Уравнения движения системы центра масс дифференциальны

При поступательном движении механической системы ее центр масс движется так же, как и все остальные точки этой системы. Определив движение центра масс такой системы путем интегрирования дифференциальных уравнений движения центра масс (4), мы тем самым определим, следовательно, и движение любой точки этой системы. Если же механическая система движется не поступательно, то мы можем разложить это сложное движение на поступательное движение вместе с центром масс и на движение около центра масс. При этом поступательное движение будет полностью характеризоваться уравнениями (16, 103) или уравнениями (4). Что же касается движения механической системы около центра масс, то оно не может быть определено при помощи этих уравнений, так как количество движения всякой механической системы относительно центра масс, как уже говорилось, всегда равно нулю. [c.583]

Полагая число групп равным п, мы получим, написав уравнения движения п центров тяжести, Зл дифференциальных уравнений второго порядка, — по три для каждого центра тяжести. Эти уравнения, интегрирование которых составляет задачу п тел, допускают семь известных первых интегралов, которые мы укажем как приложения общих теорем о движении системы. Современные средства анализа не допускают выполнения интегрирования этих уравнений. Тем не менее в небесной механике оказалось возможным при помощи этих уравнений вычислить с достаточной степенью точности движение центров тяжести небесных тел благодаря тому, что массы всех тел солнечной системы очень малы по сравнению с массой Солнца. Так, масса Юпитера, наибольшая во всей системе, не составляет тысячной доли массы Солнца, Приведя число тел к трем, получим знаменитую задачу трех тел. [c.349]

При составлении дифференциальных уравнений движения подвижной системы станка рассматриваем малые колебания центра масс в направлении осей координат и угловые — вокруг осей координат. Уравнения движения системы составляются в форме дифференциальных уравнений Лагранжа второго рода. [c.413]

В данном примере наиболее эффективным оказался третий метод, но читателю, не имеющему большого опыта в решении задач, трудно среди множества теорем и уравнений динамики остановить свой выбор на совокупности теорем о движении центра масс и уравнения динамики относительного движения. Решение подобных задач обычно сопровождается рядом неудачных попыток. Применение же уравнений Лагранжа обеспечивает эффективное составление дифференциальных уравнений движения системы. [c.564]

Уравнения (106), представляющие собой, очевидно, дифференциальные уравнения движения материальной точки С хс,ус, с) с массой М, выражают теорему о движении центра масс системы центр масс всякой системы движется так же, как материальная [c.479]

Заменим в системе уравнений (1.26) в силу соотношений (1.27) и (1.29) и на Д и Я, а 7а и 7а на G и G. В результате система нелинейных дифференциальных уравнений, описывающая движение вокруг центра масс тела с малой асимметрией, примет вид [12] [c.34]

Пусть С — центр масс материальной системы, состоящей из п материальных точек Ро, Р. .... п-ь а , т), его прямоугольные координаты в абсолютной системе являющиеся линейными функциями времени Л Пусть т], — барицентрические координаты точки Р . Тогда дифференциальны уравнения движения системы имеют вид [c.291]

Эти уравнения представляют собой дифференциальные уравнения движения центра масс в проекциях на оси декартовой системы координат. [c.275]

Для движения же вокруг центра масс теорема моментов, выражаемая равенством (38), дает в проекциях на главные центральные оси инерции тела три уравнения, совпадающие по виду с уравнениями (82). Таким образом, система дифференциальных уравнений (83), (82) описывает движение свободного твердого тела (снаряда, самолета, ракеты и т. д.). [c.344]

Решение. Составляем дифференциальное уравнение (43.2) движения центра масс системы вдоль оси у. [c.125]

Для определения ее величины составим дифференциальное уравнение движения центра масс системы [c.172]

Найдем теперь силы УУ, и N для этого, применяя теорему о движении центра масс системы, составим дифференциальные уравнения движения центра тяжести О цилиндра [c.342]

Можно упростить интегрирование дифференциальных уравнений движения, используя теорему об изменении кинетической энергии системы материальных точек в задачах, где главный вектор и главный момент сил, приложенных к твердому телу, постоянны либо зависят от положений точек (угла поворота) твердого тела, а в число данных и неизвестных величин входят масса и момент инерции твердого тела относительно оси, проходящей через его центр инерции перпендикулярно к неподвижной плоскости, силы, приложенные к твердому телу, перемещения точек твердого тела (угловые перемещения), скорости точек твердого тела (угловые скорости) в начале и в конце этих перемещений. [c.542]

Если внешние силы постоянны либо зависят от положений точек твердого тела, то можно упростить интегрирование системы дифференциальных уравнений движения, применяя теорему об изменении кинетической энергии в задачах, где в число данных и искомых величин входят масса, главные центральные моменты инерции твердого тела, внешние силы, приложенные к твердому телу, перемещения точек (угловое перемещение) твердого тела, скорости центра инерции и угловые скорости твердого тела в начале и в конце этих перемещений. [c.543]

