Деформация Лагранжа

Таким образом, удлинения Л,- или относительные удлинения Ец выражаются в конечном счете через компоненты efy тензора деформаций Лагранжа либо через компоненты тензора деформаций Эйлера. [c.66]

Уравнение (3.35) для определения главных значений Э тензора конечных деформаций Лагранжа либо Эйлера имеет вид [c.69]

Рассмотрим постановку задачи о вычислении поправки Au(m) иа основе формулировки принципа возможных перемещений (1.133). Все компоненты деформаций и напряжений будем относить к исходному недеформированно-му базису. В этом случае деформации будут определяться компонентами тензора деформаций Лагранжа, а напряжения—компонентами тензора напряжений Пиола—Кирхгофа 2-го рода [38]. Рассмотрим отдельно каждое слагаемое в уравнении (1.133). [c.39]

Для решения задачи механики деформируемого тела используются цилиндрические лагранжевы координаты. Интегрирование по области при вычислении энергии деформирования тела осуществляется по исходной геометрии, постоянной для каждого шага [120, 121, 148]. Деформированное состояние характеризуется тензором деформаций Лагранжа, который вводится с помощью меры деформаций Коши — Грина. Для характеристики напряженного состояния используется тензор напряжений Пиола. Возможны и другие подходы решения физически и геометрически нелинейных задач [164]. [c.93]

Физические соотношения, устанавливающие связь между компонентами тензора приращений деформаций Лагранжа и компонентами тензора приращений напряжений Пиола, выводятся в предположении [c.96]

С помош ью компонент (6) могут быть образованы тензоры деформации Лагранжа 7 и Эйлера е [c.637]

В теории малых деформаций лагранжев тензор конечных деформаций Ец в формуле (3.36) можно заменить лагранжевым тензором линейных деформаций 1ц, и тогда эта формула примет вид [c.123]

В предыдущих главах мы пользовались эйлеровым методом описания движений жидкости. При использовании этого метода течение несжимаемой жидкости в момент I характеризуется полем скорости и(Х, 1)у т. е. значениями вектора скорости во всевозможных точках = Хи Х2, Хг) пространства (в настоящем разделе по причинам, которые будут ясны из дальнейшего, нам будет удобно обозначать координаты А /, а не л /, как в предыдущих главах). Уравнения гидродинамики (из которых давление можно исключить с помощью уравнения (1.9)) при этом в принципе позволяют определить значения переменных Эйлера и(Х, t) в любой момент времени > /о по заданным начальным значениям и(Х, о) = ио(Х). Однако для изучения таких явлений, как турбулентная диффузия (т. е. распространение примесей в поле турбулентности) или деформация материальных поверхностей и линий (состоящих из фиксированных элементов жидкости) в тур-булентном течении, более удобным оказывается лагранжев метод описания движений жидкости. Он заключается в том, что вместо скоростей жидкости в фиксированных точках X пространства за основу берется движение фиксированных жидких частиц , прослеживаемое, начиная от некоторого начального момента времени / = to. Под жидкими частицами при этом понимаются объемы жидкости, размеры которых очень велики по сравнению со средним расстоянием между молекулами (так что для соответствующих объемов имеет смысл говорить об их скорости, оставаясь в рамках механики сплошной среды), но все же настолько малы, что скорость и давление внутри частицы можно считать практически постоянными и в течение рассматриваемых промежутков времени эти частицы можно считать перемещающимися как одно целое (т. е. без заметной деформации). Лагранжев метод самым непосредственным образом связан с реальными движениями отдельных элементов жидкости, совокупность которых и составляет течение поэтому его можно считать физически более естественным, чем эйлеров метод описания. В то же время в аналитическом отношении использование переменных Лагранжа, относящихся к индивидуальным частицам жидкости, оказывается гораздо более громоздким, чем использование переменных Эйлера и(Х, t), вслед- [c.483]

В дальнейшем прежде всего будут определены тензоры деформаций Лагранжа и Эйлера. Несколько отклоняясь от намеченной схемы изложения, пока никакого ограничения на малость деформаций вводить не будем, так что поэтому все положения могут быть справедливы в качестве исходных для геометрически нелинейной теории. [c.35]

Величины Етп и втп В ЭТИХ формулах называют соответственно тензорами деформаций Лагранжа и Эйлера. [c.37]

Предположим сначала, что рассматривается тензор деформаций Лагранжа (лагранжево описание). Пусть задан малый недеформированный элемент согласно рис. 1.19. Недеформированный линейный элемент йЗ = йХ (при йХг = йХз = 0) переходит в процессе деформации в элемент йз = х с тремя компонентами. Относительная деформация определяется как относительное изменение длины [c.38]

