Тензор линейного поворота

Тензор линейного поворота [c.75]

Аналогично можно определить эйлеров тензор линейного поворота. Условие со = 0 (со=0) является условием отсутствия поворота произвольной материальной точки. Используя (3.80), представим (3.16) в виде [c.76]

Очевидно, что первое слагаемое в скобках в формулах (2.25) определяет лагранжев тензор малой деформации. Второе слагаемое в скобках в формулах (2.25) называют лагранжевым тензором линейного поворота и обозначают [c.45]

Рассмотрим односвязную область V, в которой деформации являются дважды непрерывно дифференцируемыми функциями координат. Обозначим через (х(°)) компоненты вектора перемещения, а через (х ° ), г, = 1, 2,3, — компоненты тензора линейного поворота в точке Ро(х ) [c.46]

Тензор линейного поворота. Вектор поворота [c.121]

В первом члене в квадратных скобках формулы (3.48) можно узнать лагранжев тензор линейной деформации 1ц. Второй член называется лагранжевым тензором линейного поворота и обозначается [c.122]

Первый член в квадратных скобках в (3.54) является эйлеровым тензором линейной деформации е,ц. Второй член есть эйлеров тензор линейного поворота [c.122]

Таким же образом можно показать, что тензор вихря равен материальной производной по времени от эйлерова тензора линейного поворота. Этот результат выражается формулой [c.161]

В случае малых деформаций тензор (ви) называется тензором малых деформаций. Компоненты его сц определяются формулой (1.31), из которой следует, что при малых должны быть малыми компоненты линейного тензора деформации (е, ) и компоненты тензора малого поворота ((Ои). [c.14]

ПРЕДСТАВЛЕНИе НЕЛИНЕЙНОГО ТЕНЗОРА ДЕФОРМАЦИИ Ч РВ ЛИНЕЙНЫЙ ТЕНЗОР ДЕФОРМАЦИИ и ТЕНЗОР МАЛОГО ПОВОРОТА [c.11]

Деформированное состояние элемента материала описывается при малых по сравнению с единицей относительных удлинениях и углах поворота линейных волокон известным симметричным тензором Коши с компонентами [c.41]

Всякая физическая скалярная величина должна быть инвариантна по отношению к любому повороту координатных осей. Поэтому в выражение скаляра Ь могут входить лишь такие линейные комбинации компонент тензоров напряжений и скоростей деформаций, которые инвариантны по отношению к повороту осей координат. Единственной такого рода линейной комбинацией для тензора второго ранга является его линейный инвариант, равный сумме компонент, расположенных по главной диагонали. В этом легко убедиться, составляя указанную сумму в двух [c.167]

Выражение тензора конечной деформации через линейный тензор деформации и линейный вектор поворота. Обратившись к формулам (1.2.13) и (3.6.2), имеем [c.78]

Через линейный тензор деформации и линейный вектор поворота тензор деформации Альманзи — Гамеля выражается формулой, подобной (3.9,1) [c.81]

Постановка задачи линейной теории упругости. Как неоднократно указывалось (пп. 3.6, 3.9 гл. II), возможность замены тензоров конечной деформации линейным тензором деформации 8 обусловлена малостью компонент тензора-градиента вектора перемещения Уы или, что то л<е самое, компонент тензора е и вектора поворота сй [c.100]

При правильной деформации упругой среды в односвязном объеме вычисляемые по тензору деформации вектор перемещения и и линейный вектор поворота о также однозначны и непрерывны. Согласно теореме единственности (п. 4.1) Кирхгоффа состояние этого объема при отсутствии внешних сил является натуральным. Этого нельзя сказать в случае двусвязного объема (тор, полый цилиндр) в нем может существовать напряженное состояние при правильной деформации и при отсутствии внеш- [c.197]

Пространственная фигура анизотропии модуля упругости древесины, изображенная на рис. 1.1, описывается формулами преобразования компонент материального тензора четвертого ранга при повороте координатных осей. Формулы соответствуют линейным законам, содержащим произведения четырех направляющих косинусов. Оси х, г/ и г являются осями симметрии фигуры и совпадают с направлениями трех осей симметрии элементарного объема древесины, а плоскости ху, уг и гх являются плоскостями симметрии фигуры, изображенной на рис. 1.1. [c.9]

