещения, очевидно, также соответствующие данным компонентам тензора деформаций, так как перемещение тела как жесткого целого никакого влияния на чистую деформацию не оказывает. В силу этого для определенности дополнительно можно, например, задаться проекциями вектора перемещения некоторой точки тела и компонентами тензора вращения в этой точке. [c.57]

Указанные задачи рассмотрены ниже при следующем дополнительном предположении, которое входит в их постановку. Принимается, что при определении компонент тензора деформаций начальное состояние сравнения является действительно осуществимым состоянием, по отношению к которому можно ввести перемещения. Если выбор начального состояния диктуется какими-либо физическими условиями (например, условием, что начальное состояние должно быть ненапряженным), то это допущение можно трактовать как характеристику технологии изготовления изучаемых образцов и тел. [c.342]

Определение вектора перемещения по линейному тензору деформации [c.60]

Ставится задача об определении вектора перемещения — его трех проекций называемых кратко перемещениями, по заданному линейному тензору деформации ё. Иначе говоря, речь идет [c.60]

Формулы (2.67), (2.68) решают вопрос об определении вектора перемещений по заданному тензору деформации Коши поверхности и заданному вектору конечного поворота. Может врз-никнуть задача определения перемещений точек поверхности по заданным тензору деформаций и какому-либо тензору, определяющему изменение кривизны поверхности, что эквивалентно заданию функций GX(q, q ), BX(q, q ). A эта задача равно- [c.68]

Рассмотрим. условие совместности деформаций в классической теории упругости, поскольку подобные соотношения б удут играть существенную роль в дальнейшем изложении. Вопрос заключается в определении вектора перемещений по заданному линейному тензору деформации е, согласно (2), поскольку компоненты е. имеют простой физический смысл и могут быть определены опытным путем. Имея шесть уравнений (2) относительно трех неизвестных функций Mi, задачу можно решить наложением определенных условий на величины е . Разделим тело на элементарные объемы (кубики) и сообщим каждому из них деформацию (локальная деформация полагается однородной внутри кубика). Деформированные кубики можно сложить в сплошную среду только при определенной согласованности деформации отдельных кубиков. В обычном случае для вектора перемещений в точке ri можно записать [c.100]

В линейной теории упругости, напомним, распространен вариант полуобратного метода, в котором исходным этапом служит задание статически возможного, иначе говоря, удовлетворяющего уравнениям статики в объеме и на поверхности, напряженного состояния. Далее проверяется, что это состояние согласуется с уравнениями Бельтрами — Мичелла этим гарантируется, что линейный тензор деформации, вычисляемый по принятому тензору напряжений, допускает определение вектора перемещения и. Перенесение этого приема в нелинейную теорию затруднено тем, что обращение уравнения состояния — разыскание меры деформации по тензору напряжений из нелинейного уравнения состояния практически неосуществимо (И, 8) и неоднозначно. Аналог уравнений Бельтрами —Мичелла в нелинейной теории может быть использован лишь в исключительных случаях ( 17). Поэтому вторым вариантом полуобратного метода здесь может служить исходное задание меры деформации, удовлетворяющее условиям обращения в нуль тензора Риччи (П1.10.21). По этой мере и по уравнению состояния составляется тензор напряжений. Он должен быть статически возможным его дивергенция должна быть нулем, если не учитываются массовые силы, а по его произведению на вектор нормали определяются поверхностные силы. Конечно, нет оснований ожидать, что такая процедура не потребует при выполнении уравнений статики в объеме конкретизации задания коэффициентов определяющего уравнения, как функций инвариантов меры деформаций (скажем, коэффициентов фг(/1, 2, /з) в (4.3.4)). Значит и формы представления поверхностных сил зависят от выражений этих коэффициентов, иначе говоря, их нельзя представить в единой записи, независящей от того, какой принят закон зависимости удельной потенциальной энергии э(/,, /2, /3) от ее аргументов. [c.135]

В настоящем разделе приводятся общие определения и формулировки единственности и устойчивости решений нелинейных задач по деформированию тел из упругих и упругопластических материалов. Используются первый тензор напряжений Пиола — Кирхгофа и тензор градиента перемещения. Исследование поведения решения уравнений с использованием других тензоров напряжений и деформаций проводится аналогично. Точно так же исследуется поведение решений для уравнений, сформулированных в текущей конфигурации. [c.131]

На соотношения Коши (11) можно смотреть как на систему шести дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка для определения трех компонент вектора перемещений г j по заданным компонентам тензора малых деформаций [7]. [c.638]

