Потенциал простого

Потенциал простого слоя. Потенциал двойного слоя. [c.484]

Величина р(Л/ ). называется плотностью простого слоя. Равенство (IV. 20) определяет ньютоновский потенциал простого слоя. [c.488]

Е сиде потенциала простого слоя [c.102]

Пусть теперь точка р стремится к некоторой граничной точке Ро изнутри или извне (обозначим пределы изнутри знаком плюс, извне — злаком минус). Как известно, если функция ср(р) удовлетворяет условию Гельдера, то пределы Г-оператора от потенциала простого слоя существуют и равны [c.95]

Потенциал простого слоя. Пусть притягивающие массы расположены по поверхности S. Пусть da — элемент поверхности, dm — масса притягивающей материи, расположенная на этом элементе, величина dm/da —р называется поверхностной плотностью простого слоя. Потенциал U есть [c.252]

Рассмотрим потенциал простого однородного сферического слоя. Пусть R — радиус сферы, р — постоянная поверхностная плотность. [c.252]

Потенциал простого однородного сферического слоя является непрерывной функцией координат точки Р. Сила притяжения простого слоя терпит разрыв при переходе через слой. Действительно. Внутри слоя сила притяжения отсутствует для внешней точки Р сила притяжения согласно выведенной формуле направлена к центру слоя и имеет численную величину [c.253]

Таким образом, решение контактной задачи Герца (1857—1894) приводится к нахождению потенциала простого слоя ц. [c.350]

Шин и приемов решения подобных задач состоит в том, что потенциал простого слоя рассматривается как предельный случай потенци-saa непрерывного, распределения массы в некотором объеме. [c.350]

Потенциал простого слоя является решением уравнения Лапласа. При этом он конечен и непрерывен всюду в пространстве, а в точках поверхности S выражается несобственным интегралом, который понимается в смысле главного значения. [c.278]

Перейдем к рассмотрению потенциала простого слоя (6.21). Выражение для этого потенциала имеет смысл и при подстановке в него точек, принадлежащих поверхности 5. При этом оказывается, что прямое значение и предельное (изнутри и извне) совпадают между собой. Таким образом, потенциал простого слоя представляет собой непрерывную во всем пространстве функцию. [c.94]

Вернемся к потенциалу простого слоя. Пусть точка д расположена на поверхности 5, а точка р — на нормали, проходящей через точку д. Тогда непосредственным дифференцированием выражения (6.21) по направлению п д ) можно получить выражение для производной потенциала простого слоя по направлению нормали [c.94]

Заметим, что функция Vl p,q), а следовательно и соответствующий потенциал простого слоя, удовлетворяет этим [c.97]

Решение же задачи Неймана будем искать в виде потенциала простого слоя (6.21). Осуществляя (согласно (6.31)) предел [c.99]

Рассмотрим соответствующее (7.9) однородное уравнение при Я= I, т. е. уравнение, соответствующее задаче А , и пусть Фо(7)—какое-либо его решение. Это обязательно должна быть непрерывная функция, и определяемый ею потенциал простого слоя У р)= Р(р, фо) будет иметь правильную нормальную производную извне 5, равную нулю. Но ввиду единственности внешней задачи Неймана получаем, что тогда сам потенциал тождественно равен нулю. С другой стороны, отмечалось, что потен- [c.100]

Докажем, что все собственные значения уравнения (7.9) вещественны и по модулю не меньше 1, Предварительно установим некоторые вспомогательные соотношения. По аналогии с построением краевой задачи Римана для решения сингулярного интегрального уравнения и в нашем случае необходимо построить эквивалентное уравнению (7.9) соотношение между предельными (извне и изнутри) значениями потенциала простого слоя, плотностью которого является искомое решение интегрального уравнения. Воспользовавшись формулой (6.31), получаем соотношение [c.102]

ИЗ принципа максимума следует, что малые изменения краевых условий приведут к малым изменениям решения. Если искомую функцию выбрать в виде потенциала двойного слоя, то для плотности получается интегральное уравнение Фредгольма второго рода, которое является корректным уравнением (решение непрерывно зависит от правой части). Если же воспользоваться представлением в виде потенциала простого слоя, то получается уравнение первого рода, которое является некорректным. [c.191]