При повороте осей координат компоненты тензора четвертого ранга изменяются по следующему линейному закону (множителями здесь являются произведения четырех косинусов углов между новыми и старыми направлениями осей) [c.33]

Общие соотношения между различными характеристиками упругой деформативности одного и того же орто-тропного материала могут быть получены также из формулы (2.9), в сущности тоже основанной на условии существования упругого потенциала. Формула 2.9 является определением тензора четвертого ранга, для которого можно получить инвариантные (не изменяющиеся при повороте осей координат) соотношения путем так называемого свертывания. Если приравнять друг другу любые два индекса тензора Сц 1т, а затем просуммировать все компоненты по этому индексу от единицы до трех, то получится тензор второго ранга. Повторив операцию еще раз, получим инвариант. Производя операцию свертывания по разным индексам, можно получить разные инварианты, которые называются линейными, так как в них входят компоненты в первой степени. Путем двукратного свертывания можно из тензора получить два линейных инварианта /1 и /4. В сокращенном обозначении [c.49]

Симметричный тензор е называется линейным тензором деформаций тензором деформаций Коши), а антисимметричный тензор W — линейным тензором ротации. При бесконечно малой деформации тензор е характеризует искажение материальной частицы, а тензор W — ее поворот. В декартовой системе отсчета запись этих тензоров через компоненты имеет вид [c.39]

Как и при геометрически линейном деформировании, все три определения упругого материала, рассмотренные в 2.1.2, теоретически эквивалентны при малой деформации тела, материал которого подчиняется закону Гука. Тензоры напряжений s, S и деформаций е, Е связаны преобразованиями поворота (см. 1.3.4 и 1.4.1) [c.77]

Утверждение. Определяющие соотношения для любых материалов (упругих и неупругих), справедливые при геометрически линейном деформировании тела, обобщаются на случай геометрически нелинейного деформирования при условии малости деформаций прямой заменой тензора напряжений Коши а, тензора деформаций Коши е и их скоростей , к соответственно вторым тензором напряжений Пиола — Кирхгофа S, тензором деформаций Грина — Лагранжа Е и их материальными производными S, Е. При такой деформации тензоры S и Е имеют простую механическую интерпретацию компоненты этил тензоров приближенно равны компонентам тензоров и ё, полученных из тензоров а и е операцией поворота, осуществляемой ортогональным тензором R. Такие же приближенные равенства справедливы для материальных производных компонент-зтих тензоров, т. е. S w сг, Е 6, S сг, Ё 6. [c.78]

Основная задача линейной статической теории дефектов заключается в решении уравнений равновесия, (23) и определяющих. При введении пластического поворота со наряду с можно ввести тензор плотности дислокаций [c.107]

Как представляется автору, область применимости стандартных материалов следует ограничить случаем малых деформаций при больших (не малых) углах поворота. Этот случай реализуется для гибких тел (стержней, пластин, оболочек), где, кстати, значение V = V2 уже не вызывает осложнений. Существенно, что в выделенном случае вследствие больших поворотов линейный тензор Е (etj) не характеризует деформацию, в то время как стандартные материалы при своей структурной простоте содержат характеристики деформации. Стандартный материал 2-го порядка особенно удобен для использования в криволинейной материальной системе координат (см. гл. 11—15). [c.45]

Примем, что в процессе деформирования удлинения сдвиги и углы поворота остаются малыми по сравнению с единицей. Порядки малости этих величин, вообще говоря, различны и будут уточнены ниже. При этих условиях малыми будут и компоненты тензора деформаций. В частности, если в недеформирован-ном состоянии система координат декартова, то относительные удлинения волокон материала, направленных до деформации вдоль координатных осей отождествляются с одноименными компонентами тензора деформаций, а изменение углов между двумя координатными осями — с соответствующими разноименными компонентами. Кроме того, условие малости удлинений и сдвигов позволяет пренебречь изменением объемов, площадей и линейных размеров тел в процессе их деформирования и отождествить компоненты симметричного тензора обобщенных напряжений [206 ] с истинными напряжениями в лагранжевых переменных. [c.41]

