Волновые функции сферическая волна

При г- оо волновая функция ф(г, И) должна иметь асимптотический вид суперпозиции падающей (вдоль оси 2) плоской волны и рассеянной сферической волны [c.105]

Теперь необходимо перейти к координатам изображения, формируемого t+1-м элементом, и прибавить вносимые им аберрации. Однако из выражения (2.6) следует, что если аберрации сферической волны представляют собой сумму двух или более слагаемых (в данном случае — сумма аберраций г-го и i4-l-ro элементов), то при распространении волны эти слагаемые преобразовываются независимо, не влияя друг на друга. Подобное свойство закона преобразования аберраций в третьем порядке — прямое следствие того, что замена зрачковых переменных в аргументе функции волновой аберрации в этом случае полностью соответствует проективному преобразованию. В результате в третьем порядке малости будем рассматривать аберрации каждого элемента отдельно, так, как будто все остальные элементы системы безаберрационные, и только потом суммируем искажения, вносимые всеми элементами. [c.55]

Вывод теорем сложения для сферических волновых функций базируется на разложении плоской волны по сферическим волновым функциям и на интегральном представлении последних [50]. Если rq, 0g, фд) и fh, 0к, фй) — две сферические системы координат и положение второй относительно первой задается координатами ее начала Oh Rhq, Qhq, фк ) (полагаем, что оси Xq, Ун, Zh и Xk, Ук, Zk параллельны и одинаково ориентированы), то теоремы сложения для скалярных и векторных функций имеют вид [c.38]

В настоящее время основные результаты по установившейся дифракции волн на конечных телах вращения получены, в основном, в сферической системе координат. В сферических координатах переменные разделяются для скалярного и векторного волновых уравнений, и полные на сферических поверхностях ортогональные системы волновых функций не зависят от волнового числа. Это дает возможность получить точное решение [c.64]

Голограммные отражательные фокусирующие элементы представляют собой голограммы с записью интерференционной картины двух встречных волновых фронтов с разными кривизнами. Такие элементы, помимо того что они могут преобразовывать одну из записанных на них волн в другую, выполняют функции сферических зеркал, используемых в классической оптике. [c.711]

Сферические волны. Если потенциал скорости является функцией трех координат и времени, то волновое уравнение имеет вид [c.164]

Тогда удельное волновое сопротивление для сферической волны выражают комплексной функцией [c.167]

Волновое уравнение для сферических волн получим из общего волнового уравиения (П.32), записав в нем оператор Лапласа для потенциала скоростей Дф в сферических координатах. Поскольку Ф в данном случае есть функция только одной полярной координаты г, то в выражении (Н.36) для лапласиана ф в сферических координатах отличным от нуля будет лишь первый член, и линеаризованное уравнение (П.32) для этого случая будет иметь следующий вид [c.202]

Б случае распространения сферической волны волновая структурная функция дается выражением [c.406]

Таким образом, физическое требование состоит в том, что волновая функция должна быть нормирована и, следовательно, регулярна в начале координат. Этого можно достичь, взяв волновую функцию в виде стоячей волны вместо бегущей волны. Стоячая волна представляет собой суперпозицию расходящейся и сходящейся сферических волн. Однако сходящаяся сферическая волна представляет собой нефизический объект. Поэтому мы должны сложить стоячие волны с различными энергиями, чтобы сходящаяся сферическая волна исчезла. Тогда результирующая волновая функция будет регулярна в начале координат и, в то же время, содержать на бесконечности только расходящиеся волны. [c.181]

Таким образом, уравнение (1.17) можно сравнить с уравнением (1.15), полученным из интеграла Кирхгофа, Его можно интерпретировать как выражение, показывающее, что каждая точка поля рассеяния дает сферическую волну (1.18), а амплитуда этой волны зависит от величины рассеивающего потенциала ф(г ) и от волновой функции iI5(r ). Можно было бы получить точный трехмерный эквивалент выражения (1.15), если бы мы могли сказать, что амплитуда рассеянной волны пропорциональна амплитуде падающей волны it)( >(r). Однако, вообще говоря, это невозможно, поскольку рассеянное излучение само дает вклад в значение волновой функции г з(г). Следовательно, получаем интегральное уравнение, решать-которое гораздо труднее. [c.24]

