Модули упругости изотропного тела

Очевидно, что выражения (8.2.6) для модулей упругости изотропного тела сохраняют свой вид для любой системы координат, поскольку тензор Кронекера при изменении системы координат не меняется. [c.240]

Формулы (16.8) справедливы и для анизотропных тел при условии, что модули упругости и коэффициенты теплового расширения взяты для соответствующих кристаллографических направлений с учетом текстуры материала. Формулы связи (16.4)— (16.7) справедливы и для изотермических и для адиабатических модулей упругости изотропного тела. Разница между значениями тех и других модулей обычно невелика (0,5—2%). [c.253]

Е —модуль упругости изотропного тела, [c.10]

Утверждение (3.3.4) является свойством, приписываемым упругому телу, — в нем отсутствуют зоны, в которых Л < 0. В линейно-упругом изотропном теле оно должно обеспечиваться требованиями, накладываемыми на модули упругости [c.117]

Важно отметить, что поведение упругого изотропного тела в пределах применимости закона Гука описывается заданием двух независимых модулей (постоянных). В дальнейшем мы будем пользоваться модулями Q 1л т (иногда т). Запись соотношений (8.8) и (8.9) примет вид [c.45]

Для определения упругих модулей изотропного тела иногда используют два опыта — на чистый сдвиг, при котором [c.49]

Следует отметить, что деформация в плоскости х, у (деформация с отличными от нуля Ugx, Uyy, Uxy) определяется всего двумя упругими модулями, как и для изотропного тела другими словами, в плоскости, перпендикулярной к гексагональной оси, упругие свойства гексагонального кристалла изотропны. По этой причине выбор направлений осей в этой плоскости вообще несуществен и никак не отражается на виде F. Выражение (10,9) относится поэтому ко всем классам гексагональной системы. [c.55]

Все сказанное относится, разумеется, к монокристаллам. Поликристаллические же тела с достаточно малыми размерами входящих в их состав кристаллитов можно рассматривать как изотропные тела (поскольку мы интересуемся деформациями в участках, больших по сравнению с размерами кристаллитов). Как и всякое изотропное тело, поликристалл характеризуется всего двумя модулями упругости. Можно было бы на первый взгляд подумать, что эти модули можно получить из модулей упругости отдельных кристаллитов посредством простого усреднения. В действительности, однако, это не так. Если рассматривать деформацию поликристалла как результат деформации входящих в него кристаллитов, то следовало бы в принципе решить уравнения равновесия для всех этих кристаллитов с учетом соответствующих граничных условий на поверхностях их раздела. Отсюда видно, что связь между упругими свойствами кристалла, [c.56]

Упругие свойства анизотропного тела можно охарактеризовать некоторыми упругими константами так же, как упругие свойства изотропного тела можно характеризовать двумя константами — модулем Юнга и модулем сдвига. Однако для анизотропного тела этих констант существует не две, а больше — 21 в самом общем случае. Число констант уменьшается, если анизотропное тело обладает некоторой симметрией (в некоторых направлениях свойства тела одинаковы). [c.475]

Для изотропных тел, кроме двух основных констант (модуля Юнга и модуля сдвига), мы ввели выше еще одну упругую константу — коэффициент Пуассона. Но эти три константы, , G и т, в изотропных телах не независимы, а связаны между собой соотношением ) [c.475]

Из соотношения (3.52) следует, что объемная деформация 0 при любом упругом деформировании изотропного тела зависит исключительно от линейного инварианта S тензора напряжений, причем эта зависимость определяется только модулем объемного сжатия 0. [c.62]

В анизотропных телах положение осложняется в тех случаях, когда анизотропия криволинейна. Например, цилиндр, изготовленный из стеклопластика или углепластика путем намотки, ортотропен, но упругие свойства его обладают цилиндрической симметрией, в цилиндрических координатах модули упругости и коэффициенты температурного расширения постоянны. Но при переходе к декартовым координатам тензоры Ei и а будут уже не постоянными, а функциями координат Ха, поэтому даже равномерное температурное ноле вызовет напряжения. Эта задача легко решается методом, совершенно подобным тому, который был применен в 8.12 для трубы из изотропного материала. Присваивая радиальному направлению индекс единицы, мы запишем уравнение упругости в форме (10.6.4). Теперь уравнение для функции напряжений оказывается следующим [c.385]

