Разностное уравнение первого порядка й-го порядка

Два первых разностных уравнения имеют порядок аппроксимации О (Н ) + О (т), третье О (/г ) + О (т ). Разностные уравнения [c.246]

Примеры аппроксимаций. Заменяя в дифференциальном уравнении частные производные теми или иными разностными отношениями, мы аппроксимируем его на некотором шаблоне. Это наиболее простой способ аппроксимации. Для описания точности аппроксимации отдельных производных естественно использовать введенное выше понятие погрешности аппроксимации по отношению к классу функций. Аппроксимация производных уже рассматривалась в 1.3. Там же были приведены главные члены погрешности аппроксимации. Односторонние двухточечные аппроксимации первой производной (1.22) имеют первый порядок точности, а симметричные (центральные) [c.77]

Вычислительный цикл закончен. Заметим, что использование уравнения для полной энергии обеспечивает, в частности, консервативность разностной схемы. Рассмотренный вариант схемы имеет первый порядок точности. [c.195]

Из полученных выше результатов следует, что разностное уравнение (3.11) аппроксимирует уравнение (3.1) с первым порядком по времени и вторы.м по координате. Разностные уравнения (3.13) аппроксимируют граничные условия (3.2) с первым порядком по координате. Поэтому в целом для разностной схемы (3.14), (3.15) 1 г Ц = О (Ат -f /г). Далее в 3.3 рассмотрим способ построения разностных уравнений для граничных точек, позволяющий получить второй порядок аппроксимации по координате. [c.76]

Исходные реализации нестационарной и стационарной (сверхзвуковой) монотонных схем на гладких решениях и на регулярных разностных сетках обеспечивали первый порядок аппроксимации интегрируемых уравнений. Как показано в [26], при сквозном счете поверхностей разрыва для разностных схем любого порядка аппроксимации [c.116]

Заметим, что если при расчетах отслаивание не учитывать, то точки контакта надо рассчитывать по формулам (VII.21) в силу их простоты и более высокой точности в случаях крутых волновых фронтов. Описанные выше разностные схемы имеют по координатам второй, а по времени — первый порядок точности. Шаг по времени, обеспечивающий устойчивость вычислений, находят путем численных экспериментов. При этом пристрелочное значение шага находят из условия Куранта. Необходимая точность решения достигалась дроблением сеточной области. Сравнение результатов, полученных на различных сетках, показало, сколько узлов дискретизации необходимо для удовлетворения высокой точности. Укажем, что при очень больших г доминирующими членами разрешающей системы уравнений становятся вязкостные члены и разработанная явная численная схема теряет устойчивость. [c.203]

Разностные уравнения (7.33) имеют первый порядок точности, если =5 11 и [c.201]

Если вместо центральных разностей в нестационарном члене использовать разности вперед по времени, то получится разностный аналог линейного модельного уравнения, имеющий второй порядок точности по пространственной переменной и лишь первый по времени [c.43]

Погрешность аппроксимации уравнения (1.6) разностными уравнениями (1.7 ), (1.7") в узле (s / ) имеет первый порядок по времени и пространству 0 x + h). Разностное уравнение с центральной производной по пространству [c.101]

Равенства (2.27) или (2.28) имеют третий порядок аппроксимации одного из исходных уравнений (2.8) в узле х х -, они и являются вторым, дополнительным, граничным условием на границе х = О для решения разностных уравнений (2.9). Вместе с первым условием, вытекающим из математической формулировки задачи, условия (2.27) или (2.28) могут быть представлены в форме [c.59]

