Лагранжево деформации

Чтобы определить лагранжевы деформации, необходимо в таблицах функции и х, у), v(x, у) с помощью соотношений (2.42) заменить значения координат х, у значениями начальных координат а, Ь. Определив затем коэффициенты полиномов [c.52]

Скорость лагранжевой деформации [c.229]

При выводе уравнений распространения одномерных упругопластических волн в случае больших деформаций из общих трехмерных уравнений встретились непреодолимые трудности. К ним относятся условие несжимаемости для деформаций- громоздкое кубическое соотношение нелинейность соотношений между лагранжевыми деформациями и перемещениями, не позволяющая выполнить простое интегрирование, а также несимметричность лагранжева тензора напряжений, что за- [c.232]

Координаты X/ (i=l, 2, 3) точек тела в недеформированном состоянии называют также лагранжевыми координатами точек тела. Координаты Xi (i==, 2, 3) — это декартовы координаты тех же самых точек, но после деформации тела. Их называют эйлеровыми координатами. Соотношение (1.124) определяет положение [c.30]

Таким образом, относительные удлинения и сдвиги материальных волокон при конечных деформациях определяются формулами (3.21), (3.27) в случае лагранжевых и (3.22), (3.28) в случае эйлеровых координат. [c.67]

Рассмотрим случай лагранжева описания деформаций. На основании (3.18) уравнение (3.30) представим в виде [c.67]

Уравнение (3.35) позволяет найти три действительных корня ( =1, 2, 3), которые и называются главными значения-м и лагранжева тензора деформаций ( и), а уравнение (3.33) при дополнительном условии а,а,= 1—три главных направления тензора, т. е. а (г, й==1, 2, 3). [c.68]

Первый инвариант лагранжева тензора деформаций имеет важный физический смысл. Рассмотрим материальную частицу в форме элементарного параллелепипеда, ребра которого параллельны главным направлениям деформации. Относительное изменение объема 0 этого параллелепипеда [c.68]

Напряжение на наклонной площадке. При деформировании первоначально ортогональные лагранжевы координатные оси ai, аз с ортами вю, го. зо. изменяя свою ориентацию в пространстве, изменяют и взаимную ориентацию. Как показано ранее с погрешностью порядка деформации, векторы вх, 2. 3 можно считать ортогональными. [c.110]

В процессе деформирования пластины лагранжевы координатные оси Оа, 2 меняют свою ориентацию, будучи жестко связанными с материальными точками пластины (см. 5.1). Пусть в деформированном состоянии орты осей Oai и Оа есть и т, которые выражаются через о, 2 о и т . Наиболее просто эту связь можно получить из геометрических построений. Предположим, что вращение малого элемента ASq срединной плоскости вокруг оси z мало, что следует из малости деформаций срединной поверхности. Рассечем поверхность So плоскостью Ога . Получим картину, изображенную на рис. 16.6, а, из которой в силу малости Wi и (Oj [c.371]

Если обозначить через и — компоненты метрического тензора в лагранжевой системе координат соответственно в начальном и актуальном состояниях, то, как известно, компоненты тензора деформаций вводятся формулами [c.310]

В теории деформирования твердых тел часто рассматривают случай, когда деформации и относительные смещения малы. Если при этом лагранжева система координат выбрана так, что в какой-нибудь момент времени (например, в начальный) она совпадает с системой отсчета, то в дальнейшем она будет мало отличаться от системы отсчета и, очевидно, компоненты любого тензора или вектора в лагранжевой системе координат и в системе отсчета будут отличаться на малую величину. Если в теории учитываются лишь малые первого порядка, то [c.310]

Рассмотрим упругое тело, в котором компоненты тензора деформаций г J, и относительные смещения малы, а в качестве начального состояния, отвечающего метрике °дц (см. 1), выбрано состояние, которое может быть реально осуществлено, т. е. существуют перемещения из состояния, отвечающего метрике в актуальное деформированное состояние. Пусть лагранжева система координат в начальном состоянии выбрана совпадающей с системой отсчета. Тогда координаты ж точек среды в деформированном состоянии представляются в виде [c.319]

Из формул (2.1), (2.2) и (2.3) видно, что при таком определении тензоров пластических, упругих и полных деформаций для ковариантных компонент этих тензоров в лагранжевой системе координат верно равенство [c.422]

Деформации малые упругого тела, совпадение лагранжевых начальной и актуальной систем координат 319 [c.562]