Как уже ранее было отмечено, материалы, упругие свойства которых не зависят от направления, называются изотропными. В этом случае будет минимальное количество упругих постоянных, характеризующих упругие свойства такого тела. Таких упругих постоянных будет три— нормальный модуль упругости Е (модуль Юнга), модуль сдвига О и коэффициент Пуассона р. Между этими тремя упругими постоянными имеется следующая зависимость [c.40]

Теперь обсудим решение краевой задачи теории упругости неоднородных тел, которое приводит к определению эффективных модулей материала. Рассматриваемое тело представляет собой прямоугольную призму (см. рис. , а). Основные уравнения для компонент тензоров напряжений и деформаций — это уравнения (1), в которых коэффициенты жесткости удовлетворяют условиям (2), а также обычные уравнения равновесия в напряжениях и уравнения совместности деформаций теории упругости однородных изотропных тел. Последние соотношения здесь не приводятся, поскольку их можно найти в любом курсе теории упругости. Достаточно указать, что переменные поля (напряжений), имеющие вид [c.42]

Для понимания условий зарождения разрушения в материалах, армированных волокнами, оказывается крайне полезным иметь хотя бы качественное представление о распределениях напряжений и деформаций, возникающих под действием внешней приложенной нагрузки в структуре из близко расположенных параллельных волокон, погруженных в матрицу. Хотя волокна и матрица сами по себе могут рассматриваться как упругие изотропные и однородные тела, их модули Юнга, коэффициенты Пуассона и коэффициенты термического расширения весьма различны, поэтому, когда композит в целом подвергается изменению температуры или простому одноосному нагружению, в силу условий неразрывности на микроуровне возникают сложные напряженное и деформированное состояния. Исследователи, изучавшие композиты, давно это учитывали, однако уточненные решения были получены численными методами лишь после появления мощных вычислительных машин (например, [16]). [c.335]

До сих пор мы рассматривали только одноосную деформацию, В общем случае напряженного состояния для описания наследственно-упругих свойств изотропного тела необходимо знание, кроме Е, еще одного оператора, например, v, аналогичного коэффициенту Пуассона. Можно использовать и два каких-либо других оператора, например, G и К, соответствующих модулям сдвига и объемной деформации. По аналогии с законом Гука, для наследственной упругости имеем [c.767]

Следует иметь в виду, что приведенная выше формула получена для гомогенного изотропного упругого тела. В строгой же постановке необходимо использовать теорию анизотропии, которая учитывает состав и структуру материала, а под величиной Е следует понимать динамический модуль упругости, который учитывает влияние скорости деформации. [c.160]

Поведение изотропного идеально упругого ( гуковского ) тела характеризуется, следовательно, двумя константами, т. е. модулем Юнга Е и коэффициентом Пуассона fi. Третья константа — модуль упругости при сдвиге G — определяется выражением [c.10]

В отличие от изотропного тела в этом частном случае модуль упругости Е, модуль сдвига G и коэффициент Пуассона v являются независимыми величинами, характеризующими упругие свойства тела. [c.12]

Закон Гука. Описывает линейную связь между напряжением и упругой деформацией (изотропное тело). Для нормальных напряжений а=гЕ, где Е — модуль упругости для касательных напряжений %=уО, где G — модуль сдвига. В- и (7-модули некоторых материалов приведены в табл. 26. [c.91]

Существует три основных вида модулей упругости — модуль Юнга Е, модуль сдвига О и объемный модуль В. Простейшим типом материалов являются изотропные и гомогенные. Поведение таких материалов характеризуется значениями двух констант, и поскольку существует связь между Е, Он В, для описания упругого поведения изотропного тела достаточно любых двух из них. Для изотропных материалов [c.35]

