Матриц интегрирование

При использовании метода конечных элементов приходится вычислять определенные интегралы, когда на каждом элементе сети разбиения определяется элементарная матрица интегрированием на каждом элементе функционала, аппроксимируемого с помощью функций формы. Если же элементы криволинейны или задача нелинейна, аналитическое интегрирование становится невозможным и тогда приходится систематически прибегать к численному интегрированию. [c.82]

Например, можно вычислить а (Г) для сферически симметричного течения к стоку, выбирая в качестве уравнения состояния простое уравнение Максвелла (6-4.12). Как уже показано, уравнение Максвелла совпадает с интегральным уравнением состояния (6-4.19). Матрица тензора С (s) для этого течения к стоку была вычислена в примере ЗБ (гл. 3). Прямое интегрирование дает следующее выражение [c.291]

Использование вышеописанного алгоритма формирования матрицы Якоби непосредственно приводит к ММС вида (4.52). Здесь Ур— проводимость ветви р срл — потенциал к то узла на данном шаге интегрирования ф ,— то же на предыдущем шаге интегрирования. [c.182]

Перечисленные допущения характерны для функционального моделирования, широко используемого для анализа систем автоматического управления. Элементы (звенья) систем при функциональном моделировании делят на три группы 1) линейные безынерционные звенья для отображения таких функций, как повторение, инвертирование, чистое запаздывание, идеальное усиление, суммирование сигналов 2) нелинейные безынерционные звенья для отображения различных нелинейных преобразований сигналов (ограничение, детектирование, модуляция и т. п.) 3) линейные инерционные звенья для выполнения дифференцирования, интегрирования, фильтрации сигналов. Инерционные элементы представлены отношениями преобразованных по Лапласу или Фурье выходных и входных фазовых переменных. При анализе во временной области применяют преобразование Лапласа, модель инерционного элемента с одним входом и одним выходом есть передаточная функция, а при анализе в частотной области — преобразование Фурье, модель элемента есть выражения амплитудно-частотной и частотно-фазовой характеристик. При наличии нескольких входов и выходов ММ элемента представляется матрицей передаточных функций или частотных характеристик. [c.186]

Сложность задачи усугубляется тем, что уравнения, описывающие процессы переноса массы и теплоты внутри проницаемой матрицы и во внешнем пограничном слое, должны решаться одновременно, так как концентрация различных компонент на внешней поверхности стенки, необходимая для интегрирования уравнений сохранения компонентов, не может быть задана произвольно, а должна определяться в результате совместного решения уравнений по обе стороны внешней поверхности пористой оболочки. [c.64]

Этап 2. Интегрирование функций G(x, g) для получения матрицы коэффициентов G . [c.64]

Основная сложность при решении уравнений заключается в том, что задачи статики стержней относятся к двухточечным краевым задачам, когда решение должно удовлетворять определенным условиям в начале и в конце интервала интегрирования, в отличие от одноточечных краевых задач — задач Коши, когда все условия, которым должно удовлетворять решение, известны в начале интервала интегрирования. Поэтому хорошо разработанные методы решения систем дифференциальных линейных (и нелинейных) уравнений для одноточечных задач использовать для решения двухточечных задач в общем случае нельзя. В настоящее время имеется ряд методов численного решения линейных двухточечных задач (имея в виду стержни), которые получили распространение в расчетной практике метод начальных параметров, метод прогонки [2], метод конечных элементов [15]. Точное аналитическое решение линейных уравнений равновесия стержня, например (1.112) — (1.115), возможно только для случая, когда элементы матрицы Ах— постоянные числа [этот случай будет рассмотрен в 5.2, где изложены теория и методы расчета винтовых стержней (цилиндрических пружин)]. Для уравнений с переменными коэффициентами возможны только численные или приближенные методы решения. [c.61]

Уточненное значение фундаментальной матрицы К(е) для каждого этапа нагружения можно также получить, разбив интервал интегрирования на р подынтервалов (как это было сделано в 2.2). Для каждого из подынтервалов имеем [c.88]

