Константы упругости изотропного тела

Константы упругости изотропного тела ч. I. 9 [c.361]

Важнейшей особенностью обобщенного закона Гука для изотропного тела является то обстоятельство, что матрица податливостей (1.7) инвариантна по отношению к выбору системы координат и формируется с использованием только двух независимых констант, полностью определяющих упругие свойства изотропного тела.г Кроме того, при сложном напряженном состоянии изотропного тела относительные удлинения S не зависят от касательных напряжений %ij, но связаны со всеми нормальными компонентами напряжений о , в то время как углы сдвига 7 , зависят лишь от соответствующих касательных напряжений т, . Поэтому для упругого изотропного тела главные оси напряженного состояния всегда совпадают с главными осями деформированного состояния. [c.8]

Как в историческом прошлом, так и в настоящее время определение констант упругости для тел, которые предполагались изотропными, сводилось в основном к отысканию модуля Е. Разумеется в литературе встречалось также определение значения [х. Со второй половины XIX века появилось несколько попыток непосредственного определения коэффициента Пуассона v и модуля объемной упругости К- Довольно рано было осознано, что вычисление этих величин по экспериментально найденным значениям и [х приводит не только к весьма различающимся, но во многих случаях явно неверным значениям. [c.242]

Упругие свойства анизотропного тела можно охарактеризовать некоторыми упругими константами так же, как упругие свойства изотропного тела можно характеризовать двумя константами — модулем Юнга и модулем сдвига. Однако для анизотропного тела этих констант существует не две, а больше — 21 в самом общем случае. Число констант уменьшается, если анизотропное тело обладает некоторой симметрией (в некоторых направлениях свойства тела одинаковы). [c.475]

Для изотропных тел, кроме двух основных констант (модуля Юнга и модуля сдвига), мы ввели выше еще одну упругую константу — коэффициент Пуассона. Но эти три константы, , G и т, в изотропных телах не независимы, а связаны между собой соотношением ) [c.475]

Упругие свойства изотропного твердого тела вполне определяются двумя из трех констант , G, т = l/v. Так как m > 2, то для всех тел G должно быть немногим меньше, чем /2. Впрочем, для технических материалов, подвергшихся специальной обработке (например, прокатке), это соотношение между 6 и не соблюдается. Объясняется это тем, что подвергшиеся специальной обработке материалы уже нельзя рассматривать как вполне изотропные тела. [c.476]

Для изотропных тел можно ввести еще одну константу, характеризующую упругие свойства вещества (конечно, уже не независимую, а связанную с константами , G и т). При одностороннем сжатии куба, как было показано (14.5), объем куба изменяется на AV = (1—2v) е. Поэтому при одинаковом сжатии по всем трем парам граней (всестороннее сжатие) объем куба уменьшится на [c.476]

Обратим внимание на важную особенность системы (4.17) в нее не входят константы упругости и и. Следовательно, при заданных на поверхности пластинки нагрузках р , ру (4.4) эти уравнения могут быть решены и дадут напряжения, не зависящие от упругих свойств изотропного линейно-упругого материала. Это положение обычно называют теоремой Леви. Она служит теоретическим основанием, позволяющим напряжения, найденные на моделях, изготовленных из какого-либо материала, переносить на геометрически подобные и аналогично загруженные детали конструкций, выполненные из другого материала. Например, в методе фотоупругости используются прозрачные модели, а результаты экспериментальных исследований переносят на стальные, бетонные и т. п. элементы конструкций. Подчеркнем, что строго это положение справедливо только для элементов с заданной поверхностной нагрузкой (а не перемещениями) и, как показывает более подробный анализ, только для односвязных тел, т. е. тел без отверстий. В телах с отверстиями для применимости теоремы Леви надо, чтобы выполнялось дополнительное условие, а именно на каждом из замкнутых контуров тела и отверстий главные векторы и момент поверхностной нагрузки должны быть равны нулю. [c.77]

Таким образом, изотропное тело характеризуется лишь двумя упругими константами Р и Q. Применяя формулы (4.20) и при этом учитывая, что в них величины ehr k r) представляют угловые деформации, тогда как в (4.33) они обозначают половины угловых деформаций, из формулы (4.33) получим [c.68]

Изотропное тело. Исходя из энергетических соображений, можно удостовериться в наличии двух констант упругости в случае изотропного тела. Величину W (15.54) можно представить, если за X, у и г принять главные оси, как однородную функцию второй степени от е , и 3. Если тело изотропно, то [c.478]