Но так как В > ( 13)Е, то неравенство кВ - Е > О выполняется, если только к > 3. Таким образом, при выборе к, согласно (2.54), справедливы оба неравенства (2.52) и схема (2.51) абсолютно устойчива в норме II 1и д. Применение схемы (2.50) вместо исходной схемы (2.49), как уже отмечалось, позволяет использовать для решения разностных уравнений трехточечную прогонку с матрицами р X р, а не 2р X 2р. Цена этого—первый порядок аппроксимации относительного шага т и более сильные предположения коммутативности матриц М к/л при доказательстве устойчивости независимо от шага т. Первый из этих факторов, как уже отмечалось, является не столь существенным, ес/ги интерес представляет не процесс изменения решения со временем, а стационарное решение, достигаемое в процессе установления. [c.73]

В случае гиперболической системы, записанной в дивергентной форме с конвективными членами вида 9f(u)/9x, схема (4.30) при е = О лишь незначительно модифицируется с учетом того, что q и г становятся аппроксимациями первых и вторых производных по х функции f. Поскольку при этом в правой части второго и третьего уравнений (4.30) вместо и" появляется нелинейная функция f (и ), дпя удобства решения разностных уравнений естественно произвести ее линеаризацию. Кроме того, если схему желательно записать в виде некоторых уравнений баланса, операторы МДо и Л/Дг следует, как и в рассмотренных схемах третьего порядка, заменить на операторы AqM и Д+(7 ,/2 Д-- Легко проверить, что локальный порядок аппроксимации схемы при этом не нарушится, если в окрестности рассматриваемого узла нет смены знаков собственных значений матрицы Q. [c.112]

Использованная при интегрировании на первом и втором шагах конечноразностная схема [31] имеет четвертый порядок точности по координате ц и второй -по координате Неявная схема [31] предназначена для решения эволюционной по продольной координате взаимосвязанной системы дифференциальных уравнений первого или второго порядка по поперечной координате. В последнем случае допускается наличие в уравнениях смешанных производных. В расчетах использовалась неравномерная разностная сетка, сгущающаяся к стенке и к критическому сечению сопла, коэффициент а = 0,95. [c.66]

Таким образом, имеем систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными Ti.s+i, Tz.k+i, Ta.h+i и Ti,h+i. Для определения температурного поля в рассматриваемом простейшем случае необходимо решить эту систему уравнений. С уменьшением шага интегрирования по координате, а также в случае плоских или пространственных температурных полей число уравнений в системе (2-136) возрастает настолько, что для ее решения необходимы соответствующие приемы (например, метод разностной факторизации — прогонки ). В общем случае порядок системы равен числу узлов сетки, в которых аппроксимируется данное дифференциальное уравнение и граничные условия, за исключением граничных условий первого рода. При сравнительно небольшом числе узлов (10—15) используются, как правило, прямые методы решения. В более сложных случаях система уравнений решается только каким-либо методом итераций (Л. 52]. [c.105]

Сначала, не заботясь о монотонности и консервативности схемы, покажем, как на любой сетке можно обеспечить разностную аппроксимацию уравнений. Для этого рассмотрим произвольную ячейку, не ограничивая числа ее сторон в двумерном случае или граней - в пространственном. Наряду со значениями параметров в некоторой ее точке О на уже известном п-м временном слое способом, описанным ниже, найдем с погрешностями 0 Н) все их пространственные производные. Но ним с помощью отрезков рядов Тейлора найдем на том же слое с погрешностью 0 Ь ) отличия от параметров в точке О их значений в центрах тяжести (ЦТ) граней (сторон) ячейки. Найденные величины используем затем, взяв за О ЦТ ячейки, при записи для нее на временном интервале г интегральных законов сохранения. Анализ показывает, что при этом погрешности их разностной аппроксимации есть 0[т/г (/г+г)] с г/ = 2 и 3 соответственно в двух- и трехмерном случаях, а погрешности в имеющих порядок г приращениях параметров при переходе с п-го на (п + 1)-й слой - 0[т к + г)]. Нри установлении интегральные законы сохранения потоков, каждый из которых на отдельной грани есть 0(/г ), записываются с погрешностью 0(/г + ). Данные оценки показывают, что и в нестационарном случае, и после установления для любой сетки имеет место аппроксимация уравнений с первым порядком. Если сетка равномерна, то Н + г) из-за частичной компенсации ошибок заменится на (/г + ) что при установлении повышает порядок аппроксимации до второго. [c.203]

