Канонические перестановочные соотношения

В старой формулировке теории поля вьшолнение этого требования чаще всего обеспечивалось эа счет предположения, что поля образуют неприводимый набор операторов, удовлетворяющих каноническим перестановочным соотношениям в заданный момент времени [c.141]

Здесь индекс / пробегает соответствующую последовательность чисел, а операторы я, — это некоторые комбинации полей и их производных по пространственным и временным переменным.) Однако для записи (3-7) требуется, чтобы поля имели операторный смысл, будучи размазаны только по X, а это — дополнительное сильное предположение, выходящее за рамки наших аксиом. Кроме того, как можно заключить из некоторых примеров, оператор [ф(х, I) д(р у, I ) / д1 даже после сглаживания по х л у в общем случае сингулярен в точке 1 — = В таком случае трудно придать соотношению (3-7) какой-либо смысл. Потому очень нежелательно принять канонические перестановочные соотношения в качестве необходимого требования в теории поля. [c.141]

В качестве замены предположения о канонических перестановочных соотношениях можно принять одно из его главных следствий размазанные поля образуют неприводимый набор операторов в гильбертовом пространстве. Это означает в точности следующее ) еслп В — любой ограниченный оператор, удовлетворяющий условию [c.141]

Мы уже отмечали в разделе 3-1, что в традиционной формулировке теории поля предполагается, что операторы неприводимого набора удовлетворяют каноническим перестановочным соотношениям в заданный момент времени. В этом параграфе мы последуем традиции и проследим дальнейшие следствия этой идеи. [c.227]

В теореме 4-17 невозможно доказать тем же методом равенство вакуумных средних в двух теориях для пяти и более операторов, поскольку четыре и более векторов нельзя перенести на гиперплоскость равных времен, если только они не входят в специальный набор, а этого слишком мало для обеспечения единственности аналитического продолжения определенных на ней функций. Однако теорема достаточно мощна если в двух теориях поля вакуумные средние произведений двух, трех или четырех операторов поля должны быть отличны друг от друга, то следует пользоваться неэквивалентными представлениями канонических перестановочных соотношений. [c.236]

Два последних соотношения называются каноническими перестановочными соотношениями (КПС). [c.20]

Из канонических перестановочных соотношений следует, что [Fif), F(g)]= (f, g) (g, f), /, [c.28]

Действительно, условие р тривиально следует из условия й, а а — из р, У- Доказать же, что у следует из р или р, можно, например, сначала для частного случая, когда я (Л) —оператор проектирования, а затем, воспользовавшись теоремой о спектральном разложении, тождеством Якоби и снова теоремой о спектральном разложении, получить результат для общего случая. Такой путь доказательства дает то преимущество, что он подсказывает правильный критерий совместности для случая неограниченных наблюдаемых. Заметим, в частности, что в случае неограниченных операторов условие у не следует из а (в чем можно убедиться, рассмотрев канонические перестановочные соотношения). [c.52]

В гл. 1, 1 мы видели, что бозе-система характеризуется полем F и канонически-сопряженной с ним величиной Р, причем н F, п Р отображают пространство пробных функций ) 8 в некоторое гильбертово пространство Ж. В представлении в пространстве Фока, рассмотренном в гл. 1, было показано, что P g) и f(/) — самосопряженные операторы, имеющие общую устойчивую плотную область определения и удовлетворяющие следующим каноническим перестановочным соотношениям (см. стр. 28, где y действительно) [c.122]

КАНОНИЧЕСКИЕ ПЕРЕСТАНОВОЧНЫЕ СООТНОШЕНИЯ [c.290]

Таким образом, оператор U а) можно интерпретировать как оператор сдвига вдоль R. Это наща первая форма представления Шредингера канонического перестановочного соотношения для системы с одной степенью свободы. В литературе обычно встречаются две другие формы к их рассмотрению мы и перейдем сейчас. [c.291]

То обстоятельство, что оператор PQ — QP совпадает с оператором — Н на некотором плотном линейном многообразии в Й 2(R), есть вторая среди тех форм представления Шредингера канонического перестановочного соотношения, которые мы хотим рассмотреть здесь. Данное соотношение, называемое принципом неопределенности Гейзенберга, допускает прямое истолкование (бывшее исторически первым), которое мы можем сформулировать следующим образом [c.292]

Теперь рассмотрим вопрос о том, определяют ли, хотя бы с точностью до унитарной эквивалентности, различные формы канонического перестановочного соотношения, перечисление выше, то представление, в котором операторы Р и Q образуют неприводимое множество. [c.293]

Теорема 1. Не существует представления Гейзенберга канонических перестановочных соотношений ограниченными операторами ). [c.293]

В этом случае оператор Q ограничен и, кроме того, оператор Р обладает дискретным спектром. То и другое свидетельствует о том, что это представление канонического перестановочного соотношения не является унитарно-эквивалентным представлению Шредингера, рассмотренному в п. 1. [c.294]

С -алгебра канонических перестановочных соотношений [c.300]

Теперь мы хотим построить формализм, который позволил бы нам систематически проанализировать канонические перестановочные соотношения в типичном случае скалярного бозе-поля. [c.300]