Поведение изотропного идеально упругого ( гуковского ) тела характеризуется, следовательно, двумя константами, т. е. модулем Юнга Е и коэффициентом Пуассона fi. Третья константа — модуль упругости при сдвиге G — определяется выражением [c.10]

Существует три основных вида модулей упругости — модуль Юнга Е, модуль сдвига О и объемный модуль В. Простейшим типом материалов являются изотропные и гомогенные. Поведение таких материалов характеризуется значениями двух констант, и поскольку существует связь между Е, Он В, для описания упругого поведения изотропного тела достаточно любых двух из них. Для изотропных материалов [c.35]

Таким образом, для трансверсально изотропного тела число независимых констант упругости сокращается до 5. Однонаправленный волокнистый композитный материал при равномерном распределении армирующих волокон (рис. 2.10) согласно определению можно отнести к трансверсально изотропным материалам. [c.85]

К. Следует сказать, что вопрос о количестве независимых констант, характеризующих упругое поведение материала, был предметом длительной дискуссии в XIX веке. Вслед за С. Пуассоном все ведущие ученые французской школы механиков — Л. Навье, О. Коши, Д. Ламе, Б. Клапейрон и др. — считали, что упругие свойства изотропного тела определяются одной константой, а коэффициент Пуассона независимо от материала всегда равен 1/4. Английский ученый Джордж Грин (1793-1841), впервые в явной форме отказавшийся от молекулярного подхода и рассматривавший деформируемое тело как сплошную среду, пришел к выводу, что упругое поведение изотропного материала должно характеризоваться двумя независимыми константами. Дальнейшие многочисленные экспериментальные исследования, проводившиеся многими учеными, подтвердили точку зрения Д. Грина. [c.122]

Таким образом, еще в конце 20-х годов были получены две системы уравнений теории упругости, характеризовавшие изотропное тело одной (Навье) и двумя (Коши) упругими постоянными. Впрочем, все французские авторы, включая и самого Коши, считали вначале, что реальное изотропное тело характеризуется одной константой. Обе системы были в конце 30-х годов обобщены на анизотропные тела с введением соответственно 15 (Пуассон) и 21 (Грин) константы. [c.53]

В таком виде тензор Спт характеризует упругость среды, не нме- ющей элементов симметрии. Наличие таковых уменьшает общее ко- личество отличных от нуля модулей упругости и количество независимых модулей. В табл. 1 приведены матрицы модулей упругости для различных кристаллографических систем. Как видно из этой таблицы, упругие свойства кристаллов, например гексагональной системы, характеризуются уже только пятью независимыми мод -.-лями упругости, для кристаллов же кубической симметрии число независимых модулей уменьшается до трех. При этом следует иметь (В виду, что приведенные таблицы констант упругости относятся вполне определенному положению осей координат относительно кристаллографических осей. В изотропном теле модули упругости, естественно, не могут зависеть от направления координатных осей,. что приводит к условиям [81 [c.21]

Три основные упругие константы изотропного тела Е, О и д), а также постоянная к связаны между собой двумя зависимостями [c.91]

При весьма малых деформациях (упругий сдвиг порядка 10- , т. е. порядка сотых долей процента) все монокристаллы обладают определенными упругими константами [14], но не двумя, как изотропные тела, а тремя и более (до 21 модуля и коэффициента упругости). Чем более симметрична структура кристалла, тем меньше его анизотропия и тем меньшее число упругих констант достаточно для характеристики его упругих свойств. Так, например, гексагональные кристаллы различных классов характеризуются 5—7 константами, в то время как кристаллы кубической системы характеризуются всего тремя константами. Шар, изготовленный из монокристалла и подвергаемый всестороннему гидростатическому давлению для всех решеток, кроме кубической, теряет свою шарообразную форму вследствие анизотропии упругих свойств. [c.101]

Упругие свойства изотропного тела можно охарактеризовать тремя константами Е — модулем Юнга, О — модулем сдвига и р, — коэффициентом Пуассона, связанными между собой соотношением Е = [c.99]

I - - а). Упругие свойства твердого тела вполне определяются двумя из трех констант. Для технических материалов, подвергшихся специальной обработке (например, прокатке), указанное соотношение между Е и О не соблюдается. Это объясняется тем, что подвергшийся специальной обработке материал уже нельзя рассматривать как вполне изотропное тело. [c.99]

