Сетка разностная неравномерная

З.4. Конечно-разностный метод. Численное решение диффузионного уравнения находится путем аппроксимации непрерывного профиля концентрации на дискретной сетке с узловыми точками, расположенными в пределах границ прибора. Здесь рассматривается прямоугольная сетка с неравномерными шагами в обоих направлениях. Характерная прямоугольная сетка показана на рис. 9.5, где узловые точки находятся на пересечениях горизонтальных и вертикальных линий. [c.264]

Можно показать, что разностное уравнение (3.45) аппроксимирует уравнение (3.39) с порядком О (Я ) на равномерной сетке и с порядком О (h) на неравномерной сетке. [c.90]

Дифференциальные уравнения, записанные относительно двух компонент перемещений, заменяются разностными уравнениями, которые выводятся при помощи вариационного метода, основанного на минимизации полной потенциальной энергии. При этом граничные условия в напряжениях, обычно затрудняющие решение задачи, становятся естественными, они входят в выражение для энергии и автоматически удовлетворяются при ее минимизации. Полная потенциальная энергия тела равна сумме энергий для всех ячеек сеточной области. При этом можно считать, что все функции и их производные остаются постоянными в каждой ячейке. Сетка может быть как равномерной (регулярной), так и неравномерной. Конечно-разностные функции для ячеек имеют, кроме того, весовые коэффициенты для учета неполных ячеек, примыкающих к наклонной границе. Получающаяся система алгебраических уравнений относительно узловых значений перемещений оказывается симметричной и положительно определенной и имеет ленточную структуру. В работе [8] дополнительно к основной, сетке строится вспомогательная и перемещения определяются в точках пересечения этих сеток. В результате этого нормальные деформации и напряжения вычисляются в центре ячеек основной сетки только через центральные разности. [c.55]

При помощи аналогичных рассуждений можно построить теорию разностных аналогов С. ф., в частности классич. ортогональных полиномов дискретной, переменной на равномерных и неравномерных сетках. [c.630]

Аао,4 и Дсо-о — поправки к длине трещины, соответствующие а = = 0,4 и а = 0,8 соответственно), для определения = а р/Ь в диапазоне длин трещин между а = 0,4 а — 0,8 не приводило к ошибке больше 1 % при форме фронта трещины, имеющей наибольшую кривизну. Для определения скорости роста трещины по полученной зависимости Ui = f (Ni) использовали аппроксимацию дифференциального оператора da/dn конечно-разностным выражением для неравномерной сетки [711 [c.137]

Для исключения в уравнениях временной зависимости движение предполагается гармоническим. Далее в полученном таким путем функционале производные по пространственным координатам заменяются конечно-разностными соотношениями с использованием при дифференцировании неравномерной сетки, как было предложено авторами в [3]. После минимизации функционала энергии, аппроксимированного разностными соотношениями для перемещений, собственные частоты и соответствующие им формы колебаний определялись из решения линейной задачи на собственные значения. [c.115]

В выражении для потенциальной энергии деформации интегралы заменяются приближенными конечными суммами, основанными на схеме расчетной конечно-разностной сетки, покрывающей поверхность пластинки. Далее, используя формулы для стандартных конечных разностей с неравномерными интервалами, общую потенциальную энергию деформации пластинки окончательно выразим в квадратичной форме F через конечные разности для перемещений га " у [c.116]

При использовании неравномерной конечно-разностной сетки вводятся следующие условия г N [c.118]

Для неравномерной конечно-разностной сетки применим интерполирующий полином Лагранжа второго рода. Форма такого полинома с узлами интерполяции в точках Ij-i, я /+i, имеет вид [c.119]

В области определения зададим неравномерную сетку с координатами узлов Го = 0<Г1<Гг<..., фо = 0<ф1< <ф2<...<фА<-.<ф7< = 2л, И пусть Г1—Го = /1ь ф —ф 1 = = /12, й. Разностное решение конвективной задачи для удобства обозначим теми же буквами со, 1]) и 7, что и точное решение. Этого правила будем придерживаться и далее, не оговаривая его всякий раз. [c.67]

Рациональным конструированием сетки, нацеленным на однородное распределение разностных чисел Рейнольдса, удается существенно повысить точность численных результатов при больших Ка без привлечения дополнительных машинных ресурсов (рис. 5.7). Результаты, найденные на неравномерной сетке с конструкцией, [c.126]

Функция у здесь отнесена к полуцелым точкам. Как будет видно в дальнейшем, именно так аппроксимируется в уравнении энергии член, соответствующий процессам теплопроводности. Символ УаГ УД 5м использовать для обозначения разностной производной второго порядка на неравномерной сетке. Погрешность аппроксимации указанного оператора выглядит так [c.106]