Используя теоремы о движении центра масс и изменения кинетического момента системы относительно центра масс для относительного движения системы по отношению к системе координат, движущейся поступательно с центром масс, получим дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела. [c.281]

В плоскости движения центра масс тела, совершающего плоское движение, выберем неподвижную систему координат 0х у1, относительно которой рассматривается движение, и движущуюся поступательно вместе с центром масс систему Сху (рис. 228). Пусть Хс и Ус — координаты центра масс тела относительно неподвижной системы координат. Тогда по теореме о движении центра масс получим два следующих дифференциальных уравнения плоского движения твердого тела [c.281]

Подставляя это значение в формулу для дифференцируя ус два раза по времени и подставляя результат в дифференциальное уравнение движения центра масс всей системы, получаем [c.122]

Два уравнения движения центра масс и уравнение вращения, взятые в одном из указанных выше видов, представляют полную систему дифференциальных уравнений плоского движения твердого тела. При действии потенциальных сил следует использовать соотношение, даваемое теоремой об изменении кинетической энергии и представляющее собой один из первых интегралов указанной системы дифференциальных уравнений. [c.262]

Уравнения (4) называются дифференциальными уравнениями движения центра масс системы в проекциях на неподвижные декартовы оси координат. [c.581]

Пользуясь дифференциальными уравнениями движения центра масс (4), можно, зная главный вектор действующих на механическую систему внешних сил и массу этой системы, найти закон движения центра масс и, наоборот, зная движение центра масс и массу системы, определить главный вектор действующих на систему внешних сил. [c.583]

Так как проекция главного вектора действующих на рассматриваемую систему внешних сил на ось Ох равна нулю, то дифференциальное уравнение движения центра масс этой системы вдоль оси Ох на основании уравнений (8, 104) будет [c.590]

Дифференциальное уравнение движения центра масс рассматриваемой системы вдоль оси Оу будет [c.591]

Дифференциальное уравнение движения центра масс системы вдоль оси Ох будет я,+ Я3 + Я3 -я [c.592]

Подставляем (25) и (26) в дифференциальные уравнения (21) движения центра масс системы [c.210]

Определяя из (3) из решения системы дифференциальных уравнений дви-жеиия можно определить также скорости тел и,- (ii) в начале соударения. Используя (1) и теорему о движении центра масс тх = после интегрирования за время [c.166]

Аналитическое исследование движения КА, стабилизированного вращением, с учетом конечной жесткости и внутреннего трения элементов его конструкции в связанной системе координат не представляется возможным в силу сложности даже частично линеаризованных уравнений движения (1.62). Исследование же полностью линеаризованной системы дифференциальных уравнений (1. 63) не приведет к новым результатам, поскольку при полной линеаризации исчезают гироскопические связи между уравнениями этой системы и она фактически описывает движение двух упруго связанных относительно трех осей тел, центры масс которых совмещены в одной точке. [c.89]

Движение абсолютно твердого КА относительно центра масс в связанной системе координат описывается дифференциальным уравнением в векторной форме [c.13]

Используя выражения (1.3), (6.1). . . (6.6), запишем функцию Лагранжа L. Подставив ее в уравнение Лагранжа (6.4), получим дифференциальные уравнения, описывающие пространственное движение системы относительно центра масс. [c.148]

Из сопоставления этого дифференциального уравнения с теоремой с движении центра масс материальной системы [c.262]

Дифференциальные уравнения движения свободного твердого тела. Пусть требуется найти движение свободного твердого тела относительно неподвижной системы координат OaXYZ. Согласно теореме Шаля (п. 21), любое движение твердого тела можно рассматривать как совокупность поступательного движения, определяемого движением произвольной точки тела (полюса), и движения тела вокруг этой точки как неподвижной. При описании движения полюс желательно выбрать так, чтобы его движение определялось наиболее просто. Из основных теорем динамики следует, что за полюс удобно взять центр масс. Действительно, согласно теореме о движении центра масс, последний движется как материальная точка, к которой приложены все внешние силы системы, а теоремы об изменении кинетического момента и кинетической энергии для движения вокруг центра масс (см. определение этого понятия в п. 81) формулируются точно так же, как и для движения вокруг неподвижной точки. [c.214]