Определив для каждого из подынтервалов интегрирования уточненное значение матрицы Kv 4e), находим уточненную матрицу К ">(е) для всего интервала интегрирования для т-го этапа нагружения.Определив К " Че)>находим (К( >(е )) и (K< >(ev)) , входящие в частное решение. [c.88]

Физические соображения, приводящие к условию А = 0 вне поверхности при диффузном рассеянии, аналогичны тем, которые упоминались в п. 17 в связи с аномальным скин-эффектом. Электроны в этом случае покидают поверхность совершенно беспорядочно, как если бы они приходили из пространства, в котором отсутствует поле. Вывод, основанный на теории возмущений, приводит к тому же результату (см. п. 22). Если происходит диффузное рассеяние, то матрица плотности для двух точек внутри тела будет та же, что и для бесконечной среды, но она, разумеется, обращается в нуль, если одна точка лежит внутри тела, а другая—снаружи. Таким образом, интегрирование нужно проводить по физическому объему. Так как в теорию входят производные от матрицы плотности, а матрица плотности терпит разрыв на поверхности, возможно, что нужно добавить некоторый поверхностный интеграл. Во всяком случае, такой интеграл необходим для удовлетворения граничных условий, если на поверхности задано Если же интеграл по объему удовлетворяет естественному граничному условию (/j = 0 на поверхности), то никакого поверхностного интеграла добавлять не требуется. Если объемный интеграл и приводит к отличному от нуля току, текущему к поверхности, то поток от поверхности не может быть полностью беспорядочным и нельзя удовлетворить всем условиям, положив А = 0 вне поверхности, В этом случае необходимо прибавить поверхностный интеграл. [c.723]

Подставляя матрицы D и В в формулу (8.86) и заменив в ней интегрирование по объему интегрированием по площади пластины, получим формулу для вычисления матрицы жесткости конечного элемента при изгибе [c.268]

Матрицу жесткости элемента к определяют в соответствии с формулой (5.4.16) интегрированием по всей площади элемента, причем при постоянной толщине I элемента [c.124]

Поскольку по толщине пластинки (б) напряжения и перемещения не изменяются, то матрица жесткости вычисляется интегрированием лишь по площади элемента [c.636]

Матрицу жесткости и фиктивную нагрузку от температурного воздействия обычно вычисляют при помощи численного интегрирования по объему элемента V (верхний индекс т означает транспонирование) [c.84]

В математическом обеспечении вычислительных машин существуют пакеты научных программ, обеспечивающие интегрирование систем дифференциальных уравнений перемножение матриц вычисление обратных матриц и т. д. [c.183]

Таким образом, дополнив систему уравнений разветвленной сети трубопроводов объемного гидропривода двумя последними уравнениями, можно продолжать решение задачи после остановки поршня одного из гидроцилиидров. При этом следует иметь в виду, что вся система уравнений изменилась, так как изменилось число проточных элементов и тупиковых узлов. Следовательно, необходимо заново определить матрицы [1] [К] [S] и т. д. Кроме того, следует иметь в виду, что объемный модуль упругости относительно большая величина для жидкостей, применяемых в гидроприводе, он равен приблизительно 1200 МПа. Поэтому коэффициенты в двух последних уравнениях также значительно больше коэффициентов в остальных уравнениях, т. е. градиент возрастания давления в полости нагнетания и падения давления в полости слива значительно выше градиентов изменения давления в других участках гидросистемы. Последнее обстоятельство требует уменьшения шага интегрирования для получения устойчивости при вычислениях (можно рекомендовать шаг интегрирования в этом случае 10 ..10 с). [c.185]

Интегрирование этого выражения по всему пространству, занятому матрицей ), дает запасенную в ней упругую энергию E [c.92]

Поэтому перенапряжение в соседних элементах существенно увеличивает вероятность разрушения в области перенапряжения длины б по сравнению с вероятностью разрушения элемента той же самой длины в однородном поле напряжения. Увеличенная вероятность разрушения может быть вычислена путем интегрирования вероятностей разрушения по области перенапряжения армирующего элемента. Теперь удобно считать, что это увеличение вероятности произошло в результате ЛГ-кратного увеличения равномерного напряжения в области влияния. Для случая разрушения г соседних элементов коэффициенты для упругой и пластичной матриц представляются соответственно выражениями [c.187]

