Отображение однолистное

Особенности комплексного потенциала 84 Отображение однолистное 37 Отрыв 338. 383 [c.458]

Из теоремы Римана (основная теорема конформного отображения) следует, что если конечная односвязная область 5 ограничена простым замкнутым контуром, то всегда можно найти аналитическую функцию (7.183) в круге < 1, отображающую однолистно [c.168]

Отметим, как это следует из теоремы Римана, что конформное ото бражение многосвязной области на односвязную невозможно, а допустимо отображение друг на друга только областей одинаковой связности. Например, область S, ограниченную двумя замкнутыми гладкими контурами, можно всегда однолистно отобразить на круговое кольцо, отношение радиусов граничных окружностей которого должно быть определенной величины, зависящей от вида области S. [c.170]

Qi то отображение называется однолистным. Однозначное однолистное отображение называют взаимно-однозначным. Взаимно-однозначное отображение, реализуемое аналитической функцией, называют конформным. [c.237]

Для конформного отображения заданной односвязной однолистной, области на круг 2 1 (рис. 95 и 96) по контуру области на гори- [c.251]

Пусть на комплексной плоскости 2 дана ограниченная односвязная область G с границей Г, причем дополнение замкнутой области G = G и Г есть односвязная область D, содержащая бесконечно удаленную точку 2 = оо. По теореме Римана о конформном отображении существует единственная аналитическая в области D (исключая бесконечно удаленную точку) функция = ф г) которая отображает область D конформно и однолистно на область > 1 при условиях [c.226]

Вернемся к рассмотрению полиномов Фабера в общем случае. Обозначим через Гд линию на плоскости 2 , которая при отображении = ф z) переходит в окружность = R 1. Такие линии называются линиями уровня функции Грина области D. Поскольку отображение = ф z) конформно и однолистно, то при R > 1 линия Гя есть замкнутая правильная аналитическая кривая. А при R = I линия Fi есть граница Г области G. Внутреннюю область, ограниченную линией Гд, обозначим через а внешнюю область, ограниченную этой линией — через Dr. [c.227]

Легко видеть, что для любых действительных чисел, а, Ь, с, й при условии, что ай > Ьс, функция Т = аТ + Ь)1 сТ + d) дает однолистное (т. е. взаимно однозначное) отображение области Д самой на себя. Эти факты элементарно доказываются. [c.37]

Основная теорема единственности конформного отображения 1) утверждает, что это отображение является единственным из однолистных отображений области Д самой на себя. Из сказанного немедленно следует теорема. [c.37]

Теорема 1. Наиболее общее однолистное отображение области Г на область Д имеет вид [c.37]

Теорема 2. Если область комплексного переменного полного течения односвязна, то существует однолистное отображение, которое переводит область Д на область в плоскости и имеет вид .р, [c.38]

Основанием другому оригинальному направлению исследования вопросов существования и единственности решений задач теории струй послужила работа М. А. Лаврентьева о некоторых свойствах однолистных функций (1938) (см. также его работы за тот же год в Докладах Академии наук СССР), основанная на развитых им вариационных принципах (1934). Лаврентьевым были изучены функции, реализующие конформное отображение полуплоскости на области с одной бесконечно удаленной граничной точкой, и далее были даны приложения математических результатов к теории струй. Были доказаны существование и единственность решения струйной задачи об обтекании неограниченным потоком дужки, симметричной относительно оси X. При этом рассматривалась только одна половина течения. В качестве естественного обобщения исследовалась задача о срыве струи с препятствием для полуплоскости (рис. 3). Эта задача отличается от задачи о симметричном обтекании дужки только тем, что на струи не накладывается более условие, запрещающее им проникать в верхнюю полуплоскость. Кроме того, в задаче о симметричном обтекании рассматривается случай, когда струи соединяются на конечном расстоянии за дужкой. Относительно дужки требуется, чтобы она состояла из конечного числа дужек ограниченной кривизны, и предполагается, что любая прямая, перпендикулярная к оси абсцисс, пересекает обтекаемую дужку не более чем в двух точках или по вертикальному отрезку. [c.8]