Общий случай может быть сведен к рассматриваемому посредством обобщенного упругого потенциала простого слоя (см. 1 гл. VII), [c.292]

Отметим ряд свойств потенциала V, которые просто аналогичны свойствам потенциала простого слоя. Потенциал (1.2) может быть определен непосредственно в точках поверхности (носителя слоя), причем его предельные (изнутри и извне) значения совпадают между собой и они равны прямому значению. Следовательно, обобщенный упругий потенциал простого слоя представляет собой вектор-функцию, непрерывную во всем пространстве. Отметим, что потенциал V(р) на бесконечности стремится к нулю как 1/Д. [c.547]

Переходим теперь к изучению предельных значений оператора напряжений от потенциала простого слоя. Представим интеграл (1.3) в виде [c.553]

Если же 8 Л/г+ (а), qn потенциал простого слоя [c.556]

Для решения основной задачи II следует воспользоваться представлением смещений в виде обобщенного потенциала простого слоя (1.2). Тогда из формул (1.23) получаем интегральные уравнения второго рода (запишем их сразу в универсальной форме) [c.557]

Предположим, что рассматриваемые интегральные уравнения имеют комплексные собственные числа. Обозначим одно из них через Я,о = а +/й, и пусть фо( ) = фа + г фь — какая-либо собственная функция. Образуем потенциал простого слоя [c.562]

Перейдем теперь к рассмотрению задач, когда область В ограничена несколькими поверхностями 5/ (/ = 0, I,. .., /и), из которых все, исключая 5о, расположены вне друг друга, а 5о охватывает остальные. Заметим, что поверхность 5о может и отсутствовать. Будем для определенности рассматривать вторую основную задачу. Зададим на каждой поверхности 5 подлежащую определению вектор-функцию ф/(17) и образуем потенциал простого слоя, рассматривая эти функции как плотности. Тогда, осуществив для оператора напряжений предельный переход к точкам поверхности, придем к системе интегральных уравнений, которую можно символически записать в виде [c.566]

Указанные смещения представляют собой потенциал простого слоя, принимающий на поверхности значение [c.568]

Допустим, что решается задача II. Тогда плотность потенциала простого слоя (т. е. решение интегрального уравнения) будет принадлежать классу С° 5 и, согласно сказанному в 1, потенциал простого слоя будет представлять собой функцию класса С Р, являющуюся регулярным (классическим) решением краевой задачи. Аналогичное же рассмотрение задачи I не приводит к такому результату. Поскольку плотность по-прежнему принадлежит классу С Р, то потенциал двойного слоя будет принадлежать классу С° Р, который не представляет собой регулярного решения. В этом случае о решении надо говорить как об обобщенном. [c.569]

Для введенных выше потенциалов сохраняются все доказанные в 1 (или упомянутые там) предельные соотношения (непрерывность потенциала простого слоя и оператора напряжений от потенциала двойного слоя и соотношения между скачком потенциала двойного слоя и оператора напряжений от простого слоя и нх плотностью). [c.590]

Решение задачи (5.9) также будем строить, исходя из представлений смещений, в виде потенциала простого слоя. Тогда [c.598]

Поскольку каждый из интегралов является неотрицательной величиной, то смещения тождественно равны пулю. Таким образом, если допустить неединственность решения интегральных уравнений, то придем к существованию потенциала простого слоя, обращающегося в П в нуль, что влечет за собой равенство нулю и самой плотности. [c.599]

Продолжим рассмотрение задачи, предварительно упростив ее постановку. Если функции +(< ) и F q) различны между собой, то образуем потенциал простого слоя V(p,f), плотность которого равна / = 0,25 ( +— / ). Тогда из формул (1.23) (считая их применимыми) получаем, что смешения и = и — —У(р,1) будут удовлетворять краевым условиям, совпадающим между собой с разных сторон. Действительно, [c.613]

Установленный результат позволяет объяснить причину расходимости метода последовательных приближений с увеличением индекса /. Действительно, при рассмотренном выше предельном переходе потенциал простого слоя оказывается задан- [c.613]