В формулах (5.6) и (5.7) элементы матрицы записаны так, будто твердое тело является совокупностью дискретных частиц. Для непрерывных тел это суммирование заменяется объемным интегрированием, и вместо массы частицы нужно писать плотность. Так, например, диагональный элемент 1хх примет тогда вид [c.165]

Разделив переменные и произведя интегрирование, можно получать кинетическое уравнение уплотнения матрицы армированного материала при спекании [c.153]

Легко обнаружить, что при использовании системы частных решений с единичной матрицей и частного интеграла в форме (12.160), удовлетворяющей условиям (12.161), постоянные интегрирования Ьд, и Д, имеют смысл начальных параметров. С этой целью [c.239]

Таким образом, матрица начальных условий интегрирования [c.197]

Условия (3.129) и (3.130) являются граничными условиями в начальной точке интегрирования. Матрица начальных условий, удовлетворяющая условиям (3.129) и (3.130), может быть принята в виде [c.199]

В числовой форме матрица начальных условий интегрирования имеет вид [c.200]

Значение этого вектора в любой точке определяется численным интегрированием уравнения (11.34) при начальном условии (11.40). При, выборе начальных условий для векторов у,- (х), являющихся решениями однородного уравнения (11.35), надо позаботиться об их линейной независимости. Проще всего этого добиться, принимая матрицу решений Y (xq) "единичной, т. е. [c.458]

Суть метода С. К. Годунова состоит в том, что весь интервал интегрирования разбивают на участки, на каждом из которых проводят численное интегрирование исходного дифференциального уравнения так же, как и при использовании метода начальных параметров. Длины участков выбирают такими, чтобы в пределах одного участка решения однородного уравнения оставались линейно независимыми. При переходе от участка к участку матрица решений подвергается линейному преобразованию, так что век-. [c.460]

В результате интегрирования на последнем р-м. участке находят векторы yi (/) (/г = 1. 2,. ..,>, 0), составляющие матрицу [c.465]

Интегрирование системы конечно-элементных уравнений (1.35) можно осуществить различными способами [55, 177, 178], наибольшее применение среди которых получили методы центральных разностей, Вилсона, Галеркина, Ньюмарка. Нельзя формально подходить к использованию того или иного метода,, так как каждый из них имеет свои сильные и слабые стороны, которыми и определяется область их рационального применения. Так, применение центральных разностей имеет несомненное преимущество при использовании сосредоточенной (диагональной) матрицы масс, однако устойчивость его зависит от выбора шага интегрирования во времени Ат. Выбирая безусловно устойчивые и более точные двухпараметрические методы интегрирования Ньюмарка и Галеркина, мы значительно увеличиваем время счета. Оптимально и достаточно просто реализуемое интегрирование уравнения (1.35) можно провести с помощью модифицированной одношаговой процедуры Вилсона по двум схемам, отличающимся числом членов разложения в ряд Тейлора функций (т) , (й т) , ы(т) в момент времени т [7]. [c.25]

Условия (5.11) или (5.12) устойчивости методов интегрирования в применении к нелинейным системам ОДУ можно рассматривать как приближенные, при этом под X/ понимают собственные значения матрицы Якоби Я = <ЗУ/(ЗУ. Так как в нелинейных задачах элементы матрицы Якоби непостоянны, то непостоянны и ее собственные значения. Поэтому априорный выбор значения постоянного шага h, удовлетворяющего условиям устойчивости на всем интервале интегрирования [О, Ткон], оказывается практически невозможным (случай гарантированного выполнения условий устойчивости за счет выбора /г<Стпип неприемлем, так как приводит к чрезмерным затратам машинного времени). [c.239]

