Векторы и тензоры

Часто используется также альтернативное представление векторов (и тензоров) в виде упорядоченных систем чисел, называемых компонентами. По сравнению с геометрическим представление посредством компонент имеет то неудобство, что оказывается зависящим от векторного базиса и, следовательно, зачастую от системы координат, т. е. при изменении векторного базиса данный вектор (стрелка в пространстве) будет менять свои компоненты. [c.16]

Дифференцирование скаляров, векторов и тензоров 29 [c.29]

Из изложенного выше ясно, что символ V широко применяется при введении различных величин. Этот символ V имеет также специальное название — оператор набла. Во избежание недоразумений важно помнить, что оператор, подразумеваемый под этим символом, зависит от природы величины, к которой он применяется в этом отношении он различен в применении к скалярам, векторам и тензорам. С другой стороны, в компонентной форме эта операция допускает общую формулировку при помощи кова-риантного дифференцирования тензора и-го ранга. Кроме того, следует подчеркнуть различие между операторами V и V., которые обозначают градиент и дивергенцию соответственно. [c.35]

Следовательно, в общем случае при изменении системы отсчета векторы и тензоры (которые устанавливают только соотношения между векторами) также изменяются. [c.36]

Важно проводить строгое различие между системами отсчета и системами координат. В разд. 1-2 мы ввели понятие системы координат как некоторого соотношения, ставящего в соответствие точкам пространства упорядоченные тройки чисел. Ясно, что это соотношение можно определить бесконечным числом способов в одном и том же пространстве, т. е. в одной и той же системе отсчета. Если в одной и той же системе отсчета изменить систему координат, то векторы и тензоры не изменятся, а изменятся лишь их компоненты. [c.36]

Например, при изучении процесса прядения и скручивания нити в прядильной машине в качестве системы отсчета можно выбрать пространство, неподвижное относительно стенок лаборатории. Таким образом, будут индивидуализированы скорость частицы и другие рассматриваемые векторы и тензоры. Для проведения определенных вычислений может оказаться удобным выбрать некую координатную систему, скажем декартову. Вследствие цилиндрической симметрии нити можно вместо этого выбрать цилиндрическую систему координат или из-за некоторых других причин можно выбрать какую-либо другую систему координат, но каждый такой выбор будет влиять только на компоненты векторов и тензоров, а не на сами векторы и тензоры. [c.37]

Примерами нейтральных скаляров служат плотность, температура, внутренняя энергия и т. п. Другими примерами нейтральных скаляров являются скаляры, однозначно определяемые нейтральными векторами и тензорами например, длина , или модуль, нейтрального вектора сама является нейтральной. Действительно, если а есть такой вектор, то [c.40]

Очевидно, что уравнение состояния должно быть инвариантным при изменении системы координат выбор последней фактически является соглашением, используемым для определения компонент векторов и тензоров. Если это уравнение записано в тензорной форме, оно всегда инвариантно при изменении системы координат. Действительно, в системе отсчета, избранной для наблюдения, тензоры остаются неизмененными при изменении системы координат, хотя их компоненты могут изменяться. Это становится очевидным сразу же, когда тензоры определяются как линейные операторы, поскольку такое определение не зависит от выбора системы координат. [c.58]

Рассмотрим вначале тензор напряжений Т. Будем помечать звездочкой векторы и тензоры в новой системе отсчета, как мы это делали в разд. 1-5. Тогда мы имеем, согласно определению Т, [c.60]

При использовании ортогональных координатных систем часто оказывается полезным рассмотреть физические компоненты векторов и тензоров. Так называются их компоненты относительно, ортогонального базиса, образованного векторами, имеющими те же самые направления, что и векторы естественного базиса (который, кроме того, совпадает с дуальным). [c.79]

Используя (2-7.18) и формулируя другие возможные соотношения, подобные уравнениям (2-7.13) и (2-7.14), получаем полную систему возможных соотношений между физическими компонентами и другими тинами компонент векторов и тензоров [c.80]

Можно заметить, что физические компоненты вектора или тензора имеют те же физические размерности, что и сами векторы и тензоры ). Это свойство не разделяется другими компонентами. [c.80]

Далее можно было бы совершенно аналогично спроектировать равенство (44) сначала на ось т), а затем на ось и определить так выражения для К.ц и / j. Можно, однако, поступить иначе. Правая часть выражения (45) содержит лишь элементы тензора инерции относительно осей , т], и проекции вектора ю на эти же оси, а левая часть — проекцию на одну из этих осей вектора Ко- Все операции над векторами и тензорами инвариантны относительно циклической перестановки осей, лишь бы при этом не менялась взаимная ориентация осей, т. е. правая система координат переходила в правую же систему. Дважды выполняя циклическую перестановку осей, т. е. элементов тензора инерции [c.186]