В этой теории различаются два типа молекулярных процессов, протекающих с весьма различными скоростями 1) весьма медленный процесс исчезновения и образования узлов (его характерные времена имеют порядок 0,01 сек) и 2) весьма быстрый процесс изменения конформации цепей, составляющих сетку, когда средние во времени положения узлов определены. Его можно полагать протекающим мгновенно. Более того, для любого момента времени в ходе произвольной истории течения напряжение определяется сеткой, такой же как и у каучукоподобного тела (в частности, высокополимера, набухшего в низкомолекулярном растворителе). Мы назовем его эквивалентным эластомером. Можно ожидать, что связность, модули и ненапряженное состояние эквивалентного высокоэластического тела (для данного раствора полимера) будут зависеть от истории течения. Если напряжение внезапно падает до нуля (или становится изотропным), то жидкость будет деформироваться мгновенно (так как вязкость растворителя принимается нулевой) до ненапряженного состояния эквивалентного эластомера в данный момент времени. Вообще, если в какой-то момент предыстории течения (медленной) жидкость подвергнуть произвольному, достаточно быстрому деформированию, то она будет вести себя подобно идеально упругому твердому телу высокоэластического типа. Эти соображения отражены в следующей теореме, [c.167]

Фогхт и Ройс предложили приближенные методы определения модулей упругости изотропных поликристаллических тел через упругие постоянные монокристаллов. Их соотношения, справедливые для кристаллов всех классов симметрии, имеют вид По Фогхту [c.250]

Главной целью исследования Ф. Эверетта и Микловица было определение зависимости коэффициента Пуассона от температуры ) для различных типов стали. Среди них были горяче- и холоднокатаная стали, среднеуглеродистая сталь и два типа стали, которая была названа высокотемпературной сталью , что означало сохранение относительно высокого модуля при высоких температурах. Большое разнообразие определенных значений коэффициента Пуассона напоминает работу Баушингера 1879 г., в которой впервые подвергнуто существенной критике использование для определения коэффициента Пуассона формулы, содержащей отношение модулей упругости изотропных твердых тел . Вообще, проведя опыты с пятью видами стали при шести различных значениях температуры от комнатной до 1000 F, Ф. Эверетт и Микловиц заметили, что значение коэффициента Пуассона возрастает с возрастанием температуры. Для одного вида высокотемпературной стали они получили численные значения, превышающие 1/2. Найденные в опыте значения и А показаны на рис. 3.41 вместе с вычисленными при различных температурах значениями v. [c.387]

Квантованное распределение значений модуля упругости при сдвиге при нулевой температуре по Кельвину для упругих изотропных тел и мультимодульность для данного изотропного твердого тела [c.505]

Очевидно, исследование квантованного распределения постоянных упругости и связанных с ним переходов второго рода для касательного модуля при малых деформациях является основным для понимания деформации кристаллов. От самых ранних экспериментальных определений постоянных упругости и до настоящего времени модули упругости изотропных поликристаллических тел, как можно видеть, подчиняются упоминавшемуся выше квантованному распределению. Этому открытию, однако, еще меньше десяти лет (Bell [1968, 1], [1964, 1], [1965,2], [1967,2]), так что должно пройти еще немало времени, прежде чем будут постигнуты все его разветвления как в механике сплошных сред, так и в атомной механике. [c.518]

Экспериментальными исследованиями, выполненными под руководством Л.И. Манвелова [163, 164], установлено, что применяемые для практических расчетов модели грунтового основания, с одной стороны, не учитывают распределительные свойства грунта (модель Винклера), с другой стороны, сильно преувеличивают эти свойства вне пределов нагрузки (модель упругого полупространства, в которой грунт рассматривается как упругое изотропное тело, характеризуемое модулем упругости и коэффициентом Пуассона, а осадки по поверхности распределены по гиперболическому закону Буссинеска). [c.428]

При этом имеем только два независимых упругих модуля, т. е. переходим к изотропному твердому телу. К условию (2.3) можно прийти и из более простых соображений [4], потребовав, чтобы модули упругости не зависели от поворотов кристалла на любой угол. Это требование выполняется, если tj i представимы в виде сц, 1= =A,6 y6fe + i(6ift6 +6 6jft), где X и J, — уже знакомые нам упругие постоянные Ламе. Независимые модули упругости изотропного кубического кристалла выражаются через них в виде Сц=2 1- -А,, i2=A,. [c.217]