Подобно геометрии, в которой разные фигуры вводятся как идеализации определенных природных объектов, так и в ме- ханике сплошных сред разные идеальные среды вводятся че-Ьез частные формы соотношения между тензором напряжений перемещением или деформацией тела. Некоторые материалы Представляют чрезвычайно большой самостоятельный интерес (например, упругие материалы), но большинство из них в основном интересны не сами по себе, а лишь в качестве представителей некоторого класса материалов. Поэтому есть необходимость в общей теории определяющих уравнений. [c.105]

Изложение в 4 вопроса об определении перемещений по тензору деформации представляет в известной мере пересказ в обозначениях тензорного анализа, приспособленный к дальнейшему развитию предмета, 15 книги Н. И. Мусхелишвнли Некоторые основные задачи математической теории упругости (Изд-во Акад. наук, 1949). [c.69]

Здесь задача об определении перемещения по тензору деформации будет рассмотрена в. целом, без предположений о мазюсти окрестности час типы й в точной постановке, без каких-.тшбо приближений, [c.70]

Шесть компонент тензора деформации выражаются но формулам (7.2.3) или (7.2.8) через три компоненты вектора перемещения. Поэтому следует ожидать, что любые шесть функций координат вц нельзя принять за компоненты деформации, они должны для этого удовлетворять некоторым соотношениям. С другой стороны, если деформации заданы как функции координат и действительно возможны в сплошном теле, нужно ожидать, что перемещения точек тела могут быть определены, конечно — с точностью до перемещения как жесткого целого. В этом параграфе мы выведем формулы Чезаро, решающие именно вторую задачу, т. е. задачу определения перемещений по данной деформации. При этом попутно мы установим те условия совместности, которым должны удовлетворять заданные компоненты деформации. [c.216]

Можно доказать, что уравнения совместности деформаций являются необходимыми условиями для возможности определения перемещений по заданным компонентам деформации. Если рассматривается односвязанное тело, не имеющее сквозных полостей, то условия Сен-Венана оказываются достаточными для этой цели. Для многосвязанного тела условия Сен-Венана также позволяют определить перемещения (и, V, т), однако, в этом случае эти перемещения могут представиться как многозначные функции от X, у, г, и требуется введение дополнительных условий. Уравнение совместности деформаций всегда удовлетворяется, если найденные компоненты тензора деформаций имеют постоянное значение и являются функциями декартовых координат (так как вторая производная будет равна нулю). [c.16]

Определение вектора перемещения и по тензору деформаций Те с помощью формулы (1.2.89) удобно лишь тогда, когда этот тетзор удовлетворяет уравнению совместности деформаций Б.Сен-Венана (1.2.88). В противном случае интегрирование может бьпъ трудно вьшолнимым. Это является основной причиной редкого применения решения задач МСС в деформациях. [c.42]

Формула Чезаро ввиду громоздкости подынтегральных функций обычно не используется для определения перемещений. Значительно проще перемещения можно определить через компоненты тензора относительного перемещения ( / по заданным компонентам тензора деформации (е -). Из дифференциальных зависимостей Коши (1.44) непосредственно находятся три компоненты тензора (И(, ) [c.26]

Для получения уравнений, описывающих температурные поля и напряжения в деформируемом теле, в дальнейшем рассматриваются малые перемещения и градиенты перемещений. В этом случае вектор перемещения и с компонентами Н рассматривается как некоторое векторное поле, тензор деформаций с компонентами Еу - как тензорное поле, определенные в действительном векторном пространстве [75]. Компоненты тензора деформаций выражаются через компоненты вектора перемещений соотношениями Коши .у=(ди1/дХу+диудх,)/1 (здесь и далее /, / = 1, 2, 3, а также везде в формулах подразумевается суммирование по повторяющимся латинским индексам). Тогда из уравнения неразрывности (закона сохранения массы) [19] [c.182]

Дифференциальные зависимости (1.144) между компонентами тензора деформаций и компонентами вектора перемещений позволяют простым дифференцированием по известным перемещениям V, ш как некоторых функций координат точек тела определить компоненты тензора деформаций. Решение обратной задачи — нахож дение перемещений как функций координат точек тела по известным компонентам деформаций — сводится к интегрированию системы дифференциальных уравнений в частных производных (1.144). Для существования решений этой системы необходимо наличие определенных связей между шестью компонентами деформаций т. е. выполнение определенного условия интегрируемости уравнений (1.144). Это условие называют условием сплошности или совместности деформаций Сен-Венана. Условия сплошности деформаций получаются из уравнений (1.144) исключением из них частных производных от соответствующих перемещений по соответствующим координатам [c.67]

