Разностное уравнение первого порядка

Разностное уравнение первого порядка 227 [c.313]

Мы имеем таким образом разностное уравнение первого порядка для q , а именно, [c.51]

Это—линейное разностное уравнение первого порядка. [c.27]

Другой способ построения разностных уравнений состоит в дискретизации дифференциальных уравнений. При этом дифференциальное уравнение первого порядка аппроксимируется разностным уравнением первого порядка, дифференциальное уравнение второго порядка — разностным уравнением второго порядка и т. д. При замене дифференциалов левыми разностями справедливы следующие соотношения [c.28]

Данному выше определению марковского процесса соответствует сигнал, описываемый скалярным разностным уравнением первого порядка [c.243]

Последнюю можно записать в виде векторного разностного уравнения первого порядка [c.244]

Такого типа сигнал х (к) называют векторным марковским процессом первого порядка. Случайный сигнал, зависящий от любого конечного числа предшествующих значений, всегда можно описать как векторный марковский процесс, представив его в форме векторного разностного уравнения первого порядка. [c.244]

Методика определения границ зоны нечувствительности для разностных уравнений первого порядка изложена в книге [2.22], гл. 27. [c.454]

Двумерное отображение задается системой двух разностных уравнений первого порядка. Выпишем здесь еще раз уравнения (3.1.13) для возмущенного отображения поворота, положив для упрощения записи е = 1 [c.212]

Рис. 1.19. Графическое решение разностного уравнения первого порядка. Показан пример квадратичного отображения (1.3.6).

Этот критерий применим к динамическим системам, поведение которых точно или приближенно может быть описано разностным уравнением первого порядка, известным на новом жаргоне как одномерное отображение [c.171]

Второе соотношение (4.40) представляет собой линейное разностное уравнение первого порядка [14]. Напомним, что уравненпя такого типа уже ранее рассматривались в 5 гл. 4. [c.294]

Действительно, матрица T как функция номера узла / удовлетворяет разностному уравнению первого порядка [c.232]

Исходная система дифференциальных уравнений (5.8) с граничными условиями (5.10) заменяется системой трех нелинейных разностных уравнений второго порядка и одного разностного уравнения первого порядка [c.258]

Рассмотрим наиболее простой пример построения разностной схемы для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка. [c.59]

Построение разностных схем для обыкновенных дифференциальных уравнений более высоких порядков, а также дифференциальных уравнений в частных производных принципиально не отличается от их построения для обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Тем не менее применительно к уравнениям в частных производных возникают и некоторые специфические трудности, связанные, например, с выбором сетки, большим разнообразием возможных вариантов построения разностных схем, выбором способов их решения и т. д. [c.60]

Анализ показал влияние на решение так называемой счетной теплопроводности , являющейся следствием одностороннего представления первых производных в уравнении энергии. Отбрасываемая добавка при разностной аппроксимации первого порядка точности имеет смысл дополнительного диффузионного переноса. Влияние счетной теплопроводности на численный результат было определено при применении в качестве теста чисто противоточного теплообменника, для которого известно аналитическое решение. [c.212]

Особенностью расчета кольцевых элементов является то обстоятельство, что большинство задач по определению напряженного состояния этих элементов сводится к решению ряда не зависящих одна от другой систем обычных дифференциальных уравнений первого порядка при одной независимой переменной. Поэтому основное внимание уделяется традиционным методам расчета, основанным на аналитическом или численном решении дифференциальных уравнений. Эти методы дают существенную экономию машинного времени ЭВМ и позволяют избежать трудоемкой работы по подготовке исходной информации, а также облегчают анализ и расшифровку результатов расчета. Кроме того, аналитические решения позволяют наглядно представить взаимную зависимость различных параметров, определяющих напряженно-деформированное состояние конструкции, и тем самым облегчают работу конструктора по выбору оптимальной схемы. В некоторых задачах традиционные методы либо не применимы, либо не эффективны. Как правило, это имеет место в тех случаях, когда в конструкции сопрягаются по линии или площади кольцевые элементы и элементы другой конфигурации. В таких задачах могут быть использованы различные модификации разностных и вариационно-разностных методов. Наиболее широко в настоящее время применяется метод конечных [c.3]

За исключением случаев очень быстрых переходных процессов, может оказаться необходимым прослеживать решение задачи в течение нескольких секунд или даже минут. В этом случае возникают трудности по следующим причинам. Уравнения (9.8) и (9.9) представляют собой систему связанных между собой J -Ь 1 дифференциальных уравнений первого порядка, где J — полное число групп запаздывающих нейтронов. Однако решение этих уравнений стандартным разностным алгоритмом метода Рунге — Кутта неэффективно, так как для обеспечения приемлемой точности решения необходимо использовать малые шаги по времени, определяемые временем жизни мгновенных нейтронов [22]. Поэтому были разработаны специальные алгоритмы и программы для интегрирования, с помощью которых можно получить решения задач [23]. [c.381]