Рассмотрим теперь кратко понятие первого дифференциального приближения разностной схемы. Вернемся к уравнению (2.7). Это есть некоторое уравнение в частных производных, порядок которого выше порядка исходно- [c.11]

Применение алгоритмов повышенной точности для уравнения Пуассона подразумевает использование аппроксимаций производных Ъф/Ъх и 9 ф1Ъу достаточно высокого порядка. Это легко осуществляется, например, если в формулах (1.10) положить 5о = (Л5) А /2, 5оу = = (Л2) А2/2 тогда дпя определения скоростей потребуются скалярные трехточечные прогонки. Как известно, весьма важную роль в разностных алгоритмах решения уравнения (1.4) играет формулировка граничного условия для завихренности на твердой поверхности. Обсуждение этих условий содержится, например, в [1]. Если не заботиться о повышении порядка а1шроксимации алгоритма, то все они, в принципе, могут быть использованы в сочетании с разностными уравнениями (1.9) и разностным аналогом уравнения Пуассона, записанным на пятиточечном шаблоне. В историческом плане первыми условиями для завихренности на твердой поверхности были условия Тома [78] и Вудса [79], имевшие соответственно первый и второй порядок точности. [c.190]

Замена исходного дифференциального уравнения разностным приводит к появлению погрешности численного метода, связанной с погрешностью аппроксимации. Для характеристики качества аппроксимации используется понятие ее порядка. Аппроксимация имеет порядок р, если ее погрешность, обусловленная заменой дифференциального уравнения разностным, пропорциональна шагу сетки в степени р. Можно показать, что разностная схема (3.10) имеет первый порядок аппроксимации О (Ах), а (3.12)—второй порядок аппроксимации 0(Дх2). Здесь буква О представляет сокращение слова Order, что в переводе означает порядок . [c.60]

При практической реализации численных методов. существенным является анализ порядка аппроксимации и устойчивости расчетной схемы. Понятие аппроксимации определяет, переходят ли в пределе (при т- -0 и Л- -0) конечно-разностные соотношения в точные исходные диф-, ференциальные уравнения и какова точность такого приближенного представления. Приведенные выше конечно-разностные формулы имеют второй порядок аппроксимации по пространственным переменным. Это означает, что допускаемая погрешность — величина порядк/ № и быстро (по квадратичному закону) убывает с уменьшением шага сетки. Аппроксимация по времени для явной схемы (1.1)—первого порядка, для схемы переменных направлений (1.4), (1.5) —второго порядка. [c.36]

А. П. Крайко и С. К. Щипиным с использованием принципа минимального приращения функций на ячейке, предложенного в [21]. Авторами она была обобщена на случай многокомпонентной среды. Указанная схема обеспечивает второй порядок аппроксимации по продольной и по поперечным координатам на регулярной сетке и сохраняет порядок аппроксимации на произвольной нерегулярной сетке. При расчете течений с химическими реакциями источниковые слагаемые в правых частях уравнений для массовых концентраций компонент аппроксимировались неявным образом. Система конечно-разностных уравнений относительно концентраций и газодинамических параметров решалась итерациями (относительно концентраций компонент - методом Гаусса-Зайделя). Неявный способ аппроксимации химических источников приводит к снижению порядка аппроксимации по продольной координате до первого. [c.340]

