Лагранжа тензор деформаций

Лагранжа тензор деформаций 84 Лагранжева вариация 152, 378, 484 Лагранжиан 520 Ламе коэффициенты 133 [c.550]

Допустим теперь, что деформация и вращение любого элемента тела малы и, следовательно, членами второго и высших порядков относительно градиентов перемещения можно пренебречь по сравнению с членами первого порядка [10]. Тогда лагранжев тензор деформаций приводится к обычному [c.157]

Таким образом, удлинения Л,- или относительные удлинения Ец выражаются в конечном счете через компоненты efy тензора деформаций Лагранжа либо через компоненты тензора деформаций Эйлера. [c.66]

Лагранжев и эйлеров тензоры деформаций являются симметричными декартовыми тензорами второго ранга и поэтому для них можно в каждой точке тела найти три главных направления (главные оси) и три главных значения. С физической точки зрения материальная частица, у которой направления ребер (мы условились, что материальная частица имеет форму параллелепипеда) совпадают с главными направлениями деформации, не меняет своей ориентации. Так как направляющие косинусы осей х,- и X,- удовлетворяют условиям [c.67]

Лагранжев и эйлеров тензоры деформаций можно разложить на шаровые тензоры и девиаторы [c.69]

Таким образом, лагранжев либо эйлеров тензор деформаций е// определяется заданием трех главных удлинений е и трех направлений главных осей тензора. Вместо трех инвариантов е можно задать три других инварианта ео, Э, г() (либо це). [c.71]

Откажемся от ограничения малостью компонент тензора поворота, которое до сих пор всюду принималось. Теперь мы должны пользоваться нелинейными выражениями (7.2.3) для компонент тензора деформации. Введем опять напряжения как множители Лагранжа и составим уравнение равновесия, совершенно аналогичное уравнению (7.4.3), а именно, [c.234]

Сначала сформулируем инкрементальную теорию, которая основана на подходе Лагранжа и в которой используются тензоры напряжений Кирхгофа и тензоры деформаций Грина. Начнем с определения напряжений, деформаций, перемещений, массовых и поверхностных сил, действующих на S , и заданных на перемещений в состояниях и как показано в табл. [c.389]

Сформулируем другой вариант инкрементальной теории с помощью модифицированного подхода Лагранжа, в котором используются модифицированные тензоры напряжений Кирхгофа и модифицированные тензоры деформаций Грина. Обозначим напряжения, деформации, перемещения, массовые силы, внешние силы, действующие на 5,,, и заданные на перемещения в состояниях Q(N) и Q(A/-fi) .дк, как показано в табл. 16.2. Отметим, что напряжения и внешние силы на отнесены к единичной площади, а массовые силы — к единичному объему состояния Q< ). Тогда принцип виртуальной работы в состоянии запишется в виде [c.392]

Из (1.47) получим выражения для материальной производной тензора деформаций Грина — Лагранжа в виде однородных функций материальных производных тензоров градиента деформации Р и градиента перемещения Н (= Р) [c.42]

Из (1.60), (1.63) получаются соотношения, связывающие материальную производную тензора деформаций Грина — Лагранжа Ё(2) С тензором скорости деформаций d [c.43]

Они связывают компоненты второго тензора напряжений Пио-ла — Кирхгофа S с компонентами тензора деформаций Грина — Лагранжа Е. Альтернативные формы определяющих соотношений гиперупругого материала можно получить, используя другие пары сопряженных (необязательно инвариантных) тензоров напряжений и деформаций. Получим, например, такие соотношения с помощью несимметричных тензоров напряжений и деформаций. Пользуясь (1.47), запишем следующие выражения для удельной потенциальной энергии деформаций [c.72]

Утверждение. Определяющие соотношения для любых материалов (упругих и неупругих), справедливые при геометрически линейном деформировании тела, обобщаются на случай геометрически нелинейного деформирования при условии малости деформаций прямой заменой тензора напряжений Коши а, тензора деформаций Коши е и их скоростей , к соответственно вторым тензором напряжений Пиола — Кирхгофа S, тензором деформаций Грина — Лагранжа Е и их материальными производными S, Е. При такой деформации тензоры S и Е имеют простую механическую интерпретацию компоненты этил тензоров приближенно равны компонентам тензоров и ё, полученных из тензоров а и е операцией поворота, осуществляемой ортогональным тензором R. Такие же приближенные равенства справедливы для материальных производных компонент-зтих тензоров, т. е. S w сг, Е 6, S сг, Ё 6. [c.78]

Получить потенциальную функцию W(Е) с помощью связи тензоров деформаций Коши — Грина и Грина — Лагранжа (1.49) [c.79]

В формуле (2.100) предполагается, что материальная производная тензора деформаций Грина — Лагранжа Е выражена через материальную производную тензора градиента деформаций F при помощи (1.61). [c.107]

Вариация тензора деформаций Грина — Лагранжа Е определяется следующим образом [c.111]

Здесь предполагается, что материальные производные компонент тензора деформаций Грина — Лагранжа выражены через материальные производные компонент тензора градиента перемещения формулой (1.62). [c.119]

В соответствии с обозначениями (5.5), (5.22), формулы (1.62) для скоростей компонент тензора деформаций Грина — Лагранжа принимают вид [c.163]

Выражения компонент тензора деформаций Грина — Лагранжа через компоненты тензора градиента перемещений приведены в (1.50). В обозначениях (5.5) имеем [c.194]