Широкое распространение получил приближенный энергетический метод учета внутреннего трения при колебаниях механических систем, который предполагает введение некоторой функции диссипации энергии за цикл нагружения при сохранении линейно упругой связи между напряжениями и деформациями. Поэтому наряду с упругими константами рассматриваются как независимые диссипативные параметры материала (логарифмические декременты колебаний или коэффициенты рассеяния). Для изотропных тел [111 потери энергии AW в единице объема тела за цикл нагружения определяются с помощью двух коэффициентов ij) , t(i", амплитудных значений энергии формоизменения W и энергии изменения объема W [111 [c.252]

В случае изотропного тела она переходит в точную формулу для модуля сдвига G = Е/[2 (1 -f v)]. Таким образом, для сорока пяти обследованных пород можно с достаточной для практики точностью считать, что число независимых упругих констант равно не пяти, а четырем. Как будет показано в главе 4, степень (или интенсивность) анизотропии в случае двухмерной (плоской) задачи характеризуется двумя величинами. Анизотропию же указанных выше пород можно характеризовать только одной величиной и за эту величину авторы предлагают принимать отношение главных модулей р = EIE, [c.58]

Тот факт, что напряжения, действующие на элементарный объем твердого тела, могут быть выражены в виде линейной комбинации деформаций, был установлен экспериментально для многих веществ в семнадцатом столетии эта связь известна как закон Гука. Для изотропного твердого тела все константы пропорциональности могут быть выражены через два упругих модуля. Хотя модуль Юнга и коэффициент Пуассона —общепринятые упругие константы, здесь будут использованы коэффициенты Ламе X и [х. Для изотропного тела связь между напряжением и деформацией имеет следующий вид [c.21]

Уравнения движения. Понятия напряжения и деформации и терминология, установленная для изотропных твердых тел, применимы без изменений к анизотропным твердым телам так же, как и уравнения движения, выраженные через напряжения, согласно уравнению (2.3). Но изменяется связь между напряжениями и деформациями- Согласно закону Гука в его наиболее общей форме каждая компонента напряжения зависит линейно от каждой компоненты деформации, а константы пропорциональности интерпретируются как упругие константы. Для изотропной среды имеются только две независимые константы. В случае поперечно-изотропной среды закон Гука содержит пять независимых констант. Если для них использовать обозначения Лява, то связь напряжения и деформации запишется так [c.46]

В частном случае трансверсально изотропных тел (пять независимых упругих констант), которые приводятся в контакт таким образом, что оси их симметрии параллельны общей нормали в точке контакта, аналитическое решение для контактных напряжений и деформаций можно получить, но со значительно большими трудностями, чем в случае изотропных тел (см. [353]). [c.156]

Как уже было отмечено, геометрия тела с трещиной такова, что у кончика сквозной трещины образуется область плоской деформации. Поскольку локальная природа рассматриваемого критерия разрушения уже была показана, естественно предположить, что плоское деформированное состояние сохранится в локальной области и в анизотропных телах. Для выполнения этого предположения необходимо существование плоскости упругой симметрии, нормальной к границе трещины. Можно показать [12, 18], что вид анизотропии ограничен шестью независимыми константами. Подобное же ограничение имеет место и для тела с трещиной П1 рода. Согласно методам Лехницкого [11], показано, что для каждого из трех видов локальной деформации (см. рис. 6.2) функциональные формы коэффициента интенсивности напряжения для этого частного вида анизотропии можно считать идентичными соответствующим формам для изотропного случая. [c.231]

Сдвиг — это другой вид напряженного состояния, которым нельзя пренебрегать при любом изучении упругих свойств материала. В отличие от деформаций растяжения или сжатия, вызываемых напряжениями, действующими под прямым углом к поверхности тела, при сдвиге происходит изменение формы тела, вызываемое равными и противоположно направленными напряжениями, действующими по касательной к поверхности тела. Величина сдвиговой деформации определяется тангенсом угла сдвига tgY (рис. 4.12). Отношение сдвигового напряжения к tgY называется модулем сдвига G и часто используется для характеристики жесткости материала. Для изотропного материала модуль сдвига связан с другими упругими константами и v уравнением [c.209]

Материал, свойства которого одинаковы для образцов, вырезанных в любом направлении, называется изотропным. Более точно, это определение изотропии относится к весьма малым образцам, вырезанным в окрестности одной и Toii же точки. Изотропный материал может быть неоднородным, т. е. упругие свойства его могут меняться от точки к точке. Очевидно, что потенциал напряжений или упругая энергия изотропного тела не должен меняться при измененпи осей координат, поэтому он должен выражаться через инварианты тензора деформаций. Единственная однородная квадратичная форма, составленная из этих инвариантов, зависит от двух констант и выражается следующим образом [c.239]