Наиболее распространенный подход заключается в том, что в уравнения газовой динамики или в разностные уравнения добавляются члены, которые оказывают на решение действие, аналогичное физической вязкости. Этот прием, называемый методом искусственной вязкости или псевдовязкости, получхтл широкое развитие. Наличие вязкости приводит к размазыванию ударных волн и сглаживает паразитические осцилляции в разностном решении, неизбежно возникаюш,ие в зоне ударных волн при использовании разностных сх ем, порядок точности которых выше первого. Впервые в вычислительной практике искусственная вязкость была использована в работе [265] и с этого времени широко применяется в методах сквозного счета [14, 114, 161, 162, 173, 181, 248, 258]. Эффект, аналогичный искусственной вязкости, дает процедура периодического сглаживания разностного решения [86, 114, 126, 167]. [c.88]

Вычислительная устойчивость всех упомянутых выше зависящих от времени решений была ограничена сверху по числу Рейнольдса (принципиально этот предел определяется сеточным числом Рейнольдса, т. е. числом, полученным по размеру шага ячейки конечно-разностной сетки). В 1966 г. Томан и Шевчик добились, по-видимому, неограниченной вычислительной устойчивости, используя для представления конвективных членов разности против потока и уделяя особое внимание граничным условиям. Их расчеты обтекания цилиндра простирались до чисел Рейнольдса, равных миллиону они даже могли вращать цилиндр и получать магнусову подъемную силу, не сталкиваясь при этом с вычислительной неустойчивостью. Несмотря на то что их схема имела лишь первый порядок точности, согласование полученных ими результатов с экспериментальпыми данными заставило переоценить важность формального порядка ошибок аппроксимации при разностном представлении дифференциальных уравнений в частных производных. В этой связи представляется важной работа Чена [1968], установившая существенное влияние численной постановки граничных условий. [c.21]

Формально порядок ошибки аппроксимации соответствует величине ошибки при Ал ->0, А -> О, поэтому общая ошибка аппроксимации для конечно-разностного уравнения (3.165) будет величиной порядка 0(А/, Ал 2). На практике величина такой ошибки может быть меньше. При малых, но отличных от нуля А можно считать, что а = 1/Ре О (А/). В этом случае первый отбрасываемый член в ряде Тейлора диффузионного члена будет иметь порядок 0[а(А Ах )], а величина суммарной ошибки для уравнения (3.165)—порядок 0(А/ , Ал 2). Условие устойчивости для уравнения (3.165) будет определяться наиболее жестким из условий, связанных с конвективным членом, С = = иА /Ах 1, и с диффузионным членом, с1 = осА /Ах 1/2-(Устойчивость для конвективного и диффузионного членов во многих случаях, но не всегда, можно исследовать раздельно см., например, Касахара [1965].) Известной явной схемой, устраняющей ограничение, обусловленное диффузионным членом, является схема Дюфорта и Франкела [1953]. Эту схему для решения многих задач гидродинамики с успехом использовали разные авторы, например, Пейн [1958], Фромм и Харлоу [1963], Фромм [1963, 1965, 1967], Амсден и Харлоу [1964], Хын и Макано [1966], Торранс [1968]. [c.96]

Рассмотреть одномерную задачу для уравнения б //бх = 9 с граничными условиями Дирихле /(0) = О, /(1) = 1. Применить конечно-разностные формулы второго порядка точности, считая, что нижняя граница находится в точке 1 = /2. Тогда первое из граничных условий /3/2= О аппроксимируется равенством /1 = —/2, где /1 берется в точке, расположенной ниже нижней границы. Взяв всего лишь 3 или 4 узла, так чтобы можно было провести вычисления, не прибегая к помощи ЭВМ, показать, что а) применение такой сетки приводит к ошибкам, связанным с нарушением ограниченности решения при этом фг < О, что невозможно для дифференциальных уравнений б) результат будет иметь только первый порядок точности. Используя настольную вычислительную машину или небольшую программу для ЭВМ, можно проверить, что ощибка, связанная с нарушением ограниченности решения, продолжает существовать при Дл ->-0. [c.534]

Здесь разностная прошзнодная от давления симметрична отпо-сптельпо точки ( , 1- и имеет в ней второй порядок аппроксимации 0(/г ). Разностная производная по времени от V имеет в этой точке первый порядок аппроксимации 0(т), т. е. уравнение [c.101]