Соглашение о суммировании часто используется в связи с представлением векторов и тензоров в символических обозначениях через базисные единичные векторы. Так, формула (1.2) для вектора а в сокращенной индексной форме имеет вид [c.11]

Формулы преобразования скаляров, векторов и тензоров линейны относительно их компонент в новой и старой системах координат. Количество компонент скаляра равно единице, или 3 , количество компонент вектора равно трем,т. е. 3 количество компонент мультипликативного тензора (1.37) или (1.38) равно девяти, или 3 . Следовательно, количество N компонент скаляров, векторов и простейших тензоров в трехмерном пространстве определяется общей формулой [c.45]

Определения скаляра, вектора и тензора [c.7]

Определение ковариантной производной вектора и тензора будет дано в 6. Предварительно займемся исследованием параллельного векторного поля. [c.21]

Теперь перейдем к определению новых тензоров при помощи дифференцирования данных векторов и тензоров. Пусть / — данная скалярная функция, зависящая от координат точки Тогда в новых координатах f , связанных с формулами (1.1), имеем / = /. Учитывая последнее, а также принимая во внимание (1.1), будем иметь [c.23]

В декартовой прямоугольной системе координат, благодаря тому, что символы Кристоффеля обращаются в нуль и ковариантные компоненты вектора и тензора напряжений совпадают с физическими компонентами, уравнения движения (2.19) и равновесия [c.40]

Связь между вектором и тензором второго ранга описывается тензором третьего ранга [c.41]

Выражения дифференциальных операций второго порядка над векторами и тензорами весьма громоздки. Например, лапласиан вектора определяется следующей формулой [c.419]

Верхний индекс п относится к проекциям векторов и тензоров на направление, задаваемое единичным направлением п. Верхние индексы к, I = = 1, 2, 3 относятся к проекциям векторов и тензоров на направления осей декартовой системы координат, определяемые ортогональными единичными векторами е, е , е . При этом по повторяющимся верхним (и только по ним) индексам будет использоваться так называемое немое суммирование [c.8]

Выражения (2.113)—(2.114) были найдены в предположении, что Л , — скалярные величины. На самом деле, Л , Jf могут быть не только скалярными величинами, но и векторами и тензорами, т. е. в общем случае должны рассматриваться как тензорные величины разного ранга. Очевидно, что это обстоятельство не нарушает общности выражений (2.113) и (2.114), так как в том случае, когда Af и Jf — векторы, независимыми переменными является каждая из трех компонент этого вектора, а в случае, когда эти величины имеют тензорный характер, то независимыми переменными являются каждые из девяти составляющих его величин Afj. [c.165]

Ради краткости записи уравнений применим тензорные обозначения. Для их разъяснения оси X, Y, Z временно представим себе как Х , X-,. Компоненты векторов и тензоров на оси будем обозначать индексами а или 3, пробегающими все три значения 1, 2, 3. При этом знак суммирования по дважды повторяющемуся индексу (а, а или 3, [ i) опускается. Например, [c.84]

В механике деформируемого тела рассматривают физические величины (векторы и тензоры), не зависящие от выбора системы координат, но иногда их удобнее изучать в некоторых специально выбранных системах координат. Векторы и тензоры в каждой из систем координат задаются совокупностью величин, называемых компонентами вектора или тензора. Если эти компоненты заданы в одной системе координат, то они определены и в любой другой системе, ибо определение вектора и тензора включает и закон преобразования их компонент при переходе от одной системы координат (базиса) к другой. Одним из важнейших достоинств векторного исчисления является.то, что уравнения, характеризующие состояние механической системы (уравнения равновесия или движения,) можно формулировать в инвариантной форме по отношению к координатным системам. [c.7]

Используем соотношение, которое является следствием операции скалярного умножения для векторов и тензоров [c.16]

Внешнее произведение тензора первого ранга (вектора) и тензора второго ранга является тензором третьего ранга [c.523]

Индексы в скобках у кинетических коэффициентов (ss), (оа), tt) обозначают характер потока и силы скаляр —скаляр, аксиальный вектор —аксиальный вектор и тензор —тензор. [c.26]

Не все векторы и тензоры нейтральны. Мы встретим много примеров тензоров, которые преобразуются по правилам, отличающимся от (1-5.11). Типичным ненейтральным вектором является вектор скорости V. Поскольку эта величина будет использоваться в последующем, мы выведем уравнение преобразования v. [c.39]