Упругость твердого тела. Согласно закону Гука между напряжениями и деформациями существует пропорциональная зависимость. Для изотропного тела связь между компонентами тензоров Tjjj и дается шестью уравнениями. При этом вводят две упругие постоянные модуль нормальной упругости Е (при осевом растяжении-сжатии) и модуль сдвига G. Вместо модулей Е и G вводят другую пару констант, например постоянные Ламе Л и р,, модуль объемного сжатия К и коэффициент Пуассона v. [c.5]

В своём выводе основных уравнений теории упругости Навье (см. стр. 129) исходил из предположения, что идеально упругое тело состоит из молекул, между которыми при его деформировании возникают силы взаимодействия. При этом принималось, что силы эти пропорциональны изменениям расстояний между молекулами и действуют по направлениям соединяющих их прямых линий. Таким путем Навье удалось установить соотношения между деформациями и упругими силами для изотропных тел с введением лишь одной упругой константы. Коши (см. стр. 135) первоначально ввел две константы в зависимости между напряжением и деформацией в случае изотропии. В самом же общем случае анизотропного тела Пуассон и Коши допускали, что каждая из шести компонент напряжения может быть представлена однородной линейной функцией шести компонент деформации (обобщенный закон Гука). В эти функции входило 36 постоянных. Положив в основу физического истолкования явления упомянутую выше молекулярнуро теорию, они снизили число постоянных для общего случая до 15. Они показали, что изотропия допускает дальнейшее снижение этого числа, так что окончательно для записи соотношений между компонентами напряжения и деформации необходима лишь одна постоянная, которую и ввел Навье. [c.262]

С конца 40-х годов возникла продолжительная дискуссия о числе физических констант, характеризующих упругое тело. Сторонники мультиконстант-ной теории утверждали существование 21 константы для анизотропного тела и 2 — для изотропного, а сторонники рариконстантной теории уменьшали их число соответственно до 15 и 1. [c.53]

По сравнению с прежним выражением (1.21), полученным для случая линейной упругости, характеризуелюй двумя модулями Я и л, здесь появились еще три константы А, В и С. Поскольку эти константы входят в разложение энергии при кубических членах, их называют модулями упругости третьего порядка или нелинейными модулями. Таким образом, упругость изотропного твердого тела в первом приближении характеризуется в целом пятью константами, и поэтому нелинейную теорию упругости, основанную на таком приближении, называют пятиконстаптиой . Следующие приближения потребовали бы введения еще четырех модулей четвертого порядка, пяти людулей пятого порядка, и т. д. В дальнейшем мы ограничимся основами только пятикоыстантной теории. [c.237]

Идеально упругое изотропное твердое тело в равновесии ( 16, 17). (арактерные константы тела — размер /о, плотность Ро=р5, модуль объемной упругости р =К Па, модуль сдвига О Па (а5=2С) внешние нагрузки объемная сила рР характеризуется удельным весом ро о, поверхностная — распределенной [c.291]

Две упругие постоянные X и р., называемые константами Ляме, полностью определяют упругие свойства изотропного тела. Для удобства, однако, используются обычно четыре упругие постоянные модуль продольной упругости , пуассоново отношение V, модуль объемного сжатия к и модуль сдвига, совпадающий с константой Ляме [А, С помош,ью уравнений (2.3) V и Л можно выразить через X и [Л. [c.17]

Пере11дем к определению дисторсии, учитывающих пеинтегри-руемую часть. Для это11.цели рассмотрим лагранжиан теории упругости с тензором деформации Грина (2.17). В случае изотропного тела будет только две упругие константы и лагранжиан в декартовых координатах имеет вид [c.27]

Для характеристики упругих свойств изотропного тела, например поликристал-лического нетекстурованного металла, достаточно двух констант. Поэтому четыре величины К, О, Е. [д, связаны двумя соотношениями [c.241]

Изотропное тело описывается двумя упругими константами. Для этого достаточно трех вышеприведенных кубических упругих констант при условии Сц = С12 + 2С44. Сложные кристаллы могут иметь до 21 различных упругих констант. Для случая центральных сил, т. е. при применимости (35.9), это число ограничивается 15 (соотношения Коши). [c.153]

В связи с этим между учеными прошлого столетия возникла дискуссия, вошедшая в историю под названием спора сторонников мультикокстантной и рарикоьстантной теории упругости [60]. Первые утверждали, что в формулах связи между напряжениями и деформациями для изотропных тел должны содержаться две константы (например, и V), а вторые—что только одна константа (так как вторая для всех тел одинакова). [c.222]

