Дифференциальное приближение разностной схемы

Определение 7.3. п-е дифференциальное приближение-разностной схемы является -консервативным, если в уравнении производства энтропии (7.106) будет Ваи — О для всех А -Ь / п. [c.232]

Первое дифференциальное приближение разностной схемы (5.4.6) соответствует уравнениям [c.119]

Рассмотрим теперь кратко понятие первого дифференциального приближения разностной схемы. Вернемся к уравнению (2.7). Это есть некоторое уравнение в частных производных, порядок которого выше порядка исходно- [c.11]

Теория разностных схем в основном развита для линейных задач и опирается, как отмечалось ранее, на три основных понятия аппроксимацию исходных дифференциальных уравнений, устойчивость вычислительного процесса, сходимость численного метода к решению. Для нелинейных задач теория, как правило, не развита исследование устойчивости в этих случаях сопряжено с большими трудностями и проводится обычно на линейных аналогах конкретной задачи. Например, при исследовании устойчивости задач газовой динамики часто рассматриваются уравнения в акустическом приближении. [c.232]

Все рассмотренные нами ранее разностные схемы для решения уравнений теплопроводности являются реализациями метода конечных разностей. Системы алгебраических уравнений для определения численного решения мы получали путем замены производных в дифференциальном уравнении и в граничных условиях или в уравнениях теплового баланса для элементарных ячеек конечными разностями. Таки.м образом, в методе конечных разностей отправной точкой для получения приближенного решения является дифференциальная краевая задача. Однако искомое поле можно находить и из решения соответствующей вариационной задачи. На ее численном решении основан получивший широкое распространение метод конечных элементов (МКЭ) [7, 27]. [c.128]

С математической точки зрения рассматриваются дифференциально-разностные аппроксимации динамической системы уравнений Ламе, имеющие вид уравнений Ньютона, и устанавливаются условия сходимости данной аппроксимации. Разностные схемы, изученные О. А. Ладыженской в работе [29], не входят в рассматриваемый класс приближений, но при исследовании устойчивости используется предложенный там метод Фурье. [c.239]

Основной метод решения уравнений, описывающих процессы в лазерах, — метод разностных схем [89, 901, называемый также методом конечных разностей или методом сеток. В соответствии с методом конечных разностей вместо точного решения исходной задачи ищется ее приближенное решение в отдельных точках (узлах сеточной области), называемое сеточными функциями. Система дифференциальных уравнений при этом заменяется системой алгебраических уравнений для сеточных функций. [c.38]

Дифференциальные операторы заменяются соответствующими алгебраическими конечно-разностными выражениями. В итоге исходное дифференциальное уравнение и краевые условия аппроксимируются системой разностных уравнений, или, как говорят, разностной схемой. Решив систему алгебраических уравнений, получим приближенное значение искомой функции в узлах сетки. [c.98]

Системы соотношений вида (7.3.71) — (7.3.72) в случае краевых задач для дифференциальных уравнений более высокого порядка или для систем уравнений составляются аналогичным образом. Существует целый ряд вариантов разностных схем и методики решения получаемых систем конечных уравнений (см. [3], [9]). Важными являются вопросы о погрешности получаемых таким путем приближенных численных решений краевой задачи, а также о сходимости процесса при последовательном уменьшении интервала разбиения. [c.688]

Продемонстрируем идею этого метода и технику построения дифференциальных приближений на примере разностной схемы для линейного уравнения переноса [c.254]

Пространственные дифференциальные операторы аппроксимировались на равномерной сетке со 2-м порядком посредством консервативной монотонной схемы (3.30). Для вычисления завихренности на стенках цилиндров строились приближенные формулы типа Вудса. В случае нестационарной постановки задач разностное решение находилось методом установления с неявной схемой типа описанной в п. 4.2.2 для температуры и завихренности и с расчетом функции тока на временных слоях по методу последовательной верхней релаксации. При стационарной постановке решение разностных задач осуществлялось с помощью релаксационного метода, изложенного в п. 4.3.2 и 5.2. Сразу отметим, что в рассмотренном диапазоне магнитных чисел Рэлея релаксационный алгоритм решения стационарных конвективных уравнений приводил к тем же результатам, что и нестационарный метод установления, адекватно реагируя на кризис равновесного состояния при Ram Ra. [c.147]

Дирихле задача 130 Дифференциальное приближение разностной схемы 160 Дифференцирование численное 10 [c.228]

Определенде 7.5. л-е дифференциальное приближений разностной схемы назь1вается термодинамически нормальным, если функции Вви в (7.106), для которых А -Ь / < л, не содержат массовой скорости вещества и его ускорений, и термодинамически аномальным, если содержат. [c.233]