Вообше коэффициент Е можно выразить через преобразования Фурье пробных функций. (Здесь мы попали прямо в суть абстрактного метода конечных элементов эта техника на неравномерной сетке была бы невозможна.) При разложении Е в ряд по степеням к старший показатель равен как раз порядку точности разностного уравнения. Мы вычислили этот показатель и убедились, что он равен меньшему из чисел к и 2(к — т), т. е. скорость сходимости, указанная теоремой 3.7, правильна. [c.201]

При вычислении нерегулярных границ конечно-разностными методами можно использовать специальные приемы. Один из таких подходов заключается в использовании специальных уравнений вблизи границ, например характеристических соотношений. Можно применять неравномерные сетки вблизи границ тела и записывать уравнения для неравномерных сеток. При этом можно использовать координатные преобразования, при которых граница переходит в одну из координатных линий. Если преобразуется только одна координата, то в этом случае все достаточно просто. [c.53]

Далее для тех задач, которые будут рассматриваться, приводятся несколько примеров разностных схем для расчета пространственных течений типа расщепления для решения задачи обтекания тел потоком идеальной несжимаемой жидкости, неявные разностные схемы с различной аппроксимацией конвективных членов для уравнений пограничного слоя, явные схемы для расчета пространственных сверхзвуковых течений, неявные методы повышенного порядка точности и неравномерной сеткой для уравнений пространственного турбулентного пограничного слоя. [c.128]

Рис. 14.2. Типичная неравномерная прямоугольная разностная сетка, используемая для дискретизации уравнения Пуассона

Использованная при интегрировании на первом и втором шагах конечноразностная схема [31] имеет четвертый порядок точности по координате ц и второй -по координате Неявная схема [31] предназначена для решения эволюционной по продольной координате взаимосвязанной системы дифференциальных уравнений первого или второго порядка по поперечной координате. В последнем случае допускается наличие в уравнениях смешанных производных. В расчетах использовалась неравномерная разностная сетка, сгущающаяся к стенке и к критическому сечению сопла, коэффициент а = 0,95. [c.66]

Метод решения. Система уравнений (1.1)-(1-3) решалась конечно-разностным методом по неявной схеме с использованием метода переменных направлений для уравнений завихренности и концентрации. Для конвективных членов применялись как монотонные аппроксимации, так и центральные разности. Использовались неравномерные сетки по обоим направлениям по вертикали в пограничном слое у поверхности растущего кристалла сетки существенно сгущались для разрешения тонкого концентрационного пограничного слоя по горизонтали - в областях X = 2а, 4й и 6а, т.е. в местах смены направлений входящего и выходящего потоков. Уравнение Пуассона решалось итерационным методом с набором оптимальных итерационных параметров. Тестовые расчеты на различных сетках (101 х 61, 201 х 71, 285 х 81) позволили выявить оптимальные сеточные и временные параметры как для эволюционных уравнений, так и итерационные шаги для уравнения Пуассона. [c.73]

Интегрирование исходной системы осуществлялось численно с помощью неявного конечно-разностного метода на разнесенной сетке в естественных переменных [6]. Уравнения баланса импульса и энергии решались последовательно, давление находилось из уравнения Пуассона. Решение проводилось на прямоугольной неравномерной по горизонтали сетке 91 х 71 с уменьшением шага около боковых границ (коэффициент сгущения равен 10). Шаг интегрирования по времени At определялся из [c.145]

Используемая при интегрировании неявная конечно-разностная схема [38] имеет четвертый порядок точности по координате г и второй по координате В расчетах вводилась неравномерная сетка со сгущением узлов к стенке и к критическому сечению сопла. Разностные уравнения на каждом маршевом шаге решались векторной прогонкой. При расчете течения в сопле Лаваля коэффициент а в формуле (2.9) брался в интервале 0.97 а 0.99. [c.39]

Система уравнений (3.1)-(3.4) и (3.8) интегрировалась с помощью неявной конечноразностной схемы [38]. Использовалась неравномерная сетка со сгущением к поверхности тела. Разностные аналоги уравнений (3.1)-(3.4), (3.8) для и, и, Т, ф, р на каждом маршевом слое решались векторной прогонкой совместно с уравнениями (3.6), (3.9) для у . Коэффициент а полагался равным 0.95. В качестве начального приближения для итерационного процесса использовалось гиперболическое приближение. [c.41]

Для определения динамических и турбулентных характеристик течения применяется численный метод расчета [9]. В основе метода лежит неявная конечно-разностная схема, обеспечивающая четвертый порядок точности по нормальной к поверхности координате с использованием граничных условий общего вида без изменения порядка точности интегрирования и однородности вычислительного алгоритма. В зависимости от структуры потока задаются шаги неравномерной сетки по пространственным координатам. [c.86]