Очевидно, что рассуждения, проведенные при лагранжевом описании вектора отно сительного перемещения, тензора линейного поворота и вектора линейного поворота, можно полностью повторить для эйлеровых аналогов тех же величин. При этом для вектора относительного перемещения имеем [c.46]

Х1Х2 ез при ограничениях, принятых в теории малых деформаций (Ь = Е), определить тензор линейной деформации, тензор линейного поворота и вектор поворота в точке Р (О, 2, — 1). [c.141]

Таким образом, согласно равенству (1.31) можно представить не-.янейный тензор деформации е ) через линейный тензор деформации (е,у) и тензор малого поворота ( >ij), [c.13]

Здесь rij — кососимметричный тензор скоростей поворота, его главная линейная часть ответственна за жесткое враш ение тела в целом, а нелинейная — Aij — связана с влиянием изме-няюгцихся необратимых деформаций eij в каждой точке среды. В процессах разгрузки, когда е - = О, из (2.1) следует, что все [c.86]

Если тензор деформации тождественно равен нулю в окрестности точки Ро, ТО относительное перемещение окрестности этой точки будет бесконечно малым поворотом абсолютно твердого тела. Этот бесконечно малый поворот можно представить лагранжевым векп о-ром линейного поворота [c.122]

Таким образом, согласно равенству (1.31) можно представить нелинейный тензор деформации (e ) через линейный тенвор деформации (вц) и тензор малого поворота [c.12]

Таким образом, тензор с компонентами озрд (вектор rot и) определяет поворот подобласти Qi (в пределах точности линейной теории) как жесткого целого деформация описывается тензором с компонентами е /. Тензор 6 = ЮуЛ 0Л называется тензором вращения. [c.11]

В трехмерном эвклидовом пространстве тензором называется совокупность математических величин (компонент), преобразующихся при повороте осей координат по определенным линейным законам и обладающих рядом свойств, общих для этих величин. [c.8]

Использование всех формулировок для упругих материалов эквивалентно в случае малых деформаций (но, возможно, больших перемещений и поворотов). Эти формулировки должны приводить к приблизительно одинаковым результатам при решении задач (см. 2.1.3). Отметим, что определяющие соотношения закона Гука для линейного упругого изотропного материала можно использовать только для малых деформаций тела. Только при таком ограничении закон Гука описывает поведение реальных материалов. Если формально использовать модель линейного изотропного упругого материала при больших деформациях тела, то TL- и UL-формулировки описывают поведение разных материалов. В [49] на примере решения задачи по растяжению куба отмечается большое расхождение значений компонент тензора напря- [c.198]

Вместо алгебраического решения характеристического у равнения (1) можно использовать графический способ, известным под названием круга Мора, позволяющий находить компоненты тензора второго ранга в пространстве двух измерений и в произвольной системе ортогональных осей координат (напряжения или деформации в точке, моменты инерции площадей плоских фигур, кривизны нормальных сечений поверхности и пр.). Круг Мора дает графическую интерпретацию линейного преобразования любой симметричной матртЦ) или квадратичной формы второго ранга при повороте осей и, в частности, может служить для решения векового уравнения второй степени. [c.54]

Предположение о малости перемещения и поворотов влечет соблюдение малости удлинений и сдвигов. Однако обратное утверждение несправедливо. В то же время существует только общее рассуждение о критерии малости перемещений относительно линейного размера тела. Есть основание полагать, что для тел с микроструктурой необходимо сравнивать перемещения с размерами структурных элементов. Подчеркнем, что в основе классической теории малых деформаций лежит допущение о малости поворотов и перемещений. Если в основу положить малость удлинений и сдвигов по сравнению с единицей, то перемещения и повороты могут быть значительны. Эти преднолон ешш соответствуют линейной теории упругости, в которой реигаются задачи упругого равновесия, сильного изгиба стержней, оболочек и т, п, В этом случае тензор деформации имеет вид [c.100]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...