Малые деформации. Если ограничиться малыми деформациями и считать производные от перемещений малыми по сравнению с единицей, то тензоры конечных деформаций могут быть линеаризованы. Тензоры деформаций Лагранжа и Эйлера принимают вид [c.40]

Здесь 1е, Не и П1е—главные инварианты тензора деформации Лагранжа. [c.165]

Модели для анализа напряжений и деформаций часто оказываются более удобными, если представлены в интегральной форме, вытекающей из вариационных принципов механики. Вариационный принцип Лагранжа (принцип потенциальной энергии) гласит, что потенциальная энергия системы получает стационарное значение на тех кинематически возможных перемещениях, отвечающих заданным граничным условиям, которые удовлетворяют условиям равновесия. Поэтому модель представляют в виде выражения потенциальной энергии П системы как разности энергии деформации Э и работы массовых и приложенных поверхностных сил А [c.158]

Лагранжев и эйлеров тензоры деформаций являются симметричными декартовыми тензорами второго ранга и поэтому для них можно в каждой точке тела найти три главных направления (главные оси) и три главных значения. С физической точки зрения материальная частица, у которой направления ребер (мы условились, что материальная частица имеет форму параллелепипеда) совпадают с главными направлениями деформации, не меняет своей ориентации. Так как направляющие косинусы осей х,- и X,- удовлетворяют условиям [c.67]

Лагранжев и эйлеров тензоры деформаций можно разложить на шаровые тензоры и девиаторы [c.69]

Таким образом, лагранжев либо эйлеров тензор деформаций е// определяется заданием трех главных удлинений е и трех направлений главных осей тензора. Вместо трех инвариантов е можно задать три других инварианта ео, Э, г() (либо це). [c.71]

Здесь относительные деформации Ец вновь сопровождены индексами L я Э, поскольку в общем случае они не равны в лагранже-вых и эйлеровых координатах материальные волокна, направленные до деформации вдоль осей хь после деформации будут направлены не обязательно вдоль осей Xi (i=l, 2, 3). Вследствие этого, вообще говоря, при малых деформациях [c.72]

Так как, с другой стороны, арифметизация точек среды координатами Лагранжа не изменяется при деформации, можно рассматривать и 5,. как тензоры, заданные в одном, общем [c.503]

Само собой разумеется, что все сказанное о применении переменных Лагранжа основано на предположении о выполнении при деформировании среды обычных требований, налагаемых на всякую арифметизацию материальных частиц переменными у Так, между прочим, должно постоянно выполняться условие обозначения двух физически бесконечно близких частиц бесконечно близкими значениями координат уК Эти требования выполняются при достаточно малых деформациях твердых тел. [c.504]

Координаты Лагранжа определяют положение точек деформируемой среды независимо от процесса деформирования, если деформации достаточно малы, так что не нарушается непрерывность арифметизации. [c.504]

Эти приближенные равенства показывают, что при малых деформациях исчезает различие между переменными Эйлера и Лагранжа. [c.513]

Будем использовать постановку задачи в переменных Лагранжа а (см. 1.7) а е Qo, iio —область, занятая телом до деформации. [c.276]

Перейдем к определению направлений главных осей и, как следствие, к определению главных деформаций. Введем в рассмотрение множитель Лагранжа и найдем экстремум квадратичной формы [c.210]

Откажемся от ограничения малостью компонент тензора поворота, которое до сих пор всюду принималось. Теперь мы должны пользоваться нелинейными выражениями (7.2.3) для компонент тензора деформации. Введем опять напряжения как множители Лагранжа и составим уравнение равновесия, совершенно аналогичное уравнению (7.4.3), а именно, [c.234]

Функционал (8.7.5) называется функционалом Лагранжа, он зависит только от вектора перемещения ы поскольку фигурирующие в выражении (8.7.5) компоненты деформации предполагаются выраженными через перемещения. Приравняем нулю вариацию функционала Лагранжа [c.256]

Поскольку мы наложили геометрические ограничения на характер деформации балки и предопределили заранее ноле деформаций, заданное формулой (12.1.2), содержащей две неизвестные функции одной только переменной z, для получения уравнений изгиба естественно применить вариационный принцип Лагранжа. Построим функционал Лагранжа но формуле (8.7.5) [c.388]

Эти условия относятся к балке со свободными концами. Они изменятся, естественно, если на конце балки приложена сосредоточенная сила или момент. Тогда соответствующие члены необходимо включить в функционал Лагранжа как работу внешних сил. Если на деформацию балки на ее концах наложены некоторые кинематические ограничения, например, г (0) = 0 (конец [c.389]