Наконец, сделаем еще следующее замечание по поводу фигурирующих в (36,1) модулей упругости. Поскольку они введены как коэффициенты в свободной энергии, ими определяются изотермические деформации тела. Легко видеть, однако, что те же коэффициенты определяют в нематиках также и адиабатические деформации. Действительно, мы видели в 6, что для твердого тела различие между изотермическими и адиабатическими модулями возникает в силу наличия в свободной энергии члена, линейного по тензору деформации. Для нематиков аналогичную роль мог бы играть член, линейный по производным dutii. Такой член должен был бы быть скаляром и к тому же инвариантным по отношению к изменению знака п. Очевидно, что такой член построить нельзя (произведение п rot п — псевдоскаляр, а единственный истинный скаляр div п меняет знак вместе с п). По этой причине изотермические и адиабатические модули нематика совпадают друг с другом (подобно тому, как это имеет место для модуля сдвига изотропного твердого тела — 6). Эти рассуждения можно сформулировать и несколько иначе в отсутствие линейного члена квадратичная упругая энергия (36,1) является первой малой поправкой к термодинамическим величинам не- [c.194]

Упругость твердого тела. Согласно закону Гука между напряжениями и деформациями существует пропорциональная зависимость. Для изотропного тела связь между компонентами тензоров Tjjj и дается шестью уравнениями. При этом вводят две упругие постоянные модуль нормальной упругости Е (при осевом растяжении-сжатии) и модуль сдвига G. Вместо модулей Е и G вводят другую пару констант, например постоянные Ламе Л и р,, модуль объемного сжатия К и коэффициент Пуассона v. [c.5]

Оценим порядок значений начальных напряжений и деформаций, при которых это может произойти. Сравнивая формулы (2.26) и (2.27), видим, что порядок е" равен порядку е . Тогда из зависимости (2.45) следует, что для того чтобы АЭ могло обратиться в нуль, порядок значений начальных напряжений Ох = Pai,. .., %°ху == Р ху должен быть такой же, как у модуля упругости. Другими словами, для того чтобы начальное состояние равновесия изотропного упругого тела перестало быть устойчи- [c.53]

Рассмотрим изотропное линейно упругое тело, в закон связи между напряжениями и деформациями которого входят два модуля — модуль упругости Е и коэффициент Пуассона v (либо модули Ламе Я и ц,). В таком теле неоднородность может быть четырех типов — непрерывная, кусочная, статистическая и разномодульная. Непрерывно неоднородные тела, изучаемые в настоящей книге, целесообразно разделить по следующим признакам [c.12]

М. а. используется также для количеств, измерений локальных модулей упругости материалов. Методом У(2)-характеристик в акустич. микроскопах на отражение измеряется локальная скорость рэлесвской волны в изотропных твёрдых телах. Измерения 1 (г)-ха-рактернстик с помощью цилиндрич. акустич. линзы позволяют определять скорости распространения поверхностных волн по разл. направлениям в анизотропных материалах и тем самым характеризовать локальную анизотропию этих материалов. [c.150]

Метод переменных параметров упругости заключается в том, что пластическое тело заменяется эквивалентным упрутйм, имеющим одинаковые с пластическим телом деформации и напряжения, что возможно, если эквивалентное упругое тело имеет переменные параметры упругости (для изотропного тела - переменные модуль упругости и коэффициент Пуассона). Для определения первоначально неизвестных переменных параметров упругости также используют последовательные приближения. [c.231]

Для изотропного материала фигуры, которые изображают изменение модулей упругости и О при повороте осей координат, должны обращаться в шаровые поверхности. Следовательно, изотропным будет такой материал, у которого модули упргугости и О имеют одинаковые значения в направлении осей х, у я г п в диагональных направлениях. Для изотропных тел и для кристаллов кубической системы [c.51]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...