Как уже говорилось, удобство римановой поверхности состоит в том, что отображение на нее может рассматриваться как однозначное. Поскольку рассматриваемое течение реально существует в физической плоскости, которая однолистна, отображение взаимно однозначно. Кроме того, по определению решения уравнений газодинамики, поле скорости V(x, у) и поле давления р х, у) непрерывно, т. е. отображения (х,у) х у) р /З) непрерывны. (Если область определения [c.29]

Край складки в физической плоскости (и его прообраз в плоскости годографа) называется предельной линией. Наиболее типичны отображения, при которых образ однолистной поверхности двулистен, однако возможны ситуации (см. гл. 9, 8), когда образом края складки в плоскости годографа является край складки в физической плоскости. Якобиан отображения при этом не меняет знак. [c.30]

Возможность удовлетворить этим условиям может быть обеспечена только введением в формулировку задачи профилирования двух независимых параметров. Для выпуклого профиля, когда годограф обтекания двулистен, при заданной границе Г (С) и заданном векторе скорости набегающего потока такими параметрами могут служить координаты точки ветвления отображения. Если же годограф обтекания однолистен, то в качестве параметров могут быть взяты координаты г oo, Уоо образа бесконечно удаленной точки. Таким образом, течение с однолистным годографом, как указывалось выше, может существовать только при изолированных значениях т о. (Из этого утверждения, конечно, не следует, что оно обязательно существует при произвольно заданной кривой — границе Г (С).) [c.160]

Алгоритм решения сформулированной сингулярной задачи состоит в следующем. После выбора dF G), если это понадобится, производится отображение на однолистную область определения с помощью функции [c.162]

Существование -окрестности звуковой точки профиля (Л,/3), отображение которой однолистно, вытекает из условия строгой выпуклости профиля др/дз1 < 0. [c.239]

УП. Отображение области Q в плоскость иу однолистно, при этом / 0. [c.269]

IX. При обтекании профиля с прямолинейным отрезком АР последняя характеристика узла А является линией ветвления. Если существует область Н, то по разные стороны от нее I имеет разные знаки.) Отображение области Р в плоскость иу однолистно, при этом / О при перемещении по отрезку АР от точки А скорость монотонно убывает. [c.269]

Так как J О при г О, отображение области дозвуковых скоростей в плоскость игу является локально однолистным (J обращается в нуль только в изолированных точках). Кроме того, ориентации соответствующих контуров в плоскостях ху и игу оказываются противоположными. Поэтому имеет место следующее обобщение закона монотонности вектора скорости на звуковой линии, установленного в [70] для плоских потенциальных течений (см. гл. 1, 11). [c.305]

А, ф., заданная в области D, на.з, о д в о л и с т-н о [ в D, если она осуществляет взаимно однозначное отображение D на сё образ D f D), K-pbni также является областью. Всякая однолистная в D А. ф. задаёт конформное отображение D на. D в то.лг смысле, что оно сохраняет углы между кривыми. Обратно, всякое (г. гад-кое) конформное взанмно однозначное отображение D па i , сохраняющее углы между кривыми (по величине и знаку), порождается нек-poir однолистной в -D А. ф., такой, что D —f(D). Области D и D в зтом случае наз, конформно изоморфными. Согласно теореме Р и- [c.79]

При п—2 множество К. о. разнообразнее, В этом случае двумерную плоскость удобно реализовать как пространство С комплексных чисел z=x- -iy. Добавляя к С бесконечно удалённую точку, рассматривают также К. о. областей расширенной комплексной плоскости С. Отображение области D на область D расширенной комплексной плоскости С конформно тогда и только тогда, когда оно либо задаётся нек-рой аналитической функцией f (z), определённой и однолистной в D, и такой, что D =f D], либо является суперпозицией описанного преобразования и комплекс1Юго сопряжения. В первом случае К. о. сохраняет не только величины углов, но и их знаки во-втором — знаки углов меняются на противоположные. Любые две односвязные области D и D в С, границы к-рых состоят из более чем одной точки, конформпо эквивалентны, При этом для произвольных точек из D и Z0 из D и произвольного вещественного числа 9 существует одна и только одна аналитич. и однолистная в D ф-ция /(z), такая, что f D) D, arg/ (2(,)—0 (теорема Р и м а н а). [c.453]