Теория деформаций анизотропного тела. Теория деформаций изотропного тела потребовала только двух констант (коэфициента Лямэ). Анизотропное тело, упругие свойства которого по всем направлениям различны, ие м. б. охарактеризовано только двумя постоянными. Пуассон и Кошп одновременно указали для анизотропного тела 36 постоянных, из к-рых кансдое указывает на то или другое качество тела. Вследствие существования упругого потенциала (53), доказанного В. Томсоном, количество постоянных сокращено до 21. Для нек-рых кристаллич. систем это число м. б. еще уменьшено, но не ниже 3. Закон Гука для анизотропного тела и.чи постулируется или м. б. выведен из теории кристаллич. решетки (Борн). Рассмотрено состояние анизотропных тел под всесторонним давлением, при простых растяжении и сжатии, также изгибе и кручении. В технич. вопросах теория анизотропных тел занимает еще малое место, несмотря на то что металлы, железобетон и другие материалы больщей частью анизотропны. Губер вывел уравнение состояния ортогонально-анизотропной пластины, Штейерман распространил теорию изгиба симметрично расположенных и нагру-л енных оболочек (Лове-Мейснер) на случай анизотропных стенок. [c.222]

В предлагаемой работе кратко изложены теоретические основы распространения упругих волн в твердых телах, причем больше внимания уделяется вопросам распространения поперечных (сдвиговых) колебаний в анизотропных средах. Даны основы метода акустополяризованных измерений. Объяснена физическая суть эффекта линейной анизотропии поглощения (акустического дихроизма). На основе анализа законов отражения на полупространстве и отражения-прохождения на границе раздела сред рассматриваются пути создания эффективных чисто поперечных линейно-поляризованных излучателей и приемников колебаний. Проанализированы, разработаны и испытаны конструкции комбинированных преобразователей для излучения и приема продольных и сдвиговых колебаний, преобразователей для определения упругих постоянных анизотропных сред. На основе результатов сравнительных испытаний показаны их достоинства и недостатки. Описаны акустополярископы трех модификаций и приемы проведения акустополяризационных измерений. Изложены приемы обработки результатов измерений, определения типа симметрии и констант упругости анизотропных сред. Даны правила для расчета констант, анализа сред ромбической, тетрагональной, псевдогексагональной, кубической и изотропной симметрий. Вместе с этим показано, что по числу выявленных элементов симметрии возможен анализ сред более низких форм симметрии, например, тригональной и др. [c.12]

Идеально изотропное упругое твердое тело в равновесии. Характерные константы тела — размер /о, плотность ро = р , модуль упругости рз К, кГ/см , модуль сдвига О кг см (а.,=2 0), внешние нагрузки объемная сила рР характеризуется удельным весом роЯо, поверхностная —распределенной Оо Кг/слс .я сосредоточенной 0/с/ перемещение границы характеризуется постоянной Ио см. Операторы Р, 8ц являются просто функциями тензора деформаций [c.237]

МОДУЛИ УПРУГОСТИ (от лат. modulus — мера), величины, характеризующие упругие св-ва материалов при малых деформациях. При растяжении, силой F цилиндрич. образца дли ной I с площадью поперечного сече " ния S имеет место линейная зависим, мость между норм, напряжением в поперечном сечении a=FlS и относит, удлинением e=AI l, т.е. t=j5s. Константа материала Е наз. модулем Юнга или модулем продольной упругости. При растяжении относит, уменьшение поперечных размеров образца — е пропорц. 8. Величина v=—г /е, наз. коэффициентом Пуассона. При кручении тонкостенного трубчатого образца касат. напряжение т в попереч-, ном сечении пропорц. деформации сдвига у, т. е. T=Gy. Константа материала G наз. л1одулем сдвига. В изотропном материале значения Е, G, V не зависят от направления, в к-ром вырезан из среды испытуемый образец. При сжатии изотропного тела произвольной формы равномерным давлением р в нём возникает одно-, родное гидростатич. напряжённое состояние, при к-ром 011=022=0 33= Р) ( 12—и гидростатич. деформация 811=е2а= зз=е, [c.427]

В частности, для изотропного однородного стареющего теЦа принцип Вольтерра остается справедливым при допущении, что ползучесть имеет место только при сдвиговой деформации, а объемная деформация упруга, т. е. модуль сдвига — оператор, а модуль объемной деформации — константа. При этом на границу тела могут быть наложены упругие связи, или стареющее вязкоупругое тело может контактировать с упругим. [c.283]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...