Рассмотрим потенциал (6.21) как функцию инвариантов тензора деформаций Грина — Лагранжа, т. е. [c.200]

Введем следующие инварианты тензора деформаций Грина — Лагранжа [c.200]

Отметим, что в (6.24) не используется симметрия компонент тензора деформаций Грина — Лагранжа, так как в (2.14) эти компоненты предполагаются независимыми. [c.200]

Пользуясь соотношениями (6.23), устанавливаем связь между инвариантами (6.19) правого тензора деформаций Коши — Грина и инвариантами (6.24) тензора деформаций Грина — Лагранжа [c.201]

Эти формулы можно записать в более компактной форме, если вместо компонент тензора деформаций Грина — Лагранжа использовать компоненты правого тензора деформаций Коши — Грина. Пользуясь (6.23), из (6.31) получаем [c.202]

Диагональные матрицы являются постоянными. Их требуется определить из условия стационарности лагранжиана (2.3). Для этого образуем согласно соотношениям Коши тензор деформации [c.253]

Рассмотрим постановку задачи о вычислении поправки Au(m) иа основе формулировки принципа возможных перемещений (1.133). Все компоненты деформаций и напряжений будем относить к исходному недеформированно-му базису. В этом случае деформации будут определяться компонентами тензора деформаций Лагранжа, а напряжения—компонентами тензора напряжений Пиола—Кирхгофа 2-го рода [38]. Рассмотрим отдельно каждое слагаемое в уравнении (1.133). [c.39]

Наряду с тензором кратностей удлинений широко используются тензор деформации Коши — Лагранжа [c.61]

В частности, для тензора деформации Грина — Лагранжа [c.65]

Тензор называется тензором деформаций Грина — Лагранжа, — тензором деформаций Фингера, — тензором деформаций Карни, — тензором деформаций Альманси [63]. Эти тензоры объективные (правые) тензоры Е и Е ) (функции и) инвариантные, а (левые) тензфы и (функции V) индифферентные. Они фильтруют абсолютно жесткие движения тела вида (1.43), превращаясь в нулевые тензоры [c.36]

Найти тензор скоростей деформации, вектор вихря скорости, закон движения, вектор цершещения как функцию ла-х анжевых координат, лагранжев тензор деформации, изменение плотности в цроцессе движения, > [c.62]

Термины прашый и левый условны, так как, например, если вместо F базовым несимметричным тензором деформаций был бы принят тензор градиента места то термины правый и левый пришлось бы поменять местами. Для тензоров деформаций, являющихся функциями правого тензора кратностей удлинений U, часто используются термины материальный или лагранжев , а для тензоров деформаций, являющихся функциями левого тензора кратностей удлинений V, — пространственный или эйлеров . Эти термины искажают механический смысл тензоров деформаций, так как все они по своей сути материальные [63]. [c.35]

Тензоры деформаций Грина — Лагранжа, Фингера, Карни и Альманси [c.36]

В настоящей и последующих главах упрощаем некоторые обозначения. Для второго тензора напряжений Пиола — Кирхгофа вместо вводим обозначение S, а для тензоров деформаций Грина — Лагранжа и Альманси вместо обозначений и используем Е и е соответственно. [c.68]

Определяющие соотношения гиперупругих материалов при больших деформациях используются в основном для моделирования поведения резиновых тел. Рассмотрим некоторые модели изотропных материалов, описывающие деформации таких тел. Вследствие изотропии материала потенциальная функция W должна зависеть только от главных инвариантов тензора деформаций Грина — Лагранжа /г(Е), /2(E), /з(Е) (см. (1.1)). В определяющих соотношениях (2.14) потенциальную функцию W I, I2, /3) прямо использовать нельзя вследствие того, что материал резины предполагается несжимаемым (J = detF = 1), так что справедливы равенства (1.46). Условие несжимаемости формулируем с помощью правого тензора деформаций Коши — Грина С, связанного с тензором деформаций Грина — Лагранжа Е первой формулой (1.49) [c.79]

Здесь Qtij — компоненты линейной ча.сти приращения тензора деформаций Грина — Лагранжа [c.159]

Таким образом, t ij — линейная часть приращений компонент тензора деформаций Грина — Лагранжа tEij, отнесенного к текущей конфигурации, является инкрементальным аналогом производной Коттера — Ривлина от тензора деформаций Альман-си или инкрементальным аналогом тензора скоростей деформаций. Кроме того, приращения компонент второго тензора напряжений Пиола — Кирхгофа, отнесенные к текущей конфигурации, являются инкрементальными аналогами компонент производной Трусделла от тензора напряжений Коши. [c.196]

Компоненты правого тензора деформаций Коши — Грина If ij выражаются через компоненты тензора деформаций Грина — Лагранжа qEjj с помощью первой формулы (1.49). В декартовой системе координат получаем [c.200]

При анализе движения окрестности частищ>1 т удобно вместо тензора (1.2.28) использовать лагранжев тензор конечных деформаций [c.30]

Замечание. Выше установлена связь между напряжениями и деформащтями упругой среды при подходе Лагранжа. Можно доказать (см., например, [1, 2, 8]), что при подходе Эйлера связь меяеду тензором истинных напряжений и тензором деформаций Альманси в упругой среде определяется формулой Мурнагана [c.32]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...