Уравнение (2.7) является первым дифференциальным приближением разностной схемы (2.2), записанным в П-форме. Проанализируем его. Правую часть в (2.7), которая и составляет отличие дифференциального нрпили/иенпя схемы от исходного диффорепциалыюго уравпеипя (2.1), можно трактовать нри [c.256]

В главе рассматривается построение одномерных дискретных моделей, устанавливаются связи с соответствующими континуальными моделями. С помощью первого дифференциального приближения полученных разностных схем показано, что они обладают нулевой матрицей вязкости, т. е. построенные разностные схемы для упругого закона не обладают какой-либо схемной вязкостью и не вносят численной диссипации. Проанализированы численные результаты по распространению одномерных волн в одно-, двух- и трехслойных пакетах. Для сглаживания ударно-волновых профилей использована линейная и квадратичная искусственная вязкость Неймана — Рихтмайера. Рассмотрена модификация схемы распада — разрыва, уменьпхающая схемную вязкость. Приведены численные результаты по распространению одномерных волн в слоистых пакетах и моделированию их разрупхения. [c.109]

Естественным методом приближенного решения задач об управлении системами с распределенными параметрами является замена соответствующих функциональных уравнений подходящими конечномерными разностными схемами. В результате получается задача об оптимальном управлении аппроксимирующей системой, описываемой уравнениями в конечных разностях или системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Такие аппроксимирующие задачи, по крайней мере, если речь идет о линейных системах, оказываются эффективно разрешимыми, и тем самым доставляется возможность численного решения исходной проблемы. К сожалению, и здесь вопросы обоснования подобной конечноразностной аппроксимации исследованы еще недостаточно. Следует, наконец, отметить одно существенное обстоятельство, характерное для аппроксимации задач об управлении системами с распределенными параметрами и проявляющееся, в частности, уже в задачах об управлении системами с последействием. Пусть, например, речь идет об оптимальном программном управлении, обеспечивающем предельное быстродействие для бёсконечномерной системы при ограничении [[ м [<Л , и пусть эта система, аппроксимируется конечномерной системой, описываемой системой из п обыкновенных дифференциальных уравнений. В большинстве случаев для конечномерных систем условие максимума, фигурирующее в принципе максимума, не вырождается, т. е.- соответствующее выражение Н [ , X ), "ф, м] зависит фактически от и, и тем самым доставляется достаточная информация о значениях ( ). Вследствие этого невырожденного условия максимума оказывается, как правило, что эти значения лежат на границе области 7 ( гг [[<Л ), и их можно найти, зная вектор Ь). Далее, оказывается, однако, что если даже и устанавливается сходимость аппроксимирующих управлений м ( ) к оптимальному управлению и Ь) исходной системы при г -> оо, то в весьма широких случаях эта сходимость имеет достаточно нерегулярный характер и, в частности, аппроксимирующие оптимальные движения сходятся к оптимальному движению исходной системы подчас лишь как к скользящему режиму (хотя весьма нередки случаи, когда на деле этот предельный режим может осуществляться обыкновенным управлением и ( ), регуляризирую-щим, следовательно, данный скользящий режим). На языке принципа максимума это выражается в том, что соотношение, определяющее u (t) из условия максимума, при п оо вырождается (в пределе оно оказывается уже не зависящим от и) и его формальная запись для соответствующей исходной системы с распределенными параметрами имеет лишь относительное значение, поскольку оно не доставляет необходимую инфор- [c.241]

Для разностной схемы так же как и для дифференциальной модели можно провести исследование дисперсии и устойчивости в линейном приближении. Рассмотрим, как в нредыдугцем параграфе, равномерную сетку, и пусть с/о = 1,р=1, = 1. Липеа-эизоваппая на покое схема имеет вид [c.62]

Метод сеток, или метод конечных разностей, является эффективным инструментом теоретического изучения конвективных процессов. Основная идея метода такова. В области определения дифференциальной задачи выбирается конечное множество точек (узлов), называемое сеткой. Функции и производные в каждом узле приближенно заменяются (аппроксимируются) некоторыми линейными комбинациями значений соответствующих функций, входяищх в уравнения и краевые условия, в узлах сетки. В результате этих замен нелинейная дифференциальная задача ЕК сводится к системе нелинейных алгебраических уравнений относительно приближенных значений искомых функций в узлах. Такую систему принято называть разностной задачей, или разностной схемой. Несмотря на нелинейность и большое, как правило, число неизвестных, разностная задача более предпочтительна для решения, чем исходная дифференциальная, так как допускает применение вычислительной техники. Найденное на ЭВМ решение разностной задачи (разностное решение) принимается за приближенное решение исходной задачи в узлах сетки. Оно имеет вид числовой таблицы, размер которой пропорционален количеству узлов. [c.28]