Коэффициент диффузии D может зависеть от концентрации. Левая часть уравнения (11.1) заменяется с помощью конечных элементов соответствующим функционалом, а правая - неявным конечно-разностным соотношением первого порядка. [c.308]

Разностную оценку производных типа (4.64) можно использовать для числовых расчетов дифференциальных уравнений, в которые входят лишь производные первого порядка. При наличии производных второго порядка, например, в уравнениях электромаг- [c.110]

Для вычисления искомых величин на стенке r=F(x, ф) в узле п+1, М, i можно использовать одностороннюю схему первого порядка точности. Воспользуемся уравнением (6.52) для компонент k—, 3, 4, 5 разностные уравнения в этом случае имеют вид [c.176]

Из полученных выше результатов следует, что разностное уравнение (3.11) аппроксимирует уравнение (3.1) с первым порядком по времени и вторы.м по координате. Разностные уравнения (3.13) аппроксимируют граничные условия (3.2) с первым порядком по координате. Поэтому в целом для разностной схемы (3.14), (3.15) 1 г Ц = О (Ат -f /г). Далее в 3.3 рассмотрим способ построения разностных уравнений для граничных точек, позволяющий получить второй порядок аппроксимации по координате. [c.76]

Обсуждаемая в предыдущем параграфе двумеризованная обобщенная цепочка Тода тесно связана с целым рядом нелинейных дифференциально-разностных уравнений первого порядка по производным. В частности, конечная система вида [c.164]

Предположим, что на Ь существует меллиновское обращение функции и (р), а в полосе со — 15 Вер5 со она регулярна п стремится к нулю при 1шр оо (эти предположения проверяются ниже). Тогда по теореме Коши (см. [5], с. 49), не изменяя подынтегральной функции в первом интеграле (5.8), можно заменить 1 на и удовлетворить соотношению (5.8), решив разностное уравнение первого порядка [c.217]

Разностный аналог уравнения неразрывности приводит к разностному уравнению первого порядка. При конкретном решении задачи система нелинейных уравнений заменяется линейной системой разностных уравнений. Здесь к — номер терации при отыскании решения в итерационном цикле. [c.148]

Законы сохранения (дивергентные формы уравнений) широко применяются в методе интегральных соотношений, при построении консервативных разностных схем и при постановке вариационных задач газовой динамики. Примерами являются публикации [1-4]. Теорема Нетер и ее обобшение [5] позволяют находить законы сохранения для систем дифференциальных уравнений второго порядка. Для применения этих теорем необходимо изучить групповые свойства исходных уравнений [6] и использовать вариационный принцип, из которого эти уравнения следуют. Для вырожденных функционалов, порождающих уравнения первого порядка, теряется взаимно однозначное соответствие между группами, допускаемыми уравнениями, и законами сохранения некоторым группам могут соответствовать дивергентные уравнения, состоящие из нулей [5]. Теорема Нётер использована, например, Ибрагимовым [7] для получения полной системы законов сохранения безвихревых течений газа, описываемых уравнением второго порядка для потенциала скоростей. [c.17]

Выражение (4.29) представляет собой систему линейных дифференциальных уравнений первого порядка, для решения которой используется известный метод Кранка-Николсона, основанный на арифметическом усреднении производной зависимой переменной в начале и в конце каждого шага по времени. Результирующая система уравнений, реализующая разностную схему Кранка-Николсона, имеет вид [c.91]

Краевую задачу (7) — (11) будем решать при помощи численных методов. Именно, перейдем от указанной системы уравнений к уравнениям в конечных разностях, используя явную схему конечно-разностной аппроксимации первого порядка, согласно методике, описанной в разд. 12,5 книги [9]. Кроме того, поскольку мы предполагаем задать скачок скорости на поверхности полупространства, эту систему разностных уравненйй дополним системой уравнений, в соответствии ско-торой осуществляется расчет процесса развития ударной волны из первоначально разрывных краевых условий. Этот метод широко применяется при решении задач газовой динамики [9]. Мы не считаем распространение такого метода на нелинейные вязкоупругие системы, анализируемые методом Лагранжа, сколь-нибудь выдающимся достижением, однако нам не известны какие-либо работы, опубликованные по этому вопросу [c.155]

Но уравнение (9) есть однородное, линейное, разностное уравнение второго порядка по и мы рассматриваем частное решение его, удовлетворяющее соотношениям (11). Очевидпо, что будет оставаться положительным по крайней мере до тех пор, пока Д л положительно. Первым вопросом, таким образом, будет определение пределов значений п, для которых как так и Д( обязательно будут положительными. Но линейное разностное уравнение дает [c.164]

Заменим разностное уравнение (17) второго порядка системой разност- ых уравнений первого порядка [c.15]

Описанная схема обладает свойством монотонности при переходе от слоя к слою она переводит монотонную функцию в мопо-топную с тем н е направлением роста. (Это св011ств0 присуще разностным схемам первого порядка точности.) Она широко используется для расчета разрывных решений уравнений газовой динамики. [c.93]