Замкнутая система уравнений теории пластичности включает в себя следуюш,ие 29 уравнений три дифференциальные уравнения движения (V.18) шесть уравнений связи деформаций с перемещениями (11.35) [в лагранжевой системе координат эти уравнения [c.235]

Компоненты эйлерова тензора деформации можно определить, если перемещения заданы в зависимости от текущих координат, а компоненты лагранжева тензора — если переме- [c.13]

Компоненты лагранжева тензора деформаций в точке а — = 6 = 0. [c.44]

Первое показывает, что тензор, обозначенный е, есть деформация лагранжева вектора X на Oi последний должен быть равен заданному здесь вектору перемещения, и ничто не препятствует, отождествив К с вектором перемещения и в объеме V, вернуться к определению тензора е как к величине, задаваемой полем перемещений. В самом принципе минимума дополнительной работы понятие о тензоре деформации отсутствует, поэтому отождествление векторов % н и должно быть привнесено нами, так как принцип об этом не знает . [c.159]

Выражения для деформаций-. Таким образом, получены точные в рамках ограничений, налагаемых гипотезой Кирхгофа — Лява, выражения для координат в произвольного вида фиксированной системе прямоугольных координат трех произвольных точек, расположенных на одинаковом расстоянии от верхней и нижней поверхностей оболочки и отличающихся только малыми изменениями координат аир. Координаты начальных положений этих точек можно найти из выражений, J[oлyчeнныx для координат при смещенном положении, если положить ц = у = ш = 0. Из этих значений легко вычисляются лагранжевы деформации (т. . деформации в точке и в направлении, связанных с оболочкой) для произвольной точки О, лежащей в цлоскости, определяемой тремя точк 1ми. [c.399]

Чтобы установить механические и фотомеханические определяющие уравнения для сополимера параплекс, применявшегося в данном исследовании [5, 14—17], вначале были проведены квазистатические опыты, далее эксперименты при средних скоростях нагружения и затем опыты с мерным стержнем Гопкинсона. Было принято, что члены, зависящие от скорости деформации, при больших деформациях можно разделить на упругие и пластические составляющие так же, как и в уравнении (1), и что технические деформации и скорости деформации в определяющих уравнениях можно заменить лагранжевыми деформациями и их скоростями. Описание механического поведения основано на четырехэлементной модели, показанной на рис. 4. Модель состоит из упругих элементов Ео и Eiy вязкого элемента л и жестко-идеально-пластического элемента а у. Определяющее уравнение для модели можно записать в виде [c.220]

Координатная сетка состоит из 25 точек, расположенных на расстоянии 1 дюйма (25,4 мм) друг от друга и покрывающих начальные 2,5 дюйма (63,5 мм) образца, которые соответствуют полю зрения фотогр ической- камеры. Однако, поскольку в определяющие фотомеханические уравнения (9) для материала входит толщина в текущий момент 6, были вычис-ленк соответствующие значения т и т при. помощи быстро сходящейся итерационной процедуры, в которой использованы уравнения (12) и соотношения между Ь и 6о. Затем, используя найденные значения технических деформаций и скоростей деформаций зависимостей (3), вычисляли лагранжевы деформации. Этот метод численного интегрирования приводил к плавным кривым для скоростей деформаций. По зависимостям деформации и скорости деформации от времени в каждой из 25 точек находили изменение напряжений в этих узлах путем численного интегрирования определяющих уравнений по модели I или по модели II. [c.225]

Имеются в основном два типа реометрических систем, используемых для экспериментов по периодическим течениям мы будем называть эти два типа эйлеровым и лагранжевым. Хотя оба типа допускают реометрическое определение комплексной вязкости т], они значительно различаются по своему характеру в то время как лагранжевы периодические течения представляют собой течения с предысторией постоянной деформации, эйлеровы периодические течения таковыми не являются. [c.194]

В лагранжевых периодических течениях поле скоростей стационарно в эйлеровом смысле в некоторой системе отсчета. В такой системе отсчета каждая материальная точка циклически перемещается по замкнутой траектории и элементы материала подвергаются периодическим деформациям. Кроме того, лагранжевы периодические течения являются течениями с предысторией постоянной деформации, и, следовательно, тензор if в уравнении (5-1.24) не зависит от [c.203]

В классической линейной теории упругости твердое тело считается идеально упругим. Это означает, что в любой момент времени t в данной точке тела напряжения ст,/ зависят только от деформаций ец в этой же точке в тот же момент времени при той же температуре Т. Рассеяние W предполагается равным нулю. Перемещения Uh и их градиенты dukidxu считаются малыми. В этом случае лагранжевы и эйлеровы координаты можно считать совпадающими (х,=л ,). Для деформаций имеем выражение [c.112]