Случай, когда S = S совпадает с R, причем (а, Ь) = аЬ, сводится к форме Вейля канонического перестановочного соотношения для системы с одной степенью свободы. Аналогично, если пространство S — S л-мерно (п<оо), то приведенная нами формулировка представления Вейля соответствует описанию системы с п степенями свободы. Оба случая охватываются результатами, представленными в п. 1 и 2. [c.302]

Теперь МЫ уже располагаем всем необходимым для построения С -алгебры канонических перестановочных соотношений. [c.304]

Нетрудно убедиться, что Р 1 = Р и II/ / = II/ р, поэтому пополнение А(ё с) алгебры Д( с) по этой норме является С -алгеброй, которую мы назовем С -алгеброй канонических перестановочных соотношений. Заметим попутно, что для каждого леР(< с) тривиально выполняется неравенство IIя (7 ) / при любых Р из Д (< с), а поэтому представление я можно продолжить по непрерывности до представления С -алгебры [c.305]

VI ( ) Щ (/=1,2) — два представления Вейля канонических перестановочных соотношений, удовлетворяющие предположениям леммы. Предположим, что соответствующие генераторы Р1( ) и Н] групп ,( ), 7/(/) и и, 1) удовлетворяют следующим условиям [c.322]

Канонические перестановочные соотношения (КПС) 20, 290 [c.416]

Эта точка зрения близка к той точке зрения, которой мы будем придерживаться в данной книге. Мы совсем отказываемся от рассмотрения лагранжиана и канонических перестановочных соотношений для взаимодействующих полей и будем исследовать задачу в рамках аксиоматической теории поля. [c.11]

Отсутствие хорошо определённого оператора V(t) связано с существованием т. н. странных (нефоковских) представлений (см. Представлений теория) канонических перестановочных соотношений (КПС). В отличие от квантовой механики, т. е, системы с конечным числом степеней свободы, в квантовой теории поля наряду с представлениями, в к-рых существует вакуумный вектор (фоковские пред- [c.391]

Вскоре, однако, выяснилось, что рассуждения, ведущие к (4-70), неубедительны, поскольку существует много неэквивалентных представлений канонических перестановочных соотношений [т. е. иредставлений, которые не могут быть связаны посредством унитарного преобразования (4-70)]. Однако эти рассуждения не только неубедительны, но и неверны за исключением случая, когда ф(х,/)—свободное поле, не существует никаких операторов V, удовлетворяющих (4-70), как это будет продемонстрировано ниже с помощью аргументов, воплощающих идеи Р. Хаага. [c.227]

Мы убеждены, что в силу теорем, доказанных в этом разделе, связь между свободным и взаимодействуюнщм полями не может быть столь простой, какой ее можно было бы представить по аналогии с системами с конечным числом степеней свободы. В частности, кинематика оказывается смешанной с динамикой в том смысле, что именно динамика определяет, какое представление канонических перестановочных соотношений следует использовать. В физически интересных квантовых теориях поля еще более вероятна ситуация, в которой одновременные перестановочные соотношения вообще не имеют никакого смысла поле не может быть оператором, если его не размазать по времени так же, как и по пространству. [c.236]

Таким образом, модель Ван Хова приводит нас к выводу о том, что при рассмотрении некой физической задачи может возникнуть довольно богатый набор неэквивалентных представлений канонических перестановочных соотношений. Это — новое явление, характерное для систем с бесконечным числом степеней свободы. Оно находится в резком противоречии с результатами фон Неймана [435] (см. также работу Йордана и Вигнера [199]), доказавшего существование лишь одного неприводимого представления КАС и КПС для случая, когда пространство пробных функций конечножрно. Пока мы лишь отметим это, а более подробно остановимся на столь фундаментальном аспекте теории в гл. 3. [c.42]

Однако представляется чрезвычайно трудным найти какие-нибудь физические основания для того, чтобы С -алгебра Я, порожденная наблюдаемыми, обязательно была И -алгеброй, т. е. множество Я как банахово пространство было двойственным некоторому банахову пространству. И даже, как показывают некоторые хорошо известные физические примеры, это, вообще говоря, не так. Достаточно упомянуть о том, что С -алгебра канонических перестановочных соотношений не является -алгеброй всех ограниченных наблюдаемых в пространстве Фока, хотя ее представление в пространстве Фока точно и неприводимо. Здесь имеет смысл подробнее остановиться на значительно более простом случае классической механики, поскольку он хорошо иллюстрирует основные особенности рассматриваемой проблемы и облегчит нам подход к общему, квантовому случаю. [c.185]

Введение. Сначала мы рассмотрим различные формулировки канонических перестановочных соотношений для систем с конечным числом степеней свободы и проанализируем физический смысл формы Вейля КПС, Мы приведем теорему фон Неймана, но доказательство ее будет дано позже в этом же параграфе. Затем мы дадим определение общей С -алгебры канонических перестановочных соотношений. При этом мы введем математическое понятие С -индуктивного предела С -алгебр, которое будет играть главную роль в следующей главе. Пользуясь конструкцией ГНС, мы докажем теорему относительно общей структуры представлений этой алгебры и как частный случай докажем теорему фон Неймана. Каждую из двух частей теоремы Хаага мы подробно рассмотрим в отдельности. Затем, построив некоторые специальные представления, мы проиллюстрируем теорему об общей структуре представлений КПС. Кроме того, будут сделаны некоторые замечания относительно выбора пространства пробных функций, ассоциировано-ного с данным представлением. В заключение мы укажем пределы применимости некоторых представлений, которые использовались в качестве примеров. [c.290]

