Теорема Лиувилля геометрическая

С точки зрения геометрического варианта теоремы Лиувилля о вполне интегрируемых системах (см. 4), уравнения (9.2) задают именно одномерные инвариантные торы, причем угловая координата и = т/(2К) mod 2тг (К — полный эллиптический интеграл) на этих торах равномерно меняется со временем. Как указывают [c.111]

Из теоремы Лиувилля вытекает весьма важное следствие. Коэффициент захвата частиц в процесс ускорения в принципе определяется только отношением фазовых площадей сепаратрисы и изображения сгустка, а не отношением их продольных размеров, не формой изображения сгустка на фазовой плоскости и т. п. Действительно, в принципе соответствующим преобразованием пучка можно сделать его изображение на фазовой плоскости геометрически подобным сепаратрисе. При этом площадь изображения пучка, согласно теореме Лиувилля, остается неизменной. Если изображение пучка по площади не превышает сепаратрисы, его можно полностью ввести в пределы сепаратрисы, повысив коэффициент захвата до 100%. [c.178]

Геометрический вариант теоремы Лиувилля о полной интегрируемости (см. теорему 1 4 гл. II) утверждает, что некритические совместные поверхности уровня п коммутирующих интегралов гамильтоновой системы с тг степенями свободы диффе-оморфны Т X (О < А,- тг), причем в некоторых переменных х, ...,хк mod 2тг, if +i,..., уравнения Гамильтона имеют совсем простой вид Xg — — onst. В компактном случае к = тг) имеется достаточно подробная теория поведения гамильтоновых систем, мало отличающихся от интегрируемых. Ниже, следуя работе [99], обсуждаются некоторые аналитические аспекты этой теории для некомпактного случая и ее связь с задачей о существовании полного набора независимых интегралов. [c.398]

В. В. Козловым также предложены новые методы анализа интегрируемых систем, основанные на использовании геометрической теоремы Лиувилля-Арнольда и теоремы Вейля о равномерном распределении. В качестве некоторого обоснования метода Ковалевской В. В. Козлов доказал ряд утверждений, связывающих ветвление общего решения на комплексной плоскости времени с несуществованием однозначных первых интегралов (гипотеза Пенлеве-Голубева). Для нахождения периодических решений в динамике твердого тела им впервые были применены вариационные методы. [c.26]

Таким образом, кроме интеграла энергии задача Якоби имеет еще п—1 первых интегралов. Ими являются номера софокус-ных квадрик, о которых идет речь в теореме Якоби — Шаля. Можно показать, что они находятся в инволюции и в общем положении независимы. Геометрическое доказательство первого факта можно найти в статье [4, гл. 3L а второй факт проверяется прямым вычислением с использованием эллиптических координат. Итак, гамильтонова система, описывающая движение точки по п-мерному эллипсоиду, имеет ровно п независимых инволютивных интегралов и поэтому вполне интегрируема согласно теореме Лиувилля. [c.105]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...