В случае неоднолистной области задаваемого годографа скорости ее предварительно следует конформно отобразить на однолистную область во вспомогательной плоскости С = С (1е Ввиду инвариантности уравнений (38.1) относительно конформных преобразований области изменения независимого переменного те же уравнения (38.1) справедливы и в плоскости С, причем функция V К (I, т ) будет определяться применяемым отображением. Соответственно, профиль дна ванны модели в плоскости С, конечно, будет не осесимметричным. В каждой конкретной задаче его надо профилировать так, чтобы толщины слоя о были бы одинаковыми в соответствующих точках плоскостей и С. [c.263]

Если функции (П3.12) и (П3.13) однозначны, то утверждают, что они осуществляют взаимнооднозначные отображения, а сами функции называются однолистными. При однолистном отображении функция (ПЗ. 13) называется обратной комплексной функцией. [c.288]

Для конформности отображения, производимого аналитической функцией o(f)> необходимо, чтобы всюду во внешности единичного круга ее производная была отлична от нуля. В противном случае на контуре L, разделяющем упругую и пластическую области, появляется петля неоднозначности, которая не имеет физического смысла. Для выполнения условия однолистности параметр а, согласно (2.2.28), должен удовлетворять неравенству [c.88]

Доказательство. Согласно обще теории отображений Шварца — Кристоффеля в (2.4) можно положить, что /(Г) = = Т1 Т—Г1)(Г—Гг) (Г—Гз). Используя разложение на простые дроби ), можно далее написать / Т) = кЛТ—Т ) для соответствующих постоянных Ль /12, /13. Интегрируя (2.4), получаем W= hl x T—T ), причем л.hi равно скачку функции тока V в точке Т . Согласно принятой нормировке, /11=—1 вследствие сохранения массы (однолистности в смысле теории функций комплексного переменного) получаем /12-f Лз = 1. [c.47]

Доказательство. Согласно основной теореме конформного отображения, течение в окрестности простой точки можно отобразить на полукруг в верхней полуплоскости Т с центром в точке 7 = 0 однолистным (взаимно однозначным) конформным преобразованием так, чтобы граница течения перешла в действительный диаметр. Поскольку функция z T) однолистна, то по теореме искажения Кёбе [6, т. 2, стр. 77] локально справед- [c.84]

Более сложная ситуация возникает, когда течение в с кости ищется как решение некоторой краевой задачи, с с на римановой поверхности в плоскости годографа (она может быть и однолистной). При этом однозначности отображения (г , у) (х, у), вообще говоря, может не быть. В таком случае вводят риманову поверхность и в физической плоскости, что позволяет говорить о гомеоморфизме замкнутых ограниченных областей в физической плоскости и в плоскости годографа. Однако построенные подобным образом решения в физической плоскости нереализуемы, если риманова поверхность в плоскости ху многолистна признаком локальной неоднолистности (возможна также неоднолистность глобальная) является обращение в нуль якобиана отображения [c.30]

На границе Е С) имеют место условия, следующие из условия непротекания. Одно из них ф = О ф — функция тока), другое, выражающее равенство кривизн контура профиля и прилегающей линии тока (всюду, кроме критических точек), после использования уравнений движения (что предполагает непрерывность соответствующих частных производных в замкнутой области определения, кроме критических точек) дает связь между фи фу и кривизной контура крыла (см. гл. 1, 16). В прямой задаче оба эти условия заданы на заранее неизвестной, свободной границе. В задаче профилирования, когда задана граница Е С), условие ЩдР с) используется при решении краевой задачи, а второе — для построения контура крыла по найденному решению. Задача профилирования сводится при этом к задаче Дирихле в многолистной ограниченной области (однолистной после указанного выше отображения), если присоединить асимптотические условия (4), (14) в точке уо = уо о. Однако искомое решение задачи профилирования должно еще удовлетворять двум (при а ф 0) дополнительным условиям, имеющим характер условий разрешимости, вытекающих из требований физической реализуемости решения, построенного методом годографа О. (Напомним, что задание сингулярных членов асимптотики (4), (14) обеспечивает замкнутость прообраза (в физической плоскости) любого замкнутого контура в плоскости годографа, охватывающего точку и] = г оо, в том числе и контура профиля, если он при этом получается ограниченным.) [c.159]