Будем в дальнейшем пользоваться этой функцией для представления распространения сферической волны в произвольном направлении в пространстве. Можно утверждать, что световое колебание и = (1// о) дойдет до выбранной волновой поверхности о (см. рис. 35.2) и далее будет распространяться в направлении рассматриваемой точки Ру имея тот же вид. [c.267]

Для того чтобы выйти из этого положения, следует в формуле (36.25) функцию и сферической волны заменить функцией Грина О и подчинить ее следующим условиям 1) удовлетворять волновому [c.271]

Здесь функция G представляет сферическую волну в вакуум и поэтому удовлетворяет волновому уравнению [c.108]

Рис. 18.4. Дисперсия флуктуаций уровня волнового пучка нормированная на дисперсию уровня сферической волны ф, как функция Q = 1/(а,х) =

Можно представить себе, что выбор одного из лучей произошел по той причине, что небольшие внешние возмущения несколько сбивают относительные фазы волновой функции на разных лучах, превращая их в "лучевые пакеты". Но если это так, то и вдоль луча может происходить процесс сбоя фазы, так что волновая функция а-частицы вместо сферической волны, расходящейся из точки А может превратиться в набор волновых пакетов, изображенных на рис. 106. Сама частица может попасть только в один из этих пакетов (он на рис. 106 изображен черным кружком), а остальные пакеты — это всего лишь упущенные возможности для пребывания там частицы. [c.145]

Если звуковые волны, излучаемые точечным источником (размеры распространяются в однородной среде равномерно по всем направле-шшл, то в (4.1) потенциал будет функцией только 2, т.е. зависит только от расстояния от источника и от времени и ке будет зависеть от и . В этом случае ш будем иметь дело с шаровой или сферической волной, для которой волновое уравнение принимает вид [c.31]

Из формулы (10.11) легко виден физический смысл верхнего индекса + у функции ф с точки зрения стационарной теории. Функция отличается от яро на больших расстояниях только наличием расходящейся сферической -волны. Это соответствует ее физическому смыслу и смыслу индекса + с точки зрения нестационарной теории. Волновая функция свободной частицы г )о описывает специально приготовленный коллимированный пучок, посланный в данном направлении. Точная волновая функция отличается от нее на больших расстояниях только наличием расходящейся сферической волны. Далее, сферическую волну на большом расстоянии г от мишени можно рассматривать как локально плоскую , и из (10.11) следует, что отношение рассеянного потока частиц с проекцией спина v к падающему потоку равно [c.256]

Единственное различие в волновых функциях при наличии и в отсутствие рассеивателя заключается в появлении в первом случае фазового сдвига б . Полное решение представляет суперпозицию бесконечного числа сферических волн указанного вида как показывает (11.15), каждая из них сдвинута по фазе [c.283]

Из асимптотического поведения (11.9) волновой функции видно, что если величина Si имеет полюс при к = ко — ikx, то существуют только расходящиеся сферические волны, т. е. мы имеем источник потока. Конечно, энергия является комплексной величиной, и поэтому представить себе этот источник физически невозможно в самом деле, волновая функция источника на бесконечности экспоненциально растет. Резонансные явления обусловлены тем, что при (физически возможной) действительной энергии ky2 i мы находимся вблизи ситуации с источником, и следует ожидать поэтому, что в данной области волновая функция особенно чувствительна к малым изменениям энергии. Конечно, выражение (11.61) говорит о том, что при к = ко iky мы находимся вблизи нуля величины Si, где волновая функция содержит только сходящиеся волны. Но при г —> оо она тоже экспоненциально растет, увеличивая тем самым чувствительность волны к малым изменениям энергии вблизи ко. [c.296]

Рассмотрим потенциал, имеющий вид сферической оболочки , который равен Vo в области между / = и / = и нулю вне ее. Вычислить фазовый сдвиг s-волны и показать, что при больших Ко (по сравнению с чем ) резонансы будут появляться приблизительно при таких энергиях, которые имели бы связанные состояния, если бы Vo равнялось бесконечности. Путем простого сшивания волновой функции на границах вычислить вероятность просачивания, считая ее малой. Показать, что рассчитанное таким способом время жизни согласуется с результатом, который получается из ширины резонанса. [c.306]