Для формирования матрицы Якоби используем экономичную процедуру. Элементы R , и шз дадут вклады в элемент уц, равные соответственно l/ з и niilAt, где Д/ — шаг интегрирования. Элемент La даст вклад Д///-2 в элементы уц и (/22 со знаком + , в элементы уц и yzi —со знаком — н т. д. Элементы уц и (/,ц нулевые, так как нет связи между узлами I а 3. Элементы вектора невязок сформированы из усилий, приложенных к узлу. Надексом обозначены переменные, полученные на предыдущем [c.134]

Один из этих методов состоит в следующем. Задав начальные условия (7.55), численным интегрированием уравнения (7.45) определяют значения линейно независимых решений (7.49) в конце периода Т, т. е. матрицу X (Т) = А. Так как интегрирование нужно производить на конечном промежутке времени [О, Т], то все вычисления можно произвести с любой наперед заданной точностью (для этой цели лучше всего, конечно, использовать электронно-вычислительные машины). По найденной матрице А составляется характеристическое уравнение (7.64), после чего определяются корни Рх, р2,. . ., Рп- Хорошим контролем этого метода может служить равенство (7.72), которое с помощью последней формулы Виета (4.23) приводится к виду [c.238]

Для решения этой системы, как правило, используется интерационный метод Ньютона—Рафсона, основанньг на сочетании неявных методов интегрирования с методами обработки разреженных матриц. Это позволило разработать простые и эффективные алгоритмы форми ювания математических моделей электронных схем ни основании метода узловых потенциалов. [c.162]

Известно также, что сходимость метода Ньютона к решению зависит от близости начального приближения к этому решению. В связи с этим начальное приближение в точке +1 целесообразно задавать посредством экстраполяции искомых функций с использованием их значений в предшествующих точках. И наконец, время расчета существенно зависит от точности задания данных в начальной точке отрезка интегрирования, если эта точка находится в околоравновесной области, как, наиример, для течений в соплах. Даже незначительные ошибки в начальных данных (в четвертой — пятой значащих цифрах) в силу малых значений т могут привести к длительному счету начального участка из-за медленной сходимости итераций. Поэтому в начальной точке целесообразно также решать систему (7.45) методом Ньютона с переменной матрицей, полагая второй член в левой части (7.45) равным а,-. [c.208]

Один из способов вычисления /-интеграла для любых изопарамет-рических элементов состоит в том, что контур интегрирования проводится через точки интегрирования матриц жесткости элементов. На рис. 13.11 показан отрезок контура в пределах одного квадратичного элемента. Интегрирование целесообразно выполнить по локальной координате [c.92]

Как и в большинстве теорий прочности композитов, в анализе, использующем критерий тина Хплла, в качестве основной технологической единицы слоистого материала принимается однонаправленный слой. Модули композита, его матрицы жесткости и податливости вычисляются по четырем независимым упругим константам материала слоя при помощи обычных процедур преобразования и интегрирования (см. разд. 4.3). Деформации композита, вызванные любой приложенной нагрузкой, определяются при помощи его упругих свойств. Затем рассчитываются деформации е,/ и напряжения ац каждого слоя, и при помощи критерия прочности Хилла оценивается напряженное состояние каждого слоя [c.152]

Рассмотренный метод был применен в [15] к элементарной задаче расчета напряженного состояния моноволокна, заключенного в полимерную матрицу. На рис. 5.5 для гипотетической ситуации (температура, соответствующая отсутстви ю напрял<ений, равна 200 °С и 7 g = 50° — ниже, чем у типичных смол) показаны приведенные радиальные напряжения на поверхности раздела волокно — матрица, образовавшиеся в процессе охлаждения с постоянной скоростью (по абсциссе отложено безразмерное время). Сплошные линии для двух разных конечных температур Тр получены интегрированием уравнения (5.25). На этом же рисунке показаны напряжения, развивающиеся после охлал<дения ниже Tg. Скачок напряжений в этом диапазоне температур получен при подстановке начального модуля смолы, находящейся в стеклообразном состоянии, в упругое решение. Когда Tpостаточных напряжений должно пройти много времени. [c.193]

Схема интегрирования уравнения (3.32) сохраняется прежней, но при переходе через каждую опору следует дополнительно учитывать зависимость (3.31), которуюможно записать в виде матрицы перехода [c.107]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...