Отметим, что при решении задач, связанных с упругонласти-ческим течением, необходимо следить за историей частицы, чтобы выявить переход из упругого в пластический режим деформации. С этой точки зрения лагранжево представление обладает определенным преимуществом. Кроме того, при решении задач в лагранжевых переменных проще задание граничных условий на [c.145]

Запишем систему дифференциальных уравнений (1.10.14) в лаграижевых координатах вместе с уравнениями для девиатора (1.10.18), (1.10.20) для одномерного плоского (v = l) движения с одноосной деформацией (е = е = 0, т = т = — Дт, переходя к переменным Pi, Ра, v, Т, зависящим от лагранжевой координаты в направлении движения г и времени t, нричем в левых частях уравнений выделим члены, содержащие производные по времени [c.264]

Отметим, что для конечных деформаций это свойство аддитивности не выполняется для компонент с другим строением индексов в лагранжевой системе координат, а также для компонент с любым строением индексов (в том числе и чисто кова-риантных) в системе отсчета. Это связано с тем, что (2.4) связывает комцоненты тензоров в разных базисах, хотя и в одной [c.422]

Здесь г — радиус-вектор лагранжевых координат, дуль упругости, V — коэффициент Пуассона, 6, — символ Кро некера, Ёу (г) — компоненты тензора вынужденной деформации, Ёц (г) — компоненты тензора конечных деформаций Коши — Грина в базисе начального состояния, (г) — компоненты тензора напряжения Коши в базисе актуального состояния. [c.296]

Перемещения будем считать функциями материальных лагранжевых координат xi,x2,xj и времени /. Потенциальную энергию найдем, используя тензор деформаций Грина и тензор нагфяжений Пиолы-Кирхгофа. [c.24]

Плотность лагранжиана, используемого в задачах динамики (линейной или нелинейной) теории упругости, определяется выражением L = W — Т — Р, где W — плотность энергии деформации, Т — плотность кинетической энергии и Р — потенциал внешних сил. при лагранжевом подходе к описанию движения (материальные координаты Х[ являются независимыми переменными) в общем случае можно считать, что L — функция переменных У , / = (5У,/(ЗХ/(или, что эквивалентно, переменных /), Ui, Ui, а также независимых переменных Х, (для неоднородных систем) и t (для неголономных систем). Такнм образом, t [c.150]

Провели тщательное исследование статических задач теории упругости при конечных деформациях эта работа в дальнейшем была продолжена Флетчером [40] и распространена на задачи динамики линейной теории упругости, хотя к его утверждениям что уравнения (3.1)—(3.4) и (3.6) из [40] легко распространяются на случай упругих материалов при конечных деформациях, следует относиться с некоторой осторожностью. Сравнительно недавно Голебевская-Херрманн [42,43] опубликовала исследования законов сохранения в динамических задачах теории упругости при конечных деформациях, представленных как в лагранжевой, так и в эйлеровой системах отсчета. [c.151]

Существенной особенностью книги является использование наряду с прямоугольными декартовыми и общих криволинейных координат. Это связано с тем, что при изучении движения материальных сред необходимо пользоваться двумя системами координат системой координат наблюдателя и лагранжевой системой (сопутствующей системой координат), которая составляет единое целое с рассматриваемым телом, движется, деформируется вместе с ним и является поэтому криволинейной и кеортогональной. Изучение деформации тела по сути сводится К изучению деформации сопутствующей системы координат, что позволяет выявить историю деформирования частиц тела и проследить за изменением их механических и физико-химических свойств. Здесь уместно привести слова академика Л. И. Седова Некоторые думают, что механику подвижных непрерывных материальных сред без существенного ограничения общности можно строить при помощи только одной и притом декартовой системы координат. Эта точка зрения, отраженная в некоторых книгах и искренне внедряемая в сознание учащихся, неверна и мешает пониманию сущности механики и постановок ее задач [12, с. 493]. [c.5]

В результате деформации частица принимает форму косоугольного параллелепипеда. Так как в сопутствующей системе координаты точек не меняются, лагранжевы координаты точек 1, 1. l равны соответственно dl , dl . Выразим массу частицы через объем косоугольного параллелепипеда и плотность Pi Am = Р1МЛ1 (Mfii X M i) = Pi i ( 2 X e ) dl X [c.138]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...