Сечение. В отличие от поведения волновой функции (10.11), соответствующей хорошему потенциалу, волновая функция в случае медленно убывающего кулоновского потенциала содержит логарифмически осциллирующие фазовые вклады. Другими словами, кулоновский потенциал никогда полностью не выключается . Следовательно, необходимо дать новое определение сечения рассеяния. Из формулы (14.26) видно, что если соблюдать надлежащие предосторожности и не рассматривать рассеяния вперед, то отношение потока в расходящейся сферической волне к потоку в падающей плоской волне равно [c.394]

В гл. 10, 1, п. 2 мы записали волновую функцию и функцию Грина для свободных частиц с произвольным спином. Теперь мы разложим их на парциальные волны аналогично тому, как это было сделано в гл. И, 1, п. 1 в случае частиц с нулевым спином. С этой целью полезно ввести обобщенные сферические функции, подобные векторным сферическим функциям в электромагнитной теории. [c.410]

Однако до обсуждения различных опытов, в которых особенно ярко наблюдаются свойства указанного типа, установим некоторые простые факты и общие формулы, которыми мы будем пользоваться в дальнейшем. Предположим, что на атом или, лучше, па атомное ядро (потому что практически всегда нейтроны рассеивают только ядро) падает нейтрон нейтрон будет рассеян на известный угол (рис. 1, а). Это — схема столкновения в корпускулярном представлении в волновом представлении имеется группа падающих волн, рассеивающихся подобно свету, т. е. в виде группы сферических волн, исходящих из центра рассеяния (рис. 1, б). Плоская падающая волна, распространяющаяся вдоль положительного направления оси х, представляется экспоненциальной функцией [c.114]

Несколько ранее Слэтер 1171 предложил в качестве базиса для разложения волновых функций другой тип функций — так называемые присоединенные плоские волны, или APW ). Прежде чем начать конструировать эти функции, целесообразно сначала выбрать какую-то аппроксимацию для потенциала, который будет использоваться в расчетах. Можно ожидать, что вблизи каждого ядра потенциал будет, скорее всего, сферически симметричным, а в пространстве между ядрами — слабо меняться. Поэтому естественно сконструировать потенциал следующим образом. Внутри сфер некоторого радиуса, окружающих каждое из ядер, будем считать потенциал точно сферически симметричным (радиус сфер должен быть достаточно малым, чтобы потенциалы, отвечающие различным атомам, не перекрывались), а в пространстве между сферами положим потенциал равным некоторой константе (фиг. 26). Обычно, конструируя истинный потенциал, которого можно было бы ожидать в кристалле, аппроксимируют его именно таким ячеечным потен- [c.100]

Уравнение (13.11) не является искомым точным уравнением, так как только решения типа 5-волны с малыми к совпадают с истинными решениями физической проблемы. Чтобы получить уравнение для расширенной волновой функции, которая бы в точности совпадала с ф /") при г а, необходимо обобщить уравнение (13.11) на произвольные значения к и решения, не обладающие сферической симметрией. Это обобщение проводится в приложении Б. Здесь нам достаточно указать, что в результате уравнение (13.11) видоизменяется следующим образом. [c.303]

Частица-мишень изменяет только расходящуюся сферическую волну, но не сходящуюся. Поэтому волновая функция конечных рассеянных частиц может быть представлена в виде [c.30]

Всю область существования звукового поля разобьем на две части ч-ные области область / (О г г ) и область 11 (г г,,), С учетом известного разложения плоской волны по сферическим волновым функциям [84] потенциалы скоростей в частичных областях представим в следующей форме [c.124]

Здесь X = / есть не что иное, как волновое число расходящейся волны (в свободном пространстве), описываемой сферической функцией Бесселя. Однако для отыскания (г, г ) нет надобности явно обращать соотношение (10.73). С помощью соотношений [c.489]

Соотношение (43.3) гласит, что дфирагировавшая волна является сферической волной (фаза постоянна на поверхности Го = onst), а распределение амплитуды по волновому фронту обладает осевой симметрией и также определяется гауссовой функцией [c.186]