Вместе с развитием неголономных связей и теории общего их вида приобретают значение новые методы в поисках решений классических задач аналитической механики. Такие новые методы базируются, можно сказать, на двух теоремах. Первая теорема высказана в работах П. В. Воронца в первых десятилетиях нашего века в следующей формулировке каждый первый интеграл уравнений движения некоторой механической системы может считаться уравнением связи, наложенной на систему с соответствующими реакциями, равными нулю . Действительно, примем данный первый интеграл за связь и составим уравнения движения с множителем. Далее, учитывая, что первый интеграл тождественно удовлетворяет левым частям всех уравнений с множителем, мы придем к тому, что данный множитель должен быть равен нулю. Обратная же теорема должна читаться следующим образом. Положим, дана механическая система с заданными, пусть идеальными в смысле Лагранжа — Даламбера, связями и активными силами. Имеются динамические дифференциальные уравнения данной системы. Положим, требуется найти янтеграл заданного вида для дайной системы уравнений. Тогда, 1при-няв данный интеграл за уравнение дополнительной связи, будем составлять уравнения движения с подобной связью. Интеграл же может быть любой аналитической структуры, поскольку мы умеем уже составлять уравнения движения при связях любой, если можно так сказать, неголономности. Далее, если мы решим расширенную систему уравнений движения, т. е. уравнений с множителем вместе с уравнением связи, то могут быть две возможности находятся уравнения движения системы, т. е. обобщенные координаты основной задачи в функциях времени и вместе с ними определяется множитель в функции времени. Но, если при каких-либо параметрах системы, или предполагаемого первого интеграла, или при некоторых начальных данных, множитель обратится в ноль, то тогда действительно уравнение связи окажется первым интегралом данной задачи. Возьмем, к примеру, классическую задачу о движении твердого тела вокруг неподвижной точки. Мы знаем, с каким трудом добывались решения этой задачи и как, по существу, их мало. Всего три случая — общего решения, да и общность относится только к начальным условиям, а на другие параметры — распределение масс и положение центра тяжести — налагаются определенные условия. Частных интегралов больше, но все они находились с трудом (вспомним, например, случай Гесса). Данные же методы наиболее естественны нри выяснении вопроса, является ли заданная связь -первым интегралом уравнений движения данной системы как свободной. [c.13]

Основные трудности, возникающие при исследовании свободного движения твёрдого тела в атмосфере, связаны с изучением движения относительно центра масс, которое описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Найти приближённые решения этих уравнений возможно только при использовании тех или иных допущений. [c.5]

Введение. Твердое тело представляет собой частный случай механической системы точек, когда расстояния между любыми двумя точками системы остаются постоянными во все время движения. Одним из наиболее эффективных методов изу-чершя движения твердого тела под действием приложенных к нему сил является метод, основанный на применении основных теорем динамики системы. Для изучения поступательного движения тела мы будем исходить из теоремы о движении центра масс при изучении вращения твердого тела около неподвижной оси наиболее рационально пользоваться теоремой об изменении кинетического момента. На примерах изучения простейших движений твердого тела под действием приложенных сил весьма отчетливо выявляется значение основных теорем динамики системы, позволяющих исследовать свойства движений систем ма-териальных точек, подчиненных некоторым дополнительным условиям (связям). Основные теоремы динамики системы были исторически первым, наиболее простым и естественным методом изучения движения несвободных механических систем точек, и в частности изучения динамики твердого тела В последующем развитии механики Лагранжем был создан метод обобщенных координат, позволяющий свести составление дифференциальных уравнений движения системы с 5 степенями свободы к ясной, логически безупречной последовательности алгебраических преобразований, однако физическая наглядность рассуждений была в значительной мере утрачена [c.400]

Уравнения (206 ) представляют собой дифференциальные уравнения движения центра масс системы и выражают следующую теорему о движении этого центра центр масс системы, движется так же, как материальная точка, в которой сосредоточена масса всей системы и к которой приложены все внеишие силы, действующие на эту систему. [c.326]

Рассмотрим сначала движение центра масс системы, состоящей из фундамента, станины и поршня. Дифференциальное уравнение дви кенпя центра [c.121]

Пусть М — масса тела, v — скорость центра масс, Кс — киие-тпчесь ий момент тела в его дви кении относительно центра масс, т. е. (см. и. 81) относительно системы координат, которая имеет начало в центре масс тела и движется поступательно. Если R- и Мс — главный вектор и главный момент внешних сил относительно точки С, то из теоремы о движении центра инерции (п. 8(5) и теоремы об измеиении кинетического момента (и. 87) имеем два векторных дифференциальных уравнения [c.179]

Уравнение движения физического маятника. Физическим маятником называется твердое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной горизонтальной оси под действием силы тяжести. Выберем неподвижную систему координат OXYZ так, чтобы ее ось 0Z совпадала с осью вращения маятника, а ось 0Y была направлена вертикально вниз. Связанную с маятником систему координат Oxyz выберем так, чтобы центр масс маятника лежал на оси Оу а оси Oz и 0Z совпадали. Тогда если а — расстояние от центра тяжести до оси вращения, то = —mga mip и из последнего уравнения системы (3) получим дифференциальное уравнение движения физического маятника в виде [c.180]

Плоское движение тела. Пусть все точки тела движутся параллельно плоскости ОаХУ. Получим дифференциальные уравнения, описывающие это плоское движение тела. Без ограничения общности можно считать, что центр масс тела движется в плоскости О ХУ, поэтому Z = 0. Также можно считать, что оси Сх Су связанной с телом системы координат xyz движутся в плоскости OaXY, т. е. ось z перпендикулярна этой плоскости. Тогда, полагая = О, = О, из кинематических уравнений Эйлера (4) имеем [c.218]

Движение затрансформаторной части системы двигатлеь — гидромеханическая трансмиссия — автомобиль описывается дифференциальным уравнением поступательного движения центра масс автомобиля [c.44]