При помош и прямых Xi = onst введем в расчетной области разностную сетку То так, чтобы в пределах ячейки материал был однородным, т.е., чтобы каждую ячейку занимал материал только одного из компонентов композита (рис. 3). При этом сетка будет неравномерной по каждому направлению, так как в области контакта компонентов композита и на границе расчетной области линии сетки должны быть размеш,ены более плотно. Сеточная область = w U 7, где ои — множество внутренних, 7 — граничных узлов, представляет собой совокупность прямоугольных ячеек. Каждая ячейка сетки может быть наделена механическими и геометрическими характеристиками компонента композита, занимаюш,его эту ячейку. Каждому узлу q-й ячейки сетки ш поставим в соответствие векторный параметр С (рис. 4). [c.336]

При вычислении производных в крайних точках слоя х полагают равным Xi-i или д ,+, для левого и правого конца соответственно. В остальных точках слоя x = xi. При вычислении производных трехточечная разностная схема в сочетании с неравномерной сеткой является своеобразным регуляризирующим оператором, который позволяет успешно решать некорректную задачу Коши в эллиптической области. Изложенная разностная схема имеет второй порядок точности по который обеспечивается итерациями по I. [c.190]

Одна из проблем, возникающих при численном исследовании конвекции,— обеспечение приемлемой точности результатов в режиме формирующегося пограничного слоя. Обычная процедура увеличения размерности сетки в этих условиях становится либо невозможной из-за недостаточного объема оперативной памяти ЭВМ, либо нежелательной по причине чрезмерного потребления машинного времени. При переходе в область мелких сеток существенная экономия машинного времени может быть достигнута методом решения на последовательности сеток [52]. Но точность решения можно повысить и на сравнительно грубых сетках за счет улучшения аппрок-симационных свойств разностной схемы и путем неравномерного распределения сеточных узлов, сгущая их на участках с более интенсивным движением. Исходя из того, что картина течения заранее неизвестна, важно выбрать подходящее правило, которое бы устанавливало зависимость шагов сетки от структуры искомого решения. Обсудим отдельные приемы улучшения сетки в процессе решения разностной задачи. [c.114]

При вычислении производных в крайних точках слоя s полагается равным Si-1 или s,+i для левого и правого концов соответственно. В остальных точках слоя s=s,. Производные dp/dQ и dr/dQ вычисляются аналогичным образом. Однако при этом, по-видимому, целесообразно использовать трехточечную схему с постоянным шагом А0 на плоскости s= onst, который тем не менее. может изменяться от одной плоскости к другой. Очевидно, что формула (3.12) получена в результате дифференцирования интерполяционного полинома Лагранжа, проходящего через точки 5, 1, Si и s,+i. Трехточечная разностная схема при вычислении производных в сочетании с неравномерной сеткой является своеобразным регуляризирующим оператором в смысле Тихонова А. Н., который позволяет успешно решать некорректную задачу Коши. Производная входящая [c.102]

Неравномерные сетки. Выше, вычисляя погрешпость аппроксимации, мы предполагали, что сетка является равномерной. В п. 2 этого параграфа указывалось, что встречаются ситуации, когда целесообразно использовать неравномерные сетки. В этом случае вычисление погрешности аппроксимации приводит к некоторым осложнениям. Для иллюстрации обратимся к разностному оператору второй производной. На неравномерной сетке его выражение выглядит следующим образом [c.106]

Область G + Г непрерывного изменения аргумента заменяется дискретным множеством точек — сеткой л = D , + (to/i — множество внутренних узлов сетки Xi, — совокуппость точек сетки, принадлежащих границе Г). Отрезок времени О i < Г, иа котором рассматривается репгопие задачи, также разбивается на конечное число интервалов — вводится сетка по временной переменной i = (t,, / = О, 1,. .. . Пусть h—niar сетки по пространству, т. е. параметр, характеризующий плотность рас-положепия узлов сетки шл в G + Г, т — шаг сетки по времени В общем случае шаги сетки переменны, т. е. сетка неравномерна. Исходную дифференциальную задачу на сетке = (uft X (Dr аппроксимируем, например, разностной схемой (см. [c.153]