Рассмотрим особенности, возникающие при решении задач дифракции упругих волн. Задачи для многосвязных областей, ограниченных круговыми цилиндрическими и сферическими поверхностями, характерны тем, что системы волновых функций на граничных поверхностях не зависят от волновых чисел. При решении этих задач остается один источник появления бесконечных систем — использование теорем сложения для перераз-ложения решений от одной системы координат к другой. Можно провести полное исследование систем и получить конкретные результаты. [c.54]

Выражения для дисперсии логарифмической амплитуды и фазы сферической волны, распространяющейся через случайно неоднородную среду, были получены Татарским [8.12, гл. 9]. Волновая структурная функция для этого случая была впервые найдена Фридом 8.28] на основе результатов, полученных Шмельтцером 8.30]. Мы не воспроизводим здесь весь анализ, но приведем лишь его результаты. [c.406]

Угловые распределения электронов, испущенных в процессе фотоио низации, содержат больше информации об основных элементах динамики процесса, нежели полная вероятность фотоионизации. Например, при одно фотонной ионизации связанного состояния атома с орбитальным моментом I угловое распределение содержит интерференционный член между конеч ными состояниями непрерывного спектра с орбитальными моментами I +1 и / 1, который отсутствует в выражении для полного сечения фотоио низации. Действительно, при фиксированном угле вылета электрона, т.е. фиксированном векторе импульса конечного состояния, орбитальное кван товое число не является сохраняющимся, и волновая функция конечного состояния (например, плоская волна) представляется в виде суперпозиции состояний с различными орбитальными квантовыми числами. При инте грировании по углам интерференционные члены пропадают из за ортого нальности различных сферических функций друг другу. [c.153]

Функция В/к описывает корреляцию падающего излучения с отраженным и, следовательно, определяет эффект усиления флуктуаций интенсивности. В направлении сгрого назад (К = 0) дисперсия максимальна. При смещении точки наблюдения с оси (К О) взаимная корреляция прямой и отраженной волн, как это следует из (7.27), уменьшается, что приводит к ослаблению флуктуаций. В пределе эффект усиления флуктуаций интенсивности исчезает полностью (В/к(К)->0), и относительная дисперсия интенсивности отраженного излучения определяется суммой дисперсий интенсивности распространяющейся назад сферической волны и падающего на отражатель волнового пучка [c.174]

Рассмотрим тот же самый процесс на более физическом языке. Расширяющаяся по закону р = ш сферическая оболочка из двух коррелированных частиц встречает на своем пути множество частиц и создает новые рассеянные волны. Если некоторая частица с номером "3", сталкивающаяся с расширяющей оболочкой, имеет вид волнового пакета ф гз), то соответствующее рассеяние можно найти следующим образом. Представим волновую функцию расширяющейся оболочки в виде суперпозиции волнового пакета, такого же, как у встречного пакета, и оставшуюся за вычетом пакета часть. Вьщеленный нами волновой пакет повторит с встречной частицей тот же самый сценарий образования новой рассеянной сферической оболочки из двух скоррелированных частиц. А оставшаяся часть старой сферической оболочки за время взаимодействия А/ Л/щ не успеет деформироваться, так что совместная волновая функция />(п, гг, гз) окажется равной нулю в точке рассеяния Г1 = -Г2 = гз (все г, отсчитываются от центра масс первой пары частиц). Площадь оболочки Апр возрастает со временем как поэтому число рассеяний и стохастизация волновой функции пары частиц г1,гг возрастает очень резко по мере приближения г к т. Соответственно и переход - Йт должен происходить доста- [c.234]

Итак, мы приходим к следующей упрощенной модели описания газа. Волновые функции атомов газа представляют собой волновые пакеты вида (239). При столкновении таких пакетов образуются сферические расширяющиеся оболочки скоррелированных пар частиц. При рассеянии на других частицах эти оболочки разрушаются, и волновые функции скоррелированных частиц снова коллапсируют в волновые пакеты вида (239), разлетающиеся в противоположные стороны в системе их центра масс. Приближенно, пренебрегая уничтожающимися "пустыми волнами", можно считать, что пакеты вида (239) образуют квазичастицы газа, движущиеся по классическим траекториям и рассеивающиеся друг на друге по статистическим законам квантовой механики. Каждый волновой пакет (239) имеет /1 = = Нх/т при своем рождении, т.е. сразу после рассеяния, затем изменяется по закону = + Ы/т, где время г отсчитывается от момента рассеяния. В среднем, через I = т происходит повторное [c.235]