Это уравнение является разпостпым аналогом закона сохране-ния энергии на сетке для одного интервала h за шаг т. Как видно, в общем случае в схемах с недивергентным уравнением энергии этот закон нарушен за счет фиктивных источников энергии б , имеющих чисто разностное происхождение. Мощность этих источников имеет на гладких решениях первый порядок по г (величину 0(т)) и практически не зависит от шага сетки н массе h. [c.118]

Формулы компактного численного дифференцирования, обеспечивающие пятый порядок аппроксимации. Трехточечные формулы (4.11), свя-зьшающие значения в узлах функции и, а также значения в узлах разностных аналогов ее первых и вторых производных (с и г), содержат большее количество коэффициентов, чем аналогичные формулы, связьшающие значения функций и к д. Отсюда естественным образом возникает идея использовать эти дополнительные коэффициенты для построения таких соотношений, которые позволили бы определить д к г как аппроксимации производных функций, обладающие более высоким, чем третий, порядком аппроксимации. Если бы такие аппроксимации имели благоприятные свойства, то их использование в качестве составной части схемы для уравнения (4.8) было бы вполне разумным, поскольку процесс решения разностных уравнений оказался бы не более сложном, чем в случае схемы третьего порядка (4.10). Для уравнения первого порядка (4.1) функция и является лишней, однако может оказаться, что применеше векторных прогонок с матрицами 2X2 вместо скалярных прогонок является разумной платой за высокую точность и другие положительные свойства схемы. [c.107]

Большой порядок систем уравнений, вызванный подробной дискретизацией области, и большая ширина полосы ненулевых коэффициентов, вызванная разветвленным характером геометрии расчетной области, могут при ограниченной разрядности ЭВМ привести к накоплению недопустимой погрешности. Примером такой разветвленной конструкции является патрубок в сосуде, содержаший отвод внутрь сосуда (рте. 3.6, а). Для расчета вариационно-разностным методом, рассмотренным вьппе для задач концентрации напряжений, была построена сеточная область, показанная на рис. 3.6, б. Соответствующее число уравнений равно 2413, ширина полосы — 55. Расчет выполнялся на ЭВМ соответственно с 12- и 7-разрядными числами. Погрешюсть расчета контролировалась по величине возникающей в месте закрепления опорной реакции, а также путем проверки по результатам расчета условий равновесия в сечениях тонкостенных участков патрубка. Если в первом случае оцененная таким образом погрешность в величине напряжений не превьпыала 1-2%, то во втором случае все результаты расчета оказались далекими от правильных. [c.56]

В литературе предложены три выхода из этой ситуации, позволяющие получить обычный порядок точности. Во-первых, в работах [102, 66] предлагается добавлять к обычным базисным функциям еще одну или несколько функций, описьюающих характер особенности решения в угловых точках. Эти функции имеют большую площадь носителя, что существенно усложняет алгоритмы формирования и решения линейных алгебраических систем метода Бубнова - Галёркина. Во-вторых, в работе [92] предлагается использовать нормы с весом, вырождающимся в нуль в особых точках. В такой норме порядок сходимости остается обычным, но за счет вырождения веса точность приближенного решения вблизи особой точки хуже, чем вдали от нее. В-третьих, в работах [92, 66, с. 273] предлагается специальным образом сгущать триангуляцию при подходе к особой точке. Это сгущение можно подобрать так, чтобы общее число узлов разностной сетки осталось по порядку таким же, как обычно. Некоторое увеличение числа узлов (и соответственно неизвестных в системе линейных алгебраических уравнений) все же имеется в сравнении с обычным путем, но зтапы автоматизации не меняются. Мы рассмотрим именно этот прием и покажем, что приведенные в гл. 4 алгоритмы могут бьпь распространены и на этот случай без потери экономичности. [c.219]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...