Для проблемы 1 предположим сначала, что на каждом квадрате сетки только один узел (и одно связанное с ним неизвестное) это случай линейных элементов на правильных треугольниках, билинейных элементов на квадратах и сплайнов. Тогда КО = Р будет выглядеть точно как общепринятое разностное уравнение. Этот факт привел к бесчисленным дискуссиям о связи между конечными элементами и конечными разностями. Ясно, что не все разностные уравнения можно получить подходящим выбором элемента матрица К должна быть симметричной и положительно определенной, но даже при этих ограничениях соответствующий элемент может отсутствовать. С другой стороны, достаточно терпеливый читатель может пожелать рассматривать все уравнения метода конечных элементов (даже на неравномерной сетке с многими узловыми неизвестными) как конечноразностные уравнения. Мы приветствуем это намерение. Вообще система КО = Р дает новый тип объединенных разностных уравнений, который в принципе можно было изобрести без вариационного принципа в качестве посредника. Исторически, конечно, это почти никогда не случалось. Метод конечных элементов систематически приводит к специальному классу уравнений [пересечению всевозможных разностных уравнений со всевозможными уравнениями Ритца — Галёркина), удивительно удачному при вычислениях. [c.200]

Внешнее течение на остром конусе, как показывают экспериментальные данные, является коническим др/д = 0) и задано в соответствии с данными работы [37]. Сравнение численных результатов для продольной u Ve, поперечной со/ е составляющих скорости и температуры Т/Те с экспериментальными данными приведено на рис. 6.9 для значения углов т]=135° и / =0,85 (г— расстояние по оси конуса). Пунктиром нанесены численные результаты работы [37], в которой используется модель турбулентной вязкости Ван Дриста. Аппроксимация производных в касательной плоскости осуществлялась по двум и трем расчетным узлам. Расчеты показали, что использование трехслойных разностных шаблонов позволяет получить результаты с большей точностью, чем двухслойные схемы, и значительно сократить число расчетных узлов шаг интегрирования Дт]=5° дает приемлемую точность почти во всем поле течения, за исключением области, близкой к области отрыва. Интегрирование по координате производилось на существенно неравномерной сетке, шаг интегрирования значительно изменялся от поверхности до внешней границы. Высокий порядок точности аппроксимации в нормальном к поверхности направлении и неравномерная сетка позволяют получить численное решение, хорошо согласующееся с экспериментальными данными на сравнительно небольшом числе расчетных узлов (/= =48). [c.344]

В данной главе используется прямоугольная структура узлов с неравномерным шагом по горизонтали и вертикали. Типичный пример такой разностной сетки приведен на рис. 14.2, где узлы располагаются на пересечениях горизонтальных и вертикальных линий. Непланарная поверхность в двумерных моделях вырождается в линию, составленную из горизонтальных и наклонных отрезков, соединяющих смежные узлы. [c.355]

Разностная сетка, выбранная для пуассон-анализа, облегчает изучение непланарных структур. На рис. 14.7, а приведен еще один фрагмент сеточной структуры для анализа типичных приборов. С одной стороны неравномерную разностную сетку можно построить так, чтобы плотность узлов в окрестностях таких особых точек, как углы, была побольше. Но такое распределение узлов в целом несколько менее эффективно из-за излишней плотности узлов в областях, находящихся вне особых зон. С другой стороны, именно на таких сетках, которые обсуждались выше, проявляются основные преимущества 0дн0ша1 0В0Г0 метода ПВР — алгоритмическая простота и вычислительная эффективность. На рис. 14.7, б приведен тот же фрагмент основной структуры с искаженной прямоугольной сеткой. Главное преимущество такой сетки заключается в значительном уменьшении полного числа узлов вследствие нерегулярного сгущения сетки в особых областях и разрежения вне этих областей. При анализе уравнения непрерывности для одного типа носителей, приводимом ниже, используется вторая разностная сетка. На ней же будут проводиться и исследования непланарных структур. [c.366]

Точность вычисления токов из (14.35) и (14.37) с привлечением пуассон-анализа оценивается сравнением с результатами, полученными по программе САООЕТ [14.9]. В этой программе получаются согласованные решения уравнений Пуассона и непрерывности электронного тока в конечно-разностном виде на неравномерной прямоугольной сетке. Уравнение непрерывности аппроксимируется с помощью функций потока [14.10]. Разностное уравнение Пуассона решается с помощью неявной процедуры Стоуна [14.11), а разностное уравнение непрерывности - методом последовательной верхней релаксации. [c.382]

Интегрирование системы уравнений (1. )-( .4) осуществлялось численно с помощью оригинального программного комплекса, созданного на основе неявного конечно-разностного метода на разнесенной сетке. Уравнения баланса импульса и энергии решались последовательно, давление находилось из уравнения Пуассона. Применялась схема типа SIMPLE, модифицированная с учетом особенностей околокритической динамики. Использовались неравномерные несимметричные пространственные сетки 101x51 со сгущением в зоне интенсивного течения минимальный шаг / , =1.83- 10" . Шаг интегрирования по времени At определялся по акустическому времени At = Kuh mM, Ки - число Куранта. Использовались значения Ки= 1.8- ЮЗ-3.6- 10- так что временной шаг At на порядки превосходил характерное время распространения звуковой волны между узлами сетки [c.86]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...