До сих пор мы не упоминали о скалярных величинах и их поведении при изменении системы отсчета. Не рассматривая таких скаляров, которые могут изменяться даже в рамках одной системы отсчета (например, компоненты векторов и тензоров), мы вновь видим, что все остальные делятся на две категории по отношению к изменению системы отсчета, а именно на нейтральные и ненейтральные. [c.39]

Скаляры, связанные с ненейтральными векторами и тензорами, сами ненейтральны например, модуль вектора скорости изменяется с изменением системы отсчета. [c.40]

В трехмерном пространстве тензоры второго ранга иногда полезно представлять квадратными матрицами третьего порядка, а тензоры первого ранга (векторы)—матрицей-строкой или матрицей-столбцом. Хотя скаляры, векторы и тензоры второго ранга можно представлять матрицами, не каохдая матрица представляет собой тензор. Вследствие этого для тензорных величин вместо [c.17]

Решение. При произвольном (не ортогональном) преобразовании координат надо различать ко нтра- и ковариантные компоненты векторов и тензоров первые преобразуются к к сами координаты х (их принято обозначать с верхними индексами), а второе — как операторы дифференцирования д/дх (их обозначают с нижними индексами). Скаляр (10,1) надо записывать при этом как [c.58]

Пусть U — вектор геометрического смещения точек среды, отсчитываемый, скажем, от их положения перед началом процесса деформации его производная по времени и =v. Если образовать с помощью вектора и тензор полной дисторсии Wn — dujdxi, то мы получим его пластическую часть вычтя из Wtk тен- [c.165]

Левая часть этого равенства определяет изменение количеств а движения в объеме Q, а правая — поток вектора импульса через поверхность 2 П — симметричный тензор второго ранга, называемый тензором плотности потока импульса. Поток вектора импульса через поверхность, перпендикулярную единичному вектору п, задается выражением pn+(Wn)pW. Компоненты тензора определяются так I[ih=pbik+9WiWk, где индексы i, k пробегают значения 1, 2, 3, соответствующие компонентам векторов и тензоров по осям х, у, z dik—O при i k и б==1 при i=k. Используя формулы Остроградского — Гаусса, получаем [c.41]

Вся приведенная выше теория нанряженнй п деформаций сохраняется и при пользовании произвольной криволинейной, не обязательно ортогональной системой координат. В качестве базисных векторов принимают производные от радиуса-вектора точки по криволине1шым координатам j = rj, по отношению к этому базису вектор или тензор задаются контравариантными компонентами. По отношению к взаимному базису векторы и тензоры задаются ковариантными составляющими. [c.231]

Преобразование Лоренца можно рассматривать как ортогональное преобразование в пространстве Минковского. В этом четырехмерном пространстве можно говорить о скалярах, векторах и тензорах любого ранга, обобщая на них (очевидным образом) те преобразования, которые мы имели для аналогичных величин в трехмерном пространстве. Так, например, мы будем говорить о четырехмерных векторах или короче о 4-векторах и т. п. Инвариантность физического закона относительно преобразований Лоренца можно сделать тогда очевидной, если выразить этот закон в ковариантной четырехмерной форме-, все члены уравнения, выражающего этот закон, должны быть при этом тензорами одного ранга. Если же закон не удовлетворяет требованиям принципа эквивалентности, то ему нельзя будет придать ковариантную форму. Следовательно, характер преобразования (в четырехмерпом пространстве) членов равенства, выражающего физический закон, дает нам критерий для решения вопроса о релятивистской правильности этого закона. [c.219]

Одной из важнейших особенностей является здесь то, что при вычислении нужно тщательно различать ковариантные и контравариантные компоненты векторов и тензоров. Это приводит, однако, не к большим осложениям, чем, например, применение косоугольных декартовых координат. [c.680]

В этой книге всюду будут употребляться координаты Минковского. Они имеют то большое удобство, что для них ковариантные компоненты векторов и тензоров те же, что и контравариантные компоненты, и все векторы и тензоры можно написать с индексами внизу, избегая, таким образом, сложности в обозначениях. Если мнимое время Xi, окажется некоторым источником неясностей, то мы можем сразу перейти от координат Минковского х, к действительным декартовым координатам а , положив Хр = х , Xi = ix . Нам представится случай перейти к действительным координатам в 111 для того, чтобй обсудить вопрос о знаке. [c.392]

Наряду с представленным здесь вариантом часто используется также 4-мериое описание, в к-ром временная координата (обычно с индексом 0) берётся действительной, но 4-мерному пространству приписывается гиперболич. сигнатура (-f-, —, —, —) в таком пространстве приходится различать ко- и контравариантные компоненты векторов и тензоров (см. Ковариантность и кантравариантность). [c.37]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...