В дальнейшем при рассмотрении конкретных задач для интегрирования системы уравнений (19.9) используется метод прямых в совокупности с методом Кутта —Мерсона (с автоматическим выбором шага по времени t). Для перехода от уравнений в частных производных к обыкновенным дифференциальным уравнениям используется разностная схема второго порядка точности. В случае свободного края контурные значения Uq и Wq определяются методом последовательных приближений (в остальных случаях граничные условия выполняются точно). [c.133]

Чтобы получить значения Ф в каждой точке временного интервала, необходимо решить линейное дифференциальное уравнение (11.10). Существуют два распространенных метода решения уравнений такого типа. Один из них заключается в приближенной замене частной производной по времени ее конечно-разностным аналогом с применением центральной разностной схемы. Другой метод состоит в использовании конечных элементов, определенных теперь уже не в пространственной, а во временной области. Этот метод обсуждается в гл. 17 в связи с методом Галёркина. Здесь мы рассмотрим конечно-разностное решение. [c.205]

Метод конечных элементов является аналитической процедурой интенсивная разработка которой велась в течение сравнительн( короткого промежутка времени. Ключевая идея метода при анализ( поведения конструкций заключается в следующем сплошная средг (конструкция в целом) моделируется путем разбиения ее на об ласти (конечные элементы), в каждой из которых поведение средь описывается с помощью отдельного набора выбранных функций представляющих напряжения и перемещения в указанной области Эти наборы функций часто задаются в такой форме, чтобы удовле творить условиям непрерывности описываемых ими характеристи во всей среде. В других случаях выбранные представления полер не обеспечивают непрерывности и, тем не менее, дают возможное получить удовлетворительное решение. При этом в отличие от полностью непрерывных моделей, нет полной уверенности в схо димости решения. Если поведение конструкции описывается един ственным дифференциальным уравнением, то получить приближенное решение этого уравнения можно как методом конечных элементов, так и с помощью техники разложения в ряды или конечно разностных схем. Если же конструкция в целом неоднородна и со стоит из большого количества отдельных конструктивных элемен тов, поведение каждого из которых описывается своим дифференциальным уравнением, то в этом случае, как правило, можно не посредственно применить лишь метод конечных элементов. [c.16]

Устойчивость схемы Дюфорта — Франкела можно считать обусловленной наличием гиперболического члена в уравнении дифференциального приближения (Дюфорт и Франкел [1953]). Таким образом, конечно-разностное уравнение (3.167) аппроксимирует исходное дифференциальное уравнение (т. е. при Ах О, А О стремится к модельному уравнению (2.18), содержащему конвективный и диффузионный члены) только в том случае, когда Ах- О, А/- 0 так, что А /Ах- 0. Если же Ах О, Л - 0, но А1/Ахф , то конечно-разностное уравнение (3.167) будет аппроксимировать уравнение (3.168) гиперболического типа. [c.97]

Сходимость схемы. Метод конеппых разностей представляет собой способ вычисления приближенного решения дифференциальной задачи. Естественно, что такое приближенное разностное решение должно быть близко к точному решению, причем различие между ними должно уменьшаться по мере дробления сетки. Такое спойстпо разностной схемы, с помощью которой получено приближенное решение, называется сходимостью схемы. [c.152]

Общепринятая разностная схема по времени, связывающая все колебания, должна бороться с чрезмерной жесткостью уравнения (8) число обусловленности матрицы М К легко может превысить 1000, так что колебания затухают с совершенно разными скоростями. Если выбрать надлежащим образом, то схема правила трапеций (Кранк — Николсон, Наймарк р) будет автоматически отфильтровывать бесполезные высокие гармоники. Конечно, эти схемы неявны, но таково же и дифференциальное уравнение Галёркина матрицу Ai в (8) нельзя обратить, не разрушив ее ленточной структуры. (Приближенный расчет матрицы М обсуждается в конце главы.) В одном отношении неявность уравнения не такое уж серьезное препятствие при рассмотрении параболических уравнений (например, уравнения [c.282]

В работе [Л. 431] также исследовался процесс радиационно-конвективного теплообмена в плоском канале, но в более упрощенной по сравнению с [Л. 104] постановке (перенос излучения рассматривался в дифференциально-разностном приближении, была произведена линеаризация четвертой степени температуры, а источники тепла за счет охлаждения среды принимались равномерно распределенными ио слою). Эта задача так же, как и в работе [Л. 104], была сведена по существу к рассмотрению одномерной схемы радиационно-кондуктив-ного теплообмена с источниками по толщине слоя. [c.401]

На основании равенств (1.44)—(1.46) можно сделать следующие заключения. Для длинных и средних волг (а<1) в случае схемы (1-11) амплитудные и фазовые ошибки при введении приближенной формулы дпя производной по времени возросли по сравнению со случаем дифференциально-разностного уравнения (1-21) однако у схемы (1-11) типа Кранка—Никольсона (о = 0,5) они мшшмальны Х = 1 + 0 а ), с с = 1 - [c.30]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...