Затруднения, описанные Уилксом и Черчиллом [1966], связаны как с отставанием по времени (т. е. с тем, что его значение берется с предшествующего слоя), так и с частным видом разностного уравнения второго порядка точности, используемого для t,w Результаты Брили, относящиеся к граничным условиям для будут приведены в разд. 3.3.2. Сэмюеле и Черчилл [1967] вернулись к уравнению первого порядка точности для которое не приводит к неустойчивости, благодаря чему им удалось продолжить расчеты авторов предшествующей работы для больших чисел Грасгофа до тех пор, пока отставание на At не приводило к неустойчивости. [c.143]

Формулы компактного численного дифференцирования, обеспечивающие пятый порядок аппроксимации. Трехточечные формулы (4.11), свя-зьшающие значения в узлах функции и, а также значения в узлах разностных аналогов ее первых и вторых производных (с и г), содержат большее количество коэффициентов, чем аналогичные формулы, связьшающие значения функций и к д. Отсюда естественным образом возникает идея использовать эти дополнительные коэффициенты для построения таких соотношений, которые позволили бы определить д к г как аппроксимации производных функций, обладающие более высоким, чем третий, порядком аппроксимации. Если бы такие аппроксимации имели благоприятные свойства, то их использование в качестве составной части схемы для уравнения (4.8) было бы вполне разумным, поскольку процесс решения разностных уравнений оказался бы не более сложном, чем в случае схемы третьего порядка (4.10). Для уравнения первого порядка (4.1) функция и является лишней, однако может оказаться, что применеше векторных прогонок с матрицами 2X2 вместо скалярных прогонок является разумной платой за высокую точность и другие положительные свойства схемы. [c.107]

Система уравнений (6.12) с граничными условиями (6.14) заменяется системой конечно-разностных уравнений. Уравнения трехмерного пограничного слоя в преобразованном виде представляют собой систему трех нелинейных уравнений второго порядка с тремя независимыми переменными и одного уравнения первого порядка (уравнения неразрывности). Систему аппроксимацион-ных уравнений можно представить в виде [c.330]

Видно, что на нервом этане pi, pa, п, г, 2 не меняются. Промежуточные значения И и Ei, которые вычисляются из разностных уравнений, соответствующих (4.5.2), используются для определения конвективных переносов массы, импульса и энергии через границы разностных ячеек (слагаемых типа д piФiViX )/дx) и интенсивностей межфазиых взаимодействий in, fn, Q2, используемых на втором этане для вычисления окончательных значений всех параметров смеси. Операции первого и второго этапов конкретизированы с учетом специфики многофазного движения и содержат в качестве составной части особый алгоритм локализации контактных границ. Анпроксимациоиная или схемная вязкость в этом методе достаточна для автоматического (без привлечения дополнительных уравнений) выявления скачков уплотнения в виде узких зон (толщиной порядка нескольких [c.350]

При практической реализации численных методов. существенным является анализ порядка аппроксимации и устойчивости расчетной схемы. Понятие аппроксимации определяет, переходят ли в пределе (при т- -0 и Л- -0) конечно-разностные соотношения в точные исходные диф-, ференциальные уравнения и какова точность такого приближенного представления. Приведенные выше конечно-разностные формулы имеют второй порядок аппроксимации по пространственным переменным. Это означает, что допускаемая погрешность — величина порядк/ № и быстро (по квадратичному закону) убывает с уменьшением шага сетки. Аппроксимация по времени для явной схемы (1.1)—первого порядка, для схемы переменных направлений (1.4), (1.5) —второго порядка. [c.36]

Дискретный аналог (5.36) описывает изменение температуры в точке с индексами (i, j, к) за счет конвективного переноса энергии, дискретные аналоги (5.37) и (5.38) отражают последовательно протекающие диффузионные процессы передачи энергии вдоль линий л= = onst и ф=сопз1. Каждый следуюш,ий иро-цесс начинается со значения температуры, на котором закончился предыдущий. Температуры Т, Т являются вспомогательными, условно разбивающими принятую совокупность процессов. Дискретный аналог (5.36) построен по явной разностной схеме против потока. Эта схема — первого порядка точности но х. Преимущества такой схемы заключаются в том, что возникающие возмущения распространяются только в направлении потока [77, 79]. Дискретные аналоги (5.37) и (5.38) построены по неявной разностной схеме и обеспечивают хорошую устойчивость вычислительного процесса. Решение (5.36) для Т получается в явном виде, решение уравнений (5.37) и (5.38) находится методом прогонки по г и но ф. [c.186]

Погрешность системы обыкновенных уравнений (46.26), заменяющих уравнение (46.13) в частных производных, определяется погрешностью от замены производных разностными отношениями. Обычно разности берут первые центральные, т. е. используют для аппрокси--чации в сечении д = г,- формулу Стирлинга первого порядка [c.327]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...