Вернемся теперь к доказательству однолистности римановой поверхности отображения сверхзвуковой зоны в плоскость годографа О. [c.174]

Введение криволинейных координат (рф определяет в каждой подобласти абсолютной непрерывности Р, X, ро Ф) отображение (х,у) для которого в 5 гл. 1 было отмечено свойство локальной однолистности при О < М < ос. [c.192]

Отрезок контура профиля, ограничивающий в зоне 3 -окрестность звуковой точки контура, отображение которой в плоскость годографа однолистно, не может содержать прямолинейный участок вдоль этого отрезка контура имеет место оценка дХ/дз1 xЛtga, где к = д(3/дз1 — кривизна контура, а = агс8ш(1/М). [c.239]

Таким образом, спрямление некоторого участка контура, расположенного в -окрестности звуковой точки, независимо от его длины приводит либо к такой деформации звуковой линии и характеристик, что обе характеристики, выходящие из любой точки спрямленного участка, уже не попадают на звуковую линию, либо к образованию скачка уплотнения, либо к нарушению однолистности отображения в первоначальной -окрестности с образованием линии ветвления, пересекающей контур. [c.240]

Действительно, в силу локальной однолистности отображения течения в плоскость годографа (см. гл. 1, 11) образом рассматриваемой дозвуковой области является область, лежащая внутри фигуры, образованной петлей ударной поляры и отрезком звуковой линии. Если бы существовала точка перегиба ударной волны, то ее образ в плоскости годографа — точка возврата на ударной поляре — был бы концевой точкой разреза образа области за ударной волной (рис. 8.23). [c.242]

Кривые 0 А и О2В не могут пересекать дозвуковой отрезок ударной поляры, так как в этом случае нарушился бы закон монотонности вектора скорости на звуковой линии, вытекающий из свойства локальной однолистности отображения дозвуковых областей. Поэтому образ дозвуковой области целиком расположен вне петли ударной поляры. Это означает, что на ударной волне не существует точек перегиба (см. рис. 8.24). [c.243]

Однако при непрерывной деформации исходного профиля в выпуклый, непрерывное преобразование течения в М-области невозможно, что противоречит предположению о корректности задачи. Действительно, при таком преобразовании петля образа контура, содержащая внутри себя точки Г, Н стянулась бы в точку, лежащую на дозвуковом отрезке ударной поляры. В силу локальной однолистности отображения дозвуковой области это невозможно О. [c.243]

Рассмотрим отображение дозвуковой области в плоскость годографа. Граница образа области дозвуковых скоростей за сильной ударной волной представляет собой самопересекающуюся кривую С1АВ, состоящую из отрезков ударной поляры и прямых /3 = /Зо, А = 1, если /З1 < /Зо < /З2, где /З1 — значение /3 в точке пересечения ударной поляры с прямой Л = 1, /З2 — максимальное значение /3 на ударной поляре. При /3 < /З1 образ дозвуковой области (за сильным скачком) целиком лежит внутри петли ударной поляры. Оба случая неосуществимы ввиду свойства локальной однолистности отображения (рис. 8.26). [c.244]

Как известно, / О при г О (см. гл. 1), поэтому достаточно доказать однолистность отображения сверхзвуковой подобласти Т. [c.269]

Ясно, что во всех случаях годофаф области, занимаемой простой волной, на плоскости течения есть линия на плоскости годографа. Поэтому в области простой волны отображение (30) не однолистно. Следовательно, за исключением постоянных течений и простых волн, течение общего характера отображается на плоскость годофафа локально взаимно однозначно. В таких течениях величины и и v могут быть приняты в качестве независимых переменных. [c.229]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...