Как показывает данный пример, даже в случае системы с одной степенью свободы суш,ествуют представления Гейзенберга канонических перестановочных соотношений, которые уни-тарно-неэквивалентны рассмотренному в предыдущем пункте представлению Шредингера. Это обстоятельство вряд ли вызовет удивление, если учесть, что представление Гейзенберга, определение которого было приведено в начале данного пункта, сосредоточивает все внимание в основном на локальных аспектах канонических перестановочных соотношений, пренебрегая физикой, содержащейся в граничных условиях рассматриваемой задачи. Следовательно, если мы вообще нуждаемся в теореме единственности, то нам необходимо потребовать выполнения каких-то условий, более ограничивающих, чем те, которые сходят в определение представления Гейзенберга. Один из способов достижения этой цели сводится к введению условий на области определения и свойства самосопряженных операторов Р и р. В этом направлении удалось достичь нескольких результатов. Среди них прежде всего необходимо упомянуть о следующем результате, принадлежащем Диксмье [78] [c.295]

Из принятой нами формы канонического перестановочного соотношения следует, что всякое конечное произведение членов вида и (а,) У (Ь ) можно представить в виде и а)У (Ь). Поэтому 2В, есть -алгебра с единицей, сильное замыкание которой совпадает с 2Б". Отсюда мы можем заключить, что в Ш" существует счетное всюду плотное семейство элементов, а именно 2Во-КИМ образом, алгебра фон Неймана ЗВ" сепарабельна в сильной операторной топологии. Если представление и а), ]/ Ь) а, е неприводимо, то каждый вектор Ф евЖ цикличен относительно 2В" и, следовательно, относительно ЗВо- Поскольку же [c.297]

А ехр (— I г р/4 для каждого 2 е С и, таким образом, заключить, что л 0. Подставляя 2 = О в полученный выше результат, находим, что А — ненулевой оператор проектирования. Следовательно, в Ж существует по крайней мере один нормированный вектор Ф, такой, что ЛФ = Ф. Так как по предположению 28зс (С) — неприводимое представление, вектор Ф циклический (см. лемму к теореме 7). Для этого вектора образуем отображение ф ) = (Ф, W г) Ф) = (Ф, АШ (г) ЛФ) = = (Ф, ЛФ) ехр —I 2 Р/4 == ехр —12 р/4 . Заметим, что в представлении Шредингера в пространстве 2" (К) для всех e2 (R) справедливо равенство (и (г) )( ) = ехр —/ ( — х)/2 Р( — л ). Вычисляя ф (г) = (Ф, (г) Ф) для вакуумного вектора Ф( ) = = Я" / ехр — 1 /2 , получаем ф (г) = ехр — 2 р/4 . На основании теоремы 7 мы заключаем, что всякое неприводимое представление канонических перестановочных соотношений в форме Вейля для системы с одной степенью свободы унитарно-эквивалентно представлению Шредингера. Если бы исходное представление не было неприводимым, то всякое подпространство гильбертова пространства Ж, натянутое на векторы (1 (г) Ф 2 е С , где Ф удовлетворяет соотношению ЛФ = Ф, было бы устойчиво относительно рассматриваемого представления и, следовательно, могло бы служить носителем для неприводимого представления, унитарно-эквивалентного представлению Шредингера. Рассматривая эту конструкцию для ортонормированного базиса Ф/ в подпространстве гильбертова пространства Ж, образованном всеми векторами, устойчивыми относительно действия оператора Л, мы получаем полное доказательство теоремы 6. Действительно, обобщение на случай л(<оо) степеней свободы тривиально, поскольку для получения его достаточно заменить меру ёц г) в начале доказательства теоремы гауссовой мерой = которая, кстати сказать, является [c.310]

Благодаря этому в выражении (11.6) нет произведений величин, отвечающих различным волновым векторам зтим также обеспечивается то, что переменные, определенные соотношениями (11.5). динамически сопряжены друг другу. Воспользовавшись языком квантовой теории поля, мы видим, что канонические перестановочные соотношения [c.519]

Первоначально эти перестановочные соотношения основывались просто на аналогии с перестановочными соотношениями для i , которые выводились из канонических перестановочных соотношений для и Возможность кинематического вывода перестановочных соотношений для s. из группы вращений была указана впервые Нейманом и Вигнером J. V, Neumann U. Е. Wigner, Zs. /. Phys.i 47, 203, 1927. [c.181]

В квантовой механике такого равноправия нет. IIo TyjtaT канонического KeaiLmoeanuA, заменяющий скобки Пуассона /)/, 5у = б/у канонич. перестановочными соотношениями [р формулируется для [c.237]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...