Введенные выше тензоры деформации в пространстве имеют в общем случае по шесть независимых компонент. Однако они выражаются через вектор перемещения, который имеет самое большее три независимые компоненты. Если произвольно задать шесть компонент тензора деформации, то сразу возникнет вопрос, существует ли однозначное непрерывное поле вектора перемещения, соответствующего этой деформации. Очевидно, уравнения (2.2.40) и (2.2.41) не имеют решений для трех неизвестных функций ик или ы,-, если не выполняются определенные условия интегрируемости или совместности. Эти условия в виде системы дифференциальных уравнений в частных производных содержат только компоненты тензора деформации. Например, в теории бесконечно малых деформаций условия совместности, известные как соотношения Ламе, имеют вид [Ег1пдеп, 1967] [c.88]

Существенным результатом решения задачи в микромехани-ческой постановке является вычисление эффективных модулей, которые определяются как коэффициенты, связывающие усредненные по объему значения компонент тензоров напряжений и деформаций при определенных граничных условиях. Эти граничные условия могут быть двух типов (Хашин и Розен [6]) условия для перемещений на границе ) [c.14]

Приведенные выше определения мало помогают при фактическом вычислении эффективных модулей, хотя они и полезны для нахождения их верхних и нижних границ (см., например, Хашин и Розен [6]). Несколько иное определение (Адамс и До-нер [1]) можно дать следующим образом. Предположим, что распределение деформаций и напряжений одинаково во всех ТИ1ТИЧНЫХ геометрических элементах неоднородной среды. Далее, предположим, что на поверхностях раздела между смежными элементами удовлетворяются условия непрерывности поверхностных сил и перемещений. Тогда эффективные модули определяются равенствами (5), где усреднение можно, очевидно, проводить по объему типичного элемента. В качестве примера рассмотрим граничные условия для типичного элемента в виде квадрата, удобные для вычисления эффективных модулей растяжения, связывающих усредненные по объему нормальные напряжения и деформации. Для этой цели достаточно рассмотреть класс граничных задач о так называемом обобщенном плоском деформированном состоянии, при котором компоненты тензоров напряжений и деформаций являются функциями только Xi и Х2, а S33 постоянна. Задаются следующие граничные условия (см. рис. 2) [c.19]

Следует отмеппъ, что в приведенных постановках задач мы не использовали ограничений, накладываемых на тшзор деформаций Те и тензор скоростей деформаций Т . Вид этих ограничений (1.2.88) и (1.2.166) для обоих тензоров по форме одинаков. Ранее отмечалось, что при решении задач в перемещениях или скоростях тшзор Те или тензор Т определяется по формуле О.Коши (1.2.70) или Дж.Стокса (1.2.137) соот-ветсгвшно, которые с точностью до символики также совпадают, и вследствие безусловного выполнения тождества (П1.89) такое определение Те и Т приводит к тождественному вьшолнению условий Б. Сен- [c.135]

Вместе с тем в рамках этой теории исследовались, как правило, задачи о предельном равновесии, т. е. начале пластического течения. Получено ограниченное число решений задач с учетом изменения геометрии тела, собственно, о пластическом течении задачи о внедрении клина в полупространство, раздавливании клина плоским штампом [1-3], одноосном растяжении плоского [4] и цилиндрического [5] образцов, растяжении полосы с V-образными вырезами [6]. На основе этих решений в работах [7-9] получен определенный класс решений контактных задач для тел произвольной формы с учетом изменения геометрии свободной поверхности. При решении таких задач деформации тел оценивались визуально по искажению прямоугольной сетки. Более точное описание процесса деформирования требует использования в качестве меры деформации тензорных характеристик (тензора дисторсии, тензора конечных деформаций Альманси и т.п.). Решение задач с учетом изменения геометрии особенно необходимо при расчете деформаций в окрестности поверхностей разрыва скоростей перемещений и других особенностей пластической области. [c.762]

Последнее из этих уравнений означает, что тензор напряжений Коши /юлжен быть объективным. Как далее будет видно, это накладывает ограничения на его функциональную зависимость. Легко показать, что требование форминвариантности по отношению к сдвигу в пространстве, зависящему от времени и представленному функцией ( ), и сдвигу во времени, описываемому а, приводит к тому, что определяющие уравнения не зависят явным образом от координат события (х, t). Это будет справедливо для всех определяющих уравнений, которые нам встретятся в дальнейшем. Физически принцип объективности означает если два наблюдателя рассматривают одно и то же перемещение материального тела, то они регистрируют один и тот же отклик на него, т. е. одинаковое напряженное состояние . Хотя этот принцип бессознательно используется в повседневной жизни, он несет в себе глубокое операционное значение (подумайте об определении коэффициента упругости пружины в двух системах отсчета, вращающихся относительно друг друга с переменной угловой скоростью внутренние силы в пружине зависят только от деформации пружины относительно самой себя и не зависят от параметров вращения). [c.107]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...