В нелинейной теории остальные компоненты деформации уже не обращаются все в нуль, но они малы по сравнению с вц. Предположим теперь, что стержень сжимается продольной силой Р, как это было показано на рис. 4.1.1, концы стержня для простоты будем считать шарнирно опертыми. Составим функционал Лагранжа так же, как это делалось в 12.1, но с учетом выражения (12.3.1) для деформации ец [c.393]

Теорема о верхней оценке несущей способности. Пусть I — произвольное кинематически допустимое поле скоростей и скоростей деформации, т. е. такое поле, которое удовлетворяет граничным условиям ui = V на части поверхности Sv. По заданным скоростям деформации Бу определяются напряжения сгу единственным образом, если поверхность напряжения строго выпукла. Напряжения о у вообще не удовлетворяют уравнениям равновесия. Выпишем уравнения равновесия в форме Лагранжа, принимая за поле виртуальных скоростей [c.492]

Применим уравнение Лагранжа — Максвелла к простейшей электромеханической системе с одной степенью свободы, представляющей собой прибор, которым широко пользуются для регистрации электрических сигналов от датчиков измерителей деформации, вибрографов и пр. (рис. 98, а). [c.219]

Формула (VI. ) выражает теорему Лагранжа частная производная от потенциальной энергии деформации по обобщен-ному перемещению равняется соответствующей обобщенной силе. [c.207]

Как и все энергетические теоремы, теорема Лагранжа доказывается довольно просто. Будем считать, что энергия деформации упругого тела выражена не через силы, а через перемещения. В принципе это всегда можно сделать, поскольку силы и перемещения между собой связаны. [c.83]

Тензоры деформаций Лагранжа и Эйлера. Лагранжево и эйлерово описания деформаций приводят к двум различным тензорам деформаций. Выражение (1.41) с учетом (1.45) [c.36]

Р е ш е и и е. Воспользуемся уравнегшем Лагранжа II рода для консервативной системы. Приняв за обобщенную координату системы вертикальное отклонение у груза 1 от положения покоя, соответствующего статической деформации пружины, имеем [c.313]

Величины Gift определяют изменение внутренней метрики среды при деформации они являются компонентами симметричного тензора второго ранга, который называется тензором конечных деформаций в переменных Лагранжа. [c.504]

Принцип Лагранжа. Представиаи себе стержневую систему, например ферму, на которую действует одна обобщенная сила Q, вызывающая обобщенное перемещение q. Сделанное предположение не нарушает общности рассмотрения, поскольку любая система сил может рассматриваться как одна обобщенная сила. Кроме перемещения q узлы системы получают перемещения 2,. . ., п), на которых сила Q работы не производит. Перемещения Xi не связаны какими-либо кинематическими ограничениями приложив надлежащим образом обобщенные силы Xi, можно получить проязвольные величины а ,. Заданпе системы перемещении q, Xi позволяет вычислить деформации всех элементов системы и, следов ательно, найти потенциал U как функцию q и Xi [c.156]

Таким образом, шесть формально введенных компонент деформации выражаются через вектор Xi точно так же, как определенные обычным способом компоненты деформации выражаются через вектор Ui. Теперь, зная е , можно определить Х интегрированием по формулам Чезаро и получить обычным способом уравнения совместности (7.3.5) или (7.3.6). Излишне говорить, что введенный формально, как множитель Лагранжа, вектор "ki представляет собою в действительности вектор перемещения [c.258]

Здесь варьируются независимо напряжения о и перемещепи>1 щ. Функционал Лагранжа, записываемый через и деформации ij, выраженные через Ut по формулам (12.2.1), послужил отправной точкой для всех выводов. Прямое распространение на геометрически нелинейные задачи вариационного принципа типа Кастильяно невозможно. Действительно, в линейной теории было использовано то обстоятельство, что беу выражается через Ьщ по тем же формулам, по которым б ,- выражаются через Uu Поэтому преобразование объемного интеграла можно было произвести до варьирования функционала. В нелинейной теории этого сделать нельзя. [c.392]

Здесь бар представляют собою компоненты деформации срединной плоскости 2бар = и-а, s + а. Формулы (12.4.3) достаточны для построения общей теории. Составляя функционал Лагранжа и приравнивая нулю его вариацию, мы получим некоторые дифференциальные уравнения для м и ц с соответствующими граничными условиями, т. е. построим техническую теорию изгиба пластин, заранее предполагающую выполнение известных кинематических ограничений. Но мы будем пользоваться вариационным принципом Рейснера и зададимся следующим законом распределения напряжений по толщине [c.397]

Сравнивая начало возможных перемещений Лагранжа и начало виртуальных изменений напряженного состояния упругого тела Кастильяио, следует отметить, что первое заменяет собой уравнения равновесия (внутри тела и на его границах), а второе — уравнения совместности деформаций. [c.49]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...