Несмотря на то что в квантовой механике угловые моменты частиц или групп частиц могут равняться только целому или полуцелому числу, кратному II, для более ясного понимания математических свойств амплитуды рассеяния целесообразно снять это ограничение. С математической точки зрения введение квантования орбитального углового момента I связано с использованием разложений по парциальным волнам. При этом существенное значение имеют свойства сферических гармоник, которые в случае нецелочисленных I как функции переменного os 0 при os О 1 не обладают достаточно хорошим поведением. Условие целочисленности углового момента I вытекает из требования регулярности трехмерной волновой функции по всем направлениям. [c.354]

Таким образом, решение (15.48), (15.50) удовлетворяет волновому уравнению при г Фга, принципу, предельного поглошения и условию в источнике. Следовательно, формулы (15.48), (15.50) дают поле точечного излучателя в слоистой среде с показателем преломления (15.44). Можно убедиться, что при <7-> 0, когда среда становится однородной, полученное решение сводится к сферической волне р(г го) = - (4яЛ) ехр(/Аг Л Л), Решение для среды с (г) - I <7 I г строится аналогично изложенному вьпие. Его можно получить из (15.48), полагая <7=/ <7 I, При зтом гиперболические функции переходят в тригонометрические. Чтобы оодынтегральная функция не была сингулярной во внутренних точках контура 7, его следует сместить с вещественной оси в четвертый квадрант комплексной плоскости s. В работе [393] полученные решения подробно анализируются в с аяхволноводногоиантивдановодного распространения. Там же построено аналогичное (15.48) точйое решение для поля параллельного оси Ох линейного источника в двумерно-неоднородной среде с = [c.344]

Волновые поля весьма общего вида могут быть представлены в виде су-перповшцш плоских гармонических волн. Для этого требуется лишь, чтобы функции, описывающие временное и пространственное изменение поля, допускали представления в виде соответственных интегралов Фурье. Поэтому результаты, полученные в этой главе, нами будут пгароко использоваться в дальнейшем и, в частности, при анализе отражения ограниченных волновых пучков и сферических волн. [c.5]

Источник сферической волны в твердой среде. В жидкой среде простейшим источником упругой волны является пульсирующая сфера малого радиуса. Однако любой другой источник нулевого порядка (источник с конечным значением объемной скорости), если только его размеры малы по сравнению с длиной волны, тякже излучает сферическую волну. Поэтому предположение о сферической форме излучателя делалось исключительно для простоты рассуждений. Сложнее положение в случае излучателя в твердой среде. Здесь характер волны будет существенно зависеть от формы излучателя.. Мы будем предполагать, что излучатель имеет цилиндрическую симметрию. По.этому поле упругих деформаций и напряжений может быть описано прп помощи трех вспомогательных функций ( потенциалов ) ф , 1( о Хо- удовлетворяющих волновым уравнениям [c.197]

Несмотря на то, что выше мы не налагали никаких ограничений на функции и , такие ограничения возникают из-за особенностей, Щ)исущих сферическим волнам, В частности, если рассматривать расходящуюся сферическую лну, представляющую наибольший интерес для приложений, то нетрудно убедиться, о в случае ограниченного во времени волнового оцесса звуковое давление должно удовлетворять соотношению J (з оИ-О. В самом деле, проинтегрируем линеаризованное уравнение Эйлера (1,4) по времени в пределах от - до .В результате полу- [c.16]

Строгое решение задачи о дифракции плоской волны. на клине впервые было получено Зоммерфельдом с помощью метода разветвленных волновых функций [16]. Впоследствии была изучена также дифракция цилиндрических и сферических волн на клине. Довольно обширную библиографию по этим вопросам можно найти, например, в статье Оберхеттингера [20]. Поскольку задача о дифракции на клине лежит в основе наших исследований, мы сочли целесообразным не только привести результаты ее строгого решения, но и дать их овый, более наглядный вывод. Идея этого вывода непосредственно вытекает из работы Зоммерфельда. Зоммерфельд нашел решение задачи в виде койтурно- [c.13]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...