Отметим, что условия (7.1) и (7.2) возможны и в случае одинаковых коэффициентов Ламе. Аппарат обобщенного потенциала сразу позволяет свести решение задач для подобных составных тел к задаче для сплошного тела. Действительно, для этого надо ввести в рассмотрение потенциал простого слоя с плотностью /2 2/( ) И потенциал двойного слоя с плотностью /2 1/( )- Тогда смещения [c.618]

Итак, решение контактной задачи Герца сводится к определению давления ( , т]), сближения тел а, а также размеров и формы области контакта оз. В уравнении (9.39) значение сходящегося несобственного интеграла представляет со-бой потенциал простого слоя распределенного с плотностью т]) по области контакта. Этот потенциал в точках области контакта, согласно (9.39), представляет квадратичную функцию координат. С другой стороны, известно, что потенциал во внутренних точках однородного эллипсо- [c.234]

Перейдем к рассмотрению уравнений (7.8) и (7.9) при % = = —] (т. е. для задач и Л ). Рассмотрим уравнение (7.8), которое имеет (в силу теоремы Гаусса (6.28)) очевидное решение фо=1, а, следовательно, Х = —1—собственное значение уравнения. Таким образом, приходим к утверждению, что уравнение (7.9) (как союзное) будет иметь при Х = —1 собственные функции. Покажем, что собственная функция — одна. Обозначая эту функцию через фо и рассматривая ее как плотность, образуем потенциал простого слоя Р(р, фо). Предельное значение его нормальной производной изнутри будет равно нулю, и поэтому сам потенциал будет равен некоторой постоянной Со- Если допустить, что уравнение (7.9) при X = —1 имеет еще одно решение фь линейно независимое с фо, то тогда потенциал Г(р, фО будет равен С. Образуем теперь плотность фа = С1фо — Софь которая также будет собственной функцией, причем потенциал Е(р, фа) будет равен нулю в области D+, а значит, и в области 0 . Поэтому его плотность фа есть тождественный нуль, а, следовательно, функции фо и ф1 линейно зависимы. Следовательно, уравнение (7.8) будет иметь лишь одну указанную ранее собственную функцию. [c.101]

Перейдем теперь к рассмотрению спектральных свойств уравнений (2.2) и (2.3), а равным образом и (2.5). Положим Я = 1 и допустим, что эти уравнения имеют нетривиальные собственные функции (ввиду равенства нулю индекса, число этих функций одинаково). Обозначим через фо собственную функцию уравнения (2.3), а через У(р, фо) — потенциал, имеющий функцию фо своей плотностью. Этот потенциал является реще-нием задачи И при нулевых значениях напряжений на поверхности. Уместно при этом отметить, что в любом случае смещения, представимые потенциалом простого слоя, убывают на бесконечности как l/R, а напряжения — как 1// . Поэтому можно воспользоваться теоремой единственности внешней задачи теории упругости. Тогда получаем, что потенциал V тождественно равен нулю в области 0 . С другой стороны, потенциал простого слоя является функцией, непрерывной всюду, включая поверхность 5. Поэтому потенциал V р, фо) будет тождественно равен нулю в области 0+, поскольку он обращается в нуль на поверхности 5. Возвращаясь же к формуле (1.24), получаем, что функция фо тождественно равна нулю. Следовательно, точка Я = I не является собственным значением для уравнений (2.3), (2.4) и (2.5). Поэтому перечисленные уравнения разрешимы при произвольной правой части, а получаемые решения единственны, [c.559]

Интегральное уравнение (2.24) при Я=1 соответствует второй основной задаче для совокупности областейDI,. ..,От когда решение разыскивается в виде единого потенциала простого слоя, распределенного по всем поверхностям. Собственные функции союзного уравнения соответствуют решению первой основной задачи для области О. Используя обобщенную теорему Гаусса (1.19), не составляет труда показать, что смещение как жесткого целого каждой из поверхностей 5/ (/ = = 0) есть собственная функция. Поэтому в отличие от случая, когда область ограничена одной поверхностью, точка X = 1 является полюсом резольвенты. [c.567]

Для рассмотрения задачи II смещения выбираются в форме потенциала простого слоя V(p,qi). Как отмечалось, элементы матрицы Г(р,д) имеют на бесконечности логарифмическую особенность, и поэтому сам потенциал в бесконечности оказывается неограниченной величиной. Однако потенциал становится ограниченным, если